2016年全国各地中考数学试卷分类汇编13二次函数

二次函数

一、选择题

1.（2016•山东省滨州市・3分）抛物线y=2x2-2近x+1与坐标轴的交点个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【考点】抛物线与x轴的交点.

【专题】二次函数图象及其性质.

【分析】对于抛物线解析式，分别令x=0与y=0求出对应y与x的值，即可确定出抛物线

与坐标轴的交点个数.

【解答】解：抛物线y=2x2-2我x+1,

令x=0,得到y=l,即抛物线与y轴交点为（0,1）；

令y=0,得至ij2x2-2'./2x+l=0,即-1）2=0,

解得：Xl=X2=q,即抛物线与X轴交点为（掾，0）,

则抛物线与坐标轴的交点个数是2,

故选C

【点评】此题考查了抛物线与坐标轴的交点，抛物线解析式中令一个未知数为0,求出另一

个未知数的值，确定出抛物线与坐标轴交点.

2.（2016•山东省滨州市・3分）在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长

度，然后绕原点选择180。得到抛物线y=x2+5x+6,则原抛物线的解析式是（）

A.y=-（x-月）2-耳B.y=-（x+月）2-C.y=-（x-2-^D.y=-

242424

（x+32+4

24

【考点】二次函数图象与几何变换.

【分析】先求出绕原点旋转180。的抛物线解析式，求出向下平移3个单位长度的解析式即

可.刘

【解答】解：・・•抛物线的解析式为：y=x2+5x+6,

R1

工绕原点选择180。变为，y=-x2+5x-6,即y=-（x-个2+-^,

向下平移3个单位长度的解析式为y=-（x-1）2+\-3=-（X->|）2-学

故选A.

【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数的图象旋转及平移的法则

是解答此题的关键.

3.(2016广西南宁3分)二次函数y=ax?+bx+c(a^O)和正比例函数y=x的图象如图所

9

不，则方程ax?+(b--)x+c=0(a#0)的两根之和()

o

A.大于0B.等于OC.小于0D.不能确定

【考点】抛物线与x轴的交点.

【分析】设ax2+bx+c=0(a^O)的两根为xi,X2,由二次函数的图象可知xl+x2>0,a>0,

设方程ax2+(b-春)x+c=O(a，0)的两根为a,b再根据根与系数的关系即可得出结论.

【解答】解：设ax2+bx+c=0(a#0)的两根为xi,X2,

•・•由二次函数的图象可知xi+x2>0,a>0,

-->0.

a

9

Qh—Jun

设方程ax2+(b--)x+c=0(a^O)的两根为a,b,贝!Ja+b=-3=---

3------a3a

a

Va>0,

9

•'•-T->0,

3a

/.a+b>0.

故选C.

【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的

关系是解答此题的关键.

4.(2016贵州毕节3分)一次函数丫=a*+6(ar0)与二次函数y=ax2+bx+c(a^O)在同一平

面直角坐标系中的图象可能是()

【分析】本题可先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2+bx+c

的图象相比较看是否一致.

【解答】解：A、由抛物线可知，a<0,由直线可知，故本选项错误；

B、由抛物线可知，a>0,x=-?>0,得b<0,由直线可知，a>0,b>0,故本选项错误;

C、由抛物线可知，a<0,x=--^-<0,得b<0,由直线可知，a<0,b<0,故本选项正确；

2a

D、由抛物线可知，a<0,x=-^<0,得b<0,由直线可知，a<0,b>0故本选项错误.

2a

故选C.

5.（2016・福建龙岩・4分）已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则|a-b+c|+|2a+b|=（）

【考点】二次函数图象与系数的关系.

,,

【分析】观察函数图象找出“a>0,c=0,-2a<b<0）由此即可得出|a-b+c|=a-b,

|2a+b|=2a+b,根据整式的加减法运算即可得出结论.

【解答】解：观察函数图象，发现：

图象过原点，c=0；

抛物线开口向上，a>0；

抛物线的对称轴0<-2<1,-2a<b<0.

2a

/.|a-b+c|=a-b,|2a+b|=2a+b,

|a-b+c|+|2a+b|=a-b+2a+b=3a.

故选D.

6.（2016•广西桂林・3分）已知直线y=-括x+3与坐标轴分别交于点A,B,点P在抛物线

y=-（x-石）2+4上，能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

【考点】二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的判定.

