专题15 四边形问题（解析板）

一、选择题1.（福州）下列命题中，假命题是【】A．对顶角相等B．三角形两边和小于第三边C．菱形的四条边都相等D．多边形的内角和等于360°考点：命题与定理．2.（福州）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE.AC，BE相交于点F，则∠BFC为【】A．45°B．55°C．60°D．75°考点：1.正方形和等边三角形的性质；2.三角形内角和定理.3.（珠海）边长为3cm的菱形的周长是【】A．6cmB．9cmC．12cmD．15cm【答案】C.【解析】试题分析：∵菱形的四边都要相等，∴边长为3cm的菱形的周长是12cm.故选C.考点：菱形的性质.4.（玉林、防城港）下列命题是假命题的是【】A．四个角相等的四边形是矩形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．对角线垂直的四边形是菱形D．对角线垂直的平行四边形是菱形考点：1.命题与定理；2.矩形和菱形的判定．5.（毕节）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BC相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于【】A．3.5B．4C．7D．14【答案】A．【解析】试题分析：∵菱形ABCD的周长为28，∴AB=28÷4=7，OB=OD.∵H为AD边中点，∴OH是△ABD的中位线.∴OH=AB=×7=3.5．故选A．考点：1.菱形的性质；2.三角形中位线定理.6.（黔东南）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是【】A．AB∥DC，AD=BCB．AB∥DC，AD∥BCC．AB=DC，AD=BCD．OA=OC，OB=OD考点：平行四边形的判定．7.（黔东南）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为【】A．6B．12C．D．【答案】D．【解析】试题分析：设BE=x，则CE=BC﹣BE=16﹣x，∵沿EF翻折后点C与点A重合，∴AE=CE=16﹣x.在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即82+x2=（16﹣x）2，解得x=6.∴AE=16﹣6=10.考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.翻折对称的性质；3.矩形的判定和性质；4.勾股定理；5.方程思想的应用．8.遵义）如图，边长为2的正方形ABCD中，P是CD的中点，连接AP并延长交BC的延长线于点F，作△CPF的外接圆⊙O，连接BP并延长交⊙O于点E，连接EF，则EF的长为【】A．B．C．D．又∵∠PBC=∠EBF，∴△BCP∽△BEF.∴，即.故选D．考点：1.正方形的性质；2.相似三角形的判定和性质；3.圆周角定理．9.（河北）如图，将长为2，宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n≠【】A、2B、3C、4D、5【答案】A．【解析】考点：1.图形的剪拼；2.矩形和正方形的性质；3.勾股定理．10.（河南）如图，ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AB⊥AC.若AB=4,AC=6,则BD的长是【】(A)8(B)9(C)10（D）11【答案】C．【解析】试题分析：利用平行四边形的性质和勾股定理易求BO的长，进而可求出BD的长：∵ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∴BO=DO，AO=CO.∵AB⊥AC，AB=4，AC=6，∴AO=3.∴.∴BD=2BO=10.故选C．考点：1.平行四边形的性质；2.勾股定理．11.（十堰）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=6，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是【】A．7B．10C．11D．12考点：1.平行四边形的性质；2.线段垂直平分线的性质．12.（襄阳）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，DE=DC，∠C=80°，则∠A等于【】A．80°B．90°C．100°D．110°【答案】C．【解析】试题分析：∵DE=DC，∠C=80°，∴∠DEC=80°.∵AB∥DE，∴∠B=∠DEC=80°.∵AD∥BC，∴∠A=180°﹣80°=100°.故选C．考点：1.梯形和等腰三角形的性质；2.平行线的性质．13.（襄阳）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是【】A．①②B．②③C．①③D．①④【答案】D．【解析】故选D．考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.矩形的性质；3.含30度角直角三角形的判定和性质；4.等边三角形的判定.14.（孝感）如图，在ABCD中，对角线AC、BD相交成的锐角为，若，则ABCD的面积是【】A． B．C． D．【答案】A．【解析】考点：1.平行四边形的性质；2.解直角三角形．15.孝感）如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是【】A．