121随机事件与古典概型

考点12概率与统计12.1随机事件与古典概型1．（2021·全国高三（理））北京卫视大型原创新锐语言竞技真人秀节目《我是演说家》火爆荧屏，在某期节目中，共有名女选手和名男选手参加比赛.已知备选演讲主题共有道，若每位选手从中有放回地随机选出一个主题进行演讲，则其中恰有一男一女抽到同一演讲主题的概率为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】列出基本事件，利用古典概型概率计算公式求解即可.【详解】设两到题目为A,B题，所以抽取情况共有：AAA,AAB,ABA,ABB,BAA,BAB,BBA,BBB,其中第1个，第2个分别是两个女教师抽取的题目，第3个表示男教师抽取的题目，一共有8种；其中满足恰有一男一女抽到同一题目的事件有：ABA,ABB,BAA,BAB，共4种；故所求事件的概率为故选：B2．（2021·云南昆明市·高三（文））一个学习小组有5名同学，其中2名男生，3名女生．从这个小组中任意选出2名同学，则选出的同学中既有男生又有女生的概率为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】写出5人取2人的所有事件，找出一男同学一女同学的取法，利用古典概型求解.【详解】5人小组中，设2男生分别为a,b，3名女生分别为A,B,C，则任意选出2名同学，共有:10个基本事件，其中选出的同学中既有男生又有女生共有6个基本事件，所以,故选：C3．（2022·全国高三专题练习）为了援助湖北抗击疫情，全国各地的白衣天使走上战场的第一线，他们分别乘坐6架我国自主生产的“运20”大型运输机，编号分别为1，2，3，4，5，6，同时到达武汉天河飞机场，每五分钟降落一架，其中1号与6号相邻降落的概率为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】总共的降落方法为6架飞机的全排列，然后相邻问题用“捆绑法”，再利用古典概型的求法，即可求解【详解】解：总共的降落方法有(种)，1号与6号相邻降落的方法有：(种)1号与6号相邻降落的概率为：，故选:D4．（2021·六安市裕安区新安中学高三开学考试（理））从数字1，2，3，4，5中任取两个不同的数字，构成一个两位数，则这个数字大于40的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】试验发生包含的事件是从数字1，2，3，4，5中任取两个不同的数字构成一个两位数，满足条件的事件可以列举出来，然后根据概率公式求解即可【详解】解：由题意可得试验发生包含的事件是从数字1，2，3，4，5中任取两个不同的数字构成一个两位数，共有种结果，则这此数字大于40的有41，42，43，45，51，52，53，54，共8个，所以所求概率为，故选：A5．（2022·全国高三专题练习（理））从包括甲､乙在内的7名学生中选派4名学生排序参加演讲比赛，则甲和乙参加，且演讲顺序不相邻的概率为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】甲和乙参加的概率为，甲和乙演讲顺序不相邻的概率为，由此能求出甲和乙参加，且演讲顺序不相邻的概率．【详解】甲和乙参加的概率为，甲和乙演讲顺序不相邻的概率为，所求概率为；或直接为.故选：B.6．（2020·河北高三（文））小张计划高考结束后从北京､天津､广州、西安、杭州这5个城市中随机选取2个城市前去游玩，则他恰好选中前3个城市中的2个城市的概率（）A． B． C． D．【答案】B【分析】基本事件总数，他恰好选中前3个城市中的2个城市包含的基本事件个数.由此求出他恰好选中前3个城市中的2个城市的概率.【详解】小张计划高考结束后从北京､天津､广州，西安，杭州这5个城市中随机选取2个城市前去游玩，基本事件总数，他恰好选中前3个城市中的2个城市包含的基本事件个数.所以他恰好选中前3个城市中的2个城市的概率.故选：B.7．（2022·全国高三专题练习）现有甲、乙、丙、丁四名义工到，，三个不同的社区参加公益活动．