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学必求其心得,业必贵于专精学必求其心得,业必贵于专精学必求其心得,业必贵于专精教材习题点拨练习A1.(1)x2+y2=4;(2)x2+(y-1)2=4;(3)(x+2)2+(y-1)2=3;(4)(x-3)2+(y-4)2=25.2.∵12+12=2<4,∴点A在圆内.∵12+(eq\r(3))2=4,∴点B在圆上.∵12+22=5>4,∴点C在圆外.3.(1)圆心坐标为(0,0),半径为eq\r(5);(2)圆心坐标为(3,0),半径为2;(3)圆心坐标为(0,-1),半径为eq\r(2);(4)圆心坐标为(-2,1),半径为eq\r(3).练习B1.(1)圆心C为AB的中点,∴圆心C(3,6).半径r=eq\f(|AB|,2)=eq\f(1,2)eq\r((4-2)2+(9-3)2)=eq\r(10),∴圆的方程为(x-3)2+(y-6)2=10。(2)设圆的方程为x2+(y+3)2=r2,由题意,得9+(1+3)2=r2,∴r2=25.故x2+(y+3)2=25为所求圆的方程.(3)解法1:设圆的方程为x2+y2=a(a>0),∵这个圆与直线y=-2x+eq\f(1,2)相切,代入圆的方程得5x2-2x+eq\f(1,4)-a=0,∴Δ=4-4×5×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)-a))=0,∴a=eq\f(1,20).∴圆的方程为x2+y2=eq\f(1,20)。解法2:圆心O(0,0)到直线4x+2y-1=0的距离d=eq\f(|-1|,\r(16+4))=eq\f(\r(5),10),∴r=eq\f(\r(5),10),∴圆的方程为x2+y2=eq\f(1,20).(4)设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=1,由题意,得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2+(1-b)2=1,,a2+(3-b)2=1,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a=0,,b=2。))∴所求圆的方程为x2+(y-2)2=1.2.设圆心坐标为C(a,0),则|CA|=|CB|,∴eq\r((a+1)2+1)=eq\r((a-1)2+32),解得a=2。∴圆心坐标为C(2,0).r=|BC|=eq\r((2-1)2+32)=eq\r(10),故圆的方程为(x-2)2+y2=10。练习A1.(1)∵x2+y2-6x=0,∴(x-3)2+y2=9.∴圆心坐标为(3,0),半径为3。(2)圆心坐标为(0,2),半径为3;(3)圆心坐标为(2,3),半径为1;(4)圆心坐标为(1,-2),半径为eq\f(\r(10),2)。2.(1)原点;(2)以(1,-2)为圆心,eq\r(11)为半径的圆;(3)以(1,1)为圆心,eq\r(5)为半径的圆;(4)ab≠0时,以(-a,0)为圆心,eq\r(a2+b2)为半径的圆,a=b=0时,表示点(0,0).练习B1.设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(F=0,,32+22+3D+2E+F=0,,(-4)2-4D+F=0,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D=4,,E=-\f(25,2),,F=0.))故所求圆的方程为x2+y2+4x-eq\f(25,2)y=0.2.设轨迹上任意一点的坐标为P(x,y),由题意,得eq\f(|PA|,|PB|)=eq\r(2),eq\f(\r((x+1)2+(y-2)2),\r((x-3)2+(y-2)2))=eq\r(2)。化简整理得x2+y2-14x-4y+21=0。练习A1.(1)圆心坐标为(1,-2),半径为r=eq\r(6),圆心到直线2x+y-5=0的距离d=eq\f(|2-2-5|,\r(22+1))=eq\r(5)。(2)∵d=eq\r(5)<eq\r(6)=r,∴圆与直线相交.2.圆x2+y2=13的圆心坐标为(0,0),半径r=eq\r(13),圆心(0,0)到直线x-y-1=0的距离d=eq\f(|-1|,\r(2))=eq\f(\r(2),2)<eq\r(13),∴圆与直线相交.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2+y2=13,,x-y-1=0,))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=3,,y=2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=-2,,y=-3.))∴交点坐标为(3,2),(-2,-3).3.(1)圆x2+y2-8x+2y-8=0可化为(x-4)2+(y+1)2=25,∴圆心坐标为(4,-1),半径r=5。圆心(4,-1)到直线4x-3y+6=0的距离d=eq\f(|16+3+6|,\r(16+9))=5=r.∴圆与直线相切.(2)圆x2+y2-4x+3=0可化为(x-2)2+y2=1,圆心坐标为(2,0),半径r=1,圆心到直线2x-y+5=0的距离d=eq\f(|4+5|,\r(4+1))=eq\f(9,\r(5))=eq\f(9\r(5),5)>1=r。∴圆与直线相离.练习B1.圆x2+y2=4的圆心坐标为(0,0),半径为2.圆心(0,0)到直线x-y-C=0的距离d=eq\f(|C|,\r(2))。