（2，10）B．（-2，0）C．（2，10）或（-2，0）D．（10，2）或（-2，0）考点：1.坐标与图形的旋转变化；2.分类思想的应用．16.（南京）如图，在矩形中，点A的坐标是（-2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标为【】A.（，）、（，）B.（，）、（，）C.(，)、（，）D.(，)、（，）∴点C的横坐标是.∴B、C两点的坐标分别为.故选B.考点：1.矩形的性质；2.坐标与图形性质；3.全等三角形的判定和性质；4.相似三角形的判定和性质．17.（赤峰）如图，把一块含有30°角（∠A=30°）的直角三角板ABC的直角顶点放在矩形桌面CDEF的一个顶点C处，桌面的另一个顶点F与三角板斜边相交于点F，如果∠1=40°，那么∠AFE=【】A.50°B.40°C.20°D.10°【答案】D．【解析】18.（呼和浩特）已知矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线AC，BD相交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交两边AD，BC于E，F（不与顶点重合），则以下关于△CDE与△ABF判断完全正确的一项为【】 A．△CDE与△ABF的周长都等于10cm，但面积不一定相等 B．△CDE与△ABF全等，且周长都为10cm C．△CDE与△ABF全等，且周长都为5cm D．△CDE与△ABF全等，但它们的周长和面积都不能确定【答案】B．【解析】考点：1.矩形的性质；2.菱形的判定和性质；3.全等三角形的判定和性质.19.（潍坊）如图，已知矩形ABCD的长AB为5，宽BC为4．E是BC边上的一个动点，AE⊥EF，EF交CD于点F．设BE=x，FC=y，则点E从点B运动到点C时，能表示y关于x的函数关系的大致图象是()【答案】A．【解析】考点：1.动点问题的函数图象分析；2.矩形的性质；3.相似三角形的判定和性质；4.由实际问题列函数关系式；5.二次函数的性质.20.（上海）如图，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是（）．(A)△ABD与△ABC的周长相等；(B)△ABD与△ABC的面积相等；(C)菱形的周长等于两条对角线之和的两倍；(D)菱形的面积等于两条对角线之积的两倍．【答案】B.【解析】试题分析：根据菱形的性质作答即可：∵菱形的四边相等，对角线不一定相等，∴△ABD与△ABC的周长不一定相等；∵△ABD与△ABC的面积都是菱形ABCD面积的一半，∴△ABD与△ABC的面积相等；菱形的周长不一定等于两条对角线之和的两倍；菱形的面积等于两条对角线之积的一半．故选B.考点：菱形的性质.21.（天津）如图，ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于【】（A）3：2（B）3：1（C）1：1（D）1：2考点：1.平行四边形的性质；2.相似三角形的判定和性质.22.（新疆、兵团）四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是【】A．OA=OC，OB=ODB．AD∥BC，AB∥DCC．AB=DC，AD=BD．AB∥DC，AD=BC故选D．考点：平行四边形的判定．23.（新疆、兵团）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E为AB上一点，分别以ED，EC为折痕将两个角（∠A，∠B）向内折起，点A，B恰好落在CD边的点F处．若AD=3，BC=5，则EF的值是【】A．B．C．D．【答案】A．【解析】考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.折叠对称的性质；3.矩形的判定和性质；4.勾股定理.24.（舟山）如图，在一张矩形纸片ABCD中，AD＝4cm，点E，F分别是CD和AB的中点．现将这张纸片折叠，使点B落在EF上的点G处，折痕为AH．若HG的延长线恰好经过点D，则CD的长为【】(A)2cm(B)cm(C)4cm(D)cm考点：1.折叠问题；2.矩形的判定和性质；3.勾股定理；4.相似三角形的判定和性质；5.方程思想的应用.25.（重庆B）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为【】A、30°B、60°C、90°D、120°【答案】B.【解析】试题分析：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=OC，BO=OD，AC=BD.∴OB=GC.∴∠ACB＝∠DBC.∵∠ACB＝30°，∴∠DBC＝30°.∴∠AOB=60°.故选B.考点：1.矩形的性质；2.等腰三角形的性质，三角形外角性质.26.（重庆B）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，以AB为直径作一个半圆，则图中阴影部分的面积为【】A、B、C、D、考点：1.菱形的性质；2.勾股定理；3.转换思想的应用.二、填空题1.（福州）如图，在ABCD中，DE平分∠ADC，AD=6，BE=2，则ABCD的周长是▲．【答案】20.【解析】考点：1.平行四边形的性质；2.平行的性质；3.等腰三角形的判定.2.（玉林、防城港）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，∠A=120°，AD=2，BD平分∠ABC，则梯形ABCD的周长是▲．【答案】7+．