第25讲-公因数和最大公因数的应用（讲义）-2022-2023学年五年级数学下册（人教版讲解版）

五年级数学下册人教版五年级数学下册人教版《公因数和最大公因数的应用》精准讲练在铺地砖问题中，要使地面铺满且使用的地砖是整块时，就是求长和宽的公因数；要求地砖的边长最大是多少，就是求长和宽的最大公因数。在铺地砖问题中，要使地面铺满且使用的地砖是整块时，就是求长和宽的公因数；要求地砖的边长最大是多少，就是求长和宽的最大公因数。一个长方形，长24厘米，宽18厘米。如果把这个长方形剪成边长为整厘米数的正方形，而没有剩余，剪成的正方形边长最长是()厘米，能剪成()个这样的正方形。答案：

6

12解析：剪成正方形没有剩余，说明正方形的边长是24和18的公因数，求最长的边长即是求24和18的最大公因数，然后用长方形的长和宽分别除以它们的最大公因数，求出长和宽可以分别可以剪出几个正方形，最后用长可以剪出的正方形的个数乘宽可以剪出正方形的个数即可。24＝2×2×2×318＝2×3×324和18的最大公因数是：2×3＝6。即剪成的正方形边长最长是6厘米。（24÷6）×（18÷6）＝4×3＝12（个）即能剪成12个这样的正方形。两个非0且不相等的自然数，它们的公因数是有限的，公倍数是无限的。()答案：√解析：两个数公有的因数叫做它们的公因数，两个数公因数的个数是有限的，最小公因数是1，两个数公有的倍数叫做它们的公倍数，两个数公倍数的个数是无限的，没有最大公倍数，据此解答。分析可知，两个非0且不相等的自然数，它们的公因数是有限的，公倍数是无限的，如：2和4，2和4的公因数有1，2；2和4的公倍数有4，8，12，16…故答案为：√两个数的最大公因数是2，最小公倍数是12，这两个数可能是（

）。A．1和12 B．4和12 C．3和4 D．4和6答案：D解析：两个数互质，则最大公因数是1，最小公倍数就是这两个数的乘积；两个数为倍数关系，则最大公因数是较小的数，最小公倍数为较大的数。先把要求的两个数分别分解质因数，然后把它们公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数，把它们公有的质因数和独有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数。据此分别求出各选项的最大公因数和最小公倍数，再作判断。由分析得：A．1和12的最大公因数是1，最小公倍数是12，不合题意；B．12是4的倍数，所以4和12的最大公因数是4，最小公倍数是12，不合题意；C．3和4互质，所以3和4的最大公因数是1，最小公倍数是12，不合题意；D．4＝2×2，6＝2×3，所以4和6的最大公因数是2，最小公倍数是2×2×3＝12，符合题意。故答案为：D三年级同学参加义务劳动，一班48人，二班42人，如果把两班的学生分别分成若干小组，要使两个班每个小组的人数相同，每组最多有多少人？答案：48＝2×2×2×2×342＝2×3×7则48和42的最大公因数是2×3＝6答：每组最多有6人。解析：由题意可知，要使两个班每个小组的人数相同，则每组最多的人数就是48和42的最大公因数，据此解答即可。一、填空题1．甲数是12，甲、乙两数的最大公因数是4，最小公倍数是84，那么乙数是()。答案：28解析：根据甲、乙两数的最小公倍数×最大公因数＝甲数×乙数，则乙数＝最小公倍数×最大公因数÷甲数，据此解答即可。甲数是12，甲、乙两数的最大公因数是4，最小公倍数是84，那么乙数是：2．如果，，那么a和b的最大公因数是()，最小公倍数是()。答案：