【分析】以点B为圆心线段AB长为半径做圆，交抛物线于点C、M、N点，连接AC、BC,

由直线y=-如x+3可求出点A、B的坐标，结合抛物线的解析式可得出△ABC等边三角形,

再令抛物线解析式中y=0求出抛物线与x轴的两交点的坐标，发现该两点与M、N重合，

结合图形分三种情况研究AABP为等腰三角形，由此即可得出结论.

【解答】解：以点B为圆心线段AB长为半径做圆，交抛物线于点C、M、N点，连接AC、

BC,如图所示.

令一次函数y=-J^x+3中x=0,则y=3,

•••点A的坐标为（0,3）；

令一次函数y=-，”x+3中y=0,则-\后什3,

解得：x=>/3，

，点B的坐标为（如,0）.

.•.AB=2«.

•••抛物线的对称轴为x=V3，

.,.点C的坐标为（2«,3）,

.•.AC=2A/3=AB=BC,

•••△ABC为等边三角形.

令y=-；(x-«)2+4中y=0,则-；(x-如)2+4=0,

解得：x=-'/5，或x=3«.

...点E的坐标为(-«,0),点F的坐标为(373-0).

AABP为等腰三角形分三种情况：

①当AB=BP时，以B点为圆心，AB长度为半径做圆，与抛物线交于C、M、N三点;

②当AB=AP时，以A点为圆心，AB长度为半径做圆，与抛物线交于C、M两点，；

③当AP=BP时，作线段AB的垂直平分线，交抛物线交于C、M两点；

能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有3个.

故选A.

7.(2016广西南宁3分)二次函数y=ax2+bx+c(aM)和正比例函数yqx的图象如图所

9

示，则方程ax?+(b--T-)x+c=0(arO)的两根之和()

o

a/+bx+c

2

一铲

A.大于0B.等于0C.小于0D.不能确定

【考点】抛物线与x轴的交点.

【分析】设ax?+bx+c=。(axO)的两根为xi，XT,由二次函数的图象可知xl+x2>0,a>0,

设方程ax2+(b-1-)x+c=0(aM)的两根为a,b再根据根与系数的关系即可得出结论.

【解答】解:设ax2+bx+c=0(a#0)的两根为xi，x2,

,由二次函数的图象可知xi+x2>0,a>0,

-->0.

a

nb——9kQ

设方程ax?+(b-—)x+c=0(awO)的两根为a,b,贝!Ja+b=-3=~

3-----a3a

a

,/a>0,

2

,•>0，

3a

/.a+b>0.

故选C.

【点评】本题考查的是抛物线与X轴的交点，熟知抛物线与X轴的交点与一元二次方程根的

关系是解答此题的关键.

8.(2016贵州毕节3分)一次函数y=ax+b(a*0)与二次函数y=ax?+bx+c(a*0)在同一平

【分析】本题可先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2+bx+c

的图象相比较看是否一致.

【解答】解：A、由抛物线可知，a<0,由直线可知，故本选项错误；

B、由抛物线可知，a>0,x=-得b<0,由直线可知，a>0,b>0,故本选项错误;

2a

C、由抛物线可知，a<0,x=-^-<0,得b<0,由直线可知，a<0,b<0,故本选项正确；

2a

D、由抛物线可知，a<0,x=--^-<0,得bVO,由直线可知，a<0,b>0故本选项错误.

2a

故选C.

9.(2016广西南宁3分)二次函数y=ax2+bx+c(a，0)和正比例函数y/9x的图象如图所

A.大于0B.等于0C.小于0D.不能确定

【考点】抛物线与x轴的交点.

【分析】设ax2+bx+c=0(a#0)的两根为X2，由二次函数的图象可知xl+x2>0,a>0,

设方程ax2+(b-4)x+c=O(axO)的两根为a,b再根据根与系数的关系即可得出结论.

O

【解答】解：设ax2+bx+c=0(axO)的两根为xi，X2，

•••由二次函数的图象可知xi+x2>0,a>0,

-->0.

a

9

Qh—Jun

设方程ax2+(b-—)x+c=0(a^O)的两根为a,b,则Ja+b=-3=-----甘

3----a3a

a

,/a>0,

3a

a+b>0.

故选C.

【点评】本题考查的是抛物线与X轴的交点，熟知抛物线与X轴的交点与一元二次方程根的

关系是解答此题的关键.

