2022届高考数学一轮复习-课后限时集训数列的概念与简单表示法北师大版

2022届高考数学一轮复习课后限时集训数列的概念与简单表示法北师大版2022届高考数学一轮复习课后限时集训数列的概念与简单表示法北师大版PAGE2022届高考数学一轮复习课后限时集训数列的概念与简单表示法北师大版2022届高考数学一轮复习课后限时集训数列的概念与简单表示法北师大版年级：姓名：课后限时集训(三十七)数列的概念与简单表示法建议用时：40分钟一、选择题1．已知数列eq\r(3)，eq\r(5)，eq\r(7)，…，eq\r(2n－1)，eq\r(2n＋1)，则3eq\r(5)是这个数列的()A．第20项 B．第21项C．第22项 D．第23项C[由题意知，数列的通项公式为an＝eq\r(2n＋1)，令eq\r(2n＋1)＝3eq\r(5)得n＝22，故选C.]2．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为()A．15 B．16C．49 D．64A[当n＝8时，a8＝S8－S7＝82－72＝15.]3．数列{an}中，an＋1＝2an＋1，a1＝1，则a6＝()A．32 B．62C．63 D．64C[数列{an}中，an＋1＝2an＋1，故an＋1＋1＝2(an＋1)，因为a1＝1，故a1＋1＝2≠0，故an＋1≠0，所以eq\f(an＋1＋1,an＋1)＝2，所以{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．所以an＋1＝2n，即an＝2n－1，故a6＝63，故选C.]4．(2020·柳州模拟)若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝eq\f(1＋an,1－an)，则a2020的值为()A．2 B．－3C．－eq\f(1,2) D．eq\f(1,3)D[由题意知，a2＝eq\f(1＋2,1－2)＝－3，a3＝eq\f(1－3,1＋3)＝－eq\f(1,2)，a4＝eq\f(1－\f(1,2),1＋\f(1,2))＝eq\f(1,3)，a5＝eq\f(1＋\f(1,3),1－\f(1,3))＝2，a6＝eq\f(1＋2,1－2)＝－3，…，因此数列{an}是周期为4的周期数列，∴a2020＝a505×4＝a4＝eq\f(1,3).故选D.]5．已知各项都为正数的数列{an}满足aeq\o\al(2,n＋1)－an＋1an－2aeq\o\al(2,n)＝0，且a1＝2，则数列{an}的通项公式为()A．an＝2n－1 B．an＝3n－1C．an＝2n D．an＝3nC[∵aeq\o\al(2,n＋1)－an＋1an－2aeq\o\al(2,n)＝0，∴(an＋1＋an)(an＋1－2an)＝0.∵数列{an}的各项均为正数，∴an＋1＋an＞0，∴an＋1－2an＝0，即an＋1＝2an(n∈N*)，∴数列{an}是以2为公比的等比数列．∵a1＝2，∴an＝2n.]6．记Sn为数列{an}的前n项和．“任意正整数n，均有an>0”是“{Sn}是递增数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[∵“an>0”⇒“数列{Sn}是递增数列”，∴“an>0”是“数列{Sn}是递增数列”的充分条件．如数列{an}为－1,1,3,5,7,9，…，显然数列{Sn}是递增数列，但是an不一定大于零，还有可能小于零，∴“数列{Sn}是递增数列”不能推出“an>0”，∴“an>0”是“数列{Sn}是递增数列”的不必要条件．∴“an>0”是“数列{Sn}是递增数列”的充分不必要条件．]二、填空题7．若数列{an}的前n项和Sn＝eq\f(2,3)n2－eq\f(1,3)n，则数列{an}的通项公式an＝_______.eq\f(4,3)n－1[当n＝1时，a1＝S1＝eq\f(1,3).当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(2,3)n2－eq\f(1,3)n－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)n－12－\f(1,3)n－1))＝eq\f(4n,3)－1.又a1＝eq\f(1,3)适合上式，则an＝eq\f(4,3)n－1.]8．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.－eq\f(1,n)[∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.∵Sn≠0，∴eq\f(1,Sn)－eq\f(1,Sn＋1)＝1，即eq\f(1,Sn＋1)－eq\f(1,Sn)＝－1.又eq\f(1,S1)＝－1，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是首项为－1，公差为－1的等差数列．∴eq\f(1,Sn)＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－eq\f(1,n).]9．