专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（解析版）

专题2.3二次函数与一元二次方程、不等式1．二次函数的图象与性质函数解析式图象(抛物线)定义域R值域对称性函数图象关于直线对称顶点坐标奇偶性当b=0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数单调性在上是减函数；在上是增函数.在上是增函数；在上是减函数.最值当时，当时，2．二次函数的常用结论(1)函数f(x)=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是方程ax2＋bx＋c=0的实根.(2)若x1，x2为f(x)=0的实根，则f(x)在x轴上截得的线段长应为|x1−x2|=.(3)当且()时，恒有f(x)>0()；当且()时，恒有f(x)<0().3．三个“二次”之间的关系判别式的图象一元二次方程的根有两相异实根有两相等实根没有实数根一元二次不等式的解集一元二次不等式的解集4．一元二次不等式的解法由一元二次不等式与相应的方程、函数之间的关系可知,求一元二次不等式的解集的步骤如下：（1）变形：将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式，即或；（2）计算：求出相应的一元二次方程（）的根，有三种情况：；（3）画图：画出对应二次函数的图象的草图；（4）求解：利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．5．一元二次不等式恒成立问题（1）恒成立的充要条件是：且．（2）恒成立的充要条件是：且．（3）恒成立的充要条件是：且．（4）恒成立的充要条件是：且．（5）恒成立的充要条件是：且或且．（6）恒成立的充要条件是：且或且．一、单选题1．关于的不等式的解集为A．或 B．C． D．或【试题来源】宁夏六盘山高级中学2021-2022学年高二上学期第一次月考（理）【答案】D【分析】原不等式转化为，求解集即可．【解析】由，解得或．故选D2．若函数有负值，则实数的取值范围是A． B．C． D．【试题来源】江苏省新实2020-2021学年高二上学期期中【答案】C【分析】利用配方法求出该函数的最小值，要使函数有负值，则其最小值小于零，即可解得实数的取值范围．【解析】，要使函数有负值，则其最小值，解得，或．故选C．3．设，则关于的不等式的解集是A． B．或C．或 D．【试题来源】吉林省长春市第二中学2021-2022学年高一上学期第一次月考【答案】A【分析】化不等式二次项系数为正，再比较大小即可写出解集．【解析】原不等式可化为，因，即，于是得，所以原不等式的解集为．故选A4．若是方程的两个根，则A． B．2C．4 D．8【试题来源】广东省东莞市东华高级中学2020-2021学年高一上学期第一次月考【答案】C【分析】根据一元二次方程的根与系数之间的关系即可求解．【解析】因为是方程的两个根，所以由根与系数之间的关系，，，故．故选C．5．若，满足，，且，则的值为A． B．C．9 D．11【试题来源】江苏省南京外国语学校2021-2022学年高一上学期10月月考【答案】A【分析】依题可得，，为方程的两个不等实根，由根与系数的关系即可求解【解析】依题可得，，为方程的两个不等实根，所以，，所以．故选A．6．已知不等式的解集为则不等式的解集是A． B．C． D．【试题来源】江苏省新实2020-2021学年高二上学期期中【答案】A【分析】由不等式的解集为，结合根与系数的关系，求得，代入得到，即可求解．【解析】由题意，不等式的解集为，可得，解得且，所以不等式，可化为，即，解得，所以不等式的解集为．故选A．7．己知不等式组的解集是不等式的解集的子集，则实数的取值范围是A． B．C． D．【试题来源】辽宁省沈阳市一二〇中学2021-2022学年高一上学期第一次月考【答案】B【分析】求出不等式组的解，然后根据一元二次不等式在某个区间上恒成立可得结论．【解析】，由题意在上恒成立，所以，解得．故选B．8．若，，且，恒成立，则实数m的取值范围是A． B．或C．或 D．