72空间几何中的垂直（基础）

7.2空间几何中的垂直（基础）一、单选题1．（2021·全国高三专题练习）如图所示，在四边形中，，将沿折起，使得平面平面，构成四面体，则下列说法正确的是（）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面【答案】D【解析】∵在四边形中，，∴，∵，∴，∴，∴．又在四面体中，平面平面，且平面平面，故平面，∴，又，∴平面，又平面，∴平面平面．故选：D2．（2021·全国高三专题练习）已知两个不重合的平面，若直线，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据面面垂直的判定定理，可知若，则“”则成立，满足必要性；反之，若，则与的位置关系不确定，即不满足充分性；所以“”是“”的必要不充分条件，故选：B.3．（2021·全国高三开学考试（文））如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点，则下列说法不正确的是（）A． B．三棱锥的体积为定值C．平面平面 D．的最小值为【答案】D【解析】对于A：连接，在正方体中易知：，，,所以平面，又因为平面，所以，故正确；对于B：由等体积得为定值，故B正确；对于C：由平面，得由平面，又因为平面，所以平面平面，故正确；对于D：将等边与等边展开到一个平面上，可知当，，三点共线时，有最小值，最小值为，故不正确．故选：．4．（2021·河南高三月考（文））设，是两个不重合的平面，，是两条直线，下列命题中，真命题是（）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，，则【答案】C【解析】在正方体中分别取平面和直线进行验证：对于A：如图示，所取的直线m、n和平面满足，，但是.故A错误；对于B：如图示，所取的直线m和平面满足，，但是相交.故B错误；对于C：因为，过m的一个平面，则.因为，所以.又，所以.故C正确.对于D：如图示，所取的直线m、n和平面满足，，，但是.故D错误；故选：C5．（2021·浙江高三专题练习）已知直线a，b和平面，下列推论错误的是（）A．，B．，C．，或D．，【答案】D【解析】，，由线面垂直的性质可得，故A正确；，由线面垂直的判定定理可得，故B正确；，或，故C正确；，或与异面，故D错误.故选：D.6．（2021·全国高三专题练习）已知，是两个不同的平面，直线，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据面面垂直的判定定理，可知若，则“”则成立，满足充分性；反之，若，则与的位置关系不确定，即不满足必要性；所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A.7．（2021·内蒙古呼和浩特·高三（理））设、、表示不同的直线，、、表示不同的平面，给出下列四个命题：①若，且，则；②若，，，则；③若，且，则；④若，，，则．则正确的命题个数为A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【解析】①根据“垂直于同一平面的两条直线互相平行”知，若，且，则正确；故①正确，②若，，，则错误，当时，也满足前面条件；故②错误，③若，且，则不一定正确，有可能相交，也有可能异面；故③错误，④若，，，则不一定成立，有可能平行．故④错误，故正确的个数为1，故选：D．8．（2021·重庆一中高三）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若m⊥α，mn，nβ，则α⊥βC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β D．若αβ，m⊂α，n⊂β，则mn【答案】B【解析】对于A，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，可得m，n相交或平行､异面，故A错误；对于B，若m⊥α，mn，可得n⊥α，又nβ，可得过n的平面γ与β的交线ln，又n⊥α，则l⊥α，l⊂β，可得α⊥β，故B正确；对于C，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α､β可能平行或相交，故C错误；对于D，若αβ，m⊂α，n⊂β，则m，n可能平行或异面，故D错误.故选：B.9．（2021·安徽安庆一中高三（理））设，是两条直线，，表示两个平面，如果，，那么“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】如果，，当时，与相交但不垂直四种情况如果，，当时，可得，可得，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.10．