专题2.2 基本不等式（解析版）

专题2.2基本不等式1．基本不等式：（1）基本不等式成立的条件：.（2）等号成立的条件，当且仅当时取等号．2．算术平均数与几何平均数设，则a、b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3．利用基本不等式求最值问题（1）积xy是定值P，当且仅当时，x＋y有最小值是.(简记：积定和最小)（2）和x＋y是定值P，当且仅当时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)4．常用结论（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7）5．利用基本不等式求最值的常用技巧（1）若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式．（2）若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等．常见的变形手段有拆、并、配.①拆——裂项拆项：对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件．②并——分组并项：目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先由一组应用基本不等式，再组与组之间应用基本不等式得出最值．③配——配式配系数：有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值.（3）若一次应用基本不等式不能达到要求，需多次应用基本不等式，但要注意等号成立的条件必须要一致.注：若可用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用函数单调性求解.一、单选题1．已知两个正数满足，则的最小值A．3 B．6C． D．【试题来源】北京师范大学附属中学2021-2022学年高一10月月考【答案】B【分析】直接由基本不等式可得．【解析】，当且仅当时取等号，所以的最小值为6，故选2．设，则函数的最小值为A．10 B．9C．8 D．7【试题来源】内蒙古鄂尔多斯市第一中学2021-2022学年高二上学期第一次月考（理）【答案】B【分析】利用换元法令，可将整个式子化简成关于t的函数，分子分母再分别除以t，得到关于t的一个对勾函数，再利用对勾函数的性质求解．【解析】令，则，因为，所以．所以，当且仅当时，有最小值9．故选B．3．下列说法中正确的是A．当时， B．当时，的最小值是2C．当时，的最小值是5 D．若，则的最小值为【试题来源】江苏省南京师范大学附属中学2020-2021学年高一上学期10月月考【答案】A【分析】根据基本不等式适用的条件“一正二定三相等”依次讨论各选项即可求得答案．【解析】对于A选项，时，，当且仅当即时取等号，A正确；对于B选项，当时，单调递增，故，没有最小值，B错误；对于C选项，可得，，即最大值为1，没有最小值，C错误；对于D选项，，不是定值，D不正确．故选A．4．已知且，则的最小值为A．3 B．4C．5 D．6【试题来源】江苏省南京师范大学附属中学2020-2021学年高一上学期10月月考【答案】A【分析】根据题意，只需求的最小值，再根据基本不等式求解即可．【解析】因为且，所以．当且仅当即时取等号，此时取得最小值小3．故选A．5．设某同学从甲地到乙地往返的速度分别为和，其全程的平均速度为，则A． B．C． D．【试题来源】河南省豫西名校2021-2022学年高一上学期第一次联考【答案】D【分析】设甲、乙两地之间的距离为，可求得，知A错误；利用基本不等式可求得，知BC错误；利用作差法可求得，知D正确．【解析】设甲、乙两地之间的距离为，则全程所需的时间为，，A错误；，由基本不等式可得，，BC错误；，，则，D正确．故选D．6．下列结论正确的是①当时，②当时，的最小值是2③当时，的最大值是④设且x+y＝2，则的最小值是A．①②④ B．①③④C．①③ D．①④【试题来源】河南省洛阳市第一高级中学2021-2022学年高一上学期9月月考【答案】D【分析】运用基本不等式逐一判断即可．【解析】对于①：时，，当且仅当x＝1时，取等号，所以①正确；对于②：时，设（t≥2），则x2+5＝t2+1，原式转化为，当且仅当t＝1时，取等号，由于t≥2，取不到最小值，所以②不对；对于③：时，，当且仅当x时，取等号，即最大值是，所以③不对；对于④：x+y＝2，可得，则（）（），当且仅当x，y时，取等号，即最小值是，所以④正确；故选D．7．，不等式恒成立，则实数m的取值范围是A． B．C． D．【试题来源】北京师范大学附属中学2021-2022学年高一10月月考【答案】D【分析】不等式化为，利用基本不等式的性质可得的最小值，即可得出．【解析】不等式化为，，，当且仅当时取等号．不等式对一切恒成立，，解得，故选．8．若直线过点，则的最大值等于A．2 B．3C．4 D．5【试题来源】甘肃省永昌县第一高级中学2021-2022学年高二上学期第一次月考（文）【答案】C【分析】根据题意得到，分类讨论，结合基本不等式，即可求解．