工程数学 课件 第1、2章 行列式、矩阵

第1章

行列式

第1节

行列式的定义第2节

行列式的性质第3节

克莱姆法则

第1节

行列式的定义

一、

二阶行列式

在初等代数中我们解过二元一次方程组

当a11a22-a12a21≠0时，方程组有唯一解：

对于线性方程组（1。1），分别记

于是方程组（1。1）的解可表示为

定义1.1我们把式子

叫作二阶行列式，其

中的数aij（i=1,2；j=1,2）称为该行列式的元素，每个横排称为行列式的行，每个竖排称为行列式的列。aij（i=1,2；j=1,2）就是从上到下第i行，从左到右第j列的元素。

在二阶行列式中，用实线将a11、a22连接，用虚线将a21、a12连接（如图1.1所示），实连接线称为主对角线，虚连接线称为次对角线（或副对角线），则二阶行列式等于主对角线上两元素的乘积减去次对角线上两元素的乘积（这样的记忆方式称为对角线法则），即

图1.1

例1.1

计算下列二阶行列式。

二、

三阶行列式

类似地，对于三元一次方程组

对于线性方程组（1.2），分别记

则在D≠0的情形下，线性方程组（1.2）的解可表示为

定义1.2我们把式子

叫作三阶行列

式，其中的数aij=（i=1,2，3；j=1,2，3）称为该行列式的元素。

等号右端称为三阶行列式的展开式。展开式一共有6项，3项为正，3项为负，每项均由位于不同行不同列的三个元素相乘得到。展开式可通过对角线法则记忆，如图1.2所示，其中三条实线（主对角线）所连三个元素的乘积为正项，三条虚线（次对角线或副对角线）所连三个元素的乘积为负项。三阶行列式的展开式，也可以按如图1.3所示的方法记忆，图1.3所示的对角线法则又称为沙路法则。

图1.2

图1.3

例1.2求三阶行列式

解

例1.3求解方程：

解

因为

所以

因此方程的解为

三、n

阶行列式

根据二阶和三阶行列式的定义，我们给出n

阶行列式的定义。

定义1.3将n2个数排成n行n列数表，并在左、右两边各加一竖线，记为Dn或D，即

称为n阶行列式。

四、余子式与代数余子式

定义1.4将n阶行列式元素aij所在的第i行和第j列的元素去掉，余下的（n-1）2个元素组成的行列式叫作元素aij的余子式，记作Mij。将Aij=（-1）i+jMij称为元素aij的代数余子式。

定理1.1

n阶行列式Dn等于它的任一行(列)元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

可以按第i行展开为

也可以按第j列展开为

五、几种特殊行列式

1.三角形行列式

定义1.5主对角线下方的元素全为0的行列式

称为上三角形行列式；反之，主对角线上方的元素全为0的行列式

称为下三角形行列式。上、下三角形行列式统称为三角形行列式。

2.转置行列式

定义1.6设n阶行列式

把行列式D的行与相应的列互换后得到行列式

称其为行列式D的转置行列式，记作DT。

3.对称行列式与反对称行列式

定义1.7如果n阶行列式中第i行、第j列的元素等于第j行、第i列的元素，即aij=aji，则称这样的行列式为对称行列式。如果它的第i行、第j列的元素等于第j行、第i列的元素的相反数，即aij=-aji，则称这样的行列式为反对称行列式。

第2节行列式的性质

性质1.1任一行列式和它的转置行列式相等，即

推论1.1上（下）三角形行列式等于主对角线上的元素的乘积，即

性质1.2互换行列式的两行(列)，行列式改变符号。

第i行(列)和第j行(列)互换，记作ri↔rj（ci↔cj）

推论1.2如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式等于零。

性质1.3行列式中某一行(列)的所有元素都乘同一数k，等于用数k乘此行列式。

第i行(列)乘k，记作ri×k(ci×k)。

例如，

推论1.3行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。

第i行(列)提出公因子k，记作ri÷k（ci÷k）。

推论1.4如果行列式中有两行(列)元素成比例，则此行列式等于零。

性质1.4若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和，则其等于两个行列式之和，这两个行列式的这一行(列)的元素分别为相应的两数中的一个，其余元素与原来行列式的对应元素相同。

例如，

性质1.5把行列式的某一行(列)的各元素乘同一个数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变。

数k乘第j行(列)加到第i行(列)，记作ri+krj（ci+kcj）

例如，

例1.6计算四阶行列式

解方法一：利用行列式的性质，将D化为上三角形行列式

方法二：利用D中a13=1，把第3列其余元素化为0之后，再按第3列展开，将D降为三阶行列式。

第3节克莱姆法则对于包含n个未知数x1，x2，…，xn的n个方程所组成的方程组如果方程组的常数项全为0，则此方程组称为齐次线性方程组；如果方程组的常数项不全为0，则此方程组称为非齐次线性方程组。克莱姆给出了上述方程组的求解方法，即克莱姆法则。