【解析】考点：1.直角梯形的性质；2.平行的性质；3.等腰三角形的判定和性质；4.锐角三角函数定义；5.特殊角的三角函数值；6.勾股定理．3.（毕节）将四根木条钉成的长方形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为长方形面积的一半（木条宽度忽略不计），则这个平行四边形的最小内角为▲度．【答案】30.【解析】考点：1.矩形和平行四边形的性质；2.含30度角的直角三角形性质.4.（河南）如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=600，把菱形ABCD绕点A顺时针旋转300得到菱形AB'C'D'，其中点C的运动能路径为，则图中阴影部分的面积为▲.【答案】.【解析】试题分析：如答图，连接AC，AC'，过点D作DH⊥AC于点H，∵在菱形ABCD中,∠DAB=600,∴∠D=1200,AD=DC.∴∠DAC=∠DCA=300.又∵把菱形ABCD绕点A顺时针旋转300得到菱形AB'C'D'，∴∠DAD'=300.∴A，D'，C三点共线.∵AD=AB=1，∴.考点：1.面动旋转问题；2.菱形的性质；3.扇形面积的计算；4.旋转的性质；5.含30度直角三角形的性质；6.转换思想的应用．5.（河南）如图，矩形ABCD中，AD=5，AB=7.点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D'落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为▲.【答案】或.【解析】易证，△EMD'∽△D'NA，∴.当BN=D'N=3时，，∴；当BN=D'N=4时，，∴.∵DE=D'E，∴DE的长为或.考点：1.折叠问题；2.矩形的性质；3.角平分线的性质；4.正方形和等腰直角三角形的判定和性质；5.勾股定理；6.相似三角形的判定和性质；7.方程思想和分类思想的应用.6.（黄冈）如图，在一张长为8cm、宽为6cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为5cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积是▲cm2．∵，∴；（3）当AE=EF=5厘米时，如答图，考点：1.实践操作题；2.作图（应用与设计作图）；3.矩形的性质；4.等腰三角形的性质；5.勾股定理；6.分类思想的应用.．7.（十堰）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF．给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB=AC；从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是▲（只填写序号）．考点：菱形的判定．8.（武汉）如图，在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长为▲.【答案】.【解析】在Rt△ADD′中，由勾股定理得.考点：1.等腰直角三角形的判定和性质；2.全等三角形的判定和性质；3.勾股定理；4.转换思想的应用．9.（襄阳）在ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=，则ABCD的周长等于▲．【答案】12或20．【解析】考点：1.平行四边形的性质；2.勾股定理；3.分类思想的应用．10.（孝感）如图，已知矩形ABCD，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE、BE，若△ABE是等边三角形，则＝▲．【答案】.【解析】考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.勾股定理；3.折叠的性质；4.矩形的性质；5.等边三角形的性质．11.（扬州）如图，若该图案是由8个全等的等腰梯形拼成的，则图中的__________º.考点：1.多边形内角和定理；2.等腰梯形的性质.12.（赤峰）一只蚂蚁在图所示的矩形地砖上爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率为▲．【答案】.【解析】考点：1.矩形的中心对称性质；2.概率；3.转换思想和数形结合思想的应用.13.（赤峰）如图，E是矩形ABCD中BC边的中点，将△ABE沿AE折叠到△AEF，F在矩形ABCD内部，延长AF交DC于G点，若∠AEB=550，则∠DAF的度数为▲．【答案】20°．【解析】∵菱形ABCD中，对角线长AC=8cm，BD=6cm，∴AE=4cm，BE=3cm，且AC⊥BD.∴根据勾股定理得，AB=5cm．考点：1.菱形的性质；2.勾股定理.15.（宁夏）如下图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=2，BC=5，∠BAD的平分线交BC于点E，且AE∥CD，则四边形ABCD的面积为▲．【答案】.【解析】考点：1.等腰梯形的性质和面积；2.平行四边形的判定和性质；3.等边三角形的判定和性质；4.平行的性质；5.角平分线定义.16.（滨州）如图，菱形OABC的顶点O是原点，顶点B在y轴上，菱形的两条对角线的长分别是6和4.反比例函数的图象经过顶点C，则k的值为▲.【答案】－6.【解析】试题分析：∵菱形的两条对角线的长分别是6和4，∴C（﹣3，2）.∵点C在反比例函数的图象上，∴，解得k=－6.考点：1.菱形的性质；2.曲线上点的坐标与方程的关系.17.