【试题来源】山东省青岛市青岛第五十八中学2021-2022学年高一上学期10月月考【答案】A【分析】先由基本不等式求出的最小值，进而列出关于的一元二次不等式，可求解．【解析】因为，由基本不等得当且仅当时，等号成立，所以的最小值为8由题可知，即，解得，故选A9．已知关于的不等式组仅有一个整数解，则实数的取值范围为A． B．C． D．【试题来源】河南省新郑市2021-2022学年高一上学期第一次阶段性检测【答案】B【分析】解不等式，得或，再分类讨论不等式的解集，结合集合关系求得参数的取值范围．【解析】解不等式，得或，解方程，得，．（1）当，即时，不等式的解为，此时不等式组的解集为或，若不等式组的解集中仅有一个整数，则，即，（2）当，即时，不等式的解为此时不等式组的解集为，若不等式组的解集中仅有一个整数，则，即，综上，可知的取值范围为．故选B．10．关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是A． B．C． D．【试题来源】江苏省镇江市第一中学2021-2022学年高一上学期10月月考【答案】D【分析】不等式在内有解等价于在内，．【解析】不等式在内有解等价于在内，．当时，，所以．故选D．11．若关于x的不等式x2−ax+1≤0的解集中只有一个整数，且该整数为1，则A．2，52 C．2，52 【试题来源】内蒙古鄂尔多斯市第一中学2021-2022学年高二上学期第一次月考（文）【答案】A【分析】根据一元二次不等式的解法，结合题意进行求解即可．【解析】设f因为关于x的不等式x2故f1≤0f0>012．对于任意实数，符号表示不大于的最大整数．例如：，，，那么不等式成立的的取值范围是A． B．C． D．【试题来源】吉林省长春市吉大附中实验学校2021-2022学年高一上学期月考【答案】C【分析】首先解二次不等式得到，再根据表示不大于的最大整数求解即可．【解析】，解得．因为表示不大于的最大整数，所以．故选C13．若不等式的解集为，则函数的图象可以为A． B．C． D．【试题来源】广东省惠州市第一中学2021-2022学年高一上学期第一次月考【答案】C【分析】由题可得和是方程的两个根，求出，再根据二次函数的性质即可得出．【解析】由题可得和是方程的两个根，且，，解得，则，则函数图象开口向下，与轴交于．故选C．14．若不等式的解集是，则的值为A． B．C． D．【试题来源】广东省深圳市福田区外国语高级中学2021-2022学年高一上学期第一次月考【答案】B【分析】分析可知关于的二次方程的两根分别为、，利用根与系数关系可求得实数、的值，即可得解．【解析】由题意可知，关于的二次方程的两根分别为、，且有，由根与系数关系可得，解得，因此，．故选B．15．对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围是A． B．C． D．【试题来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2021-2022学年高一上学期第一次月考【答案】D【分析】对进行分类讨论，结合判别式求得的取值范围．【解析】当时，不等式转化为，恒成立，符合题意．当时，，解得．综上所述，的取值范围是．故选D16．关于的不等式的解集为或，则关于的不等式，以下结论正确的是A．当时，解集为 B．当时，解集为C．当时，解集为或 D．以上都不正确【试题来源】上海市大同中学2020-2021学年高一上学期10月月考【答案】C【分析】由题意，为方程的两个根，可得，，再代入不等式可得，分，，三种情况讨论，即可判断【解析】由题意，为方程的两个根，代入方程，解得，，于是关于的不等式，即为，令，对应的二次函数开口向上，当时，解集为或，当时，解集为，当时，解集为或，故选C17．若函数满足对任意的，都有成立，则称在区间上是“被k约束的”．若函数在区间上是“被2约束的”，则实数a的范围是A． B．C． D．【试题来源】福建省福州外国语学校2021-2022学年高一10月月考学情评价一【答案】B【分析】通过的值都在范围内，来求得的取值范围．【解析】依题意对任意都成立，由得．，恒成立．由，此时，，的对称轴为，，其中．所以的取值范围是．故选B18．如果一元二次方程的解集为，那么二次三项式可分解为A． B．C． D．