故当eq\f(|C|,\r(2))>2,即C<-2eq\r(2)或C>2eq\r(2)时,没有公共点;当eq\f(|C|,\r(2))=2,即C=±2eq\r(2)时,有一个公共点;当eq\f(|C|,\r(2))<2,即-2eq\r(2)<C<2eq\r(2)时,有两个公共点.2.过圆x2+y2=10上一点M(2,eq\r(6))的切线方程为2x+eq\r(6)y-10=0。3.圆x2+y2=4的圆心坐标为(0,0),半径r=2,圆心坐标为(0,0),到直线y=mx+4的距离d=eq\f(4,\r(m2+1)).由题意,得eq\f(4,\r(1+m2))=2,得m=±eq\r(3)。故所求切线方程为±eq\r(3)x-y+4=0.4.圆x2+(y-1)2=5的圆心坐标为(0,1),半径r=eq\r(5),设直线方程为y=2x+b,则圆心(0,1)到直线2x-y+b=0的距离d=eq\f(|b-1|,\r(22+1))=eq\r(5),解得b=6或b=-4。∴直线的方程为2x-y+6=0或2x-y-4=0。练习A1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2+y2-2x-3=0,①,x2+y2-4x+2y+3=0,②))①-②得2x-2y-6=0,即y=x-3,③代入①式得x2+(x-3)2-2x-3=0,∴x2-4x+3=0.得x=1或x=3,代入③得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=1,,y=-2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=3,,y=0。))∴交点坐标为(1,-2)和(3,0).2.(1)圆心O1(2,3),半径r1=2,圆心O2(-6,-3),半径r2=8,∵|O1O2|=eq\r((2+6)2+(3+3)2)=10=r1+r2,∴两圆外切.(2)圆心O1(-1,1),半径r1=2,圆心O2(2,3),半径r2=4,∵|O1O2|=eq\r(32+22)=eq\r(13),4-2<eq\r(13)<4+2,∴两圆相交.练习B1.⊙O1:x2+y2=1,∴O1(0,0),r1=1.⊙O2:(x+4)2+(y-a)2=25,∴O2(-4,a),r2=5.∵⊙O1与⊙O2相切,故(1)当两圆外切时,|O1O2|=r1+r2,即eq\r(16+a2)=6,∴a=±2eq\r(5);(2)当两圆内切时,|O1O2|=|r1-r2|,即eq\r(16+a2)=4,∴a=0.综上所述,a的值为±2eq\r(5)或0.2.设所求圆的方程为(x-3)2+(y-4)2=r2(r>0).∵所求圆与圆x2+y2=1相外切,∴eq\r(32+42)=1+r,∴r=4.故所求圆的方程为(x-3)2+(y-4)2=16。3.(1)圆x2+y2+6x-4=0的圆心坐标为(-3,0),半径为eq\r(13),圆x2+y2+6x-28=0的圆心坐标为(-3,0),半径为eq\r(37).∵两圆圆心相同,eq\r(13)<eq\r(37),∴两圆内含,没有公共点.(2)圆x2+y2-4x+6y=0的圆心为O1(2,-3),半径为eq\r(13),圆x2+y2-2x+4y=0的圆心为O2(1,-2),半径为eq\r(5).∵|O1O2|=eq\r((2-1)2+(-3+2)2)=eq\r(2),又(eq\r(2)+eq\r(5))2=7+2eq\r(10)>7+6=13,∴eq\r(2)+eq\r(5)>eq\r(13),即eq\r(13)-eq\r(5)<|O1O2|<eq\r(13)+eq\r(5)。∴两圆相交,有两个公共点.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2+y2-4x+6y=0,①,x2+y2-2x+4y=0,②))①-②得-2x+2y=0。∴x=y.代入②得2x2+2x=0,得x=0或x=-1.∴交点坐标为(0,0),(-1,-1).习题23A1.(1)r=eq\r((-2-4)2+(1+1)2)=2eq\r(10),∴圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=40。(2)∵AB为直径,A(-2,4),B(8,-2),设圆心坐标为(x,y),半径为r,∴x=eq\f(8-2,2)=3,y=eq\f(4-2,2)=1。∴圆心坐标为(3,1).r=eq\f(|AB|,2)=eq\f(\r(100+36),2)=eq\r(34)。∴圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=34。(3)d=eq\f(|3+35+2|,\r(49+1))=4eq\r(2),∴圆的方程为(x-3)2+(y+5)2=32。(4)设圆心坐标为(0,y),∴eq\r(16+(y+2)2)=eq\r(4+(y-2)2),得y=-eq\f(3,2),∴r2=eq\f(65,4)。∴圆的方程为x2+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y+\f(3,2)))2=eq\f(65,4).2.设x2+y2+Dx+Ey+F=0为圆的方程,则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(36+6D+F=0,,34+5D-3E+F=0,,10+3D+E+F=0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D=-8,,E=2,,F=12。))