专题12有理数的除法（原卷版）

专题12有理数的除法1.会把有理数的除法运算改为乘法运算；2.熟练掌握有理数混合运算顺序及法则；3.能利用有理数的除法解决实际问题。1.有理数的除法1）有理数除法法则：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数．，()法则的另一说法：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．除以任何一个不等于的数，都得．2）有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果．有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果．注意：乘除混合运算要“从左到右”运算．分数可以理解为分子除以分母．【题型一】有理数除法法则的辨析【解题技巧】有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．【典题1】（2021·河南·开封市七年级期中）两个有理数的商为负数，则这两个有理数（

）A．同号 B．异号 C．都是正数 D．都是负数【典题2】（2021·湖南·长沙市华益中学七年级期中）如果a＞0，b＜0，那么下列结果正确的是（）A．ab＞0，＞0 B．ab＞0，＜0 C．ab＜0，＞0 D．ab＜0，＜0【变式练习】1．（2022·浙江宁波·七年级期末）下列说法正确的是（

）A．非零两数的和一定大于任何一个加数 B．非零两数的差一定小于被减数C．大于1的两数之积一定大于任何一个因数 D．小于1的两数之商一定小于被除数2．（2022·广西·桂林市宝贤中学七年级阶段练习）已知a，b为有理数，则下列说法正确的个数为（

）①若，，则，．②若，，则，且．③若，，则，．④若，，则，且．A．1 B．2 C．3 D．4【题型二】有理数的除法运算【解题技巧】有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果．【典题1】（2021·湖南·衡阳市华新实验中学七年级阶段练习）计算：＝_________________．【典题2】（2022·全国·七年级课时练习）计算：（1）；

（2）；（3）；

（4）【变式练习】1．（2022·全国·七年级专题练习）计算：2.（2022·全国·七年级课时练习）计算：（1）；

（2）

（3）；（4）；

（5）

（6）；（7）；

（8）．【题型三】有理数除法的运算步骤问题【解题技巧】【典题1】（2021·山西临汾·七年级期中）下面是小明的计算过程，请仔细阅读．计算：．解：原式=（–15）÷（）×6…………第一步=（–15）÷（–20）…………第二步第三步并解答下列问题．（1）上面的解题过程用两处错误：第一处是第____步，错误原因是．第二处是第____步，错误原因是．（2）请写出正确的计算过程．【典题2】（2021·吉林·七年级期中）下面是小胡同学做过的一道题，请先阅读解题过程，然后回答所提出的问题．计算：（﹣48）÷36×（﹣）解：原式＝（﹣48）÷（﹣4）⋯⋯⋯⋯⋯第①步＝12⋯⋯⋯⋯⋯第②步问题：（1）上述解题过程中，从第步开始出错（填“①”或“②”）；（2）写出本题的正确解答过程．【变式练习】1.（2022·全国·七年级专题练习）阅读后回答问题：计算（–）÷（–15）×（–）．解：原式=–÷[（–15）×（–）]①=–÷1②=–③.（1）上述的解法是否正确？答：__________；若有错误，在哪一步？答：__________（填代号）错误的原因是：__________；（2）这个计算题的正确答案应该是：__________．2．（2022·吉林·德惠市第三中学七年级阶段练习）阅读后回答问题：计算．解：原式=

