2024高考数学讲义：对数与对数函数

2024高考数学讲义：对数与对数函数

目录

i.教学大纲.....................................................................1

2.教材回扣基础自测：自主学习•知识积淀.....................................I

2.1.练习......................................-..............................4

2.2.考点例析对点微练一一互动课堂•考向探究................................5

2.2.1.考点一对数的运算自主练习...........5

2.2.2.考点二对数函数的图象及应用.......................................6

2.2.3.考点三对数函数的性质及应用微专题..................................9

2.3.【题组对点练】............................12

3.教师备用题.................................................................14

4.课外阅读•增分培优...........................................................17

4.1.因“型”制官话大小.......................17

4.2.“新情境”试题............................20

1.教学大纲

内容要求考题举例考向规律

1.理解对数的概念及其运算性2020•全国I卷012（指数、对数考情分析：对数

质，知道用换底公式将一般对数函数比较大小）函数中利用性质

转化成自然对数或常用对数；了2020•全国10卷・T12（指数、对数比较对数值大

解对数在简化运算中的作用函数比较大小）小，求对数型函

2.理解对数函数的概念，理解2019•天津高考・T6（指数、对数数的定义域、值

对数函数的单调性，掌握对数函比较大小）域、最值等仍是

数图象通过的特殊点2019•北京高考・T6（对数的实际高考考查的热

3.知道对数函数是一类重要的应用）点，题型多以选

函数模型2018•全国III卷・T12（对数式比较择题、填空题为

4.了解指数函数y=ax与对数大小）主，属中档题

函数y=logax互为反函数（a>0,2018♦天津高考・T5（对数式比较核心素养：数学

且a±l）大小）运算、直观想象

2.教材回扣基础自测：自主学习・知识积淀

、基础细梳理知识必备•固根基

1.对数的概念

⑴对数的定义

第1页共23页

如果a'=M〃>。，且〃W1)，那么数x叫做以。为底N的对

数，记作尤=logaM其中8叫做对数的底数，乂叫做真数。

(2)几种常见对数

对数形式特点记法

一般对数底数为。(。>0,且lOgaN

常用对数底数为及IgJY

自然对数底数为gInN

2.对数的性质与运算法则

(1)对数的性质

logJV

①。=瓯>0,且。Wl,7V>0)o

②log/N=&(〃>0,且〃W1)。

⑵对数的重要公式

①换底公式：log“〃=鳖且〃Wl；c>0,且c^l；/?>0)o

②泪=房？

log推广log疝•log〃c・log(d=log,/。

⑶对数的运算法则

如果〃>0,且aWl,M>0,N>0,那么:

①10g"(MW=10g“M+lOgaN；

M

②log〃w=log"M—logjv；

③log,M?=n\ogaM(n£R)；

®\ogamMH=~\ogM(m，〃£R)。

，，La

3.对数函数的图象与性质

y=

a>l0<a<l

logd

第2页共23页

图

象

定义域：(0，+8)

值域：R

过点(1,0),即x=L时，y=Q

性当x>l时，y>0；当x>l时，y<0；

质当OVxVl时，y<0当OVxVl时，y>0

是(0,+8)上的增函数是(0,+8)上的减函数

y=\ogax的图象与y=log%m>0,且qW1)的图象关于x轴对称

4.〉=优与y=logHa>0,aWl)的关系

指数函数y=八与对数函数y=k)gj互为反函数,它们的图

象关于宜线正工对称。

1.指数式与对数式的等价关系：a』NQx=To&N。

2.换底公式的三个重要结论

⑴bg"ii；

n

⑵log"〃"=Mlog就；

(3)log,61og%clog<d=log/

3.对数函数的图象与底数大小的比较

如图，作直线y=l,则该直线与四个函数图象交点的横坐

标为相应的底数。故0<c<a<l<a<b。

第3页共23页

5.(忽视底数。的讨论出错)若log*im>0,且aWl),则实

数。的取值范围是o

33

解析当0<a<l时，log^<log^=1,所以0<。<不当

时，log.<log&=l,所以〃〉1。所以实数Q的取值范围是10,4

U(l,+°°)o

(3、

答案10,Jju(l,+-)

2.2.考点例析对点微练——互动课堂-考向探究

2.2.L考点一对数的运算自主练习

Q

1.已知2、=3,log4g=y,则x+2y的值为

解析

所以x+2y=log23+log2g=log28=3o

答案3

2.1g25+lg50+lg2-lg500+(1g2)2=。

解析原式=21g5+(lg5+l)+lg2X(2+lg5)+(lg2)2=1

+31g5+21g2+lg2(lg5+lg2)=1+31g5+31g2=1+3(lg5+lg

2)=4o

答案4

3.若log点・k)g3〃=4,则b=o

解析由log“"log3Q=4得雷•卷W=log38=4,所以Z?=34=

8U

答案81

4.(log32+log92)-(log43+log83)=。

第5页共23页

f11\1i35

解析原式=[log32+21og32jx[]k)g23+wlog23j=,og32Xk

1他2jig35

1唯3=访乂必=笳

答案!