若每个社区至少分一名义工，则甲单独被分到社区的概率为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用排列组合求得每个社区至少分一名义工的方法数，然后求出其中甲被分到社区的方法数，利用概率公式求得结果.【详解】依题意得，甲、乙、丙、丁到三个不同的社区参加公益活动，每个社区至少分一名义工的方法数是，其中甲被分到社区的方法数是，因此甲被分到社区的概率．故选：A．8．（2021·河南高一）某高中学校统计了高一年级学生期中考试的数学成绩，将学生的成绩按照，，，分成4组，制成如图所示的频率分布直方图.现用分层抽样的方法从，这两组学生中选取5人，再从这5人中任选2人，则这2人的数学成绩不在同一组的概率为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据分层抽样计算出选取的5人中，，这两组中分别占有的人数，然后列举法出从这5人中任选2人的所有选法及2人的数学成绩不在同一组的所有选法，从而计算出概率.【详解】由题意可知，数学成绩在的学生的频率为，数学成绩在的学生的频率为.用分层抽样的方法从，这两组学生中选取5人，则其中有3人的成绩在，分别记为，，；有2人的成绩在，分别记为，.从这5人中任选2人，所有的基本事件有：，，，，，，，，，，共10种，其中这2人成绩不在同一组的事件有：，，，，，，共6种，则所求概率.故选：D.9．（2021·全国（理））把颜色分别为红､黄､蓝､白四种颜色的小球放入颜色分别为红､黄､蓝､白四种颜色的纸盒中，则四个小球都没有放入相同颜色的纸盒中的概率为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，分别计算四种不同颜色的球放入四种不同颜色的纸盒中基本事件的总数，以及四个小球都没有放入相同颜色的纸盒中的总数，即可求出相应的概率.【详解】将四种不同颜色的球放入四种不同颜色的纸盒中基本事件的总数为，四个球都没有放入相同颜色的纸盒中的基本事件的总数为，所以四个小球都没有放入相同颜色的纸盒中的概率为.故选：B.【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数.(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举；(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.10．（2022·全国（文））2020年8月，习近平总书记针对触目惊心､令人痛心的餐饮浪费现象，作出重要指示强调，要进一步加强宣传教育，切实培养节约习惯，在全社会营造浪费可耻､节约为荣的氛围.某宣传袋内有六张卡片，分别写有“节､约､粮､食､光､荣”六个字，从中任取两张卡片，恰好取到“节”“约”二字的概率为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】任取2张共15种取法，恰好取到“节”“约”二字共1种取法，从而求出满足条件的概率.【详解】解：从6张中取2张有种取法，恰好取到“节”“约”二字有1种，故恰好取到“节”“约”二字的概率为，故选：C.【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.11．（2022·浙江）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过15的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于18的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】确定不超过15的素数共有6个，写出其中和为18的两数，计算出任取两数的方法数，然后由概率公式可得概率．【详解】不超过15的素数有共6个，任取两数的方法为，其中只有，共2种，因此所求概率为．故选：B．12．