故所求圆的方程为x2+y2-8x+2y+12=0.3.∵A、B在圆上,∴AB的垂直平分线经过圆心,AB的垂直平分线方程为x-y+4=0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x+y+2=0,,x-y+4=0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=-2,,y=2。))∴圆心坐标为(-2,2),r2=(-2-1)2+(2-1)2=9+1=10。∴圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=10.4.圆心坐标为O(4,-1),半径r=5,圆心到直线的距离d=eq\f(|4×4+3×1+6|,5)=5=r,∴直线4x-3y+6=0与圆(x-4)2+(y+1)2=25相切.5.圆心坐标为O(0,0),半径r=5,圆心到直线的距离d=eq\f(|C|,\r(26)),由题意,得eq\f(|C|,\r(26))=5,即|C|=5eq\r(26),直线与圆相切,则C=±5eq\r(26)。6.O(0,0),C(-1,eq\r(3)),kOC=eq\f(\r(3),-1)=-eq\r(3),∴切线斜率k=eq\f(\r(3),3).故所求切线方程为y-eq\r(3)=eq\f(\r(3),3)(x+1).∴3y-3eq\r(3)=eq\r(3)x+eq\r(3),∴eq\r(3)x-3y+4eq\r(3)=0,即x-eq\r(3)y+4=0。7.(1)圆心坐标为(1,0),半径为eq\r(6);(2)圆心坐标为(-1,2),半径为3;(3)圆心坐标为(-2,0),半径为2;(4)圆心坐标为(0,eq\f(5,2)),半径为eq\f(\r(21),2).画图略.8.⊙C1:x2+y2+2x+6y+6=0的圆心C1(-1,-3),⊙C2:x2+y2-4x-8y+7=0的圆心C2(2,4),∴两圆的圆心距|C1C2|=eq\r((-1-2)2+(-3-4)2)=eq\r(58)。9.圆x2+y2-4x+3=0的圆心坐标为(2,0),半径为1,圆心(2,0)到直线x-2y+1=0的距离d=eq\f(|2-2×0+1|,\r(5))=eq\f(3\r(5),5)>1.∴直线与圆相离.10.设C(x,y)是轨迹上任意一点,则由|AB|=|AC|,得eq\r((3-x)2+(20-y)2)=eq\r((3-3)2+(20-5)2),即(x-3)2+(y-20)2=225(x≠3).习题23B1.设圆心的坐标为(a,b),半径为r,则圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2。由题意,得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|a|=|b|=r,,(8-a)2+(1-b)2=r2,))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a=b,,(8-a)2+(1-b)2=b2,))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a=-b,,(8-a)2+(1-b)2=b2,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a=13,,b=13))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a=5.,b=5.))故所求圆的方程为(x-13)2+(y-13)2=169或(x-5)2+(y-5)2=25.2.设圆心坐标为(a,b),半径为5,则圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=25。由题意,得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|b|=5,,(1-a)2+(2-b)2=25,))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b=5,,(1-a)2+(2-b)2=25))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b=-5,,(1-a)2+(2-b)2=25。))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b=5,,a=-3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b=5,,a=5。))故所求圆的方程为(x+3)2+(y-5)2=25或(x-5)2+(y-5)2=25。3.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2+y2=1,,y=kx-2,))消去y,得(1+k2)x2-4kx+3=0。Δ=16k2-4(1+k2)·3=4k2-12=4(k2-3).当Δ>0,即k2-3>0,得k<-eq\r(3)或k>eq\r(3)时,直线与圆相交;当Δ=0,即k2-3=0,得k=±eq\r(3)时,直线与圆相切;当Δ<0,即k2-3<0,得-eq\r(3)<k<eq\r(3)时,直线与圆相离.4.