在对数运算中要注意的几个问题

1.在化简与运算中，一般先用箱的运算把底数或真数进行

变形，化成分数指数幕的形式，使幕的底数最简，然后再运用对

数运算法则化简合并。

b

2.a=N^b=\ogaN（a>0,且1）是解决有关指数、对数问

题的有效方法，在运算中要注意互化。

2.2.2.考点二对数函数的图象及应用

【例1】（1）作出函数y=log2k+l|的图象，由图象指出函

数的单调区间，并说明它的图象可由函数y=k）g2X的图象经过

怎样的变换而得到。

解

作出函数y=log2X的图象，将其关于y轴对称得到函数旷=

10g2|R的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数》=

log2|x+l|的图象（如图所示）。由图知，函数y=log2|x+1］的单调

递减区间为（-8,—1）,单调递增区间为（-1,+8）。

第6页共23页

(2)已知当时，有/<log〃x,则实数a的取值范围为

解析

(11

若也<logd在0,4时成立，则。且丁=也的图象

在y=log«x图象的下方，作出图象如图所示。由图象知\^<108才,

0<a<l9

i/1\

所以111解得77*<1。即实数a的取值范围是京,1o

21lo110>

a>不

答案岛(11)J

利用对数函数的图象可求解的两类热点问题

1.对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，

在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形

结合思想求解。

2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象

问题，利用数形结合法求解。

【变式训练】⑴函数/(X)=lOga|M+l(0<Q<l)的图象大致

为()

第7页共23页

解析由函数/(X)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关

于y轴对称。设g(x)=log〃b|,先画出x〉0时，g(x)的图象，然后

根据g(x)的图象关于》轴对称画出x<0时g(x)的图象，最后由函

数g(x)的图象向上整体平移一个单位长度即得/(X)的图象，结合

图象知选Ao

答案A

log2X,X>0,

(2)已知函数/(x)=J关于X的方程/(x)+x—Q

=0有且只有一个实根，则实数。的取值范围是o

解析问题等价于函数y=/(x)与y=-x+a的图象有且只

有一个交点，结合函数图象可知6Z>lo

第8页共23页

答案（1,+°°）

2.2.3.考点三对数函数的性质及应用微专题

微考向1：比较对数值的大小

【例2】（1）已知。=log2e,Z?=ln2,c=logl则。，b,

23

c的人小关系为（）

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>b>aD.c>a>b

解析因为c=logl|=log23>log2e=^,所以c>ci。因为b=

2J

ln2=log^e<1<log2e=6Z,所以a>bo所以c>a>bo

答案D

45

(2)(2020-全国111卷)已矢口55<8413<8。设a=log53,/7=log85,

c=logi38,则()

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.c<a<h

44

4ss

解析解法一：因为］=log88',/?=logs5,(8')5=84>5\

44

54s44

所以8、>5,所以\=log88、>log85=b,即卜三。因为］=

JJJ

444

W74

3D545

log1313,c=logi38,(13)=13<8,所以13°<8,所以彳=

4

54

D

logi313<logi38=c,即c>\。又2187=37<55=3125,所以1g

37<lg55,所以71g3V51g5,所以耨<点所以a=j|-|<|,而85<57,

第9页共23页

la55la55

所以51g8<71g5,所以亍所以所以c>b>ao

初土一山日石二k左入u〃、八〃1。旦531g3义1g8

解法一:由仁意丁知a,b,eE(O,l),厂牌85一ig5Xlg5

1门。3+1。8)八。24、

<(ig^Xl-2J2=fej2<1J所以〃<"；由"=1阳5,得8人

4

=5,由55<8:得8528。所以外<4,可得81；由c=k)gi38,

4

得13c=8,由13々85,得134<135:所以4<5g可得c>《，所以

h<co综上所述，a<h<co

答案A

总结反思

比较对数值大小的常见类型及解题方法

常见类型解题方法

底数为同一常

可由对数函数的单调性直接进行判断

数

底数为同一字

需对底数进行分类讨论

母

底数不同，真可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可用图象法

数相同比较

底数与真数都

常借助1,0等中间量进行比较

不同

微考向2：解对数不等式

[例3]⑴若Ioga(a2+l)vloga2"0,则a的取值范围是

()