【试题来源】北京市八一学校2021-2022学年高一上学期第一次月考【答案】D【分析】根据一元二次方程的解集，写出二次三项式因式分解的结果．【解析】一元二次方程的解集为，，可分解为．故选D19．二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是① ② ③ ④A．①③ B．②③C．②④ D．①④【试题来源】河南省驻马店市新蔡县第一高级中学2021-2022学年高一上学期9月月考【答案】D【分析】根据二次函数的图象，结合特殊值判断．【解析】由函数图象开口向下知，对称轴为，即，则又，，，abc<0，故选D20．已知函数的值域为，则实数的取值范围是A． B．C． D．【试题来源】江西省临川一中、临川一中实验学校2022届高三第一次月考（文）【答案】A【分析】由，从而由题意可得，进而可求得答案【解析】因为，且函数的值域为，所以，解得或，所以实数的取值范围是，故选A21．若关于的不等式的解集中，恰有3个整数，则实数的取值范围是A． B．C． D．【试题来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2021-2022学年高一上学期10月月考【答案】D【分析】首先解一元二次不等式，，结合整数解的个数求得的取值范围．【解析】，，当时，不等式的解集为空集．当时，不等式的解集为，区间内有三个整数，所以，当时，不等式的解集为，区间内有三个整数，所以．综上所述，D选项符合题意．故选D22．如图在同一个坐标系中函数和（）的图象可能的是A． B．C． D．【试题来源】江西省临川第一中学2021-2022学年高一年级上学期第一次月考【答案】D【分析】根据题意，分与两种情况讨论，结合一次函数、二次函数的图象和系数关系，分析选项可得答案．【解析】由题意得当时，函数开口向上，顶点在原点，而的图象过一、三、四象限；当时，函数开口向下，顶点在原点，而的图象过二、三、四象限；故选D23．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是A． B．C． D．【试题来源】四川省眉山市仁寿第一中学南校区2021-2022学年高一上学期入学考试【答案】B【分析】利用一元二次方程有两个不相等的实根可判断，解不等式可得答案．【解析】有两个不相等的实数根，，，故选B24．关于x的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正．给出三个结论：①这两个方程的根都是负根；②；③．其中正确结论的个数是A．3 B．2C．1 D．0【试题来源】上海交通大学附属中学2021-2022学年高一上学期开学摸底【答案】A【分析】列出两个方程的根与系数关系和判别式，判断①②的正误；再根据两个方程的根与系数关系，分别求得的表达式，证得和，由此判断③的正误．【解析】设方程的两根为、，方程的两根为、．由题意知，，所以，，这两个方程的根都是负根，故①正确；依题意，第一个方程的判别式，第二个方程的判别式，，故②正确；，，，因为、均为负整数，，；，，又、均为负整数，，，即；，故③正确．综上所述，正确的结论有3个．故选A．25．若关于的不等式的解集为，则实数的值为A．2 B．3C．5 D．8【试题来源】浙江省杭州市淳安县汾口中学2020-2021学年高一上学期10月月考【答案】A【分析】对不等式移项，分解因式得到，从而求出实数的值．【解析】由得，即，因为关于的不等式的解集为，所以．故选A．26．关于的不等式任意两个解得差不超过14，则的最大值与最小值的差是A．3 B．4C．5 D．6【试题来源】江苏省南通市如东高级中学2021-2022学年高一上学期10月阶段测试一【答案】B【分析】先分类求不等式的解集，再根据任意两个解的差不超过14，分类求得的范围，可得的最大值与最小值的差．【解析】不等式，时解集为，时解集为，时解集为，由题意可得时，时，解得，则的最大值与最小值的差为4，故选B．27．对，不等式恒成立，则a的取值范围是A． B．C．或 D．或【试题来源】2022年高考数学一轮复习小题多维练（新高考版）【答案】A【分析】对讨论，结合二次函数的图象与性质，解不等式即可得到的取值范围．【解析】不等式对一切恒成立，当，即时，恒成立，满足题意；当时，要使不等式恒成立，需，即有，解得．