数学达标训练：6三角函数模型的简单应用

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精更上一层楼基础•巩固1。若函数f(x）=3sin(ωx+φ)对任意实数x，都有f（x+)=f（—x)，则f(）等于()A。0B。3C.-3D。3或-3思路分析:由f（x+)=f（—x)，可知函数f(x）关于直线x=对称,所以f（）=±3.答案：D2.设函数y=sin（ωx+φ)+1(ω＞0)的一段图象如图1—611所示，则周期T、初相φ的值依次为(）A。π，B.2π,C.π,D.2π，图1-6—11思路分析：T=2（-)=π,所以此时y=sin（2x+φ）+1，因为(,0）是使函数f(x)=sin(2x+φ）取最小值的点，所以2x+φ=+2kπ，φ=-2×—+2kπ=+2kπ，k∈Z,可取φ=.答案：C3.已知函数y=f（x)的图象如图1—6-12，则函数y=f（—x)sinx在[0,π］上的大致图象是(）图1-6-12图1思路分析：当0＜x＜时，0＜-x＜，显然y=f(-x）sinx＞0,排除C、D；当＜x＜π时，,显然y=f(-x）sinx＜0，排除B.所以只有A符合题意。答案：A4。已知函数f（x）=的图象上相邻的一个最大值与一个最小值点恰好在圆x2+y2=k2上，则f(x)的最小正周期是(）A.1B。2C思路分析：由三角函数的周期性可知点(）在圆x2+y2=k2上，所以.解得k=±2。此时,函数的最小正周期是。答案：D5.函数y=sin（2x+）与y轴最近的对称轴方程是K__________。思路分析：函数y=sin（2x+)的对称轴方程是2x+=kπ+，即x=kπ+，k∈Z,显然k=0时,x=，它离y轴最近。答案：x=6。函数y=sin(kx+)的周期为T,且T∈（1,3),则最大正整数k=___________。思路分析：由题意可知1＜＜3,因为k∈N，所以k=3，4，5，6.此时k=6。答案：6综合•应用7.已知函数f（x）=Asin(ωx+φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜)的图象在y轴上的截距为1,它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（x0，2）和（x0+3π，-2).(1）求f（x）的解析式；(2)将y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，然后再将所得图象向x轴正方向平移个单位，得到函数y=g（x)的图象。写出函数y=g（x）的解析式并用列表作图的方法画y=g（x）在长度为一个周期的闭区间上的图象.解：(1）由题意可知A=2，T=2[（x0+3π)—x0］=6π。又由ω＞0，=6π，得ω=，此时f(x)=2sin（x+φ)。又因为该函数经过点（0，1),所以2sinφ=1，即sinφ=因为|φ|＜，所以φ=.所以f（x）=2sin（x+).（2）由题意知g（x)=2sin（x—)，该函数的周期T=2π,我们先画出它在长度为一个周期的闭区间上的简图.列表：xx-0π2π2sin(x-）020—20描点画图：图18。设函数f（x)=sin(ωx+φ)（），ω＞0，给出以下四个论断：①它的图象关于直线x=对称；②它的图象关于点(,0)对称;③它的周期是π；④它在区间［，0］上是增函数.以其中的两个论断作为条件，余下的两个论断作为结论，写出你认为正确的两个命题，并对其中一个命题加以证明。解：由题可知：若①③成立，则②④成立；若②③成立,则①④成立.现在我们以①③为条件求出函数解析式,证明②④成立.因为该函数的周期是π，所以ω==2。又因为该函数关于直线x=对称，所以当x=时,y取最值。由sin(2×+φ)=1或sin(2×+φ）=—1，,得φ=。所以f(x）=sin（2x+).当x=时，因为f（）=sin（2×+)=sinπ=0，所以②成立;当x∈[—，0］时,因为（2x+）∈[0,］，所以f（x）=sin(2x+）是增函数，即④成立，即若①③成立，则②④成立.回顾•展望9.（2006海南统考）设关于x的方程sin（2x+)=在［0，］内有两个不同根α、β,求α+β的值及k的取值范围.思路分析：可在同一坐标系中画出函数y=sin(2x+)及的图象,借助于图象的直观性求解.解：设C：y=sin(2x+)，l：，在同一