2024-2025学年云南省昆明市五华区高三（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年云南省昆明市五华区高三（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设复数z满足|z−1|=1，则z在复平面内对应的点为(x,y)，则(

)A.(x+1)2+y2=1 B.(x−12.已知e1，e2都为单位向量，若e1在e2上的投影向量为12A.2 B.3 C.2 3.在正方体ABCD−A1B1A.AD1⊥A1C B.AD1与BD所成角为π3

C.A4.在践行“乡村振兴”战略的过程中，某地大力发展特色花卉种植业.某农户种植一种观赏花㚏，为了解花卉的长势，随机测量了100枝花的高度(单位：cm)，得到花枝高度的频率分布直方图，如图所示，则(

)

A.样本花卉高度的极差不超过20cm

B.样本花卉高度的中位数不小于众数

C.样本花的高度的平均数不小于中位数

D.样本花卉高度小于60cm的占比不超过70%5.设等比数列{an}的公比为q，则“q>1“是“数列{aA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知圆台的母线长为4，高为7，体积为77πA.48π B.24π C.20π D.10π7.已知A、B为直线l上的两个定点，|AB|=2，P为l上的动点.在平面直角坐标系中，F1(−3,0)、F2(3,0)，以F1为圆心，|PA|为半径作圆F1；以F2为圆心，A.x2−y28=1 B.x8.已知函数f(x)=lnx和两点A(1,0)，B(em,m)，设曲线y=f(x)过原点的切线为l，且l//AB，则m所在的大致区间为A.(−1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=sinωx+acosωx(ω>0)的最大值为2，其部分图象如图所示，则(

)A.a=1

B.函数y=f(x−π4)为偶函数

C.y=f(x)在[0,m]上有4个零点，则13π4≤m<17π4

10.已知函数f(x)=x3−ax+2(a∈R)，则A.f(−2)+f(2)=4

B.若a>0，则f(x)的极大值点为x=a3

C.若f(x)至少有两个零点，则a≥3

D.f(x)11.抛物线C：y2=4x的准线为l，过焦点F的直线与C交于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足分别为A′，B′，记△AA′F，△A′B′F，△BB′F的面积分别为S1，S2，SA.△A′B′F为锐角三角形 B.S2的最小值为4

C.S1，12S2，S3成等差数列 D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知1+sin2αcos2α=35，则tan13.在正项数列{an}中，lnan+1=lnan14.甲口袋中有标号为1、2、3的三张卡片，乙口袋中有标号为4、5、6、7的四张卡片，从两个口袋中不放回地随机抽出三张卡片，每个口袋至少抽一张，则抽到的三张卡片中至少有一张标号为偶数的不同抽法共有______种.(用数字作答)四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且acosB−bcosA=c−b．

(1)求角A；

(2)已知A的角平分线交BC于点D，若c=2，AB⋅AC=4，求AD16.(本小题15分)

如图，在多面体ABC−A1B1C1中，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B117.(本小题15分)

一项没有平局的对抗赛分为两个阶段，参赛者在第一阶段中共参加2场比赛，若至少有一场获胜，则进入第二阶段比赛，否则被淘汰，比赛结束；进入第二阶段比赛的参赛者共参加3场比赛.在两个阶段的每场比赛中，获胜方记1分，负方记0分，参赛者参赛总分是两个阶段得分的总和，若甲在第一阶段比赛中每场获胜的概率都为p(0<p<1)，在第二阶段比赛中每场获胜的概率都为13，每场比赛是否获胜相互独立.已知甲参赛总分为2分的概率为827．

(1)求p；

(2)求甲参赛总分X的分布列和数学期望．18.(本小题17分)

设椭圆C：x2a2+y2=1(a>1)的右焦点为F，右顶点为A，已知1|OF|+1|OA|=e|FA|，其中O为原点，e为椭圆的离心率．

(1)求C的方程；

(2)设点P为C上一动点，过P作不与坐标轴垂直的直线l．

(i)若l与C交于另一点T，E为PT中点，记l斜率为k，OE斜率为k0，证明：k⋅19.(本小题17分)

