考点09复数（7种题型5个易错考点）

考点09复数（7种题型5个易错考点）【课程安排细目表】真题抢先刷，考向提前知二、考点清单三、题型方法四、易错分析五.、刷压轴一一、真题抢先刷，考向提前知一．复数的运算（共4小题）1．（2023•上海）已知复数z＝1﹣i（i为虚数单位），则|1+iz|＝．【分析】根据复数的基本运算，即可求解．【解答】解：∵z＝1﹣i，∴|1+iz|＝|1+i（1﹣i）|＝|2+i|＝．故答案为：．【点评】本题考查复数的基本运算，属基础题．2．（2021•上海）已知z1＝1+i，z2＝2+3i，求z1+z2＝3+4i．【分析】直接根据复数的运算性质，求出z1+z2即可．【解答】解：因为z1＝1+i，z2＝2+3i，所以z1+z2＝3+4i．故答案为：3+4i．【点评】本题考查了复数的加法运算，属基础题．3．（2020•上海）已知复数z＝1﹣2i（i为虚数单位），则|z|＝．【分析】由已知直接利用复数模的计算公式求解．【解答】解：由z＝1﹣2i，得|z|＝．故答案为：．【点评】本题考查复数模的求法，是基础的计算题．4．（2019•上海）已知z∈C，且满足＝i，求z＝5﹣i．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由＝i，得z﹣5＝，即z＝5+＝5﹣i．故答案为：5﹣i．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．二．共轭复数（共6小题）5．（2022•上海）已知z＝1+i（其中i为虚数单位），则2＝2﹣2i．【分析】直接利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：z＝1+i，则＝1﹣i，所以2＝2﹣2i．故答案为：2﹣2i．【点评】本题考查了共轭复数的概念，是基础题．6．（2022•上海）已知z＝2+i（其中i为虚数单位），则＝2﹣i．【分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念，即可求解．【解答】解：∵z＝2+i，∴．故答案为：2﹣i．【点评】本题主要考查共轭复数的概念，属于基础题．7．（2021•上海）已知z＝1﹣3i，则|﹣i|＝．【分析】由已知求得，再由复数模的计算公式求解．【解答】解：∵z＝1﹣3i，∴，则|﹣i|＝|1+2i|＝．故答案为：．【点评】本题考查复数的加减运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．8．（2020•上海）已知复数z满足z+2＝6+i，则z的实部为2．【分析】设z＝a+bi，（a，b∈R）．根据复数z满足z+2＝6+i，利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：设z＝a+bi，（a，b∈R）．∵复数z满足z+2＝6+i，∴3a﹣bi＝6+i，可得：3a＝6，﹣b＝1，解得a＝2，b＝﹣1．则z的实部为2．故答案为：2．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．（2019•上海）设i为虚数单位，，则|z|的值为2【分析】把已知等式变形求得再由|z|＝||，结合复数模的计算公式求解．【解答】解：由，得3＝6+6i，即，∴|z|＝||＝．故答案为：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．10．（2023•上海）已知z1，z2∈C且z1＝i（i为虚数单位），满足|z1﹣1|＝1，则|z1﹣z2|的取值范围为[0，]．【分析】引入复数的三角形式，将问题转化为三角函数的值域问题求解．【解答】解：设z1﹣1＝cosθ+isinθ，则z1＝1+cosθ+isinθ，因为z1＝i•，所以z2＝sinθ+i（cosθ+1），所以|z1﹣z2|＝＝＝，显然当＝时，原式取最小值0，当＝﹣1时，原式取最大值2，故|z1﹣z2|的取值范围为[0，]．故答案为：[0，]．【点评】本题考查复数的三角形式以及三角恒等变换，同时考查了复数的模长公式，属于中档题．二二、考点清单1．复数的有关概念(1)复数的定义形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b．(2)复数的分类复数z＝a＋bi(a，b∈R)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(实数（b＝0），,虚数（b≠0）\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(纯虚数（a＝0，b≠0），,非纯虚数（a≠0，b≠0）.))))