第10页共23页

A.(0,1)B.10,2

fl、

C.51JD.(O,1)U(1,+8)

解析由题意得々>0且aWl,故必有序+1>2〃，又lo&(〃2

+l)<logfl2a<0,所以同时2a>1,得所以;Vz<l。

故选C。

答案c

(2)已知定义域为R的偶函数在(-8,0］上是减函数，

且"1)=2,则不等式/(log2X)>2的解集为()

A.(2,+°°)B.；0,；U(2,+8)

C.［o,乎卜(卷+oo)D.(^2,+8)

解析因为/(幻是偶函数，且在(一8,0］上单调递减，所以

/(X)在。+8)上单调递增。/(log2X)>2=〃l),所以/(|log2X|)"

(1),得|log2K>1,即lOg2X>l或lOg2X<—1,解得X>2或0Vx

故选Bo

答案B

总结反思

对数不等式(组)的求解常利用对数函数的单调性，在对数的

底数不确定的情况下，要注意分类讨论。

微考向3：对数函数性质的综合应用

【例4】(1)已知函数/(尢)=16>;—2)+坨(6—工)，贝1()

人./。)在(2,6)上单调递增

B./(x)在(2,6)上的最大值为21n2

第11页共23页

C./(尢)在(2,6)上单调递减

D.y=f(x)的图象关于点(4,0)对称

解析/(冗)=ln(x—2)+ln(6—x)=ln[(x—2)(6—%)],定义域

为(2,6),令f=(x—2)(6—x),则y=ln/,二次函数E=(x—2>(6—

x)的图象的对称轴为直线x=4,所以/(x)在(2,4)上单调递增，在

(4,6)上单调递减，A,C错误，D显然是错误的；当x=4时，t

有最大值，函数y=ln/为增函数，所以/(x)max=ln(4—2)+ln(6

-4)=21n2o故选B。

答案B

(2)(2021•武汉市质量监测)已知a=41n3兀,b=31n4兀，c=41n

兀3,则〃，b,C的大小关系是()

A.c<b<aB.b<c<a

C.h<a<cD.a<h<c

解析构造函数/(x)=3%23),则/'(x)=~―4^<0,函

数”工)在[3,+8)上是减函数，由3<兀<4,得/(3)"(兀)>/(4),

即二—>>”—，所以一>1,T>1,所以。>c>。。故选B。

3兀4cb

答案B

总结反思

本题(2)构]查函数、讨论其单调性比较大小，是对数函数性质

的一个重要应用。

2.3.【题组对点练】

1.(微考向1)若〃=log34,匕=0.6叫c=logl2,则。，b,

2

C的大小关系为()

A.a>c>bB.a>b>c

第12页共23页

C.b>c>aD.b>a>c

解析6f=log34>log33=l,0</?=0.6°4<0.6°=1,c=logl2=

」「2

一IvO,所以故选B。

答案B

2.(微考向2)若定义在区间(一1,0)内的函数/a)=iog2〃a+

1)满足/(x)>0,则实数a的取值范围是()

(n[f

A.[0,2JB.10,2

fl、

C.旨+叼D.(0,+°0)

解析因为一1令<0,所以0令+1<1。又因为/(幻>0,所以

0<2。<1,所以0<。<5。

答案A

3.(微考向3)(多选)函数/(x)=log加一1|在(0,1)上是减函数，

那么()

A.7(x)在(1,+8)上递增且无最大值

B./(x)在(1,+8)上递减且无最小值

C./(x)在定义域内是偶函数

D./(x)的图象关于直线x=l对称

解析由|工一1|>0得，函数/(x)=log“|x—l|的定义域为

X—1.