10.(2016贵州毕节3分)一次函数y=ax+b(a#0)与二次函数y=ax2+bx+c(axO)在同一

【分析】本题可先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax?+bx+c

的图象相比较看是否一致.

【解答】解：A、由抛物线可知，a<0,由直线可知，故本选项错误；

B、由抛物线可知，a>0,x=-?>0,得b<0,由直线可知，a>0,b>0,故本选项错误;

2a

C、由抛物线可知，a<0,x=--^-<0,得b<0,由直线可知，a<0,b<0,故本选项正确；

2a

D、由抛物线可知，a<0,x=-与<0,得b<0,由直线可知，a<0,b>0故本选项错误.

故选C.

11.(2016•浙江省绍兴市・4分)抛物线y=x2+bx+c(其中b,c是常数)过点A(2,6),且

抛物线的对称轴与线段y=0(l<x<3)有交点，则c的值不可能是()

A.4B.6C.8D.10

【考点】二次函数的性质.

【分析】根据抛物线y=x2+bx+c(其中b,c是常数)过点A(2,6),且抛物线的对称轴与

线段y=0(l<x<3)有交点，可以得到c的取值范围，从而可以解答本题.

【解答】解：•••抛物线y=x2+bx+c(其中b,c是常数)过点A(2,6),且抛物线的对称轴

与线段y=0(l<x<3)有交点，

，4+2b+c=6

丁,袅《3

解得6WCW14,

故选A.

12.(2016・湖北随州・3分)二，次函数y=ax?+bx+c(a#0)的部分图象如图所示,图象过点(-

1,0),对称轴为直线x=2,下列结论：(1)4a+b=0；(2)9a+c>3b：(3)8a+7b+2c>0；(4)

i7

若点A(-3,yi)、点B(-7，y2)、点C,y3)在该函数图象上，则yi<y3<y2；(5)

若方程a(x+l)(x-5)=-3的两根为xi和X2，且xi<X2，则XI<-1<5<X2.其中正确

【考点】二次函数图象与系数的关系.

【分析】(1)正确.根据对称轴公式计算即可.

(2)错误，利用x=-3时，y<0,即可判断.

(3)正确.由图象可知抛物线经过(-1,0)和(5,0),列出方程组求出a、b即可判断.

(4)错误.利用函数图象即可判断.

(50正确.利用二次函数与二次不等式关系即可解决问题.

【解答】解：(1)正确.-2=2,

2a

4a+b=0.故正确.

(2)错误....x=-3时，y<0,

9a-3b+c<0,

9a+c<3b,故(2)错误.

(3)正确.由图象可知抛物线经过(-1,0)和(5,0),

fa-b+c=0

125a+5b+c=0[c=-5a

/.8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a,

,/a<0,

8a+7b=2c>0,故(3)正确.

I7

(4)错误，，.,点A(-3,yp、点B(—-,丫2)、点C(―,y3),

5-2=4>2-(-4-)=4.

2222

.3々5

22

二点C离对称轴的距离近，

,y3>y2，

a<0,-3<-二<2,

yi<Y2

yi<y2<y3>故(4)错误.

(5)正确.「a<0,

(x+1)(x-5)=-3/a>0,

即(x+1)(x-5)>0,

故x<-1或x>5,故(5)正确.

正确的有三个，

故选B.

-1/0：2

13.（2016•四川南充）抛物线y=x?+2x+3的对称轴是（）

A.直线x=lB.直线x=-1C.直线x=-2D.直线x=2

【分析】先把一般式化为顶点式，然后根据二次函数的性质确定抛物线的对称轴方程.

【解答】解：Vy=x2+2x+3=（x+1）2+2,

:.抛物线的对称轴为直线x=-1.

故选B.

【点评】本题考查了二次函数的性质：对于二次函数y=ax2+bx+c（a#））,它的顶点坐标是

（-3,处」1）,对称轴为直线x=-占.

14.（2016•四川泸州）已知二次函数y=ax2-bx-2（a^O）的图象的顶点在第

四象限，且过点（-1,0）,当a-b为整数时，ab的值为（）

A.g或1B.3或1C.■或I'D.;或；

444244

【考点】二次函数的性质.

【分析】首先根据题意确定a、b的符号，然后进一步确定a的取值范围，根

据a-b为整数确定a、b的值，从而确定答案.