(3)复数相等a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共轭复数a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)．(5)复数的模向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝eq\r(a2＋b2)(r≥0，a，b∈R)．2．复数的几何意义(1)复数z＝a＋bieq\f(→,\s\up6(一一对应)))复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→))．3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(（a＋bi）（c－di）,（c＋di）（c－di）)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．<常用结论>1．三个易误点(1)两个虚数不能比较大小．(2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件．(3)注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z1，z2∈C，zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2<0在复数范围内有可能成立．2．复数代数运算中常用的三个结论在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．(1)(1±i)2＝±2i；eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i.(2)－b＋ai＝i(a＋bi)．(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.三三、题型方法一．虚数单位i、复数（共2小题）1．（2023•普陀区校级模拟）已知i是虚数单位，则复数1﹣i的虚部是﹣1．【分析】利用复数的概念求解．【解答】解：由复数的概念，知：复数1﹣i的虚部是﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要熟练掌握复数的概念．2．（2023•宝山区二模）已知复数（m2﹣3m﹣1）+（m2﹣5m﹣6）i＝3（其中i为虚数单位），则实数m＝﹣1．【分析】根据已知条件，结合复数相等的条件，即可求解．【解答】解：复数（m2﹣3m﹣1）+（m2﹣5m﹣6）i＝3，则，解得m＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查复数相等的条件，属于基础题．二．复数的代数表示法及其几何意义（共3小题）3．（2023•长宁区二模）设复平面上表示2﹣i和3+4i的点分别为点A和点B，则表示向量的复数在复平面上所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据条件可写出表示向量的复数，然后即可得出该复数所位于的象限．【解答】解：根据题意知，表示向量的复数为1+5i，∴在复平面上所对应的点为（1，5）位于第一象限．故选：A．【点评】本题考查了复数和复平面内的点的对应关系，复数和向量的对应关系，考查了计算能力，属于基础题．4．（2023•浦东新区模拟）设复数z满足|z﹣1|＝2，z在复平面内对应的点为（x，y），则（）A．（x﹣1）2+y2＝4 B．（x+1）2+y2＝4 C．x2+（y﹣1）2＝4 D．x2+（y+1）2＝4【分析】由已知直接利用复数模的几何意义得答案．【解答】解：复数z满足|z﹣1|＝2，则z在复平面内对应点的轨迹是以（1，0）为圆心，以2为半径的圆，又z在复平面内对应的点为（x，y），∴轨迹方程为（x﹣1）2+y2＝4．故选：A．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．5．（2023•奉贤区校级三模）复数（a﹣1）+（2a﹣1）i（a∈R）在复平面的第二象限内，则实数a的取值范围是．【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解．【解答】解：（a﹣1）+（2a﹣1）i（a∈R）在复平面的第二象限内，则，解得，故实数a的取值范围是．故答案为：．【点评】本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．三．纯虚数（共2小题）6．（2023•宝山区校级模拟）（sinθ﹣）+（cosθ﹣）i是纯虚数，则tanθ＝．【分析】由给出复数的实部等于0且虚部不等于0求出sinθ和cosθ的值，由同角三角函数的基本关系求得tanθ的值．【解答】解：∵（sinθ﹣）+（cosθ﹣）i是纯虚数，则，解得：．