{x|xWl}。设g(x)=|x-l|=二则g(x)在(一8,1)

[一冗+1,X<1,

上为减函数，在(1,+8)上为增函数，且g(x)的图象关于直线X

=1对称，所以/(0的图象关于直线x=1对称，D正确；因为/

(x)=loga|x-1|在(0,1)上是减函数,所以4>1,所以/(X)=log4r一

1|在(1,+8)上递增且无最大值，A正确，B错误；又/(一#=

logd-X-11=logjx+11^/(%),所以C错误。故选AD。

第13页共23页

答案AD

4.(微考向3)(2020・全国I卷)若2"+log2Q="+21ogM则

()

A.a>2bB.a<2b

C.a>trD.a<b2

解析解法一：令/(x)=2x+log2X,因为)，=2"在(0,+8)

上单调递增，y=log2%在(0,+8)上单调递增，所以/(x)=2"+

ah2/7

log2X在(0,+8)上单调递增。又2+log26r=4+21og4Z?=2+

log2b<22〃+log2(23,所以/(〃)勺(2b),所以。<2从故选B。

解法二：(取特值法)由2"+log2Q=4/，+210gs=，+log2儿取

b=1,得2"+log2Q=4,令/(x)=2'+log2X—4,则/(x)在(0,+

8)上单调递增,且/⑴<0,/(2)>0,所以/(1»(2)<0,f(x)=2x

+log2X-4在(0,+8)上存在唯一的零点，所以\<a<2,故a>2b

=2,火店都不成立，排除A,D;取b=2,得2"+log2a=17,

令g(x)=2'+log2X—17,则g(x)在(0,+8)上单调递增，且g(3)<0,

g(4)>0,所以g(3)g(4)<0,g(x)=2x+log2X—17在(0,+8)上存

在唯一的零点，所以3<兴4,故Q>〃=4不成立，排除c。故选

Bo

答案B

3.教师备用题

(1、

【例1】(配合例1使用)函数/(x)=x+；ln|x|的图象的大

致形状为()

第14页共23页

解析解法一：当x>0时ja)=x+：lnx,且当04<1时，

\X)

由x+(>0,lnx<0,得/(x)<0,故排除B,C;当x<0时，/(#=

X

Nln(—x),且当—1<x<0时，由x+；<0,ln(—x)<0,得/(x)>0,

故排除A。故选D。

(i、(n

解法二：因为/(一尢)=^^+-ln|—x\=—x+-ln|x|=—f

\X)\X)

(x),所以/(x)是奇函数，其图象关于原点对称，故排除A,B;

当x=2时，/(2)=|ln2>0,故排除Co故选D。

乙

答案D

【例2】(配合例2使用)下列不等关系，正确的是()

A.Iog23<log34<log45B.Iog23>log45>log34

C.Iog23<log45<log34D.Iog23>log34>log45

,.1Q31Q41Q5

解析解法一：log23=ig2>log?4=氤,iog45=盲q,所以

亚23_但2+lg&|

,一/Ig3_lg4lg23—lg21g4JgJ12J

1082310834-1g2lg3-1g21g3>lg21g3一

lg23_（等2Jg23_（等2

"lg2lg3>&lg21g3=0所以I°g23>log34,同理可证

第15页共23页

Iog.34>log45o故选D。

初上一1IIXlg(〃+l)

斛法一：log〃u?+l)-]g〃，

,lg(〃+2)

k)g(〃+D(〃+2)=画的，

所以logw(n+1)—log(/t+1)(n+2)=

lg5+l)lgS+2)_lg2S+l)-lg〃lg(〃+2)

lgnlg(j?+l)1g7zlg(7?+l)>

lg2(〃+l)-恸+整+2)1

lgnlg(n+l)

lg2(〃+l)—[鸣也斗

lg川g(〃+l)>

lg2(〃+l)—产科丹

lgdg(/t+l)-0,

所以Iog23>log34>log45o故选D。

答案D

【例3](配合例3使用)已知函数/(x)=ln3+0)m>0且

4/1)是R上的奇函数，则不等式。的解集是()

A.3+0°)

B.(—8,a)

C.当时，解集是(〃，+8),当0<。<1时，解集是(一

8,(i)

D.当。>1时，解集是(一8,。)，当0<〃<1时，解集是3,

+0°)

解析依题意，/(0)=ln(l+〃)=0,解得〃=0,于是/(#=

x

Ina=x\naQ所以/(x)>alnaU>xlna>〃ln〃。当时，X>a\当

第16页共23页

0<6/<1时，x<aQ故选C。

答案C

【例4】(配合例4使用)已知兀为圆周率，e=2.71828-

为自然对数的底数，则()

CC

A.K<3B.7ilog3e>31ogHe

C.35，<3兀e2D.log^ologse

解析对于A,因为函数y=d是(0,+8)上的增函数，且

JT3

兀>3,所以兀,>3,，A项错误；对于B,兀log3e>31og；te<4j_不>]O

in11^Jr

7tln兀>31n3台兀">33,B项正确；对于C.3e_27i<37Cc_2O3e_3<7ie~3,

而函数是(0,+8)上的减函数，C项错误；对于D,

Iogne>log3e<=>j^>|^<=>ln兀<ln3,而函数y=lnx是(0,+8)上

的增函数，D项错误。故选B。

答案B

4.课外阅读•增分培优

4.1.因“型”制宜话大小

比较大小问题在高考中一直占有一席之地，但对于指数、真

数、底数不同的情况进行比较大小时，由于形式各异，同学们有

时会感到困惑，现分类举例，供同学们参考。

一、利用指、对、累函数的单调性

1

—⑴?