【解答】解：依题意知a>0,。，a+b-2=0,

2a

故b>0,且b=2-a,a-b=a-（2-a）=2a-2,

于是0VaV2,

-2<2a-2<2,

又a-b为整数，

2a-2=-1,0,1,

_113

故[Zia=Tb亍

b42E12,

ab=-7-gK1,

4

故选A.

15.（2016•四川攀枝花）如图，二次函数y=ax?+bx+c（a>0）图象的顶点为D,其图象与

x轴的交点A、B的横坐标分别为-1和3,则下列结论正确的是（）

B.a+b+c>0

C.3a-c=0

D.当a［时，△ABD是等腰直角三角形

【考点】二次函数图象与系数的关系.

【分析】由于抛物线与X轴的交点A、B的横坐标分别为-1,3,得到对称轴为直线x=l,

则-?=1，即2a+b=0,得出，选项A错误；

2a

当x=l时，y<0,得出a+b+cVO,得出选项B错误；

当x=-l时，y=0,即a-b+c=O,而b=-2a,可得到a与c的关系，得出选项C错误；

13

由a二不，则b=T,c=-言，对称轴x=l与x轴的交点为E,先求出顶点D的坐标，由三角

形边的关系得出△ADE和aBDE都为等腰直角三角形，得出选项D正确；即可得出结论.

【解答】解：・・•抛物线与x轴的交点A、B的横坐标分别为-1,3,

抛物线的对称轴为直线X=l,则-2=1,

2a

2a+b=0,

选项A错误；

当自变量取1时，对应的函数图象在x轴下方，

.■.x=l时，y<0,则a+b+c<0,

；・选项B错误；

：A点坐标为（-1,0）,

.'.a-b+c=O,而b=-2a,

a+2a+c=0,

.■.3a+c=0,

选项C错误；

i3

当a=彳,贝c=--T-,对称轴x=l与x轴的交点为E,如图，

13

抛物线的解析式为y=yx2-x-1,

i3

把x=l代入得y=--1-y=-2,

；.D点坐标为（1,-2）,

；.AE=2,BE=2,DE=2,

.二△ADE和4BDE都为等腰直角三角形，

...△ADB为等腰直角三角形，

选项D正确.

故选D.

【点评】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系：当a>0,抛物线开口向上;

抛物线的对称轴为直线*=-与；抛物线与y轴的交点坐标为（0,c）.

2a

16.（2016•黑龙江齐齐哈尔・3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a^O）的对称轴为直线x=l,

与x轴的一个交点坐标为（-1,0）,其部分图象如图所示，下列结论:

①4ac<b2；

②方程ax2+bx+c=0的两个根是xi=-1,X2=3；

③3a+c>0

④当y>0时，x的取值范围是-lgx<3

⑤当x<0时，y随x增大而增大

其中结论正确的个数是（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【考点】二次函数图象与系数的关系.

【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与

x轴的一个交点坐标为（3,0）,则可对②进行判断；由对称轴方程得到b=-2a,然后根据

x=-1时函数值为负数可得到3a+c<0,则可对③进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应

的自变量的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断.

【解答】解：：抛物线与x轴有2个交点，

.-.b2-4ac>0,所以①正确；

:抛物线的对称轴为直线X=l,

而点(-1,0)关于直线X=1的对称点的坐标为(3,0),

方程ax2+bx+c=0的两个根是xi=-1,X2=3,所以②正确；

Vx=--^-=1,即b=-2a,

2a

而x=-l时，y<0,即a-b+c<0,

a+2a+c<0,所以③错误；

•••抛物线与x轴的两点坐标为(-1,0),(3,0),

...当-l<x<3时，y>0,所以④错误；

•••抛物线的对称轴为直线x=l,

.,.当x<l时，y随x增大而增大，所以⑤正确.

故选B.

17.(2016・湖北黄石・3分)以x为自变量的二次函数y=x2-2(b-2)x+b2-1的图象不经

过第三象限，则实数b的取值范围是()

A.b>.^.B.的1或bW-lC.b>2D.l<b<2

4

【分析】由于二次函数y=x2-2(b-2)x+b2-1的图象不经过第三象限，所以抛物线在x

轴的上方或在x轴的下方经过一、二、四象限，根据二次项系数知道抛物线开口方向向上，

由此可以确定抛物线与x轴有无交点，抛物线与y轴的交点的位置，由此即可得出关于b

的不等式组，解不等式组即可求解.