【解析】由题意，直线过点，可得，当，此时；当，此时；当时，可得，当且仅当时，等号成立，综上可得，的最大值为．故选C．9．已知，且，则的最小值为A． B．C．4 D．3【试题来源】福建省三明第一中学2021-2022学年高一上学期第一次月考【答案】A【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解析】因为，，，则，当且仅当且即，时取等号．故选A．10．已知x，y均为正数，且满足，则的最大值为A． B．2C． D．【试题来源】广西浦北中学2021-2022学年高一上学期第一次月考【答案】B【分析】直接根据基本不等式即可求出的最大值．【解析】因为，，所以，即，所以，即．当且仅当且，即，时取等号，所以的最大值为2．故选B．11．已知，则的最小值为A．25 B．26C．27 D．28【试题来源】北京市第十二中学2022届高三10月月考【答案】A【解析】因为，所以，当且仅当，即时等号成立．故选A．12．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是A． B．C． D．【试题来源】海南省海口市海南昌茂花园学校2022届高三上学期第一次月考【答案】D【分析】利用基本不等式可求得的最小值，由此可得的范围．【解析】当时，（当且仅当时取等号），，即的取值范围为．故选D．13．拟设计一幅宣传画，要求画面（小矩形）面积为，它的两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白．当宣传画所用的纸张（大矩形）面积最小时，画面的高是（）．A．48 B．60C．78 D．88【试题来源】福建省福州外国语学校2021-2022学年高一10月月考学情评价一【答案】D【分析】设画面边长为，利用基本不等式求解纸张面积的最值，从而确定画面的高．【解析】设画面边长为，其中是画面的高，则，纸张面积为，仅当，即时等号成立．所以当宣传画所用的纸张（大矩形）面积最小时，画面的高是．故选D14．在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例．在西方，最早提出并证明此定理的为公元前世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和．若一个直角三角形的斜边长等于则这个直角三角形周长的最大值为A． B．C． D．【试题来源】河南省创新发展联盟2021-2022学年高一上学期第一次联考【答案】C【分析】设直角三角形的两条直角边边长分别为，则，根据基本不等式求出的最大值后，可得三角形周长的最大值．【解析】设直角三角形的两条直角边边长分别为，则．因为，所以，所以，当且仅当时，等号成立．故这个直角三角形周长的最大值为故选C15．若，则的最大值是A． B．C． D．【试题来源】金太阳2021-2022学年高一上学期10月月考【答案】B【分析】将所求的代数式整理为，再利用基本不等式即可求解．【解析】因为，所以，，当且仅当，即时，等号成立，故选B．16．已知，，且，则的最小值为A． B．C． D．【试题来源】四川省内江市第六中学2021-2022学年高三上学期第二次（9月）月考（文）【答案】C【分析】根据，，且，结合“1”的代换，利用基本不等式求解．【解析】因为，，且，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为4故选C17．若，且恒成立，则实数m的取值范围是A． B．C． D．【试题来源】广东省广州市第四中学2021-2022学年高一上学期10月月考【答案】D【分析】结合“1”的代换，利用基本不等式求得的最小值后可得的范围．【解析】因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以．即的范围是．故选D．18．若，则当取得最大值时，x的值为A．1 B．C． D．【试题来源】广东省广州市第一中学2021-2022学年高一上学期10月月考【答案】D【分析】根据基本不等式即可得到答案．【解析】因为，所以，则，当且仅当时取“=”．故选D．19．已知，若不等式恒成立，则实数的取值范围是A． B．C． D．【试题来源】河南省驻马店市西平县高级中学2021-2022学年高一上学期10月月考【答案】C【分析】不等式恒成立，转化为，利用基本不等式求实数的取值范围．【解析】因为，所以不等式恒成立，即，当时，即时，等号成立，所以．故选C20．若，，且，则A．有最大值1 B．有最小值1C．有最大值 D．有最小值【试题来源】河南省豫西名校2021-2022学年高一上学期第一次联考【答案】B【分析】借助均值不等式，可得可判断C，D；又结合，可判断A，B【解析】由，得，当且仅当时等号成立，即所以，故C，D错误，由，，得，当且仅当时等号成立，故A错误，B正确，故选B21．已知a>0，b>0，a+3b﹣ab=0，若不等式m≤a+3b﹣1恒成立，则m的最大值为A．11 B．15C．26 D．3﹣1【试题来源】福建省福州市闽侯县第一中学2021-2022学年高一上学期第一次月考【答案】A【分析】将用表示，代入，变形后利用基本不等式求出最小值，利用恒成立求出的范围，可得结果．