综上可得，的取值范围为．故选A．28．已知一元二次不等式的解集为或，则的解集为A．或 B．C． D．【试题来源】四川省内江市第六中学2021-2022学年高三上学期第二次（9月）月考（理）试卷【答案】B【分析】利用一元二次不等式的解法求解．【解析】因为一元二次不等式的解集为或，所以的解集为．故选B29．已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是A． B．C． D．【试题来源】河南省驻马店市新蔡县第一高级中学2021-2022学年高二上学期开学考试【答案】A【分析】本题可根据图象得出结果．【解析】结合图象易知，不等式的解集，故选A．30．下列各组不等式，同解的一组是A．与 B．与C．与 D．与【试题来源】上海市华东师范大学第二附属中学2021-2022学年高一上学期10月月考【答案】D【分析】分别求出每个选项中的两个不等式的解集，比较解集即可得正确选项．【解析】对于A：由可得，解得，所以的解集为，由可得，即，所以，解得或，所以不等式的解集为，所以解集不同，故选项A不正确；对于B：由可得，即，解集为，不等式的解集为，所以解集不同，故选项B不正确；对于C：由可得，解得且，所以不等式的解集为且，而不等式的解集为，所以解集不同，故选项C不正确；对于D：由解得或，所以不等式的解集为或，由可得，所以，因为，所以，所以，解集为或，所以解集相同，故选项D正确；故选D．二、多选题1．已知命题对，不等式恒成立，则命题p成立的必要不充分条件可以是A． B．C． D．【试题来源】重庆市巴蜀中学2021-2022学年高一上学期第一次月考【答案】CD【分析】先分类讨论，，求解命题p成立的等价条件，再结合充分条件、必要条件的定义即得解【解析】由题意，（1）当时，若，不等式为，恒成立；若，不等式为，对不恒成立．（2）当时解得综上命题p成立的等价条件为若选项A、B、C、D为命题p成立的必要不充分条件，则为A、B、C、D中对应范围的真子集，满足条件的有C、D故选CD2．已知关于的一元二次不等式的解集为或，下列说法正确的是A． B．C．的解集是 D．对于任意的，恒成立【试题来源】黑龙江省大庆铁人中学2021-2022学年高一上学期第一次月考【答案】AC【分析】根据关于的一元二次不等式的解集为或，可得，，从而可判断AB；将用表示，即可解得不等式，，从而可判断CD．【解析】因为关于的一元二次不等式的解集为或，所以，且方程的解为或，则，即，所以，故A正确；，故B错误；由，即，即，解得，即的解集是，故C正确；由，得，即，不等式无解，故D错误．故选AC.3．已知关于的不等式的解集是，则A． B．C． D．【试题来源】吉林省长春市吉大附中实验学校2021-2022学年高一上学期月考【答案】BCD【分析】根据已知条件，利用二次不等式的解集与二次函数的的图象的对应关系，借助根与系数关系和不等式的基本性质作出判断．【解析】由已知得，的两根为和2，所以，，所以，，所以，，，当时，，即，所以选项A不正确，选项BCD正确，故选BCD．4．下列关于一元二次不等式叙述正确的是A．若一元二次不等式的解集为，则，且B．若，则一元二次不等式的解集与一元二次不等式的解集相等C．已知，关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是22D．若一元二次不等式的解集为，则【试题来源】广东省普宁市第二中学2021-2022学年高一上学期第一次月考【答案】AD【分析】根据一元二次不等式的性质，结合二次函数的图象与性质，逐项分析判断即可得解．【解析】对A，若一元二次不等式的解集为，则恒成立，所以，且，故A正确；对B，若和的符号相反，则两个一元二次不等式解集不同，故B错误；对C，设，有，解得，由，则，和为21，故C错误；对D，则有，解得，故D正确．故选AD5．关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则a的取值可以是A．6 B．7C．8 D．9【试题来源】江苏省苏州中学2021-2022学年高一上学期十月月考【答案】AB【分析】依次代入讨论求解即可．