【解答】解：二•二次函数y=x2-2(b-2)x+b2-1的图象不经过第三象限，

抛物线在x轴的上方或在x轴的下方经过一、二、四象限，

当抛物线在x轴的上方时，

•二次项系数a=l,

...抛物线开口方向向上，

Ab2-1>0,A=[2(b-2)]2-4(b2-1)<0,

解得的包

4

当抛物线在X轴的下方经过一、二、四象限时，

设抛物线与X轴的交点的横坐标分别为xi,X2,

；.XI+X2=2(b-2)>0,b2-1>0,

.•.△=[2(b-2)]2-4(b2-1)>0,①

b-2>0,②

b2-l>0,③

由①得b<”,由②得b>2,

4

此种情况不存在,

故选A.

【点评】此题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是会根据图象的位置得到关于

b的不等式组解决问题.

18.（2016・湖北荆门・3分）若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3,则关于x的方程x2+mx=7

的解为（）

A.xi=0,X2=6B.xi=l,X2=7C.XI=1,X2=-7D.xi=-1,X2=7

【考点】二次函数的性质；解一元二次方程-因式分解法.

【分析】先根据二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3求出m的值，再把m的值代入方程

x2+mx=7,求出x的值即可.

【解答】解：：二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3,

-4=3，解得m=-6,

...关于x的方程x2+mx=7可化为x2-6x-7=0,即（x+1）（x-7）=0,解得xi=-l,X2=7.

故选D.

19.（2016・青海西宁-3分）如图，在△ABC中，ZB=90°,tanZC=4，AB=6cm.动点P从

点A开始沿边AB向点B以lcm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s

的速度移动.若P,Q两点分别从A,B两点同时出发，在运动过程中，APBQ的最大面积

是（）

A.18cm2B.12cm2c.9cm2D.3cm2

【考点】解直角三角形；二次函数的最值.

【分析】先根据已知求边长BC,再根据点P和Q的速度表示BP和BQ的长，设APBQ的

面积为S,利用直角三角形的面积公式列关于S与t的函数关系式，并求最值即可.

3

【解答】解：VtanZC=—,AB=6cm,

4

.AB_6=3

'"BC

；.BC=8,

由题意得：AP=t,BP=6-t,BQ=2t,

设APBQ的面积为S,

则S=*BPxBQ弓x2tx(6-t),

S=-t2+6t=-(t2-6t+9-9)=-(t-3)2+9,

P：0<t<6,Q：0<t<4,

.,.当t=3时，S有最大值为，9,

即当t=3时，△PBQ的最大面积为9cm2；

故选C.

20.(2016・陕西・3分)已知抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于A、B两点，将这条抛物线的

顶点记为C,连接AC、BC,贝ljtan/CAB的值为()

A.—B.C.D.2

255

【考点】抛物线与X轴的交点；锐角三角函数的定义.

CD

【分析】先求出A、B、C坐标，作CDJ_AB于D,根据tan/ACD=*即可计算.

AD

【解答】解：令y=0,贝卜x2-2x+3=0,解得x=-3或1,不妨设A(-3,0),B(1,0),

Vy=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,

・・・顶点C(-1,4),

cn4

在RTAACD中，tan/CAD="=*=2,

AD2

故答案为D.

21.(2016・四川眉山・3分)若抛物线y=x2-2x+3不动，将平.面直角坐标系xOy先沿水平方

向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为

()

A.y=(x-2)2+3B.y=(x-2)2+5C.y=x2-1D.y=x2+4

【分析】思想判定出抛物线的平移规律，根据左加右减，上加下减的规律即可解决问题.

【解答】解：将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上

平移三个单位，这个相当于把抛物线向左平移有关单位，再向下平移3个单位，

Vy=(x-1)2+2,

.,.原抛物线图象的解析式应变为y=(x-1+1)2+2-3=x2-1,

故答案为C.

【点评】本题考查二次函数图象的平移，解题的关键是理解坐标系的平移和抛物线的平移是

反方向的，记住左加右减，上加下减的规律，属于中考常考题型.