【解析】由得，因为，所以，所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以，所以的最大值为．故选A22．已知对，不等式恒成立，则实数的最大值是A．1 B．2C．3 D．不存在【试题来源】北京市对外经济贸易大学附属中学2022届高三10月月考【答案】D【分析】将已知转化为对，不等式恒成立，利用基本不等式可知恒成立，即可得到答案．【解析】对，不等式恒成立，可化为恒成立，利用基本不等式知，当且仅当，即时等号成立，即恒成立，即实数m的最大值不存在．故选D23．已知，且，则的最小值为A．4 B．3C．2 D．1【试题来源】山西省运城市教育发展联盟2021-2022学年高一上学期10月月考【答案】C【分析】利用已知条件将化为积为定值的形式，再根据基本不等式可求出结果．【解析】，当且仅当，即，又，所以时，等号成立．故选C24．若正实数x，y满足，则的最小值为A．8 B．9C．10 D．11【试题来源】山东省济南市章丘区第四中学2021-2022学年高一上学期第一次质量检测【答案】B【分析】对等式进行变形，再根据基本不等式进行求解即可．【解析】因为，则，又，是正数．所以，当取得等号，即且时取等号，所以的最小值为9，故选B．25．对于任意a，b∈R，下列不等式一定成立的是A． B．C． D．2【试题来源】山东省日照实验高级中学2021-2022学年高一上学期第一次月考【答案】D【分析】当时，可判断A；当时，可判断B；当时，可判断C；利用均值不等式，可判断D．【解析】选项A：当时，，，不成立，故A错误；选项B：当时，，，不成立，故B错误；选项C：当时，，不成立，故C错误；选项D：由有意义，故，因此由均值不等式，，当且仅当，即时等号成立故D正确，故选D二、多选题1．已知正数a，b，则下列说法正确的是A．的最小值为2 B．C． D．【试题来源】江苏省星海中学2021-2022学年高一上学期十月月考【答案】BC【分析】由基本不等式和重要不等式逐一判断选项，讨论等号成立的条件可得结果．【解析】A选项：，当且仅当时等号成立，而，故“等号”不成立，A不正确；B选项：，当且仅当时等号成立，故B正确；C选项：，当且仅当时等号成立，故C正确；D选项：，当且仅当时等号成立，故D不正确；故选BC2．设，且，那么A．有最小值 B．有最大值C．有最大值 D．有最小值【试题来源】贵州省黎平一中2021-202学年度高一上学期第一次月考试题【答案】AD【分析】结合基本不等式对选项进行分析，由此确定正确选项．【解析】由，得，得，则有，解得或（舍），即（当且仅当时取等号），A正确，B错误．由，得，即或（舍去），（当且仅当时取等号），有最小值，D正确，C错误．故选AD3．下列结论正确的是A．当x≠0时，x+≥2 B．当x>0时，+≥2C．当x≥2时，x+的最小值为2 D．当x<1时，x+有最大值【试题来源】福建省福州市闽侯县第一中学2021-2022学年高一上学期第一次月考【答案】BD【分析】利用基本不等式求最值的三个条件“一正、二定、三相等”逐个分析可得答案．【解析】对于A，当时，不成立，故A不正确；对于B，当时，，当且仅当时，等号成立，故B正确；对于C，当时，由，当且仅当时，等号成立，而，所以等号取不到，故C不正确；对于D，当时，，当且仅当时，等号成立，所以有最大值，故D正确．故选BD4．已知关于，且．下列不等式正确的是A．若，则 B．若，则C． D．【试题来源】山东省东营市广饶县第一中学2021-2022学年高三上学期10月月考【答案】BD【分析】利用不等式的性质可判断A、B的对错；利用基本不等式可判断C、D的对错．【解析】对于A：当时，不等式显然不成立，故A错误．对于B：因为且，所以且，所以且，所以，故B正确．对于C：因为，所以，当且仅当时等号成立，故C错误．对于D：因为，所以，所以，当且仅当时等号成立，故D正确．故选BD5．设，，且不等式恒成立，则实数可取A．0 B．4C．-4 D．5【试题来源】江西省临川第一中学2021-2022学年高一年级上学期第一次月考【答案】ABCD【分析】将，不等式恒成立，转化为，不等式恒成立，用基本不等式求得的最大值即可．【解析】因为，不等式恒成立，所以，不等式恒成立，令，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为-4，所以，所以实数可取，，，5故选ABCD6．下列结论中正确的是A．的最小值为2 B．，C．当时，的最大值为 D．若，则【试题来源】广东省揭阳普宁市华侨中学2021-2022学年高一上学期第一次月考【答案】CD【分析】根据基本不等式成立的条件及性质逐一判断即可．【解析】A：显然当时，，因此最小值不可能为2，故本结论不正确；B：因为不成立，所以，故本结论不正确；C：因为，所以，当且仅当时取等号，故本结论正确；D：因为，所以由，故本结论正确，故选CD7．下列各式中，最小值是的有A． B．C． D．【试题来源】金太阳2021-2022学年高一上学期10月月考【答案】AD【分析】利用基本不等式逐一求解即可．