（2021·山东济宁·高三）“直线垂直平面内的无数条直线”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必安条件【答案】B【解析】因为当直线垂直平面内的所有直线时，才能得到，所以由直线垂直平面内的无数条直线不一定能推出，但是由一定能推出直线垂直平面内的无数条直线，所以直线垂直平面内的无数条直线是的必要不充分条件，故选：B二、多选题11．（2021·全国高三）在三棱锥中，，，，，则下列结论中正确的是（）A．B．平面C．平面平面D．点到平面的距离为【答案】ABC【解析】由，，、面，，所以面，易得，故A正确；由平面，平面，所以面面，故C正确；易知，，、面，，所以面，故B正确；取的中点，连接，则，又面面，面面，所以平面，则即为点到平面的距离，，故D错误.故选：ABC.12．（2021·江门市培英高级中学高三）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则以下正确的是（）．A． B． C． D．【答案】BC【解析】由正方体的展开图，将它还原为正方体，如图：对于A：易知与是异面直线，故A错误；对于B：易知，故B正确；对于C：易知平面，从而有，故C正确；对于D：由可知，与所成角为，又易知为等边三角形，故，故D错误；故选：BC13．（2021·湖南高三）设有下列四个命题：：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．：过空间中任意三点有且仅有一个平面．：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．：若直线平面，直线平面，则．则下述命题中是真命题的有（）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】对于命题：可设与相交，这两条直线确定的平面为；若与相交，则交点在平面内；同理，与的交点也在平面内，所以，，即，命题为真命题；对于命题：若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，故命题为假命题；对于命题：若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行或异面，故命题为假命题；对于命题：若直线平面，则垂直于平面内所有直线，直线平面，直线直线，故命题为真命题.综上可知，，为真命题，，为假命题，为真命题，为假命题，为真命题，为真命题.故选：ACD.三、填空题14．（2021·陕西宝鸡·高三月考（文））设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列命题：①若，则．②若，则．③若，则．④若，则．其中正确命题的序号是___（写出所有正确命题的序号）；【答案】①③④【解析】对于①，若，过直线作平面，使得，则，，，，，故①正确.对于②，只能推出m与面内有些线垂直，不能得出它垂直于面内任意一条直线，故②错误.对于③，一条直线垂直于两平行平面中的一个，必垂直于另一个，故③正确.对于④，垂直于同一条直线的两个平面平行，故④正确.故答案为：①③④15．（2021·浙江高三专题练习）下列命题正确的序号是___________.（其中，表示直线，，，表示平面）①若，，，则；②若，，，则；③若，，则；④若，，，则.【答案】①③④【解析】若，，则或，又由，则，故①正确；若，，，则与可能平行也可能相交，故②不正确；若，则存在直线，使，又由，则，根据面面垂直的判定定理可得，故③正确；若，，则，又由，则，故④正确.故答案为①③④.16．（2021·宁夏银川二十四中高三（文））已知两条不同的直线m，n，两个不重合的平面，给出下面五个命题：①；②；③；④；⑤.其中正确命题的序号为___________.【答案】①④⑤【解析】①因为，所以，故正确；②因为，所以或异面，故错误；③因为，所以或，故错误；④如图所示：，因为平面，平面平面，所以，又因为平面ABCD，所以平面ABCD，又平面，所以平面平面ABCD，故正确；；⑤因为，所以，又，所以，故正确；故答案为：①④⑤四、解答题17．（2021·福建高三月考）如图，在四棱锥中，平面，四边形是平行四边形，，且，求证：【答案】证明见解析【解析】方法一：由得，，所以，又平面，所以，，两两垂直，分别以，，为轴，轴，轴建立如图空间坐标系，所以，，，，所以，，因为，所以．18．