数学（文科）总复习演练提升同步测评直线、平面垂直的判定与性质

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精A组专项基础训练（时间：40分钟）1．已知平面α⊥平面β,α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l,直线AC⊥l,直线m∥α,m∥β，则下列四种位置关系中,不一定成立的是(）A．AB∥mB．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β【解析】如图所示，AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m;AB∥l⇒AB∥β，只有D不一定成立，故选D.【答案】D2．在空间内,设l，m，n是三条不同的直线，α,β，γ是三个不同的平面,则下列命题中为假命题的是()A．α⊥γ，β⊥γ,α∩β＝l,则l⊥γB．l∥α，l∥β,α∩β＝m,则l∥mC．α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，若l∥m，则l∥nD．α⊥γ，β⊥γ,则α⊥β或α∥β【解析】对于A，∵如果两个相交平面均垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，∴该命题是真命题；对于B，∵如果一条直线平行于两个相交平面，那么该直线平行于它们的交线，∴该命题是真命题；对于C，∵如果三个平面两两相交,有三条交线，那么这三条交线交于一点或相互平行，∴该命题是真命题；对于D,当两个平面同时垂直于第三个平面时，这两个平面可能不垂直也不平行，∴D是假命题．综上所述，选D.【答案】D3．（2017·天津滨海新区模拟）如图,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD⊥AC；②△BAC是等边三角形；③三棱锥D。ABC是正三棱锥；④平面ADC⊥平面ABC。其中正确的是（）A．①②④B．①②③C．②③④D．①③④【解析】由题意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三角形,②正确；易知DA＝DB＝DC，又由②知③正确;由①知④错．故选B。【答案】B4．（2015·福建）若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m"是“l∥α”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】m垂直于平面α,当l⊂α时，也满足l⊥m，但直线l与平面α不平行，∴充分性不成立，反之,l∥α，一定有l⊥m,必要性成立．故选B.【答案】B5．（2017·青岛质检)设a，b是两条不同的直线,α，β是两个不同的平面,则能得出a⊥b的是（)A．a⊥α,b∥β,α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β【解析】对于C项，由α∥β,a⊂α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b,故选C.【答案】C6．(2017·吉林实验中学）设a，b，c是空间的三条直线，α,β是空间的两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（）A．当c⊥α时，若c⊥β,则α∥βB．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥βC．当b⊂α,且c是a在α内的射影时,若b⊥c，则a⊥bD．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c【解析】A的逆命题为：当c⊥α时,若α∥β，则c⊥β。由线面垂直的性质知c⊥β，故A正确；B的逆命题为:当b⊂α时，若α⊥β，则b⊥β，显然错误，故B错误；C的逆命题为：当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若a⊥b，则b⊥c.由三垂线逆定理知b⊥c，故C正确；D的逆命题为：当b⊂α,且c⊄α时，若b∥c,则c∥α.由线面平行判定定理可得c∥α,故D正确．【答案】B7．如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点,E,F分别是点A在PB，PC上的射影,给出下列结论:①AF⊥PB;②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC。其中正确结论的序号是________．【解析】由题意知PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC.又AC⊥BC，且PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC,∴BC⊥AF.∵AF⊥PC,且BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB,又AE⊥PB,AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF。故①②③正确．【答案】①②③8．(2017·福建四地六校月考）点P在正方体ABCD­A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个命题：①三棱锥A­D1PC的体积不变;②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1。其中正确的命题序号是________．【解析】由题意可得直线BC1平行于直线AD1，并且直线AD1⊂平面AD1C，直线BC1⊄平面AD1C，所以直线BC1∥平面AD1C.所以点P到平面AD1C的距离不变，VA.D1PC＝VP。AD1C，所以体积不变．故①正确;连接A1C1，A1B，可得平面AD1C∥平面A1C1B.又因为A1P⊂平面A1C1B，所以A1P∥平面ACD1，故②正确;当点P运动到B点时，△DBC1是等边三角形，所以DP不垂直于BC1。故③不正确；因为直线AC⊥平面DB1，DB1⊂平面DB1.所以AC⊥DB1。同理可得AD1⊥DB1.所以可得DB1⊥平面AD1C.又因为DB1⊂平面PDB1。所以可得平面PDB1⊥平面ACD1。故④正确．综上，正确的序号为①②④。【答案】①②④9．（2017·郑州模拟)如图,已知三棱柱ABC。