2020-2024五年高考数学真题分类汇编专题10 空间向量与立体几何（真题12个考点精准练+模拟练）原卷版

2020-2024年五年高考真题分类汇编PAGEPAGE1专题10空间向量与立体几何（真题12个考点精准练+精选模拟练）5年考情考题示例考点分析2024年秋考17题2024年春考10、14、18题棱锥的体积、直线与平面所成的角异面直线及其所成的角，空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系、空间两条直线的位置关系，二面角的平面角及求法、直线与平面垂直2023秋考12、17题2023春考15、17题棱锥的结构特征，二面角的平面角及求法、直线与平面平行异面直线的判定，直线与平面所成的角、点、线、面间的距离计算2022秋考5、15、17题2022春考15、17题圆柱的侧面积，空间中直线与直线之间的位置关系，棱柱、棱锥、棱台的体积、直线与平面所成的角空间中直线与直线之间的位置关系，直线与平面所成的角2021年秋考9、17题2021年春考3、17题空间中的最值问题，直线与平面所成的角、三棱锥的体积圆锥的侧面积，直线与平面所成的角、棱锥的体积2020年秋考15、17题2020年春考6、21题空间中直线与直线之间的位置关系，直线与平面所成的角、圆柱的表面积几何体的体积，空间点线面的距离的求法一．棱锥的结构特征（共1小题）1．（2023•上海）空间中有三个点、、，且，在空间中任取2个不同的点，（不考虑这两个点的顺序），使得它们与、、恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法有种．二．棱柱、棱锥、棱台的体积（共3小题）2．（2024•上海）如图为正四棱锥，为底面的中心．（1）若，，求绕旋转一周形成的几何体的体积；（2）若，为的中点，求直线与平面所成角的大小．3．（2022•上海）如图所示三棱锥，底面为等边，为边中点，且底面，．（1）求三棱锥体积；（2）若为中点，求与面所成角大小．4．（2020•上海）已知四棱锥，底面为正方形，边长为3，平面．（1）若，求四棱锥的体积；（2）若直线与的夹角为，求的长．三．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积（共3小题）5．（2022•上海）已知圆柱的高为4，底面积为，则圆柱的侧面积为．6．（2021•上海）已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为．7．（2021•上海）已知圆柱的底面圆半径为1，高为2，为上底面圆的一条直径，是下底面圆周上的一个动点，则的面积的取值范围为．四．异面直线及其所成的角（共1小题）8．（2024•上海）已知四棱柱底面为平行四边形，，且，求异面直线与的夹角．五．异面直线的判定（共1小题）9．（2023•上海）如图所示，在正方体中，点为边上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是A． B． C． D．六．空间中直线与直线之间的位置关系（共3小题）10．（2022•上海）上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为A．0 B．2 C．4 D．1211．（2022•上海）如图正方体中，、、、分别为棱、、、的中点，连接，．空间任意两点、，若线段上不存在点在线段、上，则称两点可视，则下列选项中与点可视的为A．点 B．点 C．点 D．点12．（2020•上海）在棱长为10的正方体中，为左侧面上一点，已知点到的距离为3，到的距离为2，则过点且与平行的直线交正方体于、两点，则点所在的平面是A． B． C． D．七．空间中直线与平面之间的位置关系（共1小题）13．（2024•上海）空间中有两个不同的平面，和两条不同的直线，，则下列说法中正确的是A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则八．空间向量基本定理、正交分解及坐标表示（共1小题）14．（2024•上海）定义一个集合，集合元素是空间内的点集，任取，，，存在不全为0的实数，，，使得．已知，0，，则，0，的充分条件是A．，0， B．，0， C．，1， D．，0，九．空间向量的数量积判断向量的共线与垂直（共1小题）15．（2023•上海）已知、、为空间中三组单位向量，且、，与夹角为，点为空间任意一点，且，满足，则最大值为．一十．直线与平面所成的角（共4小题）16．（2022•上海）如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为、，为圆柱的母线，底面半径长为1．（1）若，为的中点，求直线与上底面所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（2）若圆柱过的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积．17．（2021•上海）四棱锥，底面为正方形，边长为4，为中点，平面．（1）若为等边三角形，求四棱锥的体积；（2）若的中点为，与平面所成角为，求与所成角的大小．18．（2021•上海）如图，在长方体中，已知，．（1）若是棱上的动点，求三棱锥的体积；（2）求直线与平面的夹角大小．19．