（上海）如图，已知在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，且AB＝3EB．设，，那么＝_________（结果用、表示）．【答案】.【解析】试题分析：根据三角形法则，.考点：平面向量.18.（上海）如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE＝2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C、D分别落在边BC下方的点C′、D′处，且点C′、D′、B在同一条直线上，折痕与边AD交于点F，D′F与BE交于点G．设AB＝t，那么△EFG的周长为______________（用含t的代数式表示）．【答案】【解析】试题分析：如图，连接D′B，过点F作FH⊥BC于点H，∵BE＝2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C、D分别落在边BC下方的点C′、D′处，且点C′、D′、考点：1.折叠问题；2.矩形的判定和性质；3.含30度直角三角形的判定和性质；4.等边三角形的判定和性质.19.（天津）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上.（1）计算的值等于▲；（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为一边的矩形，使矩形的面积等于，并简要说明画图方法（不要求证明）▲.【答案】（1）11；（2）作图如下，分别以AC、BC、AB为一边作正方形ACED，正方形BCNM，正方形ABHF；延长DE交MN于点Q，连接QC，平移QC至AG，BP位置，直线GP分别交AF，BH于点T，S，则四边形ABST即为所求．【解析】试题分析：（1）直接利用勾股定理计算：.（2）首先分别以AC、BC、AB为一边作正方形ACED，正方形BCNM，正方形ABHF；进而得出答案．考点：1.作图（应用与设计作图）；2.网格问题；3.勾股定理．20.（金华）如图，矩形ABCD中，AB=8，点E是AD上的一点，有AE=4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连结EF交CD于点G，若G是CD的中点，则BC的长是▲．考点：1.矩形的性质；2.全等三角形的判定和性质；3.勾股定理；4.线段垂直平分线的性质；5.方程思想的应用.21.（重庆A）如图，菱形ABCD中，∠A=60°，BD=7，则菱形ABCD的周长为▲.【答案】28.【解析】试题分析：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA.∵∠A=60°，∴△ABD是等边三角形.∵BD=7，∴AB=BC=CD=DA=BD=7.∴菱形ABCD的周长为28.∴考点：1.菱形的性质；2.等边三角形的判定和性质.22.（重庆A）如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点.点E在CD上，且DE=2CE，连接BE.过点C作CF⊥BE，垂足是F，连接OF，则OF的长为▲.【答案】.【解析】考点：1.正方形的性质；2.勾股定理；3.四点共圆的判定；4.圆周角定理；5.相似三角形的判定和性质.23.（重庆B）如图，在边长为的正方形ABCD中，E是AB边上一点，G是AD延长线上一点，BE＝DG，连接EG，CF⊥EG于点H，交AD于点F，连接CE、BH.若BH＝8，则FG＝▲．【答案】.【解析】考点：1.平面几何综合题；2.正方形的性质；3.全等三角形的判定和性质；4.等腰直角三角形的判定和性质；5.圆周角定理；6.勾股定理；7.相似三角形的判定和性质.三、解答题1.（梅州）（本题满分8分）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE.（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？【答案】（1）证明见解析；（2）GE=BE+GD成立，理由见解析.【解析】∴GE=DF+GD=BE+GD．考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定和性质；3.等腰直角三角形的性质．2.（梅州）（本题满分11分）如图，已知抛物线与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C.（1）直接写出A、D、C三点的坐标；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使得MD+MC的值最小，并求出点M的坐标；（3）设点C关于抛物线对称的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）A(4，0)、D(－2，0)、C(0，－3)；（2）连接AC，则AC与抛物线的对称轴交点M即为所求，M(1，)；（3）存在，(－2，0)或(6，6).【解析】∴直线AC的解析式为.∵的对称轴是直线，把x=1代入得`∴M(1，).（3）存在，分两种情况：①如图，当BC为梯形的底边时，点P与D重合时，四边形ADCB是梯形，此时点P为(－2，0).∴P(6，6).综上所述，在抛物线上存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形，点P的坐标为(－2，0)或(6，6).考点：1.二次函数综合题；2.