吉林省松原市前郭尔罗斯蒙古族自治县2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

吉林省松原市前郭尔罗斯蒙古族自治县2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷考试模块：选择性必修第一册考生注意:1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前,考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。3.考生作答时,请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效。4.本卷命题范围:空问向量与立体几何、直线与圆的方程、圆锥曲线。一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的斜率为A. B. C. D.2.已知椭圆的两个焦点分别为，点是上一点，且，则的方程为A. B. C. D.3.已知圆与圆相交于A，B两点，则直线AB的方程为A. B. C. D.4.如图，在四面体ABCD中，是棱AB上一点，且是棱CD的中点，则A. B.C. D.5.在平面直角坐标系xOy中，动点到直线的距离比它到定点的距离小2，则点的轨迹方程为A. B. C. D.6.已知双曲线的左、右焦点分别为，点是上一点，且，，则的渐近线方程为A. B. C. D.7.某市举办青少年机器人大赛，组委会设计了一个正方形场地ABCD（边长为8米）如图所示，E，F，G分别是AB，BC，CD的中点，在场地ABCD中设置了一个半径为米的圆，圆与直线AB相切于点.比赛中，机器人从点出发，经过线段AG上一点，然后再到达圆，则机器人走过的最短路程是A.米 B.米 C.米 D.米8.已知离心率为的椭圆的短轴长为，直线过点且与椭圆交于A，B两点，若，则直线的方程为A. B. C. D.二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知的三个顶点是，则A.边BC的长度是 B.直线BC的方程为C.边BC上的高所在直线的方程为 D.的面积是410.已知为坐标原点，抛物线的焦点为，准线为直线，直线PQ与交于P，Q两点.则下列说法正确的是A.点到直线的距离是4B.若PQ的方程是，则的面积为3C.若PQ的中点到直线的距离为3，则D.若点在直线PQ上，则11.已知正方体的棱长为1，动点在正方形内（包含边界），则下列说法正确的是A.若，则B.若，则直线AP和所成角为C.若.则点的轨迹长度为D.若，则点到直线BP的距离的最小值为三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知直线，则以的交点为圆心，且经过点的圆的方程是_________________.13.已知直线，抛物线的准线是，点是上一点，若点到直线的距离分别是，则的最小值是______________.14.已知为坐标原点，，点是直线上一点，若以为圆心，2为半径的圆上存在点，使得，则线段OE长度的取值范围是_________________.四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知的外接圆为圆.（1）求圆的方程;（2）已知直线与圆交于E，F两点，求的面积.16.（本小题满分15分）如图，在直三棱柱中，为BC的中点.（1）求证:直线A1C//平面;（2）求直线与平面所成角的正弦值.17.（本小题满分15分）已知双曲线的离心率是，焦距为6.（1）求的方程;（2）若直线与相交于A，B两点，且（为坐标原点），求的值.18.（本小题满分17分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为6的正方形，是等边三角形，平面MAB⊥平面ABCD.（1）求平面CDM与平面ABM所成二面角的正弦值;（2）已知E，F，G分别是线段AM，DM，CD上一点，且，若是线段BM上的一点，且点到平面EFG的距离为，求的值.19.（本小题满分17分）极点与极线是法国数学家吉拉德•迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述的.对于椭圆，极点（不是坐标原点）对应的极线为.已知椭圆的长轴长为，左焦点与拋物线的焦点重合.对于椭圆，极点对应的极线为，过点的直线与椭圆交于M，N两点，在极线上任取一点，设直线MQ，NQ，PQ的斜率分别为均存在）.（1）求极线的方程;（2）求证:;（3）已知过点且斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，直线PA，PB与椭圆的另一个交点分别为C，D，证明直线CD恒过定点，并求出定点的坐标.