【解析】对于A选项，当时，的解集为，解集中有且只有整数解，满足题意，故A选项正确；对于B选项，当时，的解集为，解集中有且只有整数解，满足题意，故B选项正确；对于C选项，当时，的解集为，解集中有且只有整数解，不满足题意，故C选项错误；对于D选项，当时，的解集为，不满足题意，故D选项错误；故选AB6．解关于x的不等式：，则下列说法中正确的是A．当时，不等式的解集为B．当时，不等式的解集为或C．当时，不等式的解集为D．当时，不等式的解集为【试题来源】河北省石家庄市第一中学2021-2022学年高一上学期10月开学适应性测试【答案】AD【分析】当时，解一次不等式可判断A；求出不等式对应方程的两根，当时，讨论两根大小分别可得不等式的解集，可判断选项BCD，进而可得正确选项．【解析】对于A：当时，不等式为，解得，所以不等式的解集为，故选项A正确；对于B、C、D：由可得，对应方程的两根分别为，，当即时，原不等式解集为，当即时，原不等式的解集为，当时，，此时的解集为，故选项BC不正确，选项D正确，故选AD．7．已知不等式的解集为，则下列结论正确的是A． B．C． D．【试题来源】山东省师范大学附属中学2021-2022学年高一上学期第一次月考【答案】AD【分析】对A，根据一元二次不等式与一元二次函数的关系即可判断；对B，C，利用根与系数关系即可判断；对D，利用对应的二次函数最大值大于0，即可判断【解析】对A，不等式的解集为，故相应的二次函数的图象开口向下，即，故A正确；对B，C，由题意知和是关于的方程的两个根，则有，，又，故，故B，C错误；对D，对称轴为，由于函数开口向下，且存在大于0的部分故当，取得的最大值必大于0，故成立，故D正确．故选AD8．已知关于的不等式的解集为或，则A．B．不等式的解集是C．D．不等式的解集是或【试题来源】湖北省武汉市第十一中学2021-2022学年高一上学期第一次月考【答案】ABD【分析】由题意可知不等式对应的二次函数的图象的开口方向，−2和3是方程的两根，再结合根与系数关系可得b＝−a，c＝−6a，代入选项B和D，解不等式即可；当x＝1时，有a＋b＋c＜0，从而判断选项C．【解析】已知关于的不等式的解集为或则不等式对应的二次函数的图象的开口向上，所以a＞0，A正确又−2和3是方程的两根，所以−2＋3＝−，（−2）×3＝，所以b＝−a，c＝−6a，a＞0；不等式等价于a（x＋6）＜0，所以x＜−6，即选项B正确；因为不等式的解集为或，所以当x＝1时，有a＋b＋c＜0，即选项C错误；不等式等价于，即a（3x＋1）（2x−1）＞0，所以或，即选项D正确．故选ABD．9．已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是A．B．C．不等式的解集为或D．的最小值为6【试题来源】江苏省南京外国语学校2021-2022学年高一上学期10月月考【答案】BCD【分析】根据含参的一元二次不等式的解法，分析可得a的正负，即可判断A的正误；根据二次函数性质，可判断B的正误；根据根与系数的关系，可得且，代入所求，化简计算，即可判断C的正误；将代入，根据基本不等式，即可判断D的正误，即可得答案．【解析】A选项，依题可得函数开口向下与轴交点横坐标为2，3，故A错误；B选项，依题可得时，函数值小于0，即，故B正确；C选项，因为开口向下与轴交点横坐标为2，3，所以，即，且，所以不等式可化为，即，解集为或，故C正确；D选项，，当且仅当时，即时取等，故D正确．故选BCD．10．下列关于一元二次不等式叙述正确的是A．若一元二次不等式的解集为，则，且B．若，则一元二次不等式的解集与一元二次不等式的解集相等C．已知，关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是22D．若一元二次不等式的解集为R，且，则的最小值为3【试题来源】江苏省苏州十中2020-2021学年高二上学期10月阶段性检测【答案】AD【分析】根据一元二次不等式的性质，结合二次函数的图象与性质，逐项分析判断即可得解．【解析】对A，若一元二次不等式的解集为，则恒成立，所以，且，故A正确；对B，若和的符号相反，则两个一元二次不等式解集不同，故B错误；对C，设，有，解得，由，则，和为21，故C错误；对D，则有，，所以，令，则，，，当且仅当，即时取等号，故D正确．