（2021·山东泰安·高二）某班级有40名同学，为庆祝中国共产党建党100周年，他们拟参加“学习强国”平台上的党史知识竞赛，因为前期准备情况不同，所以他们获奖的概率也不同，其中，有20名同学获奖概率为0.9，12名同学获奖概率为0.8，8名同学获奖概率为0.7，现从中随机选出一名同学，他获奖的概率为（）A．0.83 B．0.78 C．0.76 D．0.63【答案】A【分析】先求出获奖人数的均值，从而可求出随机选出一名同学获奖的概率【详解】解：由题意得获奖人数的均值为，所以从40人中随机选出一名同学获奖的概率为，故选：A13．（2021·上海高三）从边长为1的正八边形的顶点中随机选3个点作为三角形的顶点，从棱长为2的正方体的顶点中随机选3个点作为三角形的顶点，对于命题：①的面积可能大于的面积；②为直角三角形的概率是为等腰三角形的概率的2倍.下列判断正确的是（）A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①②都错误 D．①错误，②正确【答案】D【分析】①分别计算三角形面积，比较判断即可；②分别求出概率，比较判断.【详解】解：对于①，如图，计算三角形PQR的面积，而正八边形的每一个内角的度数为，所以，所以，又由，解得，正八边形的边长为1，所以，所以为，而的最小面积为随机选3个点是同一个面3个点，如，其面积为，所以①不正确；对于②，在正八边形中，以为顶点的等腰三角形有3个，为等腰三角形共有24个，所以为等腰三角形的概率为，在正方体中，不是直角三角形时，该三角形的三个顶点如下图中的正三角形，其个数为8个，所以为直角三角形的概率为，所以②对.故选：D.14．（2021·广西南宁三中（文））某同学只会背诵5篇课文中的3篇，现从这5篇课文中随机抽取3篇让该同学背诵，则该同学恰能背出其中2篇的概率为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】列举出从5篇中抽3篇的基本事件，则符合题意的从基本事件中挑出，按照概率公式求解即可.【详解】设5篇课文分别为a，b，c，d，e，则从5篇中抽3篇的基本事件有abc，abd，abe，acd，ace，ade，bcd，bce，bde，cde，共有10个，若该同学只会背诵abc，则符合题意的基本事件有abd，abe，acd，ace，bcd，bce，共6个，故所求概率为．

故选：D．15．（2021·四川宜宾·（文））五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽.如果从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序，则这个音序中不含宫和羽的概率为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序的基本事件总数，其中这个音序中不含宫和羽的基本事件个数，然后由古典概率计算公式可得答案.【详解】解：中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽.从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序，基本事件总数，其中这个音序中不含宫和羽的基本事件个数.则这个音序中不含宫和羽的概率为.故选：A.16．（2021·上海市大同中学高三）在5张卡片上分别写上数字1、2、3、4、5，然后把它们混合，再任意排成一行组成5位数，则得到能被2整除的5位数的概率为__________【答案】【分析】求出任意排成一行组成5位数的情况，得出能被2整除的5位数的情况，即可求得概率.【详解】由题可得任意排成一行组成5位数的情况有种，其中能被2整除的5位数有种，则得到能被2整除的5位数的概率为.故答案为：.17．（2021·山东济宁·高一期末）某个微信群在某次进行的抢红包活动中，若某人所发红包的总金额为15元，被随机分配为3.50元，4.75元，5.37元，1.38元共4份，甲､乙､丙､丁4人参与抢红包，每人只能抢一次，则甲､乙二人抢到的金额之和不低于8元的概率为___________.