待定系数法的应用；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.轴对称的应用（最短线路问题）；5.二次函数的性质；6.梯形存在性问题；7.分类思想的应用.3.（珠海）（本题满分9分）如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC的延长线上，连结EF与边CD相交于点G，连结BE与对角线AC相交于点H，AE=CF，BE=EG.（1）求证：EF//AC；（2）求∠BEF大小；（3）求证：.【答案】（1）证明见解析；（2）60°；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定．（2）先确定三角形GCF是等腰直角三角形，得出CG=AE，然后通过△BAE≌△BCG，得出BE=BG=EG，即可求得．（3）因为△BEG是等边三角形，∠ABC=90°，∠ABE=∠CBG，从而求得∠ABE=15°，然后通过求得△AHB∽△FGB，即可求得．（3）∵△BAE≌△BCG，∴∠ABE=∠CBG.∵∠BAC=∠F=45°，∴△AHB∽△FGB.考点：1.正方形的性质；2.平行四边形的判定和性质；3.全等三角形的判定和性质；4.等边三角形的判定和性质；5.相似三角形的判定和性质；6.锐角三角函数定义.4.（珠海）（本题满分9分）如图，矩形OABC的顶点A（2，0）、C（0，）.将矩形OABC绕点O逆时针旋转30°，得矩形OEFG，线段GE、FO相交于点H，平行于y轴的直线MN分别交线段GF、GH、GO和x轴于点M、P、N、D，连结MH.（1）若抛物线经过G、O、E三点，则它的解析式为：▲；（2）如果四边形OHMN为平行四边形，求点D的坐标；（3）在（1）（2）的条件下，直线MN抛物线l交于点R，动点Q在抛物线l上且在R、E两点之间（不含点R、E）运动，设ΔPQH的面积为s，当时，确定点Q的横坐标的取值范围.【答案】（1）；（2）；.【解析】（3）∵点E，G的坐标分别是，∴由待定系数法可求得直线EG的解析式为.如答图，过点Q作QT∥y轴交GE于点T，设，则.考点：1.二次函数综合题；2.面动旋转和单动点问题；3.待定系数法的应用；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.矩形的性质；6.含30度角直角三角形的性质；7.平行四边形的性质；8.由实际问题列函数关系式；9.分类思想和数形结合思想的应用.5.（玉林、防城港）（10分）如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP=BM，连接NP，BP．（1）求证：四边形BMNP是平行四边形；（2）线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系？请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）BM=MC，理由见解析.【解析】∵∠BAM+∠AMB=90°，∴∠CBP+∠AMB=90°.∴AM⊥BP.∵AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，∴AM⊥MN，且AM=MN.∴MN∥BP.∴四边形BMNP是平行四边形.（2）BM=MC．理由如下：∵∠BAM+∠AMB=90°，∠AMB+∠CMQ=90°，∴∠BAM=∠CMQ.又∵∠B=∠C=90°，∴△ABM∽△MCQ.∴.考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定和性质；3.平行四边形的判定和性质；4.相似三角形的判定和性质.6.（遵义）（10分）如图，ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分别是AB，CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于O．（1）求证：BO=DO；（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1时，求AD的长．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（2）∵BD⊥AD，∴∠ADB=90°.∵∠A=45°，∴∠DBA=∠A=45°.∵EF⊥AB，∴∠G=∠A=45°.∴△ODG是等腰直角三角形.∵AB∥CD，EF⊥AB，∴DF⊥OG，∴OF=FG，△DFG是等腰直角三角形.∵△ODF≌△OBE（AAS）∴OE=OF.∴GF=OF=OE，即2FG=EF.∵△DFG是等腰直角三角形，∴DF=FG=1，∴DG=.∵AB∥CD，∴，即.∴AD=.考点：1.平行四边形的性质；2.全等三角形的判定和性质；等3.腰直角三角形的判定和性质；4.平行线分线段成比例定理．7.（河北）（本小题满分11分）如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△ADE，连接BD，CE交于点F.（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）求∠ACE的度数；（3）求证：四边形ABFE是菱形.【答案】（1）证明见解析；（2）20°；（3）证明见解析.【解析】∴∠BAD=∠CAE=100°.考点：1.全等三角形的判定和性质；2.菱形的判定；3.旋转的性质．9.（河南）（9分）如图,CD是⊙O的直径，且CD=2cm，点P为CD的延长线上一点，过点P作⊙O的切线PA、PB，切点分别为点A、B.