【解析】，当且仅当，即时，等号成立，则A符合题意；当时，，则B不符合题意；，此时无解，即，则C不符合题意；因为，所以，仅当时，等号成立，则D符合题意．故选AD8．已知正实数，满足，下列说法正确的是A．的最大值是 B．的最大值是C．的最小值是 D．的最小值是【试题来源】山东省2021-2022学年高三10月“山东学情”联考A【答案】AD【分析】由已知等式可求得的范围，利用的范围和基本不等式依次判断各个选项可得到结果．【解析】，，，，解得，；对于A：，即，解得（当且仅当，时取最大值），正确；对于B：（当且仅当，时取最大值），错误；对于C：，错误；对于D：（当且仅当，取最小值），正确．故选AD．9．下列说法错误的是A．的最小值为2 B．的最小值为2C．的最大值为2 D．最小值为2【试题来源】山东省济南市章丘区第四中学2021-2022学年高一上学期第一次质量检测【答案】ACD【分析】利用不等式的性质、基本不等式及成立条件即可判断．【解析】对于A，当时，，故错误；对于B，，当且仅当即时取等号，故正确；对于C，，故错误；对于D，，当且仅当，此时不存在，故错误．故选ACD．10．设a0，b0，且不等式＋＋≥0恒成立，则实数k的取值可以是A． B．C． D．【试题来源】山东省日照实验高级中学2021-2022学年高一上学期第一次月考【答案】CD【分析】由题设有k≥－恒成立，利用基本不等式求不等式右边的最大值，即可确定实数k的范围，结合选项即知可能取值．【解析】由＋＋≥0得k≥－，而＝＋＋2≥4(a＝b时取等号)，所以－≤－4，要使k≥－恒成立，则k≥－4．故选CD．三、填空题1．若，，且，则的最小值是____________．【试题来源】天津市南开中学2022届高三上学期第一次月考【答案】【分析】利用基本不等式得，再解不等式可得结果．【解析】因为（当且仅当时，等号成立），所以，所以，所以，所以，所以的最小值为．故答案为2．已知，求函数的最小值是____________．【试题来源】海南省海口市海南昌茂花园学校2022届高三上学期第一次月考【答案】2【分析】由，得，利用基本不等式即可得出答案．【解析】因为，所以，则，当且仅当，即时，取等号．故答案为2．3．设，，，存在实数m，使得成立，则实数m的取值范围____________．【试题来源】福建省三明第一中学2021-2022学年高一上学期第一次月考【答案】【分析】由题可知，利用基本不等式即求．【解析】因为，，，所以，当且仅当即取等号，又存在实数m，使得成立，所以．故答案为．4．宁夏六盘山高级中学高二年级部为了更好的督促本年级学生养成节约用水、珍惜粮食、爱护公物的良好习惯，现要设计如图所示的一张矩形宣传海报，该海报含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60000，四周空白的宽度为10，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5．怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形海报面积最小，其最小值是____________．【试题来源】宁夏六盘山高级中学2021-2022学年高二上学期第一次月考（文）【答案】【分析】设矩形栏目的高为，宽为，则，整个矩形海报面积，展开后利用基本不等式求最值即可求解．【解析】设矩形栏目的高为，宽为，由题意可得，所以，即，所以该海报的高为，宽为，即，所以整个矩形海报面积，当且仅当即时等号成立，所以当广告栏目的高为，宽为时，能使整个矩形海报面积最小，其最小值是，故答案为．5．已知正实数，满足，且恒成立，则的取值范围是____________．【试题来源】金太阳2021-2022学年高一上学期10月月考【答案】【分析】由可得，然后利用基本不等式可求出的最小值，从而可求出的最大值为1，进而解不等式可得结果【解析】由，得．因为，所以，所以，则，当且仅当时，等号成立，故．因为恒成立，所以，解得或．故答案为6．已知正数满足则的最小值是____________．【试题来源】江苏省新实2020-2021学年高二上学期期中【答案】【分析】利用基本不等式可得，从而可得，即可求解．【解析】，又均为正数，，当且仅当时取等号，，，即．故的最小值是．故答案为7．当时，不等式恒成立，则实数的最大值是____________．【试题来源】广东省广州市第六十五中学2021-2022学年高一上学期10月月考【答案】【分析】利用基本不等式求出的最小值，由此可得出实数的最大值．【解析】当时，，则，当且仅当时，等号成立，因为当时，不等式恒成立，则．故答案为．8．已知，当取最小值时，x的值为____________．【试题来源】广东省广州市真光中学2021-2022学年高一上学期10月月考【答案】2【分析】由基本不等式求最小值可得结论．【解析】因为，所以．所以，当且仅当，即时等号成立．故答案为2．9．已知，求的最大值____________．【试题来源】吉林省长春市第二中学2021-2022学年高一上学期第一次月考【答案】【分析】由，得，将配凑为，利用基本不等式即可求解．【解析】因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为，故答案为．