A′B′C′的侧棱垂直于底面，AB＝AC,∠BAC＝90°，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．（1)证明:MN∥平面AA′C′C;(2）设AB＝λAA′，当λ为何值时，CN⊥平面A′MN,试证明你的结论．【解析】(1)证明如图，取A′B′的中点E，连接ME,NE。因为M，N分别为A′B和B′C′的中点，所以NE∥A′C′,ME∥AA′.又A′C′⊂平面AA′C′C，A′A⊂平面AA′C′C，所以ME∥平面AA′C′C，NE∥平面AA′C′C，所以平面MNE∥平面AA′C′C,因为MN⊂平面MNE,所以MN∥平面AA′C′C。(2)连接BN,设AA′＝a，则AB＝λAA′＝λa，由题意知BC＝eq\r（2)λa，CN＝BN＝eq\r(a2＋\f(1，2）λ2a2），因为三棱柱ABC.A′B′C′的侧棱垂直于底面，所以平面A′B′C′⊥平面BB′C′C,因为AB＝AC，点N是B′C′的中点，所以A′N⊥平面BB′C′C,所以CN⊥A′N，要使CN⊥平面A′MN，只需CN⊥BN即可，所以CN2＋BN2＝BC2，即2eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(a2＋\f（1，2）λ2a2）)＝2λ2a2，解得λ＝eq\r(2），故当λ＝eq\r(2)时，CN⊥平面A′MN.10．(2016·江苏)如图,在直三棱柱ABC。A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1。求证：（1)直线DE∥平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F.【证明】（1）在直三棱柱ABC。A1B1C1中，A1C1∥AC.在△ABC中,因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE∥AC，于是DE∥A1C1。又因为DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，所以直线DE∥平面A1C1F。(2）在直三棱柱ABC。A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1.因为A1C1⊂平面A1B1C1,所以A1A⊥A1C1.又因为A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1,A1B1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.因为B1D⊂平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D.又因为B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F.因为直线B1D⊂平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C1F。B组专项能力提升(时间：30分钟)11．（2017·贵州模拟）如图，已知P是矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，E,F分别是AB，PC的中点．若∠PDA＝45°，则EF与平面ABCD所成角的大小是(）A．90°B．60°C．45°D．30°【解析】取PD的中点G,连接AG，FG。∵E，F分别为AB，PC的中点，∴AE＝eq\f(1,2)AB,GF∥DC且GF＝eq\f(1,2)DC.又在矩形ABCD中AB∥CD且AB＝CD，∴AE∥GF且AE＝GF,∴四边形AEFG是平行四边形，∴AG∥EF，∴AG与平面ABCD所成的角等于EF与平面ABCD所成的角．过G作GH⊥AD，垂足为H，则GH∥PA.∵PA⊥平面ABCD，∴GH⊥平面ABCD，∴∠GAH为AG与平面ABCD所成的角,即为所求角．∵∠PDA＝45°，G为PD的中点，∴∠GAH＝45°,即EF与平面ABCD所成的角为45°,故选C.【答案】C12．设α,β是空间两个不同的平面,m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论,写出你认为正确的一个命题：________（用代号表示）．【解析】逐一判断．若①②③成立，则m与α的位置关系不确定，故①②③⇒④错误；同理①②④⇒③也错误；①③④⇒②与②③④⇒①均正确．【答案】①③④⇒②（或②③④⇒①）13．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β,且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α,β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中,真命题有________个．【解析】若α，β换为直线a，b，则命题化为“a∥b，且a⊥γ⇒b⊥γ”，此命题为真命题；若α，γ换为直线a，b,则命题化为“a∥β,且a⊥b⇒b⊥β”，此命题为假命题；若β，γ换为直线a，b,则命题化为“a∥α，且b⊥α⇒a⊥b”，此命题为真命题．【答案】214．（2017·浙江温州一模)如图，在三棱锥D­ABC中,DA＝DB＝DC,D在底面ABC上的射影为E,AB⊥BC，DF⊥AB于点F.（1)求证:平面ABD⊥平面DEF；(2）若AD⊥DC,AC＝4，∠BAC＝60°,求直线BE与平面DAB所成角的正弦值．【解析】（1)证明由题意知DE⊥平面ABC，∴AB⊥DE。又AB⊥DF，DE∩DF＝D，∴AB⊥平面DEF。∵AB⊂平面ABD,∴平面ABD⊥平面DEF。（2)如图，由DA＝DB＝DC知EA＝EB＝EC，∴E是△ABC的外心．又∵AB⊥BC，∴E为AC的中点，过E作EH⊥DF于点H，连接BH，则由（1）知EH⊥平面DAB，∴∠EBH即为BE与平面DAB所成的角．由AC＝4，AD⊥DC，∠BAC＝60°，得DE＝2,EF＝eq\r(3），∴DF＝eq\r（7)，EH＝eq\f(2\r(3)，\r（7）），∴sin∠EBH＝eq\f(EH，BE)＝eq\f（\r(21)，7）。故直线BE与平面DAB所成角的正弦值为eq\f（\r（21),7).15．(2017·深圳模拟）如图，在四棱锥P­ABCD中,底面ABCD为菱形，PB⊥平面ABCD。(1)若AC＝6，BD＝8,PB＝3,求三棱锥A。PBC的体积；(2)若点E是DP的中点，证明：BD⊥平面ACE.【解析】（1）∵四边形ABCD为菱形，∴BD与AC相互垂直平