∴tanθ＝．故答案为：．【点评】本题考查了复数的基本概念，考查了三角函数的象限符号，是基础题．7．（2023•黄浦区校级三模）若复数（1﹣i）（a+i）为纯虚数，则实数a＝﹣1．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解．【解答】解：∵（1﹣i）（a+i）＝（a+1）+（1﹣a）i为纯虚数，∴，即a＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．四．复数的运算（共21小题）8．（2023•奉贤区二模）已知x∈R，y∈R，且x+i＝y+yi，i是虚数单位，则x+y＝2．【分析】根据x+i＝y+yi可求出x，y的值，进而得出x+y的值．【解答】解：∵x+i＝y+yi，且x∈R，y∈R，∴，∴x+y＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了a+bi＝c+di时，a＝c，b＝d，考查了计算能力，属于基础题．9．（2023•普陀区二模）设3i（i为虚数单位）是关于x的方程x2+m＝0（m∈R）的根，则m＝9．【分析】由已知直接把x＝3i代入方程求解m的值．【解答】解：∵3i（i为虚数单位）是关于x的方程x2+m＝0（m∈R）的根，∴（3i）2+m＝0，即m＝9．故答案为：9．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．10．（2023•黄浦区二模）设复数z1、z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2+i（i为虚数单位），则z1•z2＝﹣5．【分析】利用复数的运算法则与共轭复数的定义、几何意义即可得出．【解答】解：∵复数z1、z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2+i，∴z2＝﹣2+i．∴z1•z2＝﹣（2+i）（2﹣i）＝﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题考查了复数的运算法则与共轭复数的定义、几何意义，属于基础题．11．（2023•闵行区校级二模）在复平面内，点A（﹣2，1）对应的复数z，则|z+1|＝．【分析】求出复数z+1，然后求解复数的模．【解答】解：在复平面内，点A（﹣2，1）对应的复数z，则|z+1|＝|﹣2+i+1|＝|﹣1+i|＝＝．故答案为：．【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，复数的模的求法，考查计算能力．12．（2023•浦东新区校级一模）若复数z满足i•z＝1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为2．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由i•z＝1+2i，得z＝，∴z的实部为2．故答案为：2．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．13．（2023•浦东新区校级三模）设z＝，其中i为虚数单位，则Imz＝﹣3．【分析】利用复数代数形式的乘除运算法则，先求出复数z的最简形式，由此能求出Imz．【解答】解：∵Z＝＝＝＝2﹣3i，∴Imz＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数的乘除运算法则的合理运用．14．（2023•宝山区校级模拟）已知i为虚数单位，复数z满足＝i，则|z|＝1．【分析】设出z＝a+bi，得到1﹣a﹣bi＝﹣b+（a+1）i，根据系数相等得到关于a，b的方程组，解出a，b的值，求出z，从而求出z的模．【解答】解：设z＝a+bi，则＝＝i，∴1﹣a﹣bi＝﹣b+（a+1）i，∴，解得，故z＝﹣i，|z|＝1，故答案为：1．【点评】本题考查了复数求模问题，考查解方程组问题以及对应思想，是一道基础题．15．（2023•闵行区校级三模）已知复数z满足，则复数z的虚部为﹣1．．【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，共轭复数和虚部的定义，即可求解．【解答】解：，则＝＝，即z＝﹣i，故复数z的虚部为﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查复数的四则运算，共轭复数和虚部的定义，属于基础题．16．（2023•闵行区二模）已知复数z满足z（1﹣i）＝i（i为虚数单位），则z的虚部为．【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．【解答】解：z（1﹣i）＝i，则z＝＝，其虚部为．