第2讲复数的概念与运算（教师版）

第二讲复数的概念与运算真题展示2022新高考一卷第一题若，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】利用复数的除法可求，从而可求.【详解】由题设有，故，故，故选：D知识要点整理1．数系的扩充与复数的相关概念(1)复数的引入为了解决+1=0这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定：①=1，即i是方程+1=0的根；②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立.在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果记作a+bi.注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中.(2)复数的概念我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集.这样，方程+1=0在复数集C中就有解x=i了.(3)复数的表示复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部.(4)复数的分类对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数.显然，实数集R是复数集C的真子集，即RC.复数z=a+bi可以分类如下：复数，复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示.2．复数相等在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等.3．复数的几何意义(1)复平面根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.(2)复数的几何意义——与点对应由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义.(3)复数的几何意义——与向量对应在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样就可以用平面向量来表示复数.如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定.因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义.4．复数的模向量的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R).5．共轭复数(1)定义一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也复数z的共轭复数用表示，即若z=a+bi，则=abi.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身.(2)几何意义互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上.(3)性质①=z.②实数的共轭复数是它本身，即z=z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数.6．复数的模的几何意义(1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数的模的几何意义.(2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以原点为圆心，r为半径的圆，|z|<r表示圆的内部，|z|>r表示圆的外部.三年真题一、单选题1．已知（为虚数单位），则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用复数相等的条件可求.【详解】，而为实数，故，故选：B.2．若复数z满足，则（

）A．1 B．5 C．7 D．25【答案】B【分析】利用复数四则运算，先求出，再计算复数的模．【详解】由题意有，故．故选：B．3．设，其中为实数，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．【详解】因为R，，所以，解得：．故选：A.4．若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.【详解】故选：C5．（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用复数的乘法可求.【详解】，故选：D.6．若．则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．【详解】因为，所以，所以．故选：D.7．已知，且，其中a，b为实数，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先算出,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可【详解】由,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等，得,即故选:8．复数在复平面内对应的点所在的象限为（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】利用复数的除法可化简，从而可求对应的点的位置.【详解】，所以该复数对应的点为，该点在第一象限，故选：A.9．在复平面内，复数满足，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：.故选：D.10．设，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意结合复数的运算法则即可求得z的值.【详解】由题意可得：.故选：C.11．已知，，(i为虚数单位)，则（

）A． B．1 C． D．3【答案】C【分析】首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数的值.【详解】，利用复数相等的充分必要条件可得：.故选：C.12．设，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数.【详解】设，则，则，所以，，解得，因此，.故选：C.13．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知得，根据复数除法运算法则，即可求解.【详解】，.故选：B.14．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【详解】因为，故，故故选：C.二、填空题15．已知是虚数单位，化简的结果为_______．【答案】##【分析】根据复数代数形式的运算法则即可解出．【详解】．故答案为：．16．是虚数单位，复数_____________．【答案】【分析】利用复数的除法化简可得结果.【详解】.故答案为：.三年模拟一、单选题1．（2022·四川·广安二中模拟预测（文））已知复数满足，且，则（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】设，利用复数的四则运算列方程求解即可.【详解】设，则，所以，，解得，即，所以，故选：D2．（2022·四川·石室中学模拟预测（文））已知i是虚数单位，复数，则复数的虚部为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据复数运算法则即可得到答案.【详解】因为,所以复数的虚部为.故选：B.3．（2023·广西·南宁二中一模（文））若，则z的虚部为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由复数的运算法则与复数虚部的概念求解即可【详解】因为，所以虚部为，故选：B.4．（2022·贵州·贵阳六中一模（理））已知复数的共轭复数为，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据复数的除法运算算出，然后可得答案.【详解】因为，所以，所以，故选：C5．（2022·四川南充·一模（理））若复数满足，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得结果.【详解】由已知可得，因此，.故选：C.6．（2022·全国·模拟预测）复数在复平面内对应的点所在的象限为（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】先利用复数的乘法和除法法则求出，从而得到其在复平面内对应的点的坐标及所在象限.【详解】，其在复平面内对应的点为，位于第二象限.故选：B.7．（2022·四川成都·一模（理））如图，在复平面内，复数对应的向量分别是，则（

）A．1 B． C．3 D．5【答案】B【分析】根据向量的坐标写出复数，再求加法及模.【详解】由题意可得：，则，故.故选：B.8．（2022·河南·马店第一高级中学模拟预测（理））设复数，是z的共轭复数，则（

）A．3 B．1 C．3 D．5【答案】D【分析】先利用复数的除法化简，进而得到共轭复数，再利用复数的乘法运算求解.【详解】解：∵，∴，．故选：D．9．（2022·陕西·汉阴县第二高级中学一模（文））设i为虚数单位，复数满足，则（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】利用复数运算法则计算得到，从而求出模长.【详解】由，得，故所以.故选：B.10．（2022·陕西·汉阴县第二高级中学一模（理））设i为虚数单位，复数z满足，则（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】先利用复数的运算法则化简得复数的标准形式，再利用复数模的计算公式即可得出结果.【详解】由，得，则，,所以，故.故选：B.11．（2021·河南三门峡·一模（理））复数z满足，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设则，然后代入原式得，然后根据复数相等列方程，解方程即可得到.【详解】设，则，因为，所以，即，所以，解得，则.故选：B.二、填空题12．（2022·上海宝山·一模）设复数（其中i为虚数单位），则______.【答案】【分析】化简，根据复数模的运算即可求得结果.【详解】因为，所以.故答案为：.13．（2022·上海普陀·一模）若（其中i表示虚数单位），则______．【答案】1【分析】计算，即可得到虚部.【详解】因为，根据复数的概念可知，虚部为1.故答案为：1.14．（2022·上海长宁·一模）复数满足（其中i为虚数单位），则复数z在复平面上所对应的点到原点O的距离为___________【答案】##【分析】由已知，根据条件，先对已知进行化简，得到，然后直接求解复数z在复平面上所对应的点Z到原点O的距离即可.【详解】由已知，，所以，所以复数z在复平面上所对应的点Z为