定理1.2（克莱姆法则）如果方程组（1.3）的系数行列式不等于零，即

那么方程组（1.3）有唯一解：

定理1.3若方程组（1.3）无解或有两个以上的不同解，则它的系数行列式D=0。

定理1.4若方程组（1.3）的系数行列式D≠0，则对应的齐次线性方程组有唯一的零解；反之，若齐次线性方程组有非零解，则D=0。

例1.8某物流公司有3辆汽车，如果这3辆汽车同时运送一批货物，则一天共运8800吨；如果第1辆汽车运2天，第2辆汽车运3天，则共运货物13200吨；如果第1辆汽车运1天，第2辆汽车运2天，第3辆汽车运3天，则共运货物18800吨。问：每辆汽车每天可运货物多少吨?

第2章

矩阵第1节

矩阵的概念第2节

矩阵的运算第3节

逆矩阵第4节

矩阵的初等变换及其应用第5节

矩阵的秩

第1节矩阵的概念

一、矩阵的概念

引例2.1若有甲、乙、丙三家公司，在一段时期内，这三家公司的成本明细如表2.1所示。

定义2.1由m×n个数aij(i=1,2，…，m；j=1,2，…，n)组成一个m行n列的矩形数表，称其为m行n列矩阵，简称m×n矩阵。

矩阵常用大写字母A,B,C,…表示，记作

其中aij(i=1,2,…，m；j=1,2,…,n)称为矩阵A的元素。m×n矩阵A也可记为A=(aij)m×n或者Am×n。

二、几种特殊的矩阵

以下列举出几种特殊的矩阵。

(1)零矩阵：所有元素都是零的矩阵。记作0或者0m×n。

(2)行矩阵和列矩阵：只有一行元素的矩阵称为行矩阵(行向量)；只有一列元素的矩阵称为列矩阵(列向量)。例如

(3)负矩阵：矩阵A的负矩阵就是矩阵A的所有元素都取相反数，记为-A。

(4)n阶方阵：行数m等于列数n的矩阵称为n阶方阵，即n×n矩阵或n×n方阵。

(5)主对角线以下(上)元素全为零的方阵称为上(下)三角形矩阵。

(6)除了主对角线上的元素以外，其余元素全为零的矩阵称为对角矩阵。

(7)主对角线上的元素全相等的对角矩阵称为数量矩阵。

(8)主对角线上的元素全为1的数量矩阵称为单位矩阵，n阶单位矩阵记作En或In。

第2节矩阵的运算

一、矩阵相等设A=(aij)m×n，B=(bij)m×n，则由矩阵相等的定义可以看出，矩阵A与矩阵B相等当且仅当A与B的行、列、对应元素都相等。

二、矩阵加法

定义2.2已知两个m×n矩阵A=(aij)m×n，B=(bij)m×n，将对应的元素相加得到一个新的m×n矩阵称为矩阵A与B的和，记作A+B=aij+(bij)m×n。

矩阵加法满足如下的运算规律：

(1)交换律：A+B=B+A；

(2)结合律：(A+B)+C=A+(B+C)；

(3)存在零矩阵：对任何矩阵A，都有A+0=A。

三、数乘矩阵

定义2.3已知数k和一个m×n矩阵A=(aij)m×n，将数k乘以矩阵A中的每一个元素，所得到的一个新的m×n矩阵称为数k与矩阵A的乘积，记作kA=(kaij

)

m×n。

四、矩阵乘法

先看一个实际的例子。

某钢铁生产企业7-9月份的生产原料：铁矿石、焦炭、无烟煤的用量(吨)用矩阵A表示，三种原料的费用(元)用矩阵B表示。

五、矩阵转置

定义2.5已知m×n矩阵

将矩阵A的行变成相应的列，得到新的n×m矩阵，称它为A的转置矩阵，记作

如果A是一个n阶方阵，且AΤ=A，则称矩阵A为n阶对称矩阵。

可以证明，矩阵的转置有如下性质：

(1)(A+B)T=AT+BT；

(2)(AT)T=A；

(3)(kA)T=kAT(k为常数)；

(4)(AB)T=BTAT。

六、方阵的行列式

定义2.6已知n阶方阵将构成n阶方

阵的n2个元素按照原来的顺序作一个n阶行列式，这个n阶行列式称为n阶方阵A的行列式，记作

第3节逆矩阵一、逆矩阵的概念及性质1.逆矩阵的概念定义2.8已知n阶方阵A，若存在n阶方阵B，使得AB=BA=E，则称n阶方阵A可逆，并称n阶方阵B是A的逆矩阵，记作A-1=B。由定义可知，矩阵A和它的逆矩阵B都是可逆的，并且A-1=B，B-1=A。注(1)可逆矩阵的逆是唯一的；(2)由于E·E=E，故单位矩阵E是可逆的，且E-1=E。

二、可逆矩阵的判定及求法

1.可逆矩阵的判定

定理2.1

n阶方阵可逆的充分必要条件是A≠0.