①

②

③（1）从第（填序号）步开始出现错误；（2）请写出正确的解答过程．【题型四】有理数的除法简算【解题技巧】【典题1】（2021·娄底市第二中学七年级期中）请你先认真阅读材料：计算解：原式的倒数是＝＝×（﹣30）﹣×（﹣30）+×（﹣30）﹣×（﹣30）＝﹣20﹣（﹣3）+（﹣5）﹣（﹣12）＝﹣20+3﹣5+12＝﹣10故原式等于﹣再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：．【变式练习】1.（2021·湖北黄冈市·思源实验学校七年级月考）阅读下列材料：计算：÷﹙﹣＋﹚．解法一：原式＝÷﹣÷＋÷＝×3﹣×4＋×12＝．解法二：原式＝÷﹙﹣＋﹚＝÷＝×6＝．解法三：原式的倒数＝﹙﹣＋﹚÷＝﹙﹣＋﹚×24＝×24﹣×24＋×24＝4．所以，原式＝．（1）上述得到的结果不同，你认为解法是错误的；（2）请你选择合适的解法计算：﹙﹣﹚÷﹙﹣－＋﹚．【题型五】有理数乘除法的混合运算【解题技巧】有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果．注意：乘除混合运算要“从左到右”运算．分数可以理解为分子除以分母．【典题1】（2021·江苏徐州·七年级期中）计算：（1）（2）．【典题2】（2021·浙江杭州市·七年级期末）给出四个数：,2,6，计算“24点”，请列出四个符合要求的不同算式．（可运用加、减、乘、除、乘方运算，可用括号；注意：例如与只是顺序不同，属同一个算式．）算式1：_________________；算式2_______________；算式3：_________________；算式4_______________；【变式练习】1．（2021·辽宁鞍山·七年级阶段练习）计算：______．2．（2021·北京师范大学实验华夏女子中学七年级期中）3．（2021·贵州黔南·七年级阶段练习）计算．（1）（2）【题型六】有理数除法的应用【解题技巧】【典题1】（2022·四川成都·七年级期末）元旦节期间，某商场对顾客实行这样的优惠政策：若一次购物不超过200元，则不予折扣；若一次购物超过200元不超过500元，则按标价给予八折优惠：若一次购物超过500元，其中500元按上述八折优惠外，超过500元的部分给予七折优惠．小明的妈妈两次购物分别付款192元和384元，如果她合起来一次性购买同样多的商品，那么她可以节约______元．【典题2】（2021·浙江杭州市·七年级期中）小王和小李两人在进行100米跑训练，小王说：“我跑到终点时，你离终点还有20米”，小李说：“我跑到终点时，你才比我快了2.5秒”．（1）求小王和小李的速度．（2）若小李从起点先跑2秒后小王再开始跑，求小王起跑后几秒追上小李．（3）若小李从起点起跑，小王在起点后20米同时起跑，小王在起跑时不慎摔了一跤，爬起来后继续按原速度跑，在跑的过程中发现某一时刻两人相距只有2米，求小王摔倒最多耽搁几秒时间？【变式练习】1．（2021·吉林·长春市第八十七中学七年级期末）大商超市对顾客实行优惠购物，优惠规定如下：A如果一次性购物在500元以内，按标价给予九折优惠；B如果一次性购物超过500元，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠．（1）李叔叔在该超市购买了一台标价为780元的洗衣机，他应付多少元钱？（2）王阿姨先后两次去该超市购物，分别付款198元和554元，如果王阿姨一次性购买，只需要付款多少元？能节省多少元？2．（2021·浙江台州市·中考真题）小华输液前发现瓶中药液共250毫升，输液器包装袋上标有“15滴/毫升”．输液开始时，药液流速为75滴/分钟．小华感觉身体不适，输液10分钟时调整了药液流速，输液20分钟时，瓶中的药液余量为160毫升．（1）求输液10分钟时瓶中的药液余量；（2）求小华从输液开始到结束所需的时间．【题型七】有理数除法的新定义问题【解题技巧】【典题1】（2021·河南·鹤壁市外国语中学七年级期中）已知是有理数，表示不超过的最大整数，如，，，等，那么（

）A．－6 B．－5 C． D．【典题2】（2021·湖南张家界市·七年级期末）概念学习：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，(－3)÷(－3)÷(－3)÷(－3)等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作23，读作“2的3次商”，(－3)÷(－3)÷(－3)÷(－3)记作(－3)4，读作“－3的4次商”．一般地，我们把n个a（a≠0）相除记作an，读作“a的n次商”．根据所学概念，则(－4)5的值是（）A． B． C． D．【变式练习】1．（2022·江苏宿迁·七年级期末）有两个正数a和b，满足a＜b，规定把大于等于a且小于等于b的所有数记作[a，b],例如大于等于0且小于等于5的所有数记作[0，5]．如果m在[5，15]中，n在[20，30]中，则的一切值所在的范围是（）A． B． C． D．2．（2021·北京海淀区·七年级期中）我们知道，正整数按照能否被2整除可以分成两类：正奇数和正偶数，小浩受此启发，按照一个正整数被3除的余数把正整数分成了三类：如果一个正整数被3除余数为1，则这个正整数属于A类，例如1，4，7等；如果一个正整数被3除余数为2，则这个正整数属于B类，例如2，5，8等；如果一个正整数被3整除，则这个正整数属于C类，例如3，6，9等．（1）2020属于类（填A，B或C）；（2）①从A类数中任取两个数，则它们的和属于类（填A，B或C）；②从A类数中任意取出15个数，从B类数中任意取出16个数，从C类数中任意取出17个数，把它们都加起来，则最后的结果属于类（填A，B或C）；（3）从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数，把它们都加起来，若最后的结果属于C类，则下列关于m，n的叙述中正确的是（填序号）．①m+2n属于C类；②|m﹣n|属于B类；③m属于A类，n属于C类；④m，n属于同一类．1．（2021·江苏）如果，则“”内的数是（）A． B． C． D．2.（2021·四川成都市·棠湖中学外语实验学校）给出下列等式：①；②；③；④．其中正确的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．13.下列各式中，与的运算结果相同的是（）A．B．C．D．4．（2022·河北·石家庄市第四十一中学一模）若的计算结果为正数，代表的运算不可以是（