【答案】【分析】计算出基本事件总数及满足条件的有利事件数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．【详解】由题意可得，甲、乙二人抢到的金额的基本事件总数为，，，，，共6种，“甲、乙二人抢到的金额之和不低于8元”包含，，共3种，∴甲、乙二人抢到的金额之和不低于8元的概率.故答案为：．18．（2021·上海青浦·高二期末）甲乙两人分别掷两颗骰子与一颗骰子，设甲的两颗骰子的点数分别为a与b，乙的骰子点数为c.则掷出的点数满足的概率为___________.（用最简分数表示）【答案】【分析】有列举法写出满足的所有基本事件，再求得事件空间中事件的个数后可得概率．【详解】甲乙两人分别掷两颗骰子与一颗骰子，基本事件的个数为，满足的有，，共14个，所以概率为．故答案为：．19．（2021·上海市建平中学高三）小明给同学发“拼手气”红包，他将1角钱分成三份，每份都是1分钱的正整数倍，若这三个红包分别被甲、乙、丙三位同学抢到，则甲抢到1分钱的概率为_________.【答案】【分析】将题干情景转换为：有10个相同的小球放进甲、乙、丙三个盒子，且盒子不能为空；【详解】题干情景可以转换为：有10个相同的小球放进甲、乙、丙三个盒子，且盒子不能为空；将10个小球排好，有9个空隙，从这9个空隙中选出2个放入挡板可将小球分为3份；所以，分类方法共有种；甲盒有1个小球的情况有：共8种；所以，概率为.故答案为：.20．（2021·黑龙江大庆中学高一期末）烟花三月、草长莺飞，樱花、桃花、梨花、苹果花、牡丹花陆陆续续地都开放了，周老师准备从这种花中任选出种去旅游观赏，则恰巧选中桃花与牡丹花的概率为_______．【答案】【分析】应列举法，写出从这种花中任选出种去旅游观赏所有可能组合，及其中恰巧选中桃花与牡丹花的组合，由古典概型的概率求法求概率即可.【详解】设樱花、梨花、苹果花为，，，桃花与牡丹花为和，∴从中选种花去旅游观赏的基本事件为，，，，，，，，，，共个，其中含有桃花与牡丹花的事件有，，，共个．∴故所求的概率为．故答案为：.21．（2021·四川凉山·（文））百年风雨兼程，世纪沧桑巨变.今年是中国共产党成立100周年，为庆祝100周年，向党的百年华诞献礼，“步入辉煌：中国共产党成立100周年主题影展”活动将于2021年1月8日在沪正式启动，并一直持续到2021年12月30日.某部门计划在5部不同的优秀作品(包含甲､乙两部作品)中任选3部参加影展，则甲作品被选中且乙作品未被选中的概率为___________.【答案】【分析】先求出在5部不同的优秀作品中任选3部的情况，再求出甲作品被选中且乙作品未被选中的情况，即可求出概率.【详解】由题可得在5部不同的优秀作品中任选3部的情况有种，其中甲作品被选中且乙作品未被选中的情况有种，则甲作品被选中且乙作品未被选中的概率为.故答案为：.22．（2021·全国高三）已知某人同时抛掷了两枚质地均匀的正方体骰子，记“其中至少一枚骰子的点数超过3，且两枚骰子的点数之和是4的倍数”为事件，则___________.【答案】【分析】根据古典概型计算公式，结合列举法进行求解即可.【详解】由题意可得，同时抛掷两枚骰子可能出现的情况共有36种，其中事件包含的情况有，，，，，，共6种，∴.故答案为：23．（2021·福建龙岩·高三）有六个从左到右并排放置的盒子，现将若干个只有颜色不同的黑球､白球随机放入这六个盒子(每个盒子只能放入一个球)，则事件“从左往右数，不管数到哪个盒子，总有黑球个数不少于白球个数”发生的概率为___________.【答案】【分析】先由题中条件，确定总的基本事件，再由列举法，列举出满足条件的基本事件，基本事件的个数比即为所求概率.【详解】每个盒子都有两种可能，所以基本事件有种.符合条件的基本事件有：①六黑有一种：黑黑黑黑黑黑；②五黑一白有：黑黑黑黑黑白，黑黑黑黑白黑，黑黑黑白黑黑，黑黑白黑黑黑，黑白黑黑黑黑；共种；③四黑二白有：黑白黑白黑黑，黑白黑黑白黑，黑白黑黑黑白，黑黑白黑黑白，黑黑白黑白黑，黑黑白白黑黑，黑黑黑白白黑，黑黑黑白黑白，黑黑黑黑白白；共种；④三黑三白有：黑黑黑白白白，黑黑白黑白白，黑白黑黑白白，黑白黑白黑白，黑黑白白黑白；共种；所以，事件“从左往右数，不管数到哪个盒子，总有黑球个数不少于白球个数”发生的概率为.