故选AD三、填空题1．已知关于x的不等式的解集为或，则b的值为___________．【试题来源】山东省青岛市青岛第五十八中学2021-2022学年高一上学期10月月考【答案】2【分析】由题意可得1和是方程的两个根，由根与系数的关系可得，从而可求出b的值【解析】因为关于x的不等式的解集为或，所以1和是方程的两个根，所以，解得，故答案为22．已知不等式的解集为，且，则___________．【试题来源】重庆市巴蜀中学2021-2022学年高一上学期第一次月考【答案】【分析】根据一元二次不等式解集的性质，结合一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行求解即可．【解析】因为不等式的解集为，所以方程有两个不相等的实根，即或，则有，即，或，而或，所以，故答案为3．已知函数在上具有单调性，求实数m的取值范围为___________．【试题来源】广东省东莞市东莞中学2020-2021学年高一上学期第一次月考【答案】【分析】求出函数的对称轴，根据二次函数的单调性求出的范围即可．【解析】对称轴，且图象开口向上．若函数在上具有单调性，则满足或，解得或；故答案为．4．不等式的解是___________．【试题来源】上海市进才中学2022届高三上学期10月月考【答案】【分析】利用二次函数和二次不等式的关系，结合二次函数的开口方向和零点，即得解【解析】由题意，，对应的二次函数开口向下，两个零点为，故不等式的解为，故答案为.5．关于x的一元二次方程2ax2﹣2x﹣3a﹣2＝0的一根大于1，另一根小于1，则实数a的取值范围是___________．【试题来源】上海市格致中学2021-2022学年高一上学期10月月考【答案】或【分析】由题意，函数2ax2﹣2x﹣3a﹣2与轴的交点一个在的左侧，一个在右侧，若，则；若，则，求解即可.【解析】设2ax2﹣2x﹣3a﹣2，由题意可得函数与轴的交点一个在的左侧，一个在的右侧，若，保证即可，则，又，，若，则即可，则，又，，综上，或，故答案为或.6．关于x的不等式的解集为R，则实数a的取值范围是___________．【试题来源】上海市格致中学2021-2022学年高一上学期10月月考【答案】【分析】的解集为转化为恒成立，根据判别式即可求出．【解析】的解集为，即，当时，即，不符合题意，当时，则，解得，综上所述实数的取值范围为．7．不等式的解集为___________．【试题来源】上海市奉贤区奉城高级中学2021-2022学年高一上学期10月月考【答案】【分析】由，可得或，从而可得答案．【解析】由，可得或，解得且，所以不等式的解集为．故答案为8．不等式对恒成立，则实数的取值范围是___________．【试题来源】黑龙江省大庆铁人中学2021-2022学年高一上学期第一次月考【答案】【分析】分离常数，把不等式对恒成立，转化为恒成立，结合二次函数的性质，即可求解，得到答案【解析】由题意，不等式对恒成立，即恒成立，设，由可得，所以，只需即的取值范围为故选B．9．设，函数若对任意实数，方程有两个相异的实根，则实数的取值范围是___________．【试题来源】广东省惠州市第一中学2021-2022学年高一上学期第一次月考【答案】【分析】根据方程有两个相异实根，利用判别式可转化为关于的不等式恒成立，即可求解．【解析】因为方程有两个相异的实根，即方程有两个相异的实根，所以，即对任意实数恒成立，所以，，求得．故答案为．10．已知不等式的解集是，则不等式的解集为___________．【试题来源】吉林省长春市第二中学2021-2022学年高一上学期第一次月考【答案】##【分析】根据不等式的解集求出a、b、c之间的关系，进而化简不等式，从而求出它的解集．【解析】由题意知，是一元二次方程的两个实数根，且a<0，所以，所以，解得，所以不等式的解集为．故答案为11．若函数的图象恒在直线上方，则实数的取值范围是___________．【试题来源】上海市奉贤中学2020-2021学年高一上学期10月月考【答案】【分析】由题意，可转化为恒成立问题来求解【解析】函数的图象恒在直线上方，则恒成立，（1）时，符合题意，所以成立，（2）时，则转化为恒成立，解得综上所述，实数的取值范围是12．