10

210解析：两个数公因数就是这两个数的公有质因数的乘积；最小公倍数就是它们公有质因数和独有质因数的乘积。据此填空即可。a和b的最大公因数是2×5＝10最小公倍数是：2×5×3×7＝10×3×7＝30×7＝210则a和b的最大公因数是10，最小公倍数是210。3．a是大于0的自然数，b＝a＋1，那么a和b的最大公因数是()。答案：1解析：a是大于0的自然数，b＝a＋1，说明a和b是相邻的两个自然数，相邻两个自然数一定是互质数，两数互质，最大公因数是1，据此分析。a是大于0的自然数，b＝a＋1，a、b互质，那么a和b的最大公因数是1。4．两根彩带，长度分别是44厘米和56厘米。要把它们截成同样长的小段，不能有剩余，每段最长是()厘米。答案：4解析：把这两根彩带截成同样长的小段，不能有剩余，求每段最长的长度，就是求44和56的最大公因数，利用分解质因数法解答即可。44＝2×2×1156＝2×2×2×2×7则44和56的最大公因数是4，则每段最长是4厘米。5．有两根分别长32厘米和24厘米的彩带，现在要把两根彩带剪成同样长的短彩带且没有剩余，短彩带最长是()厘米。答案：8解析：要把两根分别长32厘米、24厘米的彩带剪成长度一样的短彩带且无剩余，每根短彩带要尽可能长，每根的长就是32和24的最大公因数，求出最大公因数即可得解。32的因数有：1、2、16、4、8、32；24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24；最大公因数是8，即短彩带最长8厘米。二、判断题1．分数分子和分母的最大公因数是2。()答案：√解析：两个数的公有质因数的连乘积就是最大公因数，如果两个数成倍数关系，较小的是最大公因数，如果两个数互为互质数，最大公因数是1，据此解答即可。由分析可得：分子4＝2×2，分母6＝2×3，则4和6的最大公因数为2。故答案为：√2．10和15的最大公因数是5，最小公倍数是15。()答案：×解析：求两个数的最大公因数，就是两个数的公有的质因数的乘积，求两个数的最小公倍数，就是是两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积。据此解答。10＝2×515＝3×52×3×5＝3010和15的最大公因数是5，最小公倍数是30。原题干说法错误。故答案为：×3．18和36的最大公因数是18，最小公倍数也是18。()答案：×解析：求两个数的最大公因数和最小公倍数，如果两个数是倍数关系，那么较小的数就是这两个数的最大公因数，较大的数就是这两个数的最小公倍数。如果两个是互质数，它们的最大公因数是1，最小公倍数是两个数的乘积。如果两个数是一般关系，两个数的公有质因数的连乘积，两个数的最小公倍数是两个数的公有质因数与每一个独有质因数的连乘积；由此解答。18和36是倍数关系，最大公因数是18，最小公倍数是36。原题干说法错误。故答案为：×4．在a，b两个数中，如果a是它们的最大公因数，b就是它们的最小公倍数。()答案：√解析：两个数是倍数关系时，较小的数是它们的最大公因数，较大的数是它们的最小公倍数，据此判断。在a，b两个数中，如果a是它们的最大公因数，则b大于a，且b是a的倍数，b的最小倍数是b，所以b就是它们的最小公倍数。故答案为：√5．m和n是两个相邻的自然数，它们的最大公因数是1，最小公倍数是mn。（m、n均不为0）()答案：√解析：相邻的两个非0自然数互质，它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积，据此解答。m和n是两个相邻的自然数，且m、n均不为0，则它们是互质的关系，它们的最大公因数是1，最小公倍数是mn。故答案为：√。三、选择题1．X和Y是两个非零自然数，且X＝4Y，则X和Y的最大公因数是（

）。A．X B．Y C．4 D．1答案：B解析：两个数为倍数关系，则最大公因数是较小的数。据此解答。X＝4Y，则X÷Y＝4，且Y＜X，X和Y的最大公因数是Y。故答案为：B2．a和b的最大公因数是1，它们的最小公倍数是（

）。A．a B．b C．a×b D．a÷b答案：C解析：如果a和b的最大公因数是1，那么a和b两个数互质，它们的最小公倍数是它们的乘积。据此解答。根据分析得，a和b的最大公因数是1，它们的最小公倍数是a×b＝ab。故答案为：C3．下面叙述错误的是（

）。A．等底等高的三角形面积相等B．a÷b＝12（a，b都是非0自然数），那么a与b的最大公因数是12C．求组合图形的面积里，蕴含着转化的数学思想D．的分母加上24，要使分数的大小不变，分子应乘4答案：B解析：A.根据三角形面积公式判断即可；B．根据“当两个数成倍数关系时，较大的那个数是这两个数的最小公倍数，较小的那个数是这两个数的最大公因数”，据此作答。C．组合图形的面积里，关键是把简单的组合图形分解成已学过的图形，据此判断用到的思维方法；D．根据分数的基本性质进行解答。A．S＝×ah，a与h分别相等的两个三角形，面积也相等，原题说法正确；B．由分析可知题中a是b的12倍，两个数成倍数关系，所以b就是这两个数的最大公因数，原题说法错误；C．求组合图形的面积时，常把简单的组合图形分解成已学过的图形，运用了转化的思维，原题说法正确；D．根据分数的基本性质，8＋24＝32，32÷8＝4，原分母扩大到原来的4倍，要使分数大小不变，分子也要扩大到原来的4倍，即分子应乘4，原题说法正确。故答案为：B。4．一块长方形布料，长42cm，宽35cm，要将它做成大小相同方巾并且都无剩余，这块长方形布料至少能做（

