第三章　导数及其应用 第一节　导数的概念及运算

导数及其应用第一节导数的概念及运算1．已知曲线y＝f(x)＝2xcosx在x＝0处的切线为l，则l的斜率为()A．ln2 B．－ln2C．1 D．－12．(2024·邢台模拟)在一次跳水运动中，某运动员跳水过程中的重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系：h(t)＝－4t2＋4t＋A．－4 B．4C．11 D．－113．函数y＝f(x)的图象与其在点P处的切线如图所示，则f(1)－f′(1)等于()A．－2 B．0C．2 D．44．(2024·揭阳模拟)已知曲线y＝f(x)＝x3＋2ax2＋x＋b在点(1，0)处的切线的倾斜角为3π4，则a＋bA．－34 B．－C．－2 D．－115．已知函数f(x)＝3x+1，则曲线y＝f(xA．3x＋4y＋5＝0 B．3x－4y＋5＝0C．x＋4y＋7＝0 D．x－4y＋7＝06．(多选题)已知函数y＝f(x)(x∈R)图象上任一点(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x0－2)(x0＋4)(x－x0)，那么下列结论正确的是()A．f′(1)＝－5B．在x＝2处的切线平行或重合于x轴C．切线斜率的最小值为1D．f′(4)＝127．(多选题)已知函数f(x)＝ex，则下列结论正确的是()A．曲线y＝f(x)的切线斜率可以是1B．曲线y＝f(x)的切线斜率可以是－1C．过点(0，1)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有1条D．过点(0，0)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有2条8．已知函数f(x)＝1ax－1＋excosx，若f′(0)＝－1，则9．一个小球作简谐振动，其运动方程为s＝2sinπ6t+π3，其中s(单位：cm)是小球相对于平衡点的位移，t(单位：s10．(2024·许昌模拟)点P是曲线y＝f(x)＝2x2－3lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－4的最短距离为________.高考模拟11．已知曲线y＝2ax＋lnx在点(1，2a)处的切线与直线y＝12x＋2垂直，则常数aA．－12 B．C．－32 D．12．(多选题)已知函数f(x)及其导函数f′(x)，若存在x0使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是()A．f(x)＝x2 B．f(x)＝e－xC．f(x)＝lnx D．f(x)＝tanx13．若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋2)的切线，则b的值为()A．0 B．1C．0或1 D．0或－114．(2024·绵阳模拟)若函数f(x)＝x2－ax与g(x)＝lnx＋2x的图象在公共点处有相同的切线，则实数a＝()A．－2 B．－1C．e D．－2e15．(开放思维)请写出与曲线y＝f(x)＝x3＋1在点(0，1)处具有相同切线的一个函数(非常数函数)的解析式为g(x)＝________.16．我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f(x)＝ln(1＋x)，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为________，用此结论计算ln2022－ln2021≈________.17．(2024·银川模拟)已知过点A(a，0)可作两条不同的直线与曲线C：f(x)＝xex相切，则实数a的取值范围是__________.答案解析1、A解析：对f(x)＝2xcosx求导，得f′(x)＝(ln2)×2xcosx－2xsinx，由题意可知曲线y＝f(x)＝2xcosx在x＝0处的切线l的斜率为kl＝f′(0)＝(ln2)×20·cos0－20·sin0＝ln2.2、A解析：由h(t)＝－4t2＋4t＋11，得h′(t)＝－8t＋4，故h′(1)＝－4，即该运动员在t＝1s时的瞬时速度为－4m/s.3、D解析：由题图可知切线经过点(2，0)，(0，4)，可得切线的斜率为k＝4－00－2＝－2，即f′(1)＝－2，则切线方程为y＝－2x＋4.令x＝1，可得y＝2，即f(1)＝2，所以f(1)4、A解析：f′(x)＝3x2＋4ax＋1，由题意可知曲线在点(1，0)处的切线斜率k＝tan3π4＝－1，则f1=2+2a+b=0，f'15、B解析：由已知可得，f(x)＝3x+1＝3x+112，所以f′(x)＝123x+1－12×3＝323x+1－12.根据导数的几何意义可知，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为k6、AB解析：由题意可得f′(x)＝(x－2)(x＋4)．对于A，f′(1)＝－5，A正确；对于B，当x＝2时，f′(2)＝0，故在x＝2处的切线平行或重合于x轴，B正确；对于C，f′(x)＝(x－2)(x＋4)＝x2＋2x－8＝(x＋1)2－9≥－9，最小值为－9，故C错误；对于D，f′(4)＝(4－2)(4＋4)＝16，D错误．7、AC解析：因为函数f(x)＝ex，所以f′(x)＝ex.对于A，令f′(x)＝ex＝1，得x＝0，所以曲线y＝f(x)的切线斜率可以是1，故A正确；对于B，令f′(x)＝ex＝－1，此方程无解，所以曲线y＝f(x)的切线斜率不可以是－1，故B错误；对于C，设切点为(x0，ex0)，则切线方程为y−ex0＝ex0(x－x0)，因为直线经过(0，1)，所以有1−ex0＝ex0(0－x0)，解得x0＝0，所以(0，1)即为切点，过点(0，1)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有一条，故C正确；对于D，设切点为(x0，ex8、2解析：因为f′(x)＝－aax－12＋excosx－exsinx，所以f′(0)＝－a＋9、0解析：由s＝2sinπ6t+π3，得s′＝π3cosπ610、522解析：由题可得f′(x)＝4x－3x(x>0)，令f′(x)＝4x－3x＝1，解得x＝1x=－34舍去.又f(1)＝2，所以与直线y＝x－4平行且与曲线y＝f(x)相切的直线的切点为(1，2)，所以点P到直线11、C解析：由y＝2ax＋lnx，得y′＝2a＋1x，所以在点(1，2a)处的切线的斜率为k＝2a＋1.又曲线y＝2ax＋lnx在点(1，2a)处的切线与直线y＝12x＋2垂直，所以2a＋1＝－2，解得a＝－12、AC解析：若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，故A符合要求；若f(x)＝e－x，则f′(x)＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程无解，故B不符合要求；若f(x)＝lnx，则f′(x)＝1x，令lnx＝1x，在同一直角坐标系内作出函数y＝lnx与y＝1x的图象(作图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程f(x)＝f′(x)存在实数解，故C符合要求；若f(x)＝tanx，则f′(x)＝sinxcosx′＝1cos2x，令tanx＝13、B解析：设y＝kx＋b是y＝lnx＋2在点(a，lna＋2)处的切线，则k=1a，lna+2=ka+b.同理设y＝kx＋b是y＝ln(x＋2)在点(c，ln(c＋2))处的切线，则k=14、B解析：设函数f(x)＝x2－ax与函数g(x)＝lnx＋2x的图象公共点的坐标为(x0，y0)，求导得f′(x)＝2x－a，g′(x)＝1x＋2，依题意，得于是x02+lnx0－1=0，a=2x0－1x0－2.令函数h(x)＝x2＋lnx－1，显然函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增，且h(1)＝0，则当h15、x2＋1(答案不唯一)解析：f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，曲线y＝f(x)＝x3＋1在点(0，1)处的切线方程为y＝1，所有在点(0，1)处的切线方程为y＝1的函数都是正确答案．16、y＝x12021解析：函数f(x)＝ln(1＋x)，则f′(x)＝11+x，f′(0)＝1，f(0)＝0，所以切线方程为y＝x，所以ln2022－ln2021＝ln1+12021＝f12021.根据以直代曲，x＝1217、(－∞，－4)∪(0，＋∞)解析：由f(