故答案为：．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．17．（2023•松江区校级模拟）i2018＝﹣1．【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．【解答】解：i2018＝（i4）505•i2＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．18．（2023•嘉定区校级三模）已知复数x满足方程x2＝﹣3，那么x＝．【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．【解答】解：复数x满足方程x2＝﹣3，则x＝．故答案为：．【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．19．（2023•徐汇区校级三模）复数（其中i为虚数单位）的虚部是﹣4．【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．【解答】解：＝﹣5﹣4i，其虚部为﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．20．（2023•徐汇区校级三模）复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于实轴上，则实数a的值为﹣1．【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．【解答】解：＝＝＝，∵复数z在复平面内对应的点位于实轴上，∴，解得a＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．21．（2023•黄浦区校级三模）在复数集中，若复数z满足z2＝﹣1，则z＝±i．【分析】设出z＝a+bi（a，b∈R），再利用复数的运算法则和复数相等的定义即可得出结果．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），则z2＝a2﹣b2+2abi＝﹣1，则，解得a＝0，b＝1或b＝﹣1，所以z＝i或z＝﹣i，故答案为：z＝±i．【点评】本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题．22．（2023•杨浦区二模）复数的虚部是．【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．【解答】解：＝＝，其虚部为．故答案为：．【点评】本题主要考查合复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．23．（2023•浦东新区二模）若复数z满足z（1﹣i）＝1+2i（i是虚数单位），则复数z＝．【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．【解答】解：z（1﹣i）＝1+2i，则z＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．24．（2023•普陀区校级模拟）复数3+2i（i为虚数单位）是实系数方程x2+ax+b＝0的一个解，则实数b＝13．【分析】根据已知条件，结合韦达定理，以及复数的四则运算，即可求解．【解答】解：复数3+2i（i为虚数单位）是实系数方程x2+ax+b＝0的一个解，则复数3﹣2i是实系数方程x2+ax+b＝0的另一个解，故（3﹣2i）（2+2i）＝13＝b．故答案为：13．【点评】本题主要考查韦达定理，以及复数的四则运算，属于基础题．25．（2023•虹口区二模）复数z1，z2在复平面上对应的点分别为Z1（2，1），Z2（1，﹣2），则z1+z2＝3﹣i．【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，以及四则运算，即可求解．【解答】解：复数z1，z2在复平面上对应的点分别为Z1（2，1），Z2（1，﹣2），则z1＝2+i，z2＝1﹣2i，故z1+z2＝3﹣i．故答案为：3﹣i．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．26．（2023•黄浦区模拟）已知复数，|z2|＝2，z1z2是正实数，则复数z2＝1﹣．【分析】设z2＝a+bi（a，b∈R），由已知列关于a，b的方程组，求解a，b的值得答案．【解答】解：设z2＝a+bi（a，b∈R）．由，|z2|＝2，z1z2是正实数，得，解得或．∴z2＝﹣1+或1﹣．当z2＝﹣1+时，z1z2＝﹣4，舍去，∴z2＝1﹣．故答案为：1﹣．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．