专题03-2022年北京高考数学满分限时题集2

专题03大题限时练31．已知函数，，，且图象的相邻对称轴和对称中心之间的距离为，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件．（Ⅰ）确定的解析式；（Ⅱ）若图象的对称中心只有一个落在区间，上，求的取值范围．条件①：的最小值为；条件②：图象的一个对称中心为，；条件③：的图象经过点，．【答案】见解析【详解】（Ⅰ）因为图象的相邻对称轴和对称中心之间的距离为，所以的最小正周期，．此时．选条件①②：因为的最小值为，所以．因为图象的一个对称中心为，，所以，所以，因为，所以，此时，所以．选条件①③：因为的最小值为，所以．因为函数的图象过点，，则，即，．因为，所以，所以，，所以．选条件②③：因为函数的一个对称中心为，，所以，所以．因为，所以，此时．所以．因为函数的图象过点，，所以，即，，所以，所以．（Ⅱ）因为，，所以，，因为图象的对称中心只有一个落在区间，上，所以，得，所以的取值范围为，．2．如图，在三棱柱中，侧面和都是正方形，平面平面，，分别为，的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）【详解】（Ⅰ）证明：取中点，连接，，在△中，，分别是，的中点，所以，．在三棱柱中，四边形为正方形，为中点，所以，．所以，．所以四边形为平行四边形．所以．因为平面，平面，所以平面．（Ⅱ）解：因为平面平面，平面平面，平面，正方形中，所以平面．所以．正方形中．如图建立平面直角坐标系．不妨设，则，0，，，0，，，0，，，2，，，2，，，1，，，0，．所以，，．设平面的法向量，，，则，即．令，则，．于是，2，．设直线与平面所成的角为，所以．所以直线与平面所成角的正弦值为．3．天文学上用星等表示星体亮度，星等的数值越小、星体越亮．视星等是指观测者用肉眼所看到的星体亮度；绝对星等是假定把恒星成放在距地球32.6光年的地方测得的恒星的亮度，反映恒星的真实发光本领．如表列出了（除太阳外）视星等数值最小的10颗最充恒星的相关数据，其中，．星名天狼星老人星南门二大角星织女一五车二参宿七南河三水委一参宿四视星等0.030.080.120.380.46绝对星等1.424.40.60.12.67赤纬（Ⅰ）从表中随机选择一颗恒星，求它的绝对星等的数值小于视星等的数值的概率；（Ⅱ）已知北京的纬度是北纬，当且仅当一颗恒星的“赤纬”数值大于时，能在北京的夜空中看到它，现从这10颗恒星中随机选择4颗，记其中能在北京的夜空中看到的数量为颗，求的分布列和数学期望；（Ⅲ）记时10颗恒星的视星等的方差为，记时10颗恒星的视星等的方差为，判断与之间的大小关系．（结论不需要证明）【答案】见解析【详解】（Ⅰ）设一颗星的绝对星等的数值小于视星等的数值为事件．，由图表可知，10颗恒星有5颗恒星绝对星等的数值小于视星等的数值，所以；（Ⅱ）由图表知，有7颗恒星的“赤纬”数值大于，有3颗恒星的“赤纬”数值小于．，所以随机变量的所有可能取值为：1，2，3，4，所以，，，，所以随机变量的分布列为：1234所以的数学期望为；（Ⅲ）结论：．4．已知函数．（Ⅰ）求曲线在点，（1）处的切线方程；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）若关于的方程有两个不相等的实数根，记较小的实数根为，求证：．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）在上单调递减，在上单调递增；（Ⅲ）见解析【详解】（Ⅰ）解：由，可得，则（1），又（1），所以曲线在点，（1）处的切线方程为，即．（Ⅱ）解：的定义域为，，当时，，在上单调递增；当时，令，可得，令，可得，所以在上单调递减，在上单调递增．（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当时，才有两个不相等的实根，且，则要证，即证，即证，而，则，否则方程不成立），所以即证，化简得，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以（1），而，所以，所以，得证．5．已知椭圆的焦点在轴上，且经过点，左顶点为，右焦点为．（Ⅰ）求椭圆的离心率和的面积；（Ⅱ）已知直线与椭圆交于，两点．过点作直线的垂线，垂足为．判断是否存在常数，使得直线经过轴上的定点？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）离心率，的面积；（Ⅱ）存在实数，使得直线经过轴上定点【详解】（Ⅰ）依题意，，解得．因为，即，所以，，所以离心率，所以的面积．（Ⅱ）由已知，直线的方程为，当，，时，直线的方程为，交轴于点，当，，时，直线的方程为，交轴于点，若直线经过轴上定点，则，即，直线交轴于点．下面证明存在实数，使得直线经过轴上定点，联立消整理，得，设，，，，则，，设点，，所以直线的方程：，令，得，因为，所以，所以直线过定点，综上，存在实数，使得直线经过轴上定点．6．已知有限集，，定义集合，且，表示集合中的元素个数．（Ⅰ）若，2，3，，，4，，求集合和，以及的值；（Ⅱ）给定正整数，集合，2，，．对于实数集的非空有限子集，，定义集合，，．①求证：；②求的最小值．【答案】见解析【详解】（Ⅰ），，，；（Ⅱ）①证明：显然，若中含有一个不在中的元素，则，即，；若，且，则，此时中最小的元素，中最