《1.3.3 等比数列的前n项和》学历案

《1.3.3等比数列的前n项和》学历案2023学年高中数学学历案班级：__________姓名：__________学号：__________【学习主题】1.3.3等比数列的前n项和【课时】1课时【课标要求】掌握等比数列的前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题。【学习目标】1、知道等比数列前n项和公式的推导过程。2、能理解等比数列前n项和公式里每个字母的含义。3、会熟练运用等比数列前n项和公式来计算等比数列的前n项和。【评价任务】(1)完成任务1指向检测目标1、2;(2)完成任务2指向检测目标2、3。【学习过程】复习回顾1、啥是等比数列呢？就是一个数列，从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个常数就叫公比，用字母q表示（q不等于0）。那大家举几个等比数列的例子呗。2、等比数列的通项公式是啥呢？__________。【任务一】等比数列前n项和公式的推导指向检测目标1、2;1、故事引入：传说古印度有一个国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么。发明者说，在棋盘的第一个格子里放1粒麦子，第二个格子里放2粒麦子，第三个格子里放4粒麦子，依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里麦粒数的2倍，直到第64个格子。那大家想想，总共得需要多少麦粒呢？这其实就是一个等比数列求和的问题。2、我们来推导一下等比数列的前n项和公式。设等比数列{aₙ}的首项是a₁，公比是q，它的前n项和是Sₙ，那Sₙ=a₁+a₁q+a₁q²+…+a₁qⁿ⁻¹。然后我们给这个式子两边同时乘以q，得到qSₙ=a₁q+a₁q²+a₁q³+…+a₁qⁿ。现在用Sₙ-qSₙ，就得到：Sₙ-qSₙ=a₁-a₁qⁿ，也就是Sₙ(1-q)=a₁(1-qⁿ)。当q不等于1的时候，Sₙ=a₁(1-qⁿ)/(1-q)。那当q=1的时候呢？这个等比数列就变成了常数列，Sₙ=na₁。3、大家一起讨论一下这个推导过程，有没有啥不明白的地方？【任务二】等比数列前n项和公式的应用指向检测目标2、31、看这个等比数列，首项a₁=2，公比q=3，项数n=4，那它的前4项和S₄是多少呢？大家根据公式来算一算。2、已知一个等比数列的前n项和Sₙ=2(1-2ⁿ)/(1-2)，那这个等比数列的首项a₁是多少呢？公比q又是多少呢？3、有一个等比数列，它的前3项和是14，首项是2，那它的公比q是多少呢？方法归纳：(1)用等比数列前n项和公式的时候，一定要先看公比q是不是等于1。(2)把已知条件都找出来，对应到公式里的字母，然后再计算。【检测与作业】指向检测目标2、31、等比数列{aₙ}中，a₁=1，q=2，n=5，求S₅。__________答案：S₅=1×(1-2⁵)/(1-2)=312、等比数列的前n项和Sₙ=3(1-3ⁿ)/(1-3)，求首项a₁和公比q。__________答案：首项a₁=3，公比q=3。3、已知等比数列的前3项和S₃=7，首项a₁=1，求公比q。__________答案：由S₃=1×(1-q³)/(1-q)=7，化简得q²+q-6=0，解得q=2或q=-3。4、一个等比数列，公比q=2，前n项和Sₙ=63，求首项a₁和项数n。（提示：先根据公式列出方程，再求解）__________答案：由Sₙ=a₁(