2024年北京北师大实验中学高一（上）期中数学试题及答案

北师大附属实验中学2024-2025学年度第一学期期中试卷高一年级数学班级学号成绩1.本试卷共6254150分，考试时间120分钟.考生须知2.在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号.3.试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效.4.2B字迹签字笔作答.命题人：屈伸审题人：刘丹，黎栋材第Ⅰ卷（共100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.已知集合A=1,0,，B={x|2x，则AA.B.C.D.x2.函数f(x)=的定义域为(x−2A.[0,+)C.(−B.+)D.3.若ab，c0，则下列不等式恒成立的是acbcA.B.C.ac2bc2D.ac3bc34.下列函数中，是偶函数且在(0,+)上单调递增的是1A.y=x−1B.y=1−x2C.y=−D.y=|x|x15.已知函数f(x)=2x−，在下列区间中，一定包含f(x)零点的区间是x11421,1A.,B.C.2)D.(2,4)211−−6.设a2，b=5，c=27，则=123A.cbaC.bcaB.cabD.abc17.“a0”是“关于x的不等式ax−x+0的解集为”的2aA.充分不必要条件C.充分必要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件8.已知某商品每件的成本为8yx18函数关系近似为：y=−1，若使每月的净利润最高，则每件售价应定为x=−（注：净利润销售总额总成本）A.10元C.15元B.12元D.16元−2+x2x,x≤3x39.对于函数f(x)=，下列说法正确的是4,xA.f(x)存在最大值B.f(x)0的解集为(−,0)C.f(x)在+)上单调递减对任意x0，有f(−x)f(x)10.已知集合A={(x,y)|x+y=}，B={(x,y)|=4b≤x≤b+b0，使得AA.(4,25]中恰有2个元素，则a的取值范围是B.(4,C.[25,+)D.+)二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）命题“xN，x2≤2”的否定是.12.计算：269−=.22y13.设实数,y满足：1≤x≤2，6≤y≤8，则的取值范围是.x14.若函数f(x)x=2−6x5在m]上的值域为[4,5]的最小值为+−m；最大值为.15.已知f(x)是R[f(x)−x][f(−x)−x]≥0的解集为S.给出下列四个结论：①一定有0S；②可能存在xS且−xS；00k③若当x0时，f(x)=(k0)，则一定有SR；x④若当x0时，f(x)x=2−，且[−S，则a的取值范围是.其中所有正确结论的序号是.三、解答题（本大题共3小题，共35分）16.（本小题满分10分）设集合A{x|x（Ⅰ）若a=0，求A（Ⅱ）若A=2+2x3，，A−≤B={x|x−a|.；，求a的取值范围.17.（本小题满分13分）已知关于x的方程x（Ⅰ）求m的取值范围；2−(2m4)xm++2=0有两个不相等的正实数根．．．．x,x.121212（Ⅱ）若+=7，求m的值；（Ⅲ）若x+x=2，求m的取值范围.1218.（本小题满分12分）1−x1+x已知函数f(x)为R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)=（Ⅰ）当x0时，求f(x)的解析式；.（Ⅱ）判断f(x)在[0,+)上的单调性，并依据单调性的定义证明；（Ⅲ）若a+b=1，且ab，试比较f(a)与fb)的大小，并说明理由.第Ⅱ卷（共50四、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）1119.给出能够说明“若ab，则”是假命题的一组a,b的值：a2+1b+12a=；b=.20.已知集合U=2,3,4,5,，,BU且AB，满足：A}，A，，则A=；B=.x2+tx+121.已知f(x)=①t=为奇函数.x；②若|f(x)|≤m恰有两个整数解，则m的取值范围是.|x+3|x≤a,22.函数f(x)=−x2+ax+f(axa.①当a=2时，f(x)的单调递增区间为；②若f(x)恰有三个零点，则a的取值范围是.五、解答题（本大题共3小题，共30分）23.（本小题满分8分）已知m0，n0.4mn（Ⅰ）求+的最小值；nm2kk+1（Ⅱ）对于（Ⅰ）中取得最小值的每组,n，都有求k的取值范围.≤m−2n+5恒成立，224.（本小题满分12分）已知函数f(x)x（Ⅰ）当a=1时，求证：f(x)（Ⅱ）若f(x)在[0,2]上的最小值为3，求a的值；1f(x)=2−a.+−−x22；（Ⅲ）若存在x,1，使得1≤≤2，求a的取值范围.3x225.（本小题满分10分）对于非空有限数集AA的个数.（Ⅰ）若A=，用列举法直接写出A*=aaA或−a}|A|表示A*；（Ⅱ）给定kNm={x|x+m}，求|m（Ⅲ）设非空有限数集A,A满足以下条件：*且k≥2，设A=,k}，对于1≤m≤k且mN*，记*|的最小值（用k12|1||2|2①A；②(A；③==.