27．（2023•崇明区二模）设复数z满足（1﹣i）z＝2i（i是虚数单位），则z＝﹣1+i．【分析】把给出的等式变形后直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．【解答】解：∵（1﹣i）z＝2i，∴．故答案为：﹣1+i．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．28．（2023•杨浦区校级模拟）已知复数z在复平面内对应的点是A，其共轭复数在复平面内对应的点是B，O是坐标原点，若A在第一象限，且OA⊥OB，则＝﹣i．【分析】设点A坐标，根据共轭复数的概念得B坐标，再由OA⊥OB得A横纵坐标的关系式，根据复数的除法运算求值即可．【解答】解：设A（m，n）（m＞0，n＞0），则由共轭复数的概念可得：B（m，﹣n），由得：m2﹣n2＝0，因为m＞0，n＞0，所以m＝n，故，故．故答案为：﹣i．【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于中档题．五．共轭复数（共7小题）29．（2023•长宁区校级三模）在复平面内，复数z所对应的点为（1，1）．则＝2．【分析】由复数的几何意义得到z，，再由复数的运算法则直接求得．【解答】解：由题得：z＝1+i，，∴．故答案为：2．【点评】本题考查复数的几何意义、共轭复数、复数的运算，属于基础题．30．（2023•金山区二模）若复数z＝2+i（i是虚数单位），则＝5．【分析】由复数z，可得它的共轭复数的值，进而求出z•的值．【解答】解：因为z＝2+i，所以＝2﹣i，所以z•＝（2+i）（2﹣i）＝22﹣i2＝4+1＝5，故答案为：5．【点评】本题考查复数的运算性质的应用，属于基础题．31．（2023•松江区校级模拟）复数（i为虚数单位），则＝．【分析】由已知直接利用及商的模等于模的商求解．【解答】解：∵，∴＝||＝．故答案为：【点评】本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．32．（2023•虹口区二模）已知复数（i为虚数单位），则z•＝（）A． B． C． D．2【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．【解答】解：＝，则z＝．故选：A．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．33．（2023•浦东新区校级模拟）复数z满足，则|z|＝．【分析】设出z＝a+bi（a，b∈R），利用得到方程组，解方程组求出a，b的值，从而可求出|z|．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），则，所以，则，所以，解得：，所以，故．故答案为：．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．34．（2023•松江区二模）若复数z满足i•z＝3﹣4i，则||＝5．【分析】根据已知条件，先对z化简，再结合共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解．【解答】解：∵i•z＝3﹣4i，∴＝，∴，∴．故答案为：5．【点评】本题主要考查共轭复数的定义，以及复数模公式，属于基础题．35．（2023•上海模拟）已知复数z＝1+2i，则＝．【分析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．【解答】解：复数z＝1+2i，则，故＝＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．六．复数的模（共18小题）36．（2023•杨浦区校级三模）已知i是虚数单位，复数z满足z3＝2+2i，则|z|＝．【分析】由|z|3＝|z3|直接求解即可．【解答】解：由z3＝2+2i，得|z|3＝|z3|＝，则|z|＝，故答案为：．【点评】本题考查了复数的模的运算，属基础题．37．（2023•宝山区校级三模）复数的模为．【分析】法一：先将复数z化简，再求模；法二，根据复数的模等于分子的模除以分母的模，直接计算．【解答】解：法一：，∴z＝﹣i，∴．法二：．故答案为：．【点评】本题考查复数的模的运算，属于基础题．38．（2023•虹口区校级三模）若复数z满足z+＝0，则|z|＝．【分析】根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．【解答】解：z+＝0，则z＝﹣，故|z|＝|﹣|＝，即|z|2＝2，解得|z|＝（负值舍去）．故答案为：．【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题．