2024学年许昌市高二数学上学期期中测试卷及答案解析

学年许昌市高二数学上学期期中测试卷考试时间：120分钟，试卷满分150分2024.11一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线，直线，则直线的倾斜角为（）A. B. C. D.2.圆：与圆的位置关系为（）A.相交 B.内切 C.外切 D.相离3.在三棱锥中，D是的中点，E是的中点，设，，，则（）A B.C. D.4.直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（）A. B.C. D.或5.在椭圆中，以点为中点弦所在的直线方程为（）A. B. C. D.6.在棱长为2的正方体中，E是的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（）A. B. C. D.7.已知P是圆上一动点，则点P到直线距离的取值范围为（）A.B.C. D.8.已知椭圆的左、右焦点分别为和，点在椭圆上且在轴的上方若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的面积为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知圆，直线．则以下几个结论正确的有（）A.直线l与圆C相交B.圆C被y轴截得的弦长为C.点C到直线l的距离的最大值是D.直线l被圆C截得弦长最短时，直线l的方程为10.下列命题为真命题的是（）A.若空间向量，，满足，则B.若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，必定共面C.若空间向量，，则D.对于任意空间向量，，必有11.正方体中，分别为的中点，点满足，则错误的有（）A.平面B.三棱锥的体积与点的位置有关C.的最小值为D.当时，平面PEF截正方体的截面形状为五边形第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若向量，，则______．13已知向量，，，若三个向量共面，则______．14.已知圆与圆外离，则实数a的取值范围为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.的三个顶点，，，求：（1）边上的高所在直线方程；（2）AC边上的中线所在直线方程及中线的长度．16.如图，在四棱台中，底面是中点．底面为直角梯形，且．（1）证明：直线平面；（2）求二面角的正弦值．17.已知圆C和直线，若圆C的圆心为(0,0)，且圆C经过直线和的交点．（1）求圆C的标准方程；（2）过定点(1,2)的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程．18.已知椭圆C：的焦距为，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）在椭圆C上找一点P，使它到直线l：的距离最短，并求出最短距离.19.已知为椭圆的两个焦点，为椭圆上异于左､右顶点的任意一点，的周长为6，面积的最大值为：（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆的另一交点为，与轴的交点为.若，.试问：是否为定值？并说明理由.2024学年许昌市高二数学上学期期中测试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线，直线，则直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意结合垂直关系可得直线的斜率，进而可得倾斜角.【详解】因为直线的斜率，且，可知直线的斜率所以的倾斜角为．故选：D．2.圆：与圆的位置关系为（）A.相交 B.内切 C.外切 D.相离【答案】A【解析】【分析】求出两圆的圆心距，则有，即可判断两圆位置关系.【详解】圆的圆心为，半径为；，则圆的圆心为，半径为.两圆心之间的距离，且满足，可知两圆相交.故选：A.3.在三棱锥中，D是的中点，E是的中点，设，，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】用基底分别表示向量，再利用空间向量的减法可得结果.【详解】根据题意，.故选：C4.直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（）A. B.C. D.或【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用圆的切线性质，结合点到直线距离公式列式计算即得.【详解】当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时与圆不相切，则直线的斜率一定存在，设直线方程为，化简得，依题意，圆心到直线的距离为1，即，解得或，所以直线的方程为或.故选：D5.在椭圆中，以点为中点的弦所在的直线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先确定点在椭圆内部，设交点为Ax1,【详解】因为，故点在椭圆内部，过点的直线恒与椭圆有两个交点，设交点为Ax1,y1,B又，两式相减得，整理得，所以以点为中点弦所在的直线方程为，即.故选：C6.在棱长为2的正方体中，E是的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面角即可.【详解】以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则，令，得，所以，故，设直线与平面所成角为，则，所以.故选：D7.已知P是圆上一动点，则点P到直线的距离的取值范围为（）A.B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，得到过定点，得到点在圆上，且，结合直线与圆的位置关系，即可求解.【详解】因为直线，可化为，由，解得，所以l过定点，又因为点在圆上，且，又由圆，可得圆心为，半径，当时，点P到的距离最大，最大距离为，此时，所以直线的斜率为1，此时无解，故直线l不存在，所以距离；当直线与圆O相交时，点P到l的距离最小，最小距离为0，故点P到的距离的取值范围为.故选：D.8.已知椭圆的左、右焦点分别为和，点在椭圆上且在轴的上方若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意得到垂直平分线段，则，再根据椭圆的定义式和勾股定理即可求解．【详解】因为椭圆方程为，所以，，，又线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，所以垂直平分线段，所以，又因为，所以，，在直角三角形中，，于是的面积为．故选：C．【点睛】关键点点睛：本题关键在于将线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上转化为垂直平分线段，再结合椭圆定义求解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知圆，直线．