证明:∵以线段AB为直径,∴圆心C的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1+x2,2),\f(y1+y2,2))),半径r=eq\f(1,2)|AB|=eq\f(1,2)eq\r((x2-x1)2+(y2-y1)2),∴圆的方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(x1+x2,2)))2+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y-\f(y1+y2,2)))2=eq\f(1,4)[(x2-x1)2+(y2-y1)2],即x2-(x1+x2)x+eq\f(1,4)(xeq\o\al(2,1)+2x1x2+xeq\o\al(2,2))+y2-(y1+y2)y+eq\f(1,4)(yeq\o\al(2,1)+2y1y2+yeq\o\al(2,2))=eq\f(1,4)(xeq\o\al(2,1)+xeq\o\al(2,2)-2x1x2)+eq\f(1,4)(yeq\o\al(2,1)+yeq\o\al(2,2)-2y1y2),∴x2-(x1+x2)x+x1x2+y2-(y1+y2)y+y1y2=0,即(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0。5.圆(x-3)2+(y-4)2=25的圆心为C(3,4),kCA=eq\f(8-4,6-3)=eq\f(4,3),设所求切线斜率为k,则k·eq\f(4,3)=-1,∴k=-eq\f(3,4)。故切线方程为y-8=-eq\f(3,4)(x-6),即3x+4y-50=0。6.圆的方程x2+y2-4x-5=0可化为(x-2)2+y2=9,圆心为C(2,0),半径r=3。P(0,4)到圆心C(2,0)的距离为eq\r((2-0)2+(0-4)2)=2eq\r(5)。故所求的切线长为eq\r((2\r(5))2-r2)=eq\r(20-9)=eq\r(11).7.由题意,切线的斜率为3,设切线方程为y=3x+b.圆x2+y2=4的圆心坐标为(0,0),半径为2.∴圆心到直线的距离d=eq\f(|b|,\r(32+1))=2。得b=±2eq\r(10).故所求切线方程为y=3x±2eq\r(10)。8.设动点M(x,y),点P(x0,y0),则xeq\o\al(2,0)+yeq\o\al(2,0)=9。①由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=\f(15+x0,2),,y=\f(y0,2),))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0=2x-15,,y0=2y。))代入①式得(2x-15)2+4y2=9,即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(15,2)))2+y2=eq\f(9,4)。9.设圆心为C(x,y),由题意,被轴截得的弦所对的圆心角为90°,有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2=R2-1,,y2=\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)R))2,))消去R,得x2-2y2+1=0,由C的任意性得到圆心的轨迹方程为x2-2y2+1=0。①又知圆心(x,y)到直线l:x-2y=0的距离为eq\f(\r(5),5),∴eq\f(|x-2y|,\r(5))=eq\f(\r(5),5),∴|x-2y|=1.②联立①②,解方程组得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=-1,,y=-1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=1,,y=1。))故圆心坐标为(1,1)或(-1,-1).由x2=R2-1,知圆半径R=eq\r(2)。故所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2.10.建立坐标系,如图所示,使圆心在y轴上,设圆心坐标为(0,b),半径为r,则圆的方程为x2+(y-b)2=r2(y≥0).①将(0,4),(10,0)代入①式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((4-b)2=r2,,100+b2=r2,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b=-10。5,,r2=14.52.))故圆的方程为x2+(y+10。5)2=14。52(y≥0).②将点P1、P2的横坐标-6、-2分别代入②得(-6)2+(y1+10.5)2=14。52,(-2)2+(y2+10。5)2=14。52,得y1≈2.70,y2≈3.86。同理,y3≈3.86,y4≈2.70.答:四根支柱的长分别为2。70m,3.86m,3。86m,2.70m。探索与研究我们已掌握了圆的方程和如何用代数方法求解圆的一些问题.下面我们再给出两个问题,通过探索研究,从中进一步体会如何用坐标方法解几何问题.(1)到两定点O,A距离的比为任意一个常数k(k>0)的动点M的轨迹方程是什么?从得到的方程你能说明轨迹是什么曲线吗?(2)如果上一问中所得到的轨迹与OA相交于P点,当k取不同的常数时,或M点位置变化时,分别度量∠OMP和∠AMP的大小,你猜想到什么结论?你能够证明自己的猜想吗?解:(1)以点O为坐标原点,OA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,如图,不妨设两个定点O

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