（1）连接AC，若∠APO＝300，试证明△ACP是等腰三角形；（2）填空：①当DP=▲cm时，四边形AOBD是菱形；②当DP=▲cm时，四边形AOBP是正方形．【答案】（1）证明见解析；（2）①1；②.【解析】试题分析：（1）连接AO，根据切线的性质，圆周角定理得到∠APO＝∠ACP＝300，从而根据等角对等边的判定得出结论.（3）①如答图，要求四边形AOBD是菱形，由于OA=OB，故只要AD=BC且AD∥BC；由于OA=OD，故只要△AOD是等边三角形，即∠AOP=600；由于PA是⊙O的切线，故只要OP=2AO=2OD=2cm，即DP=1cm.②如答图，要求四边形AOBP是正方形，由于PA是⊙O的切线，故只要AP=BP=OA=OA=1cm；根据勾股定理可得，从而.试题解析：（1）如答图，连接AO，∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO＝900.∵∠APO＝300，∴∠AOP＝600.∴∠ACP＝300.∴∠APO＝∠ACP.∴∠AP＝∠AC，即△ACP是等腰三角形.（2）①1.②.考点：1.切线的性质；2.等腰三角形的判定和性质；3.菱形和正方形的判定；4.等边三角形的判定和性质；5.等腰直角三角形的判定和性质.10.（河南）（10分）（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE.填空：①∠AEB的度数为▲；②线段AD和BE之间的数量关系是▲.（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=900,点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE.请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由.（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD=.若点P满足PD=1，且∠BPD=900，请直接写出点A到BP的距离.【答案】（1）①60；②AD=BE；（2）∠AEB＝900；AE=2CM+BE，理由见解析；（3）或.【解析】∵CD=，∴BD=2，BP=.∴AM=PP/=(PB-BP/)=.第二种情况如图②，可得AM=PP/=(PB+BP/)=.试题解析：（1）①60；②AD=BE.（2）∠AEB＝900；AE=2CM+BE.理由如下：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=900，考点：1.等边三角形和等腰直角三角形的性质；2.全等三角形的判定和性质；3.勾股定理；4.切线的判定和性质；5.分类思想的应用.11.（黄冈）如图，已知双曲线与两直线、（且）分别相交于A、B、C、D四点．（1）当C(－1，1)时，A、B、D三点的坐标分别是A(▲，▲)、B(▲，▲)、D(▲，▲)．（2）证明：以A、D、B、C为顶点的四边形是平行四边形；（3）当k为何值时，ADBC是矩形？【答案】（1），D（1，-1）；（2）证明见解析；（3）4.【解析】试题分析：（1）由C坐标，利用反比例函数的中心对称性确定出D坐标，联立双曲线与直线，试题解析：（1），D（1，-1）.（2）∵双曲线与两直线、（且）分别相交于A、B、C、D四点，且三者都是中心对称图形，∴OA=OB，OC=OD.∴以点A、D、B、C为顶点的四边形是平行四边形.（3）若ADBC是矩形，可得AB=CD，考点：1.反比例函数与正比例函数综合题；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3.平行四边形的判定；4矩形的性质；5.勾股定理；6.反比例函数与正比例函数的中心对称性质.12.（十堰）（8分）如图，点B（3，3）在双曲线（x＞0）上，点D在双曲线（x＜0）上，点A和点C分别在x轴，y轴的正半轴上，且点A，B，C，D构成的四边形为正方形．（1）求k的值；（2）求点A的坐标．【答案】（1）9.（2）（1，0）．【解析】试题分析：（1）把B的坐标代入求出即可；（2）过D作DM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，设MD=a，OM=b，求出ab=4，证△ADM≌△BAN，推出BN=AM=3，MD=AN=a，求出a=b，求出a的值即可．试题解析：解：（1）∵点B（3，3）在双曲线上，∴k=3×3=9.考点：1.正方形的性质；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3.全等三角形的判定和性质；3.待定系数法的应用．13.（南京）（8分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F．（1）求证：四边形DBFE是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DBEF是菱形？为什么？【答案】（1）证明见解析；（2）当AB=BC时，四边形DBEF是菱形，理由见解析.【解析】又∵四边形DBFE是平行四边形，∴四边形DBFE是菱形．考点：1.三角形中位线定理；2.平行四边形的判定；3.菱形的判定．14.（扬州）（本题10分）如图，已知中，，先把绕点B顺时针旋转至后，再把沿射线AB平移至，ED、FG相交于点H.（1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；（2）连结CG，求证：四边形CBEG是正方形.【答案】（1）FG⊥ED，理由见解析；（2）证明见解析.