则以下几个结论正确的有（）A.直线l与圆C相交B.圆C被y轴截得的弦长为C.点C到直线l的距离的最大值是D.直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为【答案】ACD【解析】【分析】对于A，，联立求定点,根据定点在圆内即可求解；对于B，令求轴交点纵坐标即可得弦长；对于C，根据定点到圆心距离即可求解最值，对于D，根据直线被圆截得弦长最短，只需与圆心连线垂直于直线，求直线斜率，进而求出参数，即可得方程．【详解】由，则，得，即恒过定点，由到圆心的距离，故定点在圆内，故直线与圆恒相交，故A正确；令，则，可得，故圆被轴截得的弦长为，故B错误；点C到直线l的距离的最大值为圆心到定点的距离，故最大值为，C正确，要使直线被圆截得弦长最短，只需与圆心连线垂直于直线，则，所以，可得，故直线为，故D正确．故选：ACD．10.下列命题为真命题的是（）A.若空间向量，，满足，则B.若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，必定共面C.若空间向量，，则D.对于任意空间向量，，必有【答案】BD【解析】【分析】令为零向量即可判断A、C；由基底的概念判断B；应用向量数量积的运算律、定义判断D.【详解】若为零向量，有，但不一定成立，A错：三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则它们必共面，B对；若为零向量，，，但不一定成立，C错：由，，而，所以，D对故选：BD11.正方体中，分别为的中点，点满足，则错误的有（）A.平面B.三棱锥的体积与点的位置有关C.的最小值为D.当时，平面PEF截正方体的截面形状为五边形【答案】BCD【解析】【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法，证得，可判定A正确；证得平面，结合的面积为定值，可得判定B错误；利用两点间距离公式，求得的最小值，可判定C错误；连接，取中点为，当与交点为点时，利用三角形的性质，求得，可判定D正确.【详解】对于A中，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，则，所以，所以，因为且平面，所以平面，所以A正确；对于B中，因为正方体中，且，所以四边形为平行四边形，因为，因为平面，平面，所以平面，所以棱上的所有点到平面的距离都相等，又因为点是棱上的动点，所以三棱锥的体积始终为定值，所以B错误；对于C中，由，因为，所以，则，可得，当时，有最小值，最小值，所以C错误；对于D中，连接，取中点为，此时与交点为点，如图（1）所示过点作，可得，可得，所以，即，此时平面截正方体截面图形为四边形，所以D不正确.故选：BCD【点睛】方法点拨：对于立体几何中的截面问题的求解策略：1、立体几何中的截面问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动角的范围等问题；2、解答方法：一般时根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；3、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若由解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若向量，，则______．【答案】【解析】【分析】根据空间向量的加法运算和模长公式求解.【详解】由题意，，于是.故答案为：13.已知向量，，，若三个向量共面，则______．【答案】【解析】【分析】由向量共面的性质可得，列出方程组解出即可.【详解】因为三向量共面，所以可设，即，所以，解得，，所以.故答案为：-414.已知圆与圆外离，则实数a的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】由题意表示出两圆的圆心半径，进一步结合两圆外离列出不等式即可求解.【详解】由题意圆与圆的圆心、半径依次分别为，因为两圆外离，所以圆心距满足，解得，即实数a的取值范围为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.的三个顶点，，，求：（1）边上高所在直线方程；（2）AC边上的中线所在直线方程及中线的长度．【答案】（1）（2）；中线的长度为5.【解析】【分析】（1）先求的斜率，进而可得边上的高的斜率，结合斜截式即可求解；（2）先求出边上的中点的坐标，再利用两点式求出边上的中线所在直线方程；再利用两点间的距离公式求得边上的中线的长度的值．【小问1详解】设边上的高所在直线的斜率为，，则，由斜截式知边上的高所在直线方程为：，即边上的高所在直线方程为：.【小问2详解】的三个顶点，，，故边上的中点，边上的中线所在直线方程为，即.边上的中线的长度.16.如图，在四棱台中，底面是中点．底面为直角梯形，且．（1）证明：直线平面；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据题意先证平面，进而可得，根据勾股定理可得，根据线面垂直的判定定理分析证明；（2）建系，分别求平面、平面的法向量，利用空间向量求二面角.【小问1详解】因为底面，底面，则，由题意可知：，且平面，所以平面，且平面，可得，不妨设，由题意可得：，可知：，即，且，平面，所以直线平面.【小问2详解】如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，不妨设，则，可得，设平面的法向量，则，令，则，可得，设平面的法向量，则，令，则，可得，可得，设二面角为，则，所以二面角的正弦值.17.已知圆C和直线，若圆C的圆心为(0,0)，且圆C经过直线和的交点．（1）求圆C的标准方程；（2）过定点(1,2)的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程．【答案】（1）（2）或.【分析】（1）根据题意联立直线和的直线方程，求得交点，进而求得半径，即可得解；（2）根据题意，结合垂径定理求得圆心到直线的距离，讨论直线l的斜率不存在和存在两种情况进行讨论，即可得解.【小问1详解】首先由可得，所以直线和相交于点，所以圆C的半径，所以圆C的标准方程为.【小问2详解】当直线l的斜率不存在时，方程为，代入圆C方程为可得，此时，符合题意，当直线l的斜率存在时，设直线方程为，根据题意圆心到直线的距离为，所以，解得，此时直线方程为，所以直线l的方程为或.18.已知椭圆C：的焦距为，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）在椭圆C上找一点P，使它到直线l：的距离最短，并求出最短距离.【答案】（1）（2），【分析】（1）由题意列出关于的方程，求解即可；（2）方法一：设与直线l：平行的直线与椭圆相切，联立直线与椭圆方程，利用判