二、填空题

1.(2016•山东省荷泽市・3分)如图，一段抛物线：y=-x(x-2)(0<x<2)记为Ci,它

与x轴交于两点O,Ai；将Ci绕Ai旋转180。得到C2,交x轴于A2；将C2绕A2旋转180。

得至UC3,交x轴于A3；…如此进行下去，直至得到C6,若点P(11,m)在第6段抛物线

【考点】二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点.

【专题】规律型.

【分析】将这段抛物线Ci通过配方法求出顶点坐标及抛物线与x轴的交点，由旋转的性质

可以知道Ci与C2的顶点到x轴的距离相等，且OA尸A1A2,照此类推可以推导知道点P(U,

m)为抛物线C6的顶点，从而得到结果.

【解答】解：Vy=-x(x-2)(0<x<2),

...配方可得y=-(x-1)2+1(0<x<2),

..•顶点坐标为(1,1),

，Ai坐标为(2,0)

：C2由Ci旋转得到，

.1.OA1=A1A2,即C2顶点坐标为(3,-1),A2(4,0)；

照此类推可得，C3顶点坐标为(5,1),A3(6,0)；

C4顶点坐标为(7,-1),A4(8,0)；

C5顶点坐标为(9,1),As(10,0)；

C6顶点坐标为(11,-1),A6(12,0)；

m=-1.

故答案为：-1.

【点评】本题考查了二次函数的性质及旋转的性质，解题的关键是求出抛物线的顶点坐标.

2.(2016•黑龙江哈尔滨・3分)二次函数y=2(x-3)七-4的最小值为-4.

【考点】二次函数的最值.

【分析】题中所给的解析式为顶点式，可直接得到顶点坐标，从而得出解答.

【解答】解：二次函数y=2(x-3)2-4的开口向上，顶点坐标为(3,-4),

所以最小值为-4.

故答案为：-4.

3.(2016河南)已知A(0,3),B(2,3)是抛物线y=-x?+bx+c上两点，该抛物线的

顶点坐标是(1,4).

【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征.

【分析】把A、B的坐标代入函数解析式，即可得出方程组，求出方程组的解，即可得出解

析式，化成顶点式即可.

【解答】解：：A(0,3),B(2,3)是抛物线y=-x2+bx+c上两点，

••・代入得：t；+2b+c=3'

解得：b=2,c=3,

y=-x2+2x+3

=-(x-1)2+4,

顶点坐标为（1,4）,

故答案为：（1,4）.

【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征的应用，能求出函数的

解析式是解此题的关键.

1

4.（2016•四川南充）已知抛物线y=ax?+bx+c开口向上且经过点（1,1）,双曲线y=2x经

过点（a,be）,给出下列结论：①bc>0；②b+c>0；③b,c是关于x的一元二次方程x2+

1

（a-1）x+¥^=0的两个实数根；④a-b-cN3.其中正确结论是①③（填写序号）

1

【分析】根据抛物线y=ax?+bx+c开口向上且经过点（1,1）,双曲线丫=区经过点（a,be）,

可以得到a>0,a、b、c的关系，然后对a、b、c进行讨论，从而可以判断①②③④是否正

确，本题得以解决.

1

【解答】解：：抛物线y=ax2+bx+c开口向上且经过点（1,1）,双曲线y=2x经过点（a,be）,

'a〉0

a+b+c=l

bc=-^

.'.bc>0,故①正确；

，a>l时，贝i|b、c均小于0,此时b+c<0,

当a=l时，b+c=0,则与题意矛盾,

当0<a<l时，贝!Jb、c均大于0,止匕时b+c>0,

故②错误；

1

x2+（a-1）x+2a=0可以转化为：x2+（b+c）x+bc=0,得*=1?或*=（:,故③正确;

1

Vb,c是关于x的一元二次方程x2+（a-1）x+旗=0的两个实数根，

a-b-c=a-（b+c）=a+（a-1）=2a-1,

当a>l时，2a-1>3,

当0<a<l时，-l<2a-l<3,

故④错误；

故答案为：①③.

【点评】本题考查二次函数与图象的关系，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条

件，利用数形结合的思想解答问题.

5.（2016•四川泸州）若二次函数y=2x2-4x-1的图象与x轴交于A（xi,0）、

113

B（X2,0）两点，则一+一的值为-三.

X1x2Z

【考点】抛物线与x轴的交点.

【分析】设y=o，则对应一元二次方程的解分别是点A和点B的横坐标，利

用根与系数的关系即可求出;+;的值.