【解析】考点：1.旋转和平移问题；2.旋转的性质；3.正方形的判定；平移的性质．15.（扬州）（本题12分）已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处.（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP，OP，OA.①求证：△OCP∽△PDA；②若△OCP与△PDA的面积比为1:4，求边AB的长；（2）若图1中的点P恰巧是CD边的中点，求∠OAB的度数；（3）如图2，在（1）条件下，擦去折痕AO、线段OP，连结BP.动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E.试问当点M，N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求线段EF的长度.【答案】（1）①证明见解析；②10；（2）30º；（3）不变，.【解析】试题分析：（1）①由矩形和折叠对称的性质可得∠C=∠D=90º和∠DAP=∠CPO，从而证出结论.②由①和△OCP与△PDA的面积比为1:4，可求出CP的长，从而设AB=AP=x，在Rt△APD中，由勾股定理列方程求解即可.（2）求出即可得到∠PAD=30º，从而由∠OAB=∠OAP即可得∠OAB=30º.（3）不变，过点M作MH∥BN交PB于点H，则由AAS可证明△NBF≌△MHF，从而得到EF=，（3）不变.如答图，过点M作MH∥BN交PB于点H，则∠MHP=∠ABP，∠MHF=∠NBF.∵AP=CD，∴∠APB=∠ABP.∴∠MHP=∠APB.∴MP=MH.∵MP=BN，∴BN=MH.又∵∠NFB=∠MFH，∴△NBF≌△MHF（AAS）.∴FH=FB.∵MP=MH，ME⊥PB，∴PE=EH.∵EF=EH+FH，∴EF=EP+FB=.由（1）得AB=10，AD=8，∴DP=6.∴PC=4.∴.∴.考点：1.折叠问题；2.矩形的性质；3.相似三角形的判定和性质；4.勾股定理；5.含30度直角三角形的性质；6.全等三角形的判定和性质；7.方程思想的应用.16.（呼和浩特）（7分）如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿AC折叠，点B落在点E处，AE与DC的交点为O,连接DE．（1）求证：∆ADE≌∆CED；（2）求证：DEAC.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】考点：1.折叠问题；2.矩形的性质；3.折叠对称的性质；4.全等三角形的判定和性质；5.平行的判定.17.（宁夏）（6分）在平行四边形ABCD中，将△ABC沿AC对折，使点B落在B'处，AB'‘和CD相交于点O．求证：OA=OC．【答案】证明见解析.【解析】17.（滨州）（本小题满分10分）如图，已知正方形ABCD，把边DC绕D点顺时针旋转30°到DC′处，连接AC′，BC′，CC′，写出图中所有的等腰三角形，并写出推理过程．【答案】△DCC′，△DC′A，△C′AB，△C′BC，理由见解析.【解析】考点：1.线动旋转问题；2.正方形的性质；3.等腰三角形的判定；4.全等三角形的判定和性质；5.旋转的性质．18.（滨州）（本小题满分12分）如图，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q.（1）求证：△APQ∽△CDQ；（2）P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位的速度向B点移动，移动时间为t秒.①当t为何值时，DP⊥AC？②设，写出y与t之间的函数解析式，并探究P点运动到第几秒到第几秒之间时，y取得最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）①5；②，8-9.【解析】（2）①当DP⊥AC时，∴∠4+∠2=90o.又∵∠5+∠2=90o，∴∠4=∠5.又∵∠ADC=∠DAP=90o，∴△ADC∽△PAD.∴，即.∴PA=5.∵P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位的速度向B点移动，∴t=5.从表中可看出：当时；y随t的值的增大而减小；当时；y随t的值的增大而增大.∴P点运动到第8秒到第9秒之间时，y取得最小值.考点：1.单动点问题；2.相似三角形的判定和性质；3.由实际问题列函数关系式；4.列表求函数值分析函数的性质.19.（潍坊）（本小题满分12分）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、BF，交点为G．（1）求证：AE⊥BF；（2）将△BCF沿BF对折，得到△BPF（如图2），延长FP交BA的延长线于点Q，求sin∠BQP的值；（3）将△ABE绕点A逆时针方向旋转，使边AB正好落在AE上，得到△AHM（如图3），若AM和BF相交于点N，当正方形ABCD的面积为4时，求四边形GHMN的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】在Rt△BPQ中，设QB=x，∴，即，解得x=k.∴sin∠BQP=.（3）∵正方形ABCD的面积为4，∴AB=2.由旋转的性质得：∠BAE=∠EAM，又由（1）AE⊥BF，∴△ABG≌△ANG（ASA）.∴AN=AB.=2.∵∠BAE=∠GAN，∠ABE=∠AGN=900，∴△ABE∽△AGN.∴.∵在Rt△ABE中，AB=2，BN=1，∴.∴.∴.∵由旋转的性质得：，∴.