*11*|A||A|312求证：|A|A|.12北师大附属实验中学2024-2025学年度第一学期期中试卷高一年级数学参考答案第Ⅰ卷（共100分）一、选择题（每小题4分，共40分）题号答案12345678910ACDCDBACBD二、填空题（每小题5分，共25分）题号答案1213[3,8]1415①③④xN，x2223；6三、解答题16.解A=[B=(−,−2)A2]A（Ⅱ）B=(−,a−2))，AAB只需：a−21或a+2−3解得：a5或a3a的取值范围是(−,17.解=(2m+4)2−4m=16m+160m−12x+x=2m+40m−212xx=m0m0212解得：m−1且m0综上，m的取值范围是(0)1212(x+x)122−21x2（Ⅱ）+=xx12(2m+4)22−2m2==7m整理得5m2−16m−16=04解得m=4或−，经检验合题5（Ⅲ）(x+x)2=x+x+2xx121212=2m+4+2m=2m+4+2|m|①当−1m0时：(x+x)22=2m+4−2m=412因此x+x=2，合题12②当m0时：(1因此1综上，m的取值范围是(0)+2)2=2m+4+2m4m44=++22，不合题1+x1−x18.解x0时，−x0，f(−x)=1+x1−x因为f(x)为偶函数，所以f(x)=f(−x)=（Ⅱ）结论：f(x)在+)上单调递减任取x,x[0,+)，且xx12121−21+2111−1+f(x)−f(x)=−21−x+x)−−x+x)2(x−x)=2112=120+x+x)+x+x)2121因此f(x)f(x)，f(x)在+)上单调递减12（Ⅲ）结论：f(a)fb)理由如下：ab=1−aa121①当0≤a时：a,b[0,+)且ab，f(x)在+)上单调递减，2所以f(a)fb)②当a0时：−a,b(0,+)且−ab，f(x)在+)上单调递减，所以f(−a)f(b)因为f(x)为偶函数，故f(a)=f(−a)fb)综上：f(a)fb).第Ⅱ卷（共50四、填空题（每小题5分，共20分）21（答案不唯一）19204,6}；521220；[2,)2(；(2))注：第22题第一空，两端开闭均可.五、解答题（共30分）4mn23.解m0，n0，所以0，0nm4mn4mn+≥2=4nmnm当且仅当n=2m时，等号成立4mn因此，+的最小值为4nm2kk+1（Ⅱ）由题知：当n=2m时，只需≤(m2−2n+5)2kk+1即：≤(m−4m+5)2m2−4m+5=(m−2)2+1≥1当且仅当m=2时，等号成立，因此(m−4m+5)=122kk+1k−1k+1只需：≤1，整理得：≤0，等价于：(k−k+≤0且k+10解得，−1k≤1综上，k的取值范围是(24.解a=1时，f(x)=x2−4x+1f(x)+x+2=2x−4x+3=2(x−+10222所以f(x)−x−22（Ⅱ）①当a≤0（2a≤0）时，f(x)=f(0)=a令f(x)=3a=3，合题②当0a1（02a2）时，f(x)=f(2a)=a−4a32令f(x)=3a=−或1，均不合题4③当a≥1（2a≥2）时，f(x)=f(2)=4−7a令f(x)=−3a=1，合题综上，a=−3或11（Ⅲ）解法1：由题知：存在x[，使得x2≤f(x)≤2x23a(4x−≤01即：存在x[，使得3x+4ax−a≥0(2)21对于，由于x[，有4x−10，故a0不合题3即必有a≤01对于(2)，记g(x)=x+4ax−a，只需：在[上g(x)≥02312当−≤a≤0（−2a≤）时，有g(x)=g=a+1≥0，合题33121a+1当a−（2a）时，有g(x)=g()=0，不合题33391综上，a的取值范围是[−,0]31解法2：由题知：存在x[，使得x2≤f(x)≤2x23a(4x−01≤等价于px[，使得”为真命题3x2+4ax−a≥01考虑px[，a(4x−0或x+4ax−a0”2．31“任意x[，a(4x−0”a031记g(x)=x2+4ax−ax[，x2+4ax−a0”31a+1g()=013a−39g=a+101因此，若p为真命题，则a−或a031回到原题，若p为真命题，则a的取值范围是[−,0]3f(x)4aa1解法3：=1−+，令t=x2xx2xf(x)记=ht)=at2−t)+1=a(t−2)+1−4a2x2由题知：存在t，使得1≤h(t)≤2当a=0时，合题当a0时，ht)=h=1−a1，不合题ht)=h(2)=1−4a≥1ht)=h=1−a≤213当a0时，只需，解得−≤a01综上，a的取值范围是[−,0]325.解A*=−k+1（Ⅱ）当1≤m≤时：|B*|=2(k−m)+1=2k−2m+1m2k若k为偶数，|B*m|≥k+1，当且仅当m=时取等2k+1若k为奇数，|m*|≥k，当且仅当m=时取等2k+1当m≤k时：|B=2(m−+1=2m−1*m2k+2若k为偶数，|B*m|≥k+1，当且仅当m=|≥k+2，当且仅当m=时取等2k+3若k为奇数，|m*时取等2综上，当k为奇数时，|m*|的最小值为k当k为偶数时，|m*|的最小值为k+1AP()=a|aA且−a}Q()=a|aA且−a}则有：P()P()，P()A=，P()=A*故：|A|P()P()|+|Q()||P()|+|[Q(|P()|2|Q()||A*|P()*|1||2|23由于A，==*1*|A||A|12则P(A)，Q(A)，P(A)，Q(A)均为非空集合1122|i||P(A)|+|Q(A)|ii23==|P