39．（2023•上海模拟）设复数z满足（1﹣i）z＝﹣2i（i为虚数单位），则|z|＝．【分析】求出，进而利用复数的模长性质求出答案．【解答】解：，故．故答案为：．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．40．（2023•普陀区校级三模）已知i为虚数单位，复数z＝i（1+3i），则＝．【分析】根据复数的乘法运算求得z＝﹣3+i，可得，根据复数模的计算即得答案．【解答】解：由z＝i（1+3i）可得z＝﹣3+i，故，∴．故答案为：．【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题．41．（2023•闵行区校级一模）若复数z是x2+x+2＝0的一个根，则|z|＝．【分析】设z＝a+bi，a，b∈R，b≠0，代入z2+z+2＝0中，得到方程组，求出a，b，求出模长．【解答】解：由题意得z2+z+2＝0，设z＝a+bi，a，b∈R，b≠0，则a2+2abi﹣b2+a+bi+2＝0，即a2﹣b2+a+2+（2ab+b）i＝0，所以，因为b≠0，所以，故，故．故答案为：．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．42．（2023•嘉定区校级三模）若复数z是x2﹣0.1x+3＝0的一个根，则|z|＝．【分析】在复数域内解题中方程求出z，从而求出|z|．【解答】解：由x2﹣0.1x+3＝0解得，∵复数z是x2﹣0.1x+3＝0的一个根，∴，∴＝．故答案为：．【点评】本题考查复数的模与复数的运算，属于基础题．43．（2023•徐汇区三模）设i是虚数单位，则|i6+i7+i8|＝1．【分析】根据虚数单位的性质可求代数式的值．【解答】解：∵i2＝﹣1，∴|i6+i7+i8|＝|i2+i3+1|＝|﹣1﹣i+1|＝|i|＝1，故答案为：1．【点评】本题考查虚数单位i的运算性质，考查复数模的求法，是基础题．44．（2023•静安区二模）若复数（i为虚数单位），则|z﹣i|＝．【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．【解答】解：＝，则|z﹣i|＝．故答案为：．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．45．（2023•青浦区校级模拟）已知z1、z2是关于x的方程x2﹣2x+2＝0的两个根，则|z2|＝．【分析】根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．【解答】解：x2﹣2x+2＝0，解得z1＝1+i，z2＝1﹣i或z1＝1﹣i，z2＝1+i，故．故答案为：．【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题．46．（2023•浦东新区三模）已知复数z满足|z﹣2|＝|z|＝2，则z3＝﹣8．【分析】根据已知条件，结合复数模公式，以及复数的四则运算，即可求解．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），∵|z﹣2|＝|z|＝2，∴，解得a＝1，b＝，当z＝1+i时，＝＝，同理可得，z＝i时，z3＝﹣8．故答案为：﹣8．【点评】本题主要考查复数模公式，以及复数的四则运算，属于基础题．47．（2023•青浦区二模）已知复数z满足，则|z|＝5．【分析】把已知等式变形求得，再由复数模的性质求解．【解答】解：由，得，∴．故答案为：5．【点评】本题考查复数模的求法，考查化归与转化思想，是基础题．48．（2023•黄浦区校级模拟）已知i是虚数单位，复数z满足，则复数z的模为．【分析】利用复数模的性质进行求解即可．【解答】解：由题意可得，即1+＝，||＝|﹣1|＝||，即＝，解得|z|＝．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算，复数的模，解题的关键是掌握模的运算性质，属于基础题．49．（2023•浦东新区模拟）已知复数z满足（2+i）z＝3+4i（i为虚数单位），则|z|＝．【分析】根据复数的除法运算和模的定义求解．【解答】解：由（2+i）z＝3+4i得，所以．故答案为：．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．50．（2023•普陀区校级模拟）若复数，则|z﹣i|＝．【分析】先对z化简，再结合复数模公式，即可求解．【解答】解：＝，则|z﹣i|＝|1﹣2i|＝．故答案为：．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．51．（2023•嘉定区二模）已知复数z＝3+4i（i为虚数单位），则|z|＝5．