故答案为：.【点睛】方法点睛：求古典概型的概率的常用方法：（1）古典概型所包含的基本事件个数较少时，可用列举法列举出总的基本事件个数，以及满足条件的基本事件个数，基本事件个数比即为所求概率；（2）古典概型所包含的基本事件个数较多时，可根据排列组合数的计算，求出总的基本事件个数，以及满足条件的基本事件个数，进而求出所求概率.24．（2021·河南焦作·高三（理））某中学为了加强艺术教育，促进学生全面发展，要求每名学生从音乐和美术中至少选择一门兴趣课，某班有名学生，选择音乐的有人，选择美术的有人，从全班学生中随机抽取一人，那么这个人两种兴趣班都选择的概率是___________.【答案】【分析】计算出两种兴趣班都选择的学生人数，利用古典概型的概率公式可求得结果.【详解】由题意可知，两种兴趣班都选择的人数为人，所以所求概率为.故答案为：.25．（2021·玉溪第二中学高二月考（理））某班级分别从名男生，，和名女生，中各随机抽取名学生组队参加知识竞赛，则男生和女生同时被抽中的概率为___________.【答案】【分析】列举出抽取的所有情况，由古典概型概率公式即可得解.【详解】抽取的所有情况如下：，，，，，.所以男生和女生同时被抽中的概率.26．（2021·贵州六盘水·高三（文））小明在一个专用的邮票箱中，收藏了北京2022年冬奥会吉祥物和冬残奥会吉祥物纪念邮票一套2枚，冬奥会会徽和冬残奥会会徽纪念邮票一套2枚．现从这4枚邮票中随机抽取2枚，恰好有一张是“冰墩墩”（图案为大熊猫）的概率为________．【答案】【分析】利用古典概型公式，编号，列举的方法，求概率.【详解】设冬奥会吉祥物和冬残奥会吉祥物纪念邮票一套2枚分别记为（为“冰墩墩”），，冬奥会会徽和冬残奥会会徽纪念邮票一套2枚分别记为，，从这4枚邮票中随机抽取2枚的基本事件分别是，，，，，，共6种，其中恰好有一张是“冰墩墩”的基本事件是，，，共3种，故所求概率为．故答案为：27．（2020·全国高三（文））某学校实行导师制，该制度规定每位学生必须选一位导师，每位导师至少要选一位学生，若，，三位学生要从甲，乙中选择一人做导师，则选中甲同时选中乙做导师的概率为______.【答案】【分析】首先列举所有的基本事件，以及满足条件的基本事件，利用古典概型求概率.【详解】，，三位学生选甲，乙做导师的可能结果用表示，，分别表示甲，乙做导师，所有可能结果为：，，，，，共有6个基本事件，记“选中甲同时选中乙做导师”为事件，则包含，2个基本事件，故.故答案为：28．（2021·上海高三专题练习）某工厂生产、两种型号的不同产品，产品数量之比为.用分层抽样的方法抽出一个样本容量为的样本，则其中种型号的产品有件.现从样本中抽出两件产品，此时含有型号产品的概率为__________.【答案】【分析】先由分层抽样抽样比求种型号抽取件数，以及，再根据古典概型公式求概率.【详解】设种型号抽取件，所以，解得：，，从样本中抽取2件，含有型号产品的概率.故答案为：29．（2021·安徽滁州市·高二开学考试（理））小王同学有本不同的数学书，本不同的物理书和本不同的化学书，从中任取本，则这本书属于不同学科的概率为______________（结果用分数表示）．【答案】【分析】利用古典概型公式计算概率.【详解】共本不同的数，任取2本包含种方法，若从中任取两本，这2本书属于不同学科的情况有，所以这本书属于不同学科的概率.故答案为：30．（2020·全国高三专题练习）《西游记》､《三国演义》､《水浒传》､《红楼梦》是我国古典小说四大名著.若在这四大名著中，任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为________.【答案】【分析】根据题中条件，分别确定总的基本事件个数，以及取到《红楼梦》所包含的基本事件个数，基本事件个数比即为所求概率.【详解】4本名著选两本共有种，选取的两本中含有《红楼梦》的共有种，所以任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为：.