（2020•上海）已知是边长为1的正方形，正方形绕旋转形成一个圆柱．（1）求该圆柱的表面积；（2）正方形绕逆时针旋转至，求线段与平面所成的角．一十一．二面角的平面角及求法（共2小题）20．（2024•上海）如图，、、为圆锥三条母线，．（1）证明：；（2）若圆锥侧面积为为底面直径，，求二面角的大小．21．（2023•上海）已知直四棱柱，，，，，．（1）证明：直线平面；（2）若该四棱柱的体积为36，求二面角的大小．一十二．点、线、面间的距离计算（共1小题）22．（2023•上海）已知三棱锥中，平面，，，，为中点，过点分别作平行于平面的直线交、于点，．（1）求直线与平面所成角的大小；（2）证明：平面平面，并求直线到平面的距离．一．选择题（共16小题）1．（2024•普陀区模拟）若一个圆锥的体积为，用通过该圆锥的轴的平面截此圆锥，得到的截面三角形的顶角为，则该圆锥的侧面积为A． B． C． D．2．（2024•闵行区校级模拟）在空间中，“、为异面直线”是“、不相交”的A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件3．（2024•宝山区二模）已知直线、、与平面、，下列命题正确的是A．若，，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则4．（2024•嘉定区校级模拟）如图，在四面体中，，，．点在上，且，为的中点，则A． B． C． D．5．（2024•长宁区校级三模）如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，则A．，且直线、是异面直线 B．，且直线、是异面直线 C．，且直线、是相交直线 D．，且直线、是相交直线6．（2024•静安区二模）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中真命题是A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，，则7．（2024•浦东新区校级模拟）空间向量在上的投影向量为A． B． C． D．8．（2024•浦东新区校级模拟）已知正方体的棱长为2，点，分别是棱，的中点，点在平面内，点在线段上，若，则长度的最小值为A． B． C． D．9．（2024•青浦区校级模拟）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为10．（2024•黄浦区校级三模）如图，点是棱长为2的正方体表面上的一个动点，直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为A． B． C． D．11．（2024•浦东新区校级模拟）设，，，是空间中给定的个不同的点，则使成立的点的个数为A．1 B． C．无穷多个 D．前面的说法都有可能12．（2024•浦东新区三模）边长都是为1的正方形和正方形所在的两个半平面所成的二面角为，、分别是对角线、上的动点，且，则的取值范围是A． B． C． D．13．（2024•闵行区校级三模）空间和两条异面直线同时都垂直且相交的直线A．不一定存在 B．有且只有1条 C．有1条或不存在 D．有无数条14．（2024•金山区二模）如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，则以下命题中正确的是A． B． C．、、三点共线 D．直线与相交15．（2024•宝山区校级四模）已知正方体和点，有两个命题：命题甲：存在条过点的直线，满足与正方体的每条棱所成角都相等；命题乙：存在个过点的平面，满足与正方体的每个面所成锐二面角都相等；则下列判断正确的是A． B． C． D．、的大小关系与点的位置有关16．（2024•浦东新区校级模拟）如图，三棱柱满足棱长都相等且平面，是棱的中点，是棱上的动点．设，随着增大，平面与底面所成锐二面角的平面角是A．先增大再减小 B．减小 C．增大 D．先减小再增大二．填空题（共20小题）17．（2024•黄浦区二模）若一个圆柱的底面半径为2，母线长为3，则此圆柱的侧面积为．18．（2024•嘉定区二模）已知圆锥的母线长为2，高为1，则其体积为．19．（2024•松江区校级模拟）半径为2的球的体积为．20．（2024•杨浦区二模）正方体中，异面直线与所成角的大小为．21．（2024•虹口区二模）已知某球体的表面积为，则该球体的体积是．22．（2024•黄浦区校级三模）已知空间向量，，共面，则实数．23．（2024•崇明区二模）已知向量，，，，1，，若，则．24．（2024•松江区校级模拟）如图是三角形用斜二测画法得到的水平直观图三角形，其中轴，轴，若三角形的面积是6，则三角形的面积是．25．（2024•崇明区二模）已知底面半径为1的圆柱，是其上底面圆心，、是下底面圆周上两个不同的点，是母线．若直线与所成角的大小为，则．26．（2024•松江区校级模拟）已知正方体的棱长为4，点、分别是棱、的中点，则过、、确定的平面被正方体所截的截面面积为．27．（2024•浦东新区二模）如图，有一底面半径为1，高为3的圆柱．光源点沿着上底面圆周做匀速运动，射出的光线始终经过圆柱轴截面的中心．当光源点沿着上底面圆周运动半周时，其射出的光线在圆柱内部“扫过”的面积为．28．