）块方巾。A．49 B．25 C．30 D．36答案：C解析：求出42和35的最大公因数，再分别用长和宽除以最大公因数，将它们的商再相乘即可解答。42＝2×3×735＝5×742和35的最大公因数是7。42÷7＝6（块）35÷7＝5（块）6×5＝30（块）一块长方形布料，长42cm，宽35cm，要将它做成大小相同方巾并且都无剩余，这块长方形布料至少能做30块方巾。故答案为：C5．下面（

）组的公因数只有1。A．21和14 B．54和42 C．26和27 D．12和21答案：C解析：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，据此解答。A．21和14的公因数有：1、7；B．54和42的公因数有：1、2、3、6；C．26和27的公因数只有1；D．12和21的公因数有：1、3。下面26和27组的公因数只有1。故答案为：C四、计算题1．求出下列每组数的最大公因数。19和57

63和36

27和64答案：19和57的最大公因数是19；63和36的最大公因数是：3×3＝9；27和64是互质数，27和64的最大公因数是1。解析：用短除法求两个数的最大公因数时，从两个数公有的最小质因数除起，一直除下去，直到除得的两个商互质为止，然后左边的数相乘，积为两数的最大公因数。五、解答题1．花店有36朵红色玫瑰和48朵黄色玫瑰，店员准备把这些花做成花束，每束花中红花的朵数相同，黄花的朵数也相同，每束花里最少有几朵花？答案：36＝2×2×3×348＝2×2×2×2×336和48的最大公因数是2×2×3＝12。（36＋48）÷12＝84÷12＝7（朵）答：每束花里最少有7朵花。解析：每束花中红花的朵数相同，黄花的朵数也相同，则做成的花束的数量是36和48的公因数。求每束花里最少有几朵花，先求出36和48的最大公因数，即是花束的最多数量，再用两种花的总数量除以花束的数量即可求出每束花里最少有几朵花。2．把一块长48厘米，宽36厘米的长方形硬纸裁成同样大小，面积尽可能大的正方形，纸板没有剩余。至少可以裁成多少个正方形？每个正方形的边长是多少厘米？答案：48＝2×2×2×2×336＝2×2×3×32×2×3＝12（厘米）48×36÷（12×12）＝1728÷144＝12（个）答：至少可以裁成12个正方形，每个正方形的边长是12厘米。解析：求出长方形硬纸长和宽的最大公因数，是裁成的最大正方形的边长，根据长方形面积＝长×宽，正方形面积＝边长×边长，长方形面积÷正方形面积＝裁成的正方形的个数。3．把一张长18厘米，宽12厘米的长方形纸片，剪成若干个相同的小正方形，而且不能有剩余，可以剪多少个小正方形？（画出示意图，再计算）答案：18的因数有：1，2，3，6，9，18。12的因数有：1，2，3，4，6，12。18和12的最大公因数为：6，所以正方形的边长为6厘米。（12÷6）×（18÷6）＝2×3＝6（个）答：可以剪6个小正方形。解析：要使小正方形的边长尽可能长，而且不能有剩余，正方形的边长就是18和12的最大公因数，所以先求出12和18的最大公因数，用长和宽分别除以小正方形的边长，得出长可以剪几个和宽可以剪几个，然后把它们相乘即可。4．爸爸打算给长72分米、宽48分米的客厅铺上地砖。从不浪费材料的角度考虑（使用的地砖都是整块），可以选择边长是多少分米的正方形地砖？（地砖的边长是整分米数且在5～10分米之间）答案：72的因数有1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72；48的因数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48；72和48在5～10的公因数有6、8；答：可以选择边长是6分米或8分米的正方形地砖。解析：已知客厅长72分米、宽48分米，要铺满正方形地砖且没有空余地方，则正方形地砖的边长是72和48的公因数，地砖的边长是整分米数且在5～10分米之间，符合条件的6、8，所以正方形地砖的边长为6分米或8分米。5．阳光小