故答案为：.【点睛】本题主要考查求古典概型的概率，属于基础题型.31．（2022·全国高三专题练习）某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解全校学生本学期开学以来（60天）的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取了100名学生进行问卷调查.将样本中的“初中学生”和“高中学生”按学生的课外阅读时间（单位：小时）各分为5组：，得其频率分布直方图如图所示.（1）国家规定：初中学生平均每人每天课外阅读时间不少于半小时，若该校初中学生课外阅读时间低于国家标准，则学校应适当增加课外阅读时间.根据以上抽样调查数据（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），该校是否需要增加初中学生课外阅读时间？（2）从课外阅读时间不足10个小时的样本中随机抽取3人，求至少有2名初中生的概率.【答案】（1）需要；（2）.【分析】（1）根据频率分布直方图根据平均数公式估计初中生阅读时间的平均数，即得解；（2）根据古典概型的计算公式，即得解【详解】（1）由图可求出初中生在内的频率为，故样本中初中生阅读时间的平均数为，故按国家标准，该校需要增加初中学生课外阅读时间.（2）由图可求出初中生和高中生课外阅读时间不足10小时的人数分别为3人和2人，记初中生3人为，高中生2人为，从这5人中随机抽取3人一共有10种，分别为其中至少2名初中生包括7种情况，所以所求事件的概率为.32．（2021·河南（文））某职业培训学校现有六个专业，往年每年各专业的招生人数和就业率（直接就业的学生人数与招生人数的比值）统计如下表：专业机电维修艺术舞蹈汽车美容餐饮电脑技术美容美发招生人数就业率（Ⅰ）从该校往年的学生中随机抽取人，求该生是“餐饮”专业且直接就业的概率；（Ⅱ）为适应人才市场的需求，该校决定明年将“电脑技术”专业的招生人数减少，将“机电维修”专业的招生人数增加，假设“电脑技术”专业的直接就业人数不变，“机电维修”专业的就业率不变，其他专业的招生人数和就业率都不变，要使招生人数调整后全校整体的就业率比往年提高个百分点，求的值．【答案】（Ⅰ）0.08；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）根据题意求得往年每年的招生人数为，进而求得“餐饮”专业直接就业的学生人数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解；（Ⅱ）由表格中的数据，求得往年全校整体的就业率，根据招生人数调整后全校整体的就业率，列出方程，即可求解.【详解】（Ⅰ）由题意，该校往年每年的招生人数为，“餐饮”专业直接就业的学生人数为，所以所求的概率为．（Ⅱ）由表格中的数据，可得往年各专业直接就业的人数分别为，，，，，，往年全校整体的就业率为，招生人数调整后全校整体的就业率为，解得．33．（2020·陕西高三（文））在全面建成小康社会的决胜阶段，让贫困地区同全国人民共同进入全面小康社会是我们党的庄严承诺.在“脱真贫，真脱贫”的过程中，精准扶贫助推社会公平显得尤其重要.若某农村地区有户贫困户，经过一年扶贫后，对该地风的“精准扶贫”的成效检查验收.从这户贫困户中随机抽出户，对各户的人均年收入（单位：千元）进行调查得到如下频数表：人均年收入频数若人均年收入在元以下的判定为贫困户，人均年收入在元元的判定为脱贫户，人均年收入达到元的判定为小康户.为了了解未脱贫的原因，从抽取的户中用分层抽样的方法抽户进行调研.（1）贫困户、脱贫户、小康户分别抽到的户数是多少？（2）从被抽到的脱贫户和小康户中各选人做经验介绍，求小康户中人均年收入最高的一户被选到的概率.【答案】（1）贫困户、脱贫户、小康户分别抽到的户数分别为、、；（2）.