行列式最早起源于对线性方程组的研究，起初是一种速记的表达式，发展到现在已经成为一种非常有用的数学工具.已知abcd表示二阶行列式，规定abcd=ad−bc；a1a2a3b1b2b3c1c2c3表示三分行列式，规定a1a2a3b1b2b3c1c2c3=a1b参考答案1.B

2.B

3.D

4.D

5.D

6.C

7.A

8.C

9.BC

10.ACD

11.ABD

12.3513.e2n−114.26

15.解：(1)因为acosB−bcosA=c−b，

由正弦定理可得sinAcosB−sinBcosA=sinC−sinB，

又A+B=π−C，则sinC=sin(A+B)，

则sinAcosB−sinBcosA=sinAcosB+cosAsinB−sinB，

整理得2cosAsinB−sinB=0，

因为A、B∈(0,π)，则sinB>0，

可得2cosA−1=0，则cosA=12，

故A=π3；

(2)因为c=2，A=π3，

所以AB⋅AC=|AB|⋅|AC|cosπ316.解：(1)证明：过点B在平面ABC内作一条直线与BC垂直，

则以B为原点，直线BC为x轴，过点B作直线BC的垂线为y轴，直线BB1为z轴如图建立空间直角坐标系，

∴B(0,0,0)，C(2,0,0)，

∵∠ABC=120°，

∴A(−1,3,0)，

∴A1(−1,3,4)，B1(0,0,2)，C1(2,0,1)，

∴AB1=(1,−3,2)，B1C1=(2,0,−1)，B1A1=(−1,3,2)，

∴AB1⋅B1C1=2−2=0AB1⋅B1A1=−1−3+4=0，

即AB1⊥B1C1AB1⊥B1A1，

∴AB1⊥B1C1，AB1⊥B1A1，

又∵B17.解：(1)甲参赛总分为2分有两种情况：

第一种情况是在第一阶段两场比赛一胜一负(概率为C21p(1−p))，

然后在第二阶段三场比赛一胜两负(概率为C31×13×(1−13)2)，

第二种情况是在第一阶段两场比赛全胜(概率为p2)，

然后在第二阶段三场比赛全负(概率为(1−13)3)，

所以C21p(1−p)×C31×13×(1−13)2+p2×(1−13)3=827，

解得p=12或p=1，

因为0<p<1，

所以p=12；

(2)甲参赛总分X的可能取值为0，1，2，3，4，5，

X=0包括：在第一阶段两场全输，

则P(X=0)=(1−p)2=(1−12)2=14，

X=1包括：在第一阶段一胜一负(概率为C21p(1−p)=2×12×12=12)，

然后在第二阶段三场全输(概率为(1−13)3=827)，

所以P(X=1)=12×827=427，

由(1)可知P(X=2)=8X012345P148221所以E(X)=0×1418.(1)解：因为椭圆C：x2a2+y2=1(a>1)的右焦点为F，右顶点为A，

则|OF|=c，|OA|=a，|AF|=a−c，

因为1|OF|+1|OA|=e|AF|，

即1c+1a=ea−c，

即a−cc+a−ca=e，

整理可得1e−e=e，

可得2e2=1，

即2c2a2=2(a2−1)a2=1，

解得a=2，

即椭圆C的方程为x22+y2=1．

(2)(i)证明：设点P(x1,y1)、T(x2,y2)，

则点E(x1+x22,y1+y22)，

因为直线l1不与坐标轴垂直，则x12≠x22，y12≠y22，

所以k=y1−y2x1−x2，k0=y1+y22−0x1+x22−0=y119.解：(1)由题意可得：f(x)=x03x3−x01−1−x=x−x0−1−x−0301−x+3x3−x1−1