【分析】直接利用复数模的计算公式得答案．【解答】解：∵z＝3+4i，∴|z|＝．故答案为：5．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．52．（2023•松江区模拟）设复数z满足z（1+i）＝2i（i为虚数单位），则z的模为．【分析】先利用复数代数形式的乘除运算求出复数z，再利用复数的模长公式求解．【解答】解：∵复数z满足z（1+i）＝2i（i为虚数单位），∴z＝＝＝＝＝1+i，∴z的模为＝．故答案为：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的模长公式，是基础题．53．（2023•黄浦区校级三模）若复数z＝1+i（i为虚数单位）是方程x2+cx+d＝0（c、d均为实数）的一个根，则|c+di|＝【分析】由已知可得（1+i）+（1﹣i）＝﹣c，（1+i）（1﹣i）＝d，求得c，d的值，再由复数模的计算公式求解．【解答】解：∵z＝1+i是方程x2+cx+d＝0（c、d均为实数）的一个根，∴（1+i）+（1﹣i）＝﹣c，（1+i）（1﹣i）＝d，则c＝﹣2，d＝2．则|c+di|＝|﹣2+2i|＝．故答案为：．【点评】本题考查实系数一元二次方程虚根成对原理的应用，考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．七．复数的三角表示（共7小题）54．（2022春•嘉定区校级期末）复数的三角形式（用辐角主值表示）为cos+isin．【分析】由复数的共轭复数的定义和复数的三角形式可得答案．【解答】解：＝cos（﹣）+isin（﹣）＝cos+isin．故答案为：cos+isin．【点评】本题考查复数的共轭复数的求法，以及三角形式，考查转化思想和运算能力，属于基础题．55．（2022春•虹口区校级期末）已知复数，若复数z满足2iz＝z1，则复数z的辐角主值为．【分析】结合复数的四则运算，先对z化简，再结合辐角的定义，即可求解．【解答】解：∵，2iz＝z1，∴＝，故复数z的辐角主值为．故答案为：．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及辐角的定义，属于基础题．56．（2022春•浦东新区校级月考）若复数（i为虚数单位），则argz＝．【分析】化为复数的三角形式即可得出结论．【解答】解：复数＝2（﹣+i）＝2（cos+i），则argz＝，故答案为：．【点评】本题考查了复数的三角形式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．57．（2022春•浦东新区校级期末）的三角形式是（）A． B． C． D．【分析】提取复数的模，结合三角函数的值即可化代数形式为三角形式．【解答】解：＝．故选：B．【点评】本题考查化复数的代数形式为三角形式，考查三角函数值的求法，是基础题．58．（2022春•浦东新区校级期末）复数1+i的辐角主值是．【分析】判断复数所在象限及辐角的正切值，求出辐角的主值．【解答】解：复数1+i的模是＝，因为1+i对应的点在第一象限且辐角的正切tanθ＝1，它的辐角主值为，三角形式为：（cos+isin），所以复数1+i的辐角主值是，故答案为：．【点评】本题考查了复数的模及辐角主值以及复数三角形式的求法，是基础题．59．（2022春•闵行区校级期末）将复数化为三角形式：＝．【分析】根据复数的三角表示的定义计算即可．【解答】解：复数中，，设θ为复数的辐角主值，θ∈[0，2π），又，所以．故答案为：．【点评】本题主要考查复数的三角表示，考查转化能力，属于中档题．60．（2022•宝山区校级开学）已知复数z＝cosθ+isinθ（θ∈R，i为虚数单位），ω＝．（Ⅰ）若0＜θ＜2π，求满足|ω|＝1的复数z所组成的集合；（Ⅱ）若0＜θ＜π，试讨论复数ω的辐角（用θ表示）．【分析】（I）根据已知条件，结合复数模公式，以及复数的四则运算，即可求解．（Ⅱ）ω＝（2cosθ+1）（cosθ+isinθ），0＜θ＜π，再结合辐角的定义，即可求解．【解答】解：（I）ω＝＝1+z+z2＝1+cosθ+isinθ+cos2θ+isin2θ，则ω＝1+cosθ+cos2θ+（sinθ+sin2θ）i＝（2cosθ+1）（cosθ+isinθ），其中0＜θ＜2π，∵|ω|＝1，∴|2cosθ+1|＝1，解得cosθ＝﹣1或cosθ＝0，即z＝﹣1或±i，故满足|ω|＝1的复数z所组成的集合{﹣1，i，﹣i}．（Ⅱ）ω＝（2cosθ+1）（cosθ+isinθ），0＜θ＜π，当2cosθ+1＝0，即，此时ω＝0，其辐角为任意实数，当2cosθ+1＞0，即0＜，此时ω其辐角为2kπ+θ，k∈N，当2cosθ+1＜0，即，此时ω其辐角为（2k+1）π+θ，k∈N，综上所述，复数ω的辐角为．【点评】本题主要考查复数的三角表示，考查转化能力，属于中档题．