（2024•青浦区二模）如图，在棱长为1的正方体中，、、在棱、、上，且，以为底面作一个三棱柱，使点，，分别在平面、、上，则这个三棱柱的侧棱长为．29．（2024•浦东新区校级模拟）半径为的球被平面截下的部分叫做球缺，垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高，球缺的体积公式为．已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，在圆锥内部放置一个小球，使其与圆锥侧面和底面都相切，过小球与圆锥侧面的切点所在的平面将小球分成两部分，则较小部分的球缺的体积与球的体积之比为．30．（2024•普陀区校级模拟）正四面体的棱长为12，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，点到的距离为．31．（2024•青浦区校级模拟）已知正四面体的边长为1，是空间一点，若，则的最小值为．32．（2024•虹口区二模）如图，在直四棱柱中，底面为菱形，且．若，点为棱的中点，点在上，则线段，的长度和的最小值为．33．（2024•虹口区模拟）如图，这是某同学绘制的素描作品，图中的几何体由一个正四棱锥和一个正四棱柱贯穿构成，正四棱柱的侧棱平行于正四棱锥的底面，正四棱锥的侧棱长为，底面边长为6，正四棱柱的底面边长为，，，是正四棱锥的侧棱和正四棱柱的侧棱的交点，则．34．（2024•黄浦区二模）在四面体中，，，，设四面体与四面体的体积分别为、，则的值为．35．（2024•浦东新区校级三模）正方体的棱长为2，为该正方体侧面内的动点（含边界），若，分别与直线所成角的正切值之和为，则四棱锥的体积的取值范围为．36．（2024•奉贤区三模）已知正方体的棱长为3，，，，为正方形边上的个两两不同的点．若对任意的点，存在点，，2，，，．使得直线与平面以及平面所成角大小均为，则正整数的最大值为．三．解答题（共24小题）37．（2024•松江区二模）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点．（1）设平面与直线相交于点，求证：；（2）若，，，求直线与平面所成角的大小．38．（2024•虹口区二模）如图，在三棱柱中，，为的中点，，．（1）求证：平面；（2）若平面，点在棱上，且平面，求直线与平面所成角的正弦值．39．（2024•长宁区二模）如图，在长方体中，，．（1）求二面角的大小；（2）若点在直线上，求证：直线平面．40．（2024•黄浦区二模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，点是棱上的一点，平面．（1）求证：点是棱的中点；（2）若平面，，，与平面所成角的正切值为，求二面角的大小．41．（2024•金山区二模）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，点是的中点，点在上，异面直线与所成的角是．（1）求证：；（2）若，，求二面角的大小．42．（2024•闵行区校级二模）在四棱锥中，底面是正方形，若，，．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值．43．（2024•徐汇区校级模拟）如图，在圆柱中，底面直径等于母线，点在底面的圆周上，且，是垂足．（1）求证：；（2）若圆柱与三棱锥的体积的比等于，求直线与平面所成角的大小．44．（2024•普陀区模拟）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，、分别是、的中点．（1）求证：平面；（2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的大小．45．（2024•松江区校级模拟）如图，在圆锥中，是圆锥的顶点，是圆锥底面圆的圆心，是圆锥底面圆的直径，等边三角形是圆锥底面圆的内接三角形，是圆锥母线的中点，，．（1）求证：平面；（2）设线段与交于点，求直线与平面所成角的正弦值．46．（2024•奉贤区三模）如图，四棱锥的底面是梯形，，，，平面，．（1）求证：平面；（2）若二面角的大小为，求与平面所成的角的大小．（结果用反三角函数值表示）47．（2024•徐汇区模拟）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面圆的圆心，为圆的直径，且，是底面圆的内接正三角形，为线段上一点，且．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．48．（2024•黄浦区校级三模）如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面，是棱的中点，．（1）证明：平面；（2）若二面角为，求异面直线与所成角的正切值．49．（2024•普陀区校级三模）四棱锥中，平面，底面是正方形，，点是棱上一点．（1）求证：平面平面；（2）当为中点时，求二面角的正弦值．50．（2024•普陀区校级模拟）如图，在三棱锥中，平面平面，，，，，分别为，的中点．（1）证明：平面平面．（2）求平面与平面的夹角的余弦值．51．（2024•杨浦区校级三模）如图，在多面体中，已知四边形是菱形，，平面，平面，．（1）在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，确定点