【分析】（1）利用分层抽样可计算得出贫困户、脱贫户、小康户分别抽到的户数；（2）用、、、、、表示脱贫户，、、表示小康户，设为小康户中人均年收入最高的一户，列举出所有的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】（1）由分层抽样可知，贫困户抽到的户数为，脱贫户抽到的户数为，小康户抽到的户数为；（2）用、、、、、表示脱贫户，、、表示小康户，设为小康户中人均年收入最高的一户.从从被抽到的脱贫户和小康户中各选户，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、，共种，其中，事件“小康户中人均年收入最高的一户被选到”所包含的基本事件有：、、、、、，共种，故所求概率为.34．（2021·长岭县第三中学高一期末）为了了解某年龄段名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部介于秒与秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组，第二组，…，第五组.按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，巳知图中从左到右前个组的频率之比为，且第二组的频数为.（1）将频率当作概率，请估计该年龄段学生中百米成绩在内的人数；（2）求调査中随机抽取了多少名学生的百米成绩；（3）若从第一、第五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于秒的概率.【答案】（1）人；（2）名；（3）.【分析】（1）根据频率分布直方图，利用频率乘以1000等于成绩在内的人数；（2）首先计算第二种的频率，再根据公式计算样本容量；（3）首先计算第一组和第五组的人数，再进行标号，列举所有的基本事件后，按照古典概型公式计算概率.【详解】(1)百米成绩在内的频率为，，所以估计该年龄段学生中百米成绩在内的人数为人.(2)设图中从左到右前个组的频率分别为.依题意，得，所以.设调査中随机抽取了名学生的百米成绩，则，得，所以调查中随机抽取了名学生的百米成绩.(3)百米成绩在第一组的学生数有，记他们的成绩为；百米成绩在第五组的学生数有，记他们的成绩为，则从第一、第五组中随机取出两个成绩包含的基本事件有，共21个.其中满足成绩的差的绝对值大于1秒所包含的基本事件有，所以两个成绩的差的绝对值大于秒的概率为.35．（2021·衡水第一中学高三月考）“年全国城市节约用水宣传周”已于月日至日举行.成都市围绕“贯彻新发展理念，建设节水型城市”这一主题，开展了形式多样，内容丰富的活动，进一步增强全民保护水资源，防治水污染，节约用水的意识.为了解活动开展成效，某街道办事处工作人员赴一小区调查住户的节约用水情况，随机抽取了名业主进行节约用水调查评分，将得到的分数分成组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求的值，并估计这名业主评分的中位数；（2）若先用分层抽样的方法从评分在和的业主中抽取人，然后再从抽出的这位业主中任意选取人作进一步访谈，求这人中至少有人的评分在的概率.【答案】（1），中位数为；（2）.【分析】（1）所有小矩形的面积之和为1，求出a，再利用面积和为0.5对应的数为中位数即可得解；（2）由频率分布直方图，知评分在的有人，评分在有人，利用列举法求出事件发生的概率.【详解】（1）第三组的频率为，又第一组的频率为，第二组的频率为，第三组的频率为.前三组的频率之和为，这名业主评分的中位数为.（2）由频率分布直方图，知评分在的人数与评分在的人数的比值为.采用分层抽样法抽取人，评分在的有人，评分在有人.不妨设评分在的人分别为；评分在的人分别为，则从人中任选人的所有可能情况有：，，，，，，，，，共种.其中选取的人中至少有人的评分在的情况有：，，，，，，共种.故这人中至少有人的评分在的概率为.【点睛】关键点点睛：本题考查了由频率分布直方图求数据的中位数，频数，考查了古典概型的概率计算，掌握频率分布直方图中小矩形的面积为对应的频率是解题的关键，属于一般题.36．