【例1】已知〃2>1,且Q=logl加，b=5,c=m,则

2I少

a，b,c的大小关系是()

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<a<cD.b<c<a

第17页共23页

【解析】因为J=loglx在(0,+8)上是减函数，且m>l,

2

所以log2〃2<logj_1,即。<0。又)，=5'在R上是减函数，所以

221)

1

,即0<Z?<|o因为y=x2

0<0曲在[0,+8)上是增函数，所

11

79

以〃z>1,即。>1。所以〃<Z?<c。故选A。

【答案】A

【名师微点】本题考查利用指、对、嘉函数的单调性比较

大小。同时注意中间量的选取要便于计算、比较，通过选取一些

中间量(如0,1等)比较大小，借助不等式传递性来确定它们的大

小。

2

【变式训练1]设a=2，/?=log35,c=log45,则a,

Ac的大小关系是()

A.a<c<bB.a<b<c

C.b<c<aD.c<b<a

2

解析因为)=2,在R上是增函数，所以。=23<2°=lo

由题得/7=log35=j^2,C=log45=4I。因为y=logK在(0,

+8)上是增函数。所以0=k)g51Vlog53vlOg54<log55=1,所以

11

>>1,即b>c>\,所以b>c>a故选A。

log53log54G

答案A

二、利用函数的图象

已知国"=l°g3“3=loglb,p—logj_c,贝Ija,

[例2]3

3

第18页共23页

b,c的大小关系是（）

A.c<b<aB.a<b<c

C.b<c<aD.b<a<c

【解析】在同一平面直角坐标系中，分别作出），=Q',y

=logsx,v=3\y=loglx的图象，如图。由图可知〃<c<。。故

3

选C。

【答案】C

【名师微点】对于比较“超越方程”的根的大小问题，直

接比较会很困难，常常将问题转化为指数函数、对数函数与募函

数的图象交点的横坐标大小问题，再借助图象求解。

【变式训练2】（2021.重庆南开中学质检）已知eb,C、£

（0,+°°）,且ln〃=〃-1,h\nh=1,cec=1,则a,b,c的大小

关系是________o

解析Ina=a—1,In/?=',ec=^o依次作出）：=巴y=ln

x,y=x—1,y=-在（0,+8）上的图象，如图所示。由图象可知

X

第19页共23页

答案c<a<b

三、构造函数

【例3】（2020•全国II卷）若2'—2''<3一］一3一）'，则（）

ln(y—x+l)>0B.ln(j—x+1)<0

In|x-j|>0D.ln|x-y|<0

【解析】由2、一2,'<3r—3一乙得2'—3一、<2'一3-）'，即2、

_做。设於）=2」修

，则/⑴勺*3）。因为函数）,=2,'在

R上为增函数，y=—寸在R上为增函数,

在R上为增函数，则由/（x）勺Xy）,得所以y—x>0,所以y

一x-\-1>1,所以ln（y—x+l）>Oo故选A。

【答案】A

【名师微点】解答本题的关键点：（1）对于结构相同（相似）

的不等式，通常考虑变形，构造函数；（2）利用指数函数与对数函

数的单调性得到x,y的大小关系及In。，-x+1）的符号。

【变式训练3】若©"+兀*。〃+兀，则有（）

A.a+h^0B.

C.a-b^0D.a+b^0

解析构造函数利用单调性求解。令/a）=e，一兀一。则/（x）

是增函数，因为e"一兀一"2巳一"一兀"，所以/（。）力/（一。），所以

—b,即。+/?20。故选D。

答案D

4.2.“新情境”试题

“新情境”试题是高考一道亮丽的风景线，它体现了我国社

会主义建设的伟大成就，紧密联系社会，设计真实的问题情境,

具有鲜明的时代特色。近年来，高考试卷已经在转型，让“贴近

社会、贴近时代、贴近考生实际”的理念成为贯穿整个高考命题

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的思路。试题体现了应用性和创新性，强调理性思维，突出数学

的应用性和数学文化的引