X1x2

【解答】解：

设y=0,则2x2-4x-1=0,

一元二次方程的解分别是点A和点B的横坐标，即xi,X2,

.,.Xl+.X2=--------=2,XI,«X2="-1,

22

X1+X23

X1x2X］2，

2-y

原式=-------W--=-

故答案为：-率

6.（2016•四川内江）二次函数+6x+c的图象如图11所示，且P=|2a+"+|36—

2c|,Q=\2a-b\~\3b+2c\,则尸,。的大小关系是.

［答案］P>。

［考点］二次函数的图象及性质。

［解析］:抛物线的开口向下，，。<0.：—上=1,；包>0且。=一

2a2

\2a~\~b\=0f\2a—b\=b—2a.

・・•抛物线与y轴的正半轴相交，・・・c>0・・・.|3。+2d=3b+2c.

由图象可知当x=—1时，y<0,BPa~b+c<0.

：.-^-b+c<0,即3b—2c>0.，|36—2c|=36—2c.

...P=0+3b—2c=36一2c>0,

Q=b-2a-^b+2c）=~（b+2c）<0.

-,.P>Q.

故答案为：P>Q.

7.（2016・湖北荆州・3分）若函数y=（a-1）x?-4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则

a的值为-1或2或1.

【分析】直接利用抛物线与x轴相交，b2-4ac=0,进而解方程得出答案.

【解答】解：•••函数y=（a-1）x2-4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，

当函数为二次函数口寸，b2-4ac=16-4（a-1）x2a=0,

解得：ai=-1,a2=2,

当函数为一次函数时，a-1=0,解得：a=l.

故答案为：-1或2或1.

【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确得出关于a的方程是解题关键.

三、解答题

1.（2016・湖北随州・9分）九年级（3）班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x

天（14x490,且x为整数）的售价与销售量的相关信息如下.已知商品的进价为30元/件，

设该商品的售价为y（单位：元/件），每天的销售量为p（单位：件），每天的销售利润为w

（单位：元）.

时间x（天）1306090

每天销售量P（件）1981408020

（1）求出w与x的函数关系式；

（2）问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润；

（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于5600元？请直接写出结果.

【考点】二次函数的应用；一元一次不等式的应用.

【分析】（1）当04x450时，设商品的售价y与时间x的函数关系式为丫=1农+心，由点的坐标

利用待定系数法即可求出此时y关于x的函数关系式，根据图形可得出当50<x<90时，

y=90.再结合给定表格，设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n,套入数据利

用待定系数法即可求出p关于x的函数关系式，根据销售利润=单件利润x销售数量即可得

出w关于x的函数关系式；

(2)根据w关于x的函数关系式，分段考虑其最值问题.当04x450时，结合二次函数的

性质即可求出在此范围内w的最大值；当50<x<90时，根据一次函数的性质即可求出在此

范围内w的最大值，两个最大值作比较即可得出结论；

(3)令W25600,可得出关于，x的一元二次不等式和一元一次不等式，解不等式即可得出x

的取值范围，由此即可得出结论.

【解答】解：(1)当0女《50时，设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b(k、b

为常数且k=0),

,；y=kx+b经过点(0,40)、(50,90),

[b=40(k=l

解得:

l50k+b=90lb=40

售价y与时间x的函数关系式为y=x+40；

当50<xW90时，y=90.

\+40(0<x<50,且x为整数)

售价y与时间X的函数关系式为y=,

90(50<x<90,且x为整数)

由书记可知每天的销售量P与时间X成一次函数关系，

设每天的销售量P与时间x的函数关系式为p=mx+n(m、n为常数，且m/0),

;p=mx+n过点(60,80)、(30,140),

j60/n=80,解得：尸-2,

l30irri-n=140[n=200

p=-2x+200(0<x<90,且x为整数)，

当04x450时，w=(y-30)・p=(x+40-30)(-2x+200)=-2x2+180x+2000；

当50<x<90时，w=(90-30)(-2x+200)=-120x+12000.

综上所示，每天的销售利润w与时间x的函数关系式是

R-2X2+180X+2000(0<X<50,且x为整数)

w=s5.

-120x+12000(50<x<90,且x为整数)

(2)当0人50时,w=-2X2+180X+2000=-2(x-45)2+6050,

a=-2<0且0<x<50,

当x=45时,w取最大值，最大值为6050元.