（2021·全国（文））2020年7月29日，贵州省林业局发布全省2019年度森林覆盖率，黔东南州森林覆盖率为，这是自2012年全省开展小康森林覆盖率指标监测工作以来，黔东南州连续年位居全省市州第一，“绿水青山就是金山银山”已成为新时代中国特色社会主义生态文明建设的重要内容.某社团在一次研学旅活动中，为了解某苗圃基地的红豆杉幼苗生长情况，从基地的树苗中随机抽取了株测量高度(单位：)，经统计，树苗的高度均在区间内，将其按，，，，，分成组，制成如图所示的频率分布直方图：（1）求直方图中的值，并估计树苗的平均高度；（2）该社团决定从树苗的高度在中采用分层抽样的方法抽取株树苗带回学校栽种，然后再从这株树苗中随机抽取株跟踪研究，求恰有株树苗高度在的概率.【答案】（1），平均数为；（2）.【分析】（1）根据频率分布直方图的所有矩形面积之和为1，可得1进一步计算出a，则根据频率分布直方图可算出树苗的平均高度的估计值．（2）根据题意可先分别计算出树苗高度在[36,37）、[37,39）、[39,41]内的数量，再根据古典概型的概率公式计算出所求概率．【详解】解：（1）由于频率分布直方图的所有矩形面积之和为，则，解得，第一､二､三､四､五､六组的频率分别为､､､､､,则平均数为.（2）由题意可知，树苗高度在内的有株，在内的有株，在内的有株，则树苗高度在内抽取株，在内抽取株，在内抽取株，记树苗高度在内的株为，，在内的株为，，在内的株为，则从株树苗中随机抽取3两株的基本事件有，，，，，，，，，共种，其中恰有株树苗高度在的有种，故所求概率为.37．（2021·全国高三（文））某工厂用综合技术指标值来衡量工人加工产品的质量.工人王师傅在过去一个月内加工了60件产品，其值的频率分布直方图如图(部分数据缺失)，且已知其中有24件产品的综合技术指标值不低于6.（1）补全频率分布直方图，并求王师傅这个月加工产品的综合技术指标值的中位数；（2）用样本频率估计总体概率，现从王师傅加工的8件产品中任取2件，求至少有1件产品的综合技术指标值满足的概率.【答案】（1）频率分布直方图见解析，（2）.【分析】（1）由已知数据求得第三组的频率和第二组的频率，由此可补全的频率分布直方图如图.再由频率直方图求得中位数.（2）运用列举法和古典概率公式可求得答案.【详解】解：（1）因为60件产品中有24件产品的综合技术指标值k，不低于6，所以第三组的频率为，所以频率直方图中的的纵轴所对应的值为0.15，第二组的频率为，所以频率直方图中的的纵轴所对应的值为0.2，补全的频率分布直方图如图.，因为，所以，则，解得故王师傅这个月加工产品的综合技术指标值k的中位数为5.5.(2)王师傅加工的8件产品中综合技术指标值k满足的有(件).设王师傅加工的8件产品分别为，其中产品a，b的综合技术指标值k满足，则从8件产品中任取2件的方法有，，，，共28种，其中所取的2件产品的综合技术指标值k均不满足的有，，共15种.故从8件产品中任取2件,至少有1件产品的综合技术指标值满足的概率为38．（2021·安徽高三（文））2020年第七次全国人口普查摸底工作从10月11日开始，10月31日结束.从11月1日开始进入普查的正式登记阶段.普查员要进入每个住户逐人逐项登记普查信息，这期间还将随机抽取10%的住户填报普查长表，调查更为详细的人口结构信息.整个登记工作持续到12月10日结束.某社区对随机抽取的10%住户普查长表信息情况汇总，发现其中30%的住户是租房入住，现对租房户按照住户家庭年人均收入情况绘制出如下的频率分布直方图(假设该社区内住户家庭年房租支出均在2到8万之间)：（1）求出的值（2）若抽取的10%住户中，家庭人均年收入在万元的恰好有12户，则该社区共有住户约多少户.（3）若从家庭年房租支出不到6万元的住户中按照分层抽样的方法抽取10户，再从这10户中随机抽取2户对其住房和医疗保健情况进行调查，求抽得的2户家庭年房租支出少于5万元不少于3万元的概率.【答案】（1）；（2）户；（3）.【分析】(1)根据频率分布直方图的面积之和为1，即可求解；(2)根据频率分布直方图，求出样本中家庭年房租支出在万元住户占租房户的比重，结合样本估计总体，即可求解；(3)根据题意，求出分层抽样的10人中，年房租支出少于5万