定义2.9如果n阶矩阵A的行列式A≠0，则称其为非奇异矩阵；如果A=0，则称其为奇异矩阵。

所以矩阵A不可逆。

第4节矩阵的初等变换及其应用

一、矩阵的初等变换定义2.10矩阵的初等行变换是指对矩阵施行如下三种变换：(1)对换变换：交换矩阵的两行(ri↔rj)；(2)倍乘变换：用非零数k乘以矩阵的某一行(kri)；(3)倍加变换：把矩阵的某一行乘以数k后加到另一行上去(ri+krj)。

把定义2.8中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义(所用的记号是把“r”换成“c”)。

矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换。如果矩阵A经有限次的初等变换变成矩阵B，则称矩阵A与B等价，记作A~B。

矩阵之间的等价关系具有下面的性质：

(1)反身性：A~A；

(2)对称性：若A~B，则B~A；

(3)传递性：若A~B，B~C，则A~C。

二、阶梯形矩阵和简化阶梯形矩阵

定义2.11满足以下条件的矩阵称为阶梯形矩阵：

(1)各非零行的第一个非零元素(称为该行的首非零元)所在的列标随着行标的增大而严格增大，即矩阵中每一行首非零元素必在上一行首非零元的右下方；

(2)当有零行时，零行在非零行的下方。

定义2.12满足以下条件的阶梯形矩阵称为简化阶梯形矩阵：

(1)各非零行的首非零元素都是1；

(2)各非零行首非零元素所在列的其他元素全为零。

定理2.3任何非零矩阵A经过一系列初等行变换可化成阶梯形矩阵，再经过一系列初等行变换可化成简化阶梯形矩阵。

如何将矩阵化为阶梯形和简化阶梯形矩阵?常常按下面的步骤进行：

(1)让矩阵最左上角的元素，通常是(1，1)元变为1(或便于计算的其他数)；

(2)把第1行的若干倍加到下面各行，让(1，1)元下方的元素都化为零；如果变换的过程中出现零行，就将它换到最下面；

(3)重复上面的做法，把(2，2)元下方的各元素都化为零，直到下面各行都是零行为止，得到阶梯形矩阵；

(4)然后从最下面的一个首元开始，依次将各首元上方的元素化为零。

三、初等矩阵

定义2.13单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵。

三种初等变换得到如下的三种初等矩阵：

(1)初等互换矩阵E(i，j)：交换单位矩阵E的第i行和第j行；

(2)初等倍乘矩阵E(i(k))：用非零数k乘以单位矩阵E的第i行；

(3)初等倍加矩阵E(i，j(k))：把单位矩阵E的第j行的k倍加到第i行。

初等矩阵的行列式都不为零，因此都可逆：

定理2.4设A是一个m×n矩阵，对A施行一次初等行变换相当于用同种类型的初等矩阵左乘A；对A施行一次初等列变换相当于用同种类型的初等矩阵右乘A。

定理2.5设A是一个m×n

矩阵，那么存在m阶初等矩阵P1，…，Ps和n阶初等矩阵Q1，…，Qt，使得

推论2.1如果A和B都是m×n矩阵，那么A与B等价的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P

和n阶可逆矩阵Q，使得PAQ=B。

推论2.2可逆矩阵与单位矩阵等价。

推论2.3可逆矩阵可以表示成若干个初等矩阵的乘积。

四、初等变换求逆

设A是n阶可逆矩阵，那么其逆A-1也是可逆矩阵.根据推论2.3，存在初等矩阵P1，…，Ps使A-1=P1P2…Ps，即

式(2.1)两边同时右乘A可变成

根据定理2.2，式(2.2)表示对A施行s次初等行变换，可以把A化为单位矩阵E，式(2.1)表示经过同样的初等变换可以把E化为A-1。那么我们作一个n×2n的矩阵(A，E)，对其仅作初等行变换(这时A和E作了相同的初等行变换)，当A的部分化为E时，E的部分就化成了A-1。

这种方法称为初等变换法求逆：.

还可以用同样的方法求

在以上求逆和A-1B的运算中，不可以作初等列变换!但是可以通过初等列变换求逆和求BA-1：

例2.17用初等行变换求矩阵方程AX+B=X的解X，其中

解将方程变形为X-AX=B，即(E-A)X=B，故X=(E-A)-1B.由于

且|E-A|≠0，则

所以

所以

或者写成

因此

如果AX=B中的B是一个列矩阵，那么AX=B是一个线性方程组.也就是A可逆时，可以用这种方法求解线性方程组。

注逆矩阵的计算方法有初等变换和伴随矩阵两种，初等变换法为基本方法，四阶以上的矩阵一般用初等变换法。

第5节矩阵的秩

一、矩阵秩的定义及性质1.矩阵秩的定义定义2.14从矩阵Am×n中任取k行和k列，用交叉位置上的元素并且保持相对位置不变，组成的k阶行列式