当50<x<90时，w=-120x+12000,

k=-120<0,w随x增大而减小，

当x=50时,w取最大值，最大值为6000元.

6050>6000,

当x=45时，w最大,最大值为6050元.

即销售第45天时，当天获得的销售利润最大，最大利润是6050元.

(3)当0<x<50时，令w=-2X2+180X+2000>5600,即-2x2+180x-3600>0,

解得：304x450,

50-30+1=21(天)；

当50<x<90时，4w=-120x+12000>5600,即-120x+6400>0,

解得：50<x<53-

••.X为整数，

...50<x<53,

53-50=3(天).

综上可知：21+3=24(天)，

故该商品在销售过程中，共有24天每天的销售利润不低于5600元.

2.(2016・湖北随州•12分)已知抛物线y=a(x+3)(x-1)(axO),与x轴从左至右依次相

交于A、B两点，与y轴相交于点C,经过点A的直线y=-J*+b与抛物线的另一个交点

为D.

(1)若点D的横坐标为2,求抛物线的函数解析式；

(2)若在第三象限内的抛物线上有点P,使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似,

求点P的坐标；

(3)在(1)的条件下，设点E是线段AD上的一点(不含端点)，连接BE.一动点Q从

点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E,再沿线段ED以每秒竽•个单位

的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最

【考点】二次函数综合题.

【分析】(1)根据二次函数的交点式确定点A、B的坐标，求出直线的解析式，求出点D

的坐标，求出抛物线的解析式；

(2)作PH_Lx轴于H,设点P的坐标为(m,n),分△BPA-△ABC和△PBA-△ABC,

根据相似三角形的性质计算即可；•

(3)作DM"x轴交抛物线于M,作DN^x轴于N,作EFLDM于E根据正切的定义求

出Q的运动时间t=BE+EF时，t最小即可.

【解答】解：(1)Vy=a(x+3)(x-1),

「•点A的坐标为(-3,0)、点B两的坐标为(1,0),

直线y=-J§x+b经过点A,

・二b二-3M,

•••y=--3如,

当x=2时，y=-573-

则点D的坐标为(2,-5小5)，

•・•点D在抛物线上，

a(2+3)(2-1)=-5«，

解得，a=-“际，

则抛物线的解析式为y=-J3(x+3)(x-1)=-V3x2-26+3如;

(2)作PH_Lx轴于H,

设点P的坐标为(m,n),

当^BPA-△ABC时，ZBAC=ZPBA,

nrPH

/.tanZBAC=tanZPBA,即---=---,

OAHB

-3a-n

即n=-a(m-1),

3-irrt-1

n=一a(in-1)

n=(m+3)(m-1)'

解得，mi=-4,m2=l(不合题意，舍去),

当m=-4时，n=5a,

,/△BPA〜△ABC,

,即AB2=AC«PB,

ABPB

42T9a2+9Y25a2+25,

解得，a『坐(不合题意，舍去)，a2=-率,

1515

贝!Jn=5a=--,

3

「•点P的坐标为(-4,巨)；

3

当^PBA〜△ABC时，ZCBA=ZPBA,

nrPH

/.tanZCBA=tanZPBA,即---=---,

OBHB

-3a-n

/.-----=------,即n=-3a(m-1),

1-irrf-1

‘n=-3a(m-1)

n=a(m+3)(m-1)’

解得，mi=-6,m2=l(不合题意，舍去),

当m=-6时，n=21a,

,/△PBA-△ABC,

二毁=当即AB2=BC・PB,

BAPB

42=Vl+9a2，V72+(-21a)2>

解得，即=率（不合题意，舍去），a2=-乎，

则点P的坐标为（-6,-卒），

综上所述，符合条件的点P的坐标为（-4,-亨）和（-6,

(3)作DMIIx轴交抛物线于M,作DNJ_x轴于N,作EF_LDM于F,

则tanNDAN=^¥/

/.ZDAN=60°,

/.ZEDF=60°,

••・DE=£F岁EF,

DE

RR1—

Q的运动时间t=-^+273=BE+EF,

"I-

.,.当BE和EF共线时，t最小,

则BEJ_DM,y=-4^/3.

3.（2016・湖北武汉•10分）某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产

销元件.已知产销两种产品的有关信息如下表：

产品每件售价（万元）每件成本（万元）每年其他费用（万