10．已知，，且，则的最小值为____________．【试题来源】【一隅三反】2022年高考数学一轮复习（新高考地区专用）【答案】【分析】首先变量替换为，变形后得，再利用换元，结合基本不等式求最值．【解析】因为，所以，因为，，所以，得，所以，记，所以，所以，且，所以，当且仅当即等号成立，此时，．故答案为11．是不同时为0的实数，则的最大值为____________．【试题来源】江苏省南通市如东高级中学2021-2022学年高一上学期10月阶段测试一【答案】【分析】先变形得，再利用重要不等式得到，，代入即可求解．【解析】，，当且仅当时取等号，所以的最大值为．故答案为．12．若不等式对一切正实数恒成立，则实数的最小值为____________．【试题来源】河南省郑州市第二高级中学2021-2022学年高一上学期10月月考【答案】2【分析】将给定恒成立的不等式分离参数，再利用均值不等式求的最大值即可．【解析】因，则，而，当且仅当时取“=”，则，所以实数的最小值为2．故答案为213．设则的最小值为____________．【试题来源】辽宁省抚顺市第六中学2020-2021学年高一上学期期末【答案】##【分析】利用换元法，令将所给的代数式进行变形，然后利用均值不等式即可求得最小值．【解析】由，可得．可令，即，则，当且仅当，时，等号成立．故答案为．14．已知正实数x，y满足，则的最小值为____________．【试题来源】江苏省星海中学2021-2022学年高一上学期十月月考【答案】【分析】由条件可得且，利用基本不等式求解即可【解析】由得，又，为正实数，所以，得，则，，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故答案为15．已知，，当最小时，恒成立，则的取值集合是____________．【试题来源】河南省创新发展联盟2021-2022学年高一上学期第一次联考【答案】或【分析】由，结合基本不等式可得最小时为1，进而得，利用二次函数得最大值，进而得，从而得解．【解析】可化为当且仅当时，等号成立，此时，，即．因为，所以即或．故答案为或．四、双空题1．已知，，当取得____________时；取得最小值为____________．【试题来源】云南省峨山彝族自治县第一中学2021-2022学年高一9月月考【答案】615【分析】利用基本不等式可求函数的最小值．【解析】，因为，故，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，故当时，取得最小值15．故答案为．2．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=____________吨，和最小值为____________．【试题来源】江苏省南通市如皋市第一中学2020-2021学年高一上学期调研测试1【答案】20160【分析】根据题意先表示出购买次数，然后表示出总运费与总存储费用之和，再利用基本不等式求解出最小值．【解析】设一年总费用为y万元，每年购买次数为次，则(万元)，当且仅当，即时等号成立，故．故答案为20；160．3．已知正数满足，则____________时，有最小值为____________．【试题来源】浙江省金华市方格外国语学校2020-2021学年高二下学期4月月考【答案】【分析】正数满足，利用“1”的代换，将已知转化为，再利用基本不等式求解即可．【解析】因为正数满足，，当且仅当，即，时取等号，所以所求的最小值为．故答案为，4．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图．为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片（如图中阴影部分）以作备用，则截取的矩形面积最大值为____________，此时的值为____________．【试题来源】广东省东莞市东莞高级中学2020-2021学年高一上学期第一次月考【答案】【分析】根据图形先确定出之间的等量关系，然后利用基本不等式求解出面积的最大值，并根据取等条件计算出此时的值．【解析】设截取的矩形面积为，则，如图所示，因为，所以，所以，化简可得，即，所以，取等号时，即，所以面积最大值为，此时，故答案为；．5．当时，则当x=____________时，取得最小值为____________．【试题来源】山东省济南市章丘区第四中学2021-2022学年高一上学期第一次质量检测【答案】15【分析】对进行化简，得到基本不等式形式，根据基本不等式，得到答案．【解析】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立．故答案为1；5．五、解答题1．某企业准备投入适当的广告费对某产品进行促销，在一年内预计销售量Q（万件）与广告费x（万元）之间的关系式为．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需再投入32万元，若该企业产能足够，生产的产品均能售出，且每件销售价