若一元二次不等式组的解集为，则实数的取值范围为___________．【试题来源】上海市大同中学2020-2021学年高一上学期10月月考【答案】【分析】结合二次函数的性质，分，两种情况讨论求解即可．【解析】当时，开口向上，最小值为，并且不等式解集恰好为，根据根与系数关系得，，代入解得；当时，开口向下，最大值为，并且不等式解集恰好为，根据根与系数关系得，代入解得综上所述，，故答案为13．不等式的解集是___________．【试题来源】山东省日照实验高级中学2021-2022学年高一上学期第一次月考【答案】【分析】移项后可转化为一元二次不等式来求解．【解析】等价于即，故，故解集为．故答案为．14．已知方程的两个根分别为，则___________．【试题来源】上海师范大学第二附属中学2021-2022学年高一上学期第一次月考【答案】【分析】转化，结合根与系数关系即得解【解析】由题意，方程，，，，故答案为.15．若关于的不等式的解集是，则___________．【试题来源】河南省创新发展联盟2021-2022学年高一上学期第一次联考【答案】【分析】由一元二次不等式的解集，利用根于系数的关系即可得解．【解析】由题意知，是的两个根，则，解得．故故答案为．四、双空题1．设关于x的不等式，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则a的取值是________，全部不等式的整数解的和为________．【试题来源】河北省石家庄二中南校区2022届高三上学期第一次月考【答案】-2或-1或-2-10【分析】先确定，再利用0为其中的一个解，，可求出的值，从而可求出原不等式的解，由此确定不等式的整数解，从而可得出答案．【解析】若，则原不等式为，即，显然原不等式的整数解有无数个，不符合题意，故．设，其图象为抛物线，对于任意一个给定的值其抛物线只有在开口向下的情况下才能满足而整数解只有有限个，所以，因为0为其中一个解，所以，即，所以，又，所以或，若，则不等式为，解得，因为为整数，所以；若，则不等式为，解得，因为为整数，所以．所以全部不等式的整数解的和为．故答案为-2或-1；-10．2．已知定义在上的运算“”：，关于的不等式．（1）当时，不等式的解集为________；（2）若，不等式恒成立，则实数的取值范围是________．【试题来源】福建省连城县第一中学2021-2022学年高一10月第一次月考【答案】或【分析】（1）当时，不等式转化为，求解即可；（2）不等式转化为，由恒成立可转化为求的最小值即可求解．【解析】(1）当时，不等式为，即，解得，解集为(2）不等式为，即，不等式对恒成立，设，则只要，，，当或时，，所以，解得或，故答案为；或3．二元二次方程可以化成两个一次方程，那么这两个一次方程分别是________，________．【试题来源】北京市八一学校2021-2022学年高一上学期第一次月考【答案】【分析】利用主元法进行因式分解，便可得到两个方程．【解析】，，或．故答案为；．4．已知一元二次方程的两根分别是，，则=________；=________．【试题来源】北京市八一学校2021-2022学年高一上学期第一次月考【答案】【分析】利用根与系数关系以及即得解【解析】由题意，，由根与系数关系，，，故答案为，.5．已知，不等式的解集是，则b=________；若对于任意，不等式恒成立，则实数t的取值范围是________．【试题来源】广东省广大附2021-2022学年高一上学期10月月考【答案】t≤-2【分析】由不等式的解集是结合一元二次不等式的解集与对应的一元二次方程的解集的关系可得是的两根，由此可求，再由在上恒成立可得，由此可得t的范围．【解析】由不等式的解集是，可知和是方程的根，即解得，所以，所以不等式可化为，令，由二次函数的性质可知在上单调递减，则的最小值为，所以，故答案为4，．五、解答题1．已知关于的不等式：．（1）当时解不等式；（2）当时解不等式．【试题来源】江苏省镇江市第一中学2021-2022学年高一上学期10月月考【答案】（1）或；（2）见解析【分析】（1）对分类讨论即可得解；（2）对分类讨论解二次不等式，即可得解．【解析】（1）当时，不等式，即，，当时，不等式不成立；当时，，解得，所以；当时，，解