∴四边形GHMN的面积是.考点：1.折叠和旋转问题；2.正方形的性质；3.全等三角形的判定和性质；4.相似三角形的判定和性质；5.锐角三角函数定义；6.勾股定理；7.转换思想的应用.20.（上海）（本题满分12分，每小题满分各6分）已知：如图，梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，对角线AC、BD相交于点F，点E是边BC延长线上一点，且∠CDE＝∠ABD．（1）求证：四边形ACED是平行四边形；（2）连接AE，交BD于点G，求证：．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】∴.考点：1.等腰梯形的性质；2.全等三角形的判定和性质；3.平行四边形的判定和性质；4.相似三角形的判定和性质；5.比例的性质.21.（上海）（本题满分14分，第（1）小题满分3分，第（1）小题满分5分，第（1）小题满分6分）如图1，已知在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，cosB＝，点P是边BC上的动点，以CP为半径的⊙C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE与射线BA交于点G．（1）当⊙C经过点A时，求CP的长；（2）连接AP，当AP//CG时，求弦EF的长；（3）当△AGE是等腰三角形时，求⊙C的半径长．【答案】（1）5；（2）；（3）.【解析】∴在Rt△AHC中,.∴CP=AC=5.（2）若AP//CG，则四边形APCE是平行四边形.又∵CE=CP，∴四边形APCE是菱形.如图，连接AC，EP，则AC⊥EP，AM=MC=.由（1）得，AC=AB=5，∴∠ACB=∠B.∴在Rt△CPM中,.∴CE=CP=.（3）∵cosB=，∴.又∵，∴.又∵，∴当时，A、E、G重合.∴只能.∵AD∥BC，∴△AEG∽△BCG.∴，即.解得.∴，即⊙C的半径长为.考点：1.锐角三角函数定义；2.勾股定理；3.菱形的判定和性质；4.垂径定理；5.相似三角形的判定和性质.22.（成都）（本小题满分10分）如图，矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD边上一点，（为大于2的整数），连接BE，作BE的垂直平分线分别交AD、BC于点F，G，FG与BE的交点为O，连接BF和EG.（1）试判断四边形BFEG的形状，并说明理由；（2）当（为常数），时，求FG的长；（3）记四边形BFEG的面积为，矩形ABCD的面积为，当时，求的值.（直接写出结果，不必写出解答过程）【答案】（1）菱形，理由见解析；（2）；（3）6.【解析】设菱形BFEG的边长为x，∵AB2＋AF2＝BF2，∴，解得：x＝.∴OF＝.∴FG＝.（3）n＝6.考点：1.矩形的性质；2.线段垂直平分线的性质；3.全等三角形的判定和性质；5.菱形的判定和性质；6.勾股定理；7.特殊元素法和方程思想的应用.23.（天津）（本小题10分）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（-2，0），点B（0，2），点E，点F分别为OA，OB的中点.若正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形OE’D’F’，记旋转角为α.（1）如图①，当α＝90°，求AE'，BF'的长；（2）如图②，当α＝135°，求证AE'＝BF'，且AE'⊥BF'；（3）若直线AE'与直线BF'相交于点P，求点P的纵坐标的最大值（直接写出结果即可）.【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）.【解析】在Rt△AE′O中，．在Rt△BOF′中，∴AE′，BF′的长都等于．（2）当α=135°时，如图②．考点：1.面动旋转问题；2.三角形的外角性质；3.全等三角形的判定和性质；4.含30度角的直角三角形的性质；5.勾股定理．24.（新疆、兵团）（10分）如图，已知△ABC，按如下步骤作图：①分别以A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；②作直线PQ，分别交AB，AC于点E，D，连接CE；③过C作CF∥AB交PQ于点F，连接AF．（1）求证：△AED≌△CFD；（2）求证：四边形AECF是菱形．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】∴EC=EA=FC=FA.∴四边形AECF为菱形．考点：1.作图—基本作图；2.全等三角形的判定与性质；3.菱形的判定.25.（舟山）已知：如图，在ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF．（1）求证：△DOE≌△BOF．（2）当∠DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形?请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）当∠DOE=90°时，四边形BFDE为菱形，理由见解析.【解析】考点：1.平行四边形的判定和性质；2.全等三角形的判定和性质；3.菱形的判定.26.（舟山）类比梯形的定义，我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A＝70°，∠B＝80°．求∠C，∠D的度数．（2）在探究“等对角四边形”性质时：①小红画了一个“等对角