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________，数列{nan}中数值最小的项是第________项．2n－11(n∈N*)3[∵Sn＝n2－10n，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－11；当n＝1时，a1＝S1＝－9也适合上式．∴an＝2n－11(n∈N*)．记f(n)＝nan＝n(2n－11)＝2n2－11n，此函数图像的对称轴为直线n＝eq\f(11,4)，但n∈N*，∴当n＝3时，f(n)取最小值．∴数列{nan}中数值最小的项是第3项．]三、解答题10．已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，aeq\o\al(2,n)－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.(1)求a2，a3；(2)求{an}的通项公式．[解](1)由题意可得a2＝eq\f(1,2)，a3＝eq\f(1,4).(2)由aeq\o\al(2,n)－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．因为{an}的各项都为正数，所以eq\f(an＋1,an)＝eq\f(1,2).故{an}是首项为1，公比为eq\f(1,2)的等比数列，因此an＝eq\f(1,2n－1).11．已知数列{an}满足a1＝50，an＋1＝an＋2n(n∈N*)，(1)求{an}的通项公式；(2)已知数列{bn}的前n项和为an，若bm＝50，求正整数m的值．[解](1)当n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝2(n－1)＋2(n－2)＋…＋2×2＋2×1＋50＝2×eq\f(n－1n,2)＋50＝n2－n＋50.又a1＝50＝12－1＋50，∴{an}的通项公式为an＝n2－n＋50，n∈N*.(2)b1＝a1＝50，当n≥2时，bn＝an－an－1＝n2－n＋50－[(n－1)2－(n－1)＋50]＝2n－2，即bn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(50，n＝1，,2n－2，n≥2.))当m≥2时，令bm＝50，得2m－2＝50，解得m＝26.又b1＝50，∴正整数m的值为1或26.1．(2020·大同模拟)古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点(或圆球)在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1,3,6,10,15，…，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛(如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，…)．若一“落一形”三角锥垛有10层，则该堆垛总共球的个数为()三角锥垛A．55 B．220C．285 D．385B[数列{an}如1,3,6,10,15，…，可得通项公式an＝eq\f(n1＋n,2).∴Sn＝eq\f(12＋22＋…＋n2,2)＋eq\f(1＋2＋…＋n,2)＝eq\f(nn＋12n＋1,12)＋eq\f(n1＋n,4).n＝10时，可得S10＝eq\f(10×11×21,12)＋eq\f(10×11,4)＝220.故选B.]2．(2020·承德模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意n∈N*，an＋1＞an，Sn≥S6.请写出一个满足条件的数列{an}的通项公式an＝________.n－6，n∈N*(答案不唯一)[由对任意n∈N*，an＋1＞an可知数列{an}是递增数列，又Sn≥S6，故数列{an}从第7项开始为正．而a6≤0，因此不妨设数列是等差数列，公差为1，a6＝0，所以an＝n－6，n∈N*.(答案不唯一)]3．已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，且满足2Sn＝(n＋1)an(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)记bn＝3n－λaeq\o\al(2,n)，若数列{bn}为递增数列，求λ的取值范围．[解](1)∵2Sn＝(n＋1)an，∴2Sn＋1＝(n＋2)an＋1，∴2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an，即nan＋1＝(n＋1)an，∴eq\f(an＋1,n＋1)＝eq\f(an,n)，∴eq\f(an,n)＝eq\f(an－1,n－1)＝…＝eq\f(a1,1)＝1，∴an＝n(n∈N*)．(2)由(1)知bn＝3n－λn2.bn＋1－bn＝3n＋1－λ