（2021·四川成都市·石室中学高三开学考试（理））如图，在三棱柱中，平面平面，，为棱上的点，满足，求证：平面【答案】详见解析【解析】因为平面平面，平面平面=AB，且，所以平面，又平面，所以，又，所以，又，所以平面；19．（2021·湖南湘潭市·高三）如图，在三棱锥中，底面，，，，求证：平面平面【答案】（证明见解【解析】因为底面，所以，又，所以，又，为平面内的两条相交直线，所以平面，因为平面，所以平面平面；20．（2021·江苏省镇江中学高三开学考试）在四棱锥中，底面，E是的中点．（1）证明：；（2）证明：平面；【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】证明：（1）底面，∴，又，，∴面面，∴；（2），∴，E是的中点，∴，由（1）知，又，∴面，又因面，∴，∵底面，面，∴，又因，所以面，又面，∴，又，∴面．21．（2021·昆明市·云南师大附中高三月考（理））如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为平行四边形，∠BAD=，AB=4，BC=1，M，N分别是AB，PC的中点，AD⊥PD，证明：平面PDM⊥平面PBC；【答案】证明见解析【解析】由题得，，，在中，由余弦定理得，所以是直角三角形，即，又，且，所以平面，因为是平行四边形，所以，所以平面，且平面，故平面平面.22．（2021·昆明市·云南师大附中高三月考（文））如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为平行四边形，∠BAD=，AB=4，BC=1，M是AB的中点，AD⊥PD，证明：平面PDM⊥平面PBC【答案】证明见解析【解析】证明：因为是的中点，，所以，在中，，，由余弦定理得，所以是直角三角形，即；又，且，所以平面，因为是平行四边形，有，所以平面，且平面，故平面平面.23．（2021·天水市第一中学高三开学考试（文））如图，直三棱柱中，，是棱的中点，，证明：【答案】证明见解析【解析】由直三棱柱中，，，∴在△、△中，，则，又，∴，即，而且，∴面，又面，即.24．（2021·云南昆明市·高三（理））如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，平面平面，是的中点，证明：平面【答案】证明见解析【解析】证明：在正中，为的中点，∴，∵平面平面，平面平面，且∴平面又∵平面∴又∵，且.∴平面.24（2021·云南昆明市·（文））如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，平面平面，是的中点，证明：平面【答案】证明见解析【解析】证明：在正中，为的中点，∴，∵平面平面，平面平面，且，∴平面，又∵平面，∴，又∵，且．∴平面．25．（2021·南昌市实验中学（理））如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，，，，分别为，的中点，点在线段上，求证：平面【答案】证明见解析；【解析】在平行四边形中，因为，，所以．由，分别为，的中点，得，所以．因为侧面底面，且交线为，而，所以底面．又因为底面，所以．又因为，平面，平面，所以平面．26．（2021·丽水外国语实验学校高三期末）如图，四边形ABCD是矩形，，E是AD的中点，BE与AC交于点F，GF⊥平面ABCD，求证：AF⊥平面BEG【答案】证明见解析【解析】因为且，所以，所以，又因为，所以，所以，所以，所以，又因为平面，平面，所以，又，所以平面；27．（2021·广西高三开学考试（文））如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，FA=FC，且∠DAB=∠DBF=60°，求证：AC⊥平面BDEF；【答案】（1）证明见解析；（2）1.【解析】（1）设AC与BD相交于点O，连接FO，如图，因四边形ABCD为菱形，则，且O为AC中点，而，于是有，又，平面，所以平面BDEF；28．（2021·长春市基础教育研究中心（长春市基础教育质量监测中心）高三（文））如图，在四棱锥中，底面为正方形，△是正三角形，侧面底面，是的中点.求证：平面【答案】证明见解析【解析】因为平面平面，底面为正方形，，所以平面，所以，又因为△是正三角形，是的中点所以，所以平面.29．（2021·陕西省洛南中学高三月考（理））如图在四棱锥中，底面是矩形，，，，为的中点，面面，证明：面【答案】证明见解析【解析】，，为的中点，，.又为矩形且，，又，，面.30．（2021·广东广州市·执信中学高三月考）如图所示，在三棱锥中，侧棱平面，为线段中点，，，．证明：平面【答案】（1）证明见解析【解析】证明：因为