期中数学答案1.A直线可化为，所以直线的斜率.故选A.2.C由，得.即，又是椭圆上一点，所以，解得，故椭圆的方程为.故选C.3.A圆、圆的方程可以化简为，将两圆方程相减，得，即直线AB的方程为.故选A.4.D由题意，得.故选D.5.B由题意知动点到直线的距离与它到定点（3.0）的距离相等.由抛物线的定义知，点的轨迹是以（3，0）为焦点，为准线的抛物线，所以，点的轨迹方程为.故选B6.D由双曲线定义知，因为，所以，因为，，所以，即，化简得，又，所以，解得，所以双曲线的渐进线方程为.故选D.7.A如图、以点为原点，以AB，AD分别为轴，轴建立平面直角坐标系，则由题意，得，所以，因为圆与直线AB相切于点且半径为，所以圆的方程为，设点关于直线AG的对称点为，则解得连接，线段分别与AG，圆交于点M，N，当机器人走过的路线是线段FM，MN时，路程最短，又，所以机器人走过的最短路程是.故选A.8.B因为离心率为的椭圆的短轴长为，所以，解得，所以椭圆的方程为，由，得为AB的中点，设，则，因为A，B是椭圆上两点，所以两式相减，得所以，故直线的方程为，即.故选B9.ABD，故A正确;由题意，得，所以直线BC的方程为，即，故B正确;边BC上的高所在直线的斜率为-3，所以边BC上的高所在直线的方程为，即，故C错误，点到直线BC的距离，所以的面积是，故D正确.故选ABD.10.BD对于选项A，由题意可知抛物线的焦点为，准线的方程为，所以点到直线的距离是2.故A错误；对于选项B，由得解得所以=6，又PQ与x轴的交点为，所以，所以的面积为，故B正确：对于选项C.因为PQ的中点到直线的距离为3，所以即=4，所以故C错误；对于选项D，设，由得-16.因为，所以，故D正确.故选BD.11.ACD以点为原点，以所在直线分别为轴.轴，轴建立空间直角坐标系如图所示.则.，设..其中，对于A选项，由，得，即.所以，故A正确；对于B选项.由A选项知，所以.又.设直线AP和所成角为，则,所以，故B错误;对于C选项，因为，所以.即，又点在平面内（包含边界）所以点的轨迹是平面内以为圆心，为半径的半圆弧.所以其长度为.故C正确;对于D选项.由C选项知.设.则，所以，所以点到直线BP的距离，令.所以，当且仅当，即时，等号成立，故点到直线BP的距离的最小值为，故D正确.故选ACD.12.由题意，得的交点为，所以所求圆的圆心是，半径为，故所求圆的方程为.13.抛物线的焦点是，准线是，设点到直线的距离为，则，所以，当且仅当且在与之间时等号成立，所以的最小值是.14.由题意可设，则圆的方程为.若圆上存在点，使得，设，则，化简可得，故点在以为圆心，为半径的圆上，因为点也在圆上，所以圆与圆有交点，所以，即，解得，又，所以，即线段OE长度的取值范围是.15.解:（1）设圆的方程为，则…3分解得所以圆的方程为………6分（2）由，得，所以圆的圆心为，半径………………7分圆心M到直线的距离为…………9分又点到直线的距离为，……………11分所以的面积为.………13分16.（1）证明:设.连接DE，在直三棱柱中，四边形是平行四边形，所以是的中点，又为BC的中点.所以.……………3分又平面平面,所以直线平面.………………6分（2）解:在直三棱柱中，平面ABC，又AB，平面ABC，所以AB又所以以A为原点，AB,AC,AA1所在直线分别为x轴,y轴，z轴，可以建立空间直角坐标系.…………………8分因为，所以，则，……………………10分，设平面的法向量为，则令1，得,所以平面的一个法向量为………………………12分又，设直线与平面所成角为，则.即直线与平面所成角的正弦值为.………15分17.解：（1）因为双曲线的离心率是，焦距为6.所以，其中，解得，所以.所以的方程为.…………………5分（2）设，联立方程消去，得，因为直线与相交于A，B两点，所以即且，由韦达定理，得，………8分又，所以.即.所以，…………12分将韦达定理代入上式，得，即，解得，满足且.………………15分18.解:（1）取AB，CD的中点分别为，连接，因为底面ABCD是正方形，所以.因为是正三角形.为AB的中点，所以，又平面平面ABCD，平面平面平面MAB，所以平面ABCD.…………2分又平面ABCD，所以，以点为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空同直角坐标系如图所示.由题意，得，设平面CDM的法向量为，所以即令,则.即平面CDM的一个法向量为.…5分易知平面ABM的一个法向量为,设平面CDM与平面ABM所成二面角为，则，所以，即平面CDM与平面ABM所成二面角的正弦值为.…………8分（2）因为分别是线段上一点，且，所以，，所以.10分设平面EFG的法向量为.所以即令，则，即平面EFG的一个法向量为............................................................13分设，则……………………15分所以点到平面EFG的距离.解得舍去），即.……………………17分19.（1）解:因为椭圆的长轴长为，所以，解得，因为椭圆的左焦点与抛物线的焦点重合,所以,解得,所以椭圆的方程为.………………………2分由题意可知对于椭圆E,极点P(-6,0)对应的极线lp的方程为即………………4分（2）证明:设,由题意知直线的斜率必然存在,故设直线,联立方程消去,得,，即,所以.……………