）A．加法 B．减法 C．乘法 D．除法5．（2020·河南洛阳·七年级期中）下列计算正确的是（

）A．－45÷15＝3B．（－8）÷（－16）＝2C．（－12）÷8＝D．69÷（－23）＝36．（2022·四川南充·七年级期末）小明家的汽车在阳光下曝晒后车内温度达到了60℃，打开车门后经过降低到室外同温32℃，再启动空调关车门，若每分钟降低4℃，降到设定的20℃共用时间是（

）A． B． C． D．7．（2022·山东烟台·期末）某商场举办“迎新春送大礼”的促销活动，全场商品一律打八折销售．小明买了一件商品，比标价少付了40元，那么他购买这件商品花了（

）A．80元 B．120元 C．160元 D．200元8．（2021·辽宁营口·七年级期中）下列运算中错误的是（

）A．(－6)×(－5)×(－3)×(－2)＝180 B．(－9)÷(－3)＝－2C．(－3)×÷(－)×3＝9 D．12×(－)＝19．（2022·全国·七年级）已知“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1=24，…，若公式Cnm=（n＞m），则C125=（

）A．60 B．792 C．812 D．504010．（2022·广西河池·七年级期末）甲、乙二人从第一层开始比赛爬楼梯，甲爬到第4层时，乙恰好爬到第3层，照这样的速度，甲爬到第16层时，乙爬到第（

）层．A．9 B．10 C．11 D．1211．（2021·浙江·舟山市普陀第二中学九年级期中）计算：得（

）A． B． C． D．12．（2021·全国·七年级专题练习）在下列各题中，结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则13．（2022·浙江温州·七年级期末）计算：_____．14．（2022·浙江杭州·模拟预测）李明组织同学一起去观看电影《流浪地球》，票价为每张60元，若购买20张以上（不含20张），则全部打八折，已知他们一共花了1200元，他们共买了_______张电影票．15．（2020·重庆文德中学校七年级期中）重庆文德中学的校车王师傅为了掌握自己车的油耗情况，在连续两次加油时做了如下工作：（1）把油箱加满油；（2）记录两次加油时的累计里程（注：“累计里程”指车从出厂开始累计行驶的路程)，以下是王师傅连续两次加油时的记录：加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）第一次186200第二次306500则在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为__________升16．（2021·湖南永州市·七年级期末）计算，结果是_________．17．（2021·江苏镇江市·七年级期末）将四个数2，﹣3，4，﹣5进行有理数的加、减、乘、除、乘方运算，列一个算式_____（每个数都要用，且只能用一次，写出一个即可），使得运算结果等于24．18．（2021·山西临汾·七年级期中）天干地支纪年法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历．天干地支纪年法共有十天干与十二地支，具体情况如下表.其算法是：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以12的余数查出地支．如2008年，尾数8为戊，2008除以12余数为4，4为子，那么2008年就是戊子年．2021年是伟大、光荣、正确的中国共产党成立100周年，则2021年是________年．（用天干地支纪年法表示）天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸4567890123地支子丑寅卯辰巳午未申酉戊亥45678910111212319．（2021·湖北武汉·七年级期中）下列说法：①若a，b互为相反数，则＝﹣1；②如果|a+b|＝|a|+|b|，则ab≥0；③若x表示一个有理数，则|x+2|+|x+5|+|x﹣2|的最小值为7；④若abc＜0，a+b+c＞0，则的值为﹣2．其中一定正确的结论是____（只填序号）．20．（2022·全国·七年级）1930年，德国汉堡大学的学生考拉兹，曾经提出过这样一个数学猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想”，又称“奇偶归一猜想”．虽然这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取正整数5，最少经过下面5步运算可得1，即：如果正整数m最少经过6步运算可得到1，则m的值为__．21．（2022·湖北孝感·七年级期末）计算：(1)；(2).22．（2021·河北·石家庄市藁城区第一中学七年级阶段练习）计算(1)(2)(3)(4)(5)(6)23．（2021·浙江初一课时练习）计算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.24．（