四四、易错分析易错点1：纯虚数的条件不明晰1、若复数是纯虚数,则实数（）A.B.C.D.【错解】由复数是纯虚数,得,解得：,故选A．【错因】复数为纯虚数的充要条件是，错解中没有考虑实部不为零。忽略了.【正解】B，由复数是纯虚数,得,解得：,易错点2：对复数的虚部理解错误2、复数（为虚数单位）的虚部是（）A.B.C.D.【错解】因为,故选B.【错因】误认为复数的虚部是.虚部是,不是.【正解】复数的虚部是,不是.的虚部是,不是，选B。易错点3：乱用判别式3、已知关于x的一元二次方程有实数根,求的取值范围.【错解】由于一元二次方程有实数根,可得判别式：,解得：或.【错因】对于一元二次方程通过根的判别式来确定根的个数,这是在实数范围内才能成立的,在复数范围内就不适用了.而本题中所给一元二次方程,其中含有虚数单位,则首先要将其整理成复数的形式：,利用复数相等的条件有：,进而可求出.【正解】设方程的实数根为,代入方程有：,整理化简可得：,则有：,可解得：或.易错点4：忽略虚数不能比较大小4、给出下列命题：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③,其中正确命题的个数为.A.0B.1C.2D.3【错解】D【错因】两个复数如果不全是实数,不能比较大小.本题易出现的错误是误认为=2\*GB3②正确.【正解】=1\*GB3①正确；=2\*GB3②错误,因为虚数不能比较大小；,=3\*GB3③错误.故选B.易错点5：利用解题,忽略前提条件：为实数5、已知x为实数,y为纯虚数,且,求的值.A.B.C.D.【错解】由得,所以.【错因】当为实数时，有.错解中忽略了y为纯虚数.【正解】因为x为实数,y为纯虚数,设,由得,所以,所以.五五.刷压轴一、单选题1．（2022·上海奉贤·统考一模）复数的模为1，其中为虚数单位，，则这样的一共有（

）个.A．9 B．10 C．11 D．无数【答案】C【分析】先根据复数的模为1及复数模的运算公式，求得即，接下来分与两种情况进行求解，结合，求出的个数.【详解】，其中，所以，即，，当时，①，，所以，，因为，所以或；②，，所以，，因为，所以，，，，或；当时，①，，即，，因为，所以，②，，即，，因为，所以，，，，，综上：，，一共有11个.故选：C2．（2022·上海·高三专题练习）关于x的实系数方程和有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据条件分别设四个不同的解所对应的点为ABCD，讨论根的判别式，根据圆的对称性得到相应判断.【详解】解：由已知x2﹣4x+5＝0的解为，设对应的两点分别为A，B，得A（2，1），B（2，﹣1），设x2+2mx+m＝0的解所对应的两点分别为C，D，记为C（x1，y1），D（x2，y2），（1）当△＜0，即0＜m＜1时，的根为共轭复数，必有C、D关于x轴对称，又因为A、B关于x轴对称，且显然四点共圆；（2）当△＞0，即m＞1或m＜0时，此时C（x1，0），D（x2，0），且＝﹣m，故此圆的圆心为（﹣m，0），半径，又圆心O1到A的距离O1A＝，解得m＝﹣1，综上：m∈（0，1）∪{﹣1}.故选：D.【点睛】本题考查方程根的个数与坐标系内点坐标的对应，考查一元二次方程根的判别式，属于难题.3．（2022秋·上海普陀·高三曹杨二中校考期中）已知，且为虚数单位，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据复数的几何意义，可知中对应点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，而表示圆上的点到的距离，由圆的图形可得的的最大值.【详解】根据复数的几何意义，可知中对应点的轨迹是以为圆心，为半径的圆.表示圆C上的点到的距离，的最大值是，故选B【点睛】本题主要考查了复数的几何意义，圆的性质，属于中档题.4．（2023·湖北·校联考模拟预测）设是实系数一元二次方程的两个根，若是虚数，是实数，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】是实系数一元二次方程的两个根，是共轭虚数,是实数,结合共轭复数的运算性质,可得是1的立方虚根,再由1的立方虚根的特性,可得答案.【详解】是实系数一元二次方程的两个虚数根,,是实数,,,即或，而.故选:C【点睛】本题考查实系数一元二次方程虚数根的关系,以及共轭复数的运算关系.对特殊复数的性质的灵活应用是解题的关键,属于难题.二、多选题5．（2023秋·福建龙岩·高三校联考期末）设数集满足下列两个条件：（1）；（2），若则.则下论断正确的是（

）A．中必有一个为0B．a，b，c，d中必有一个为1C．若且，则D．，使得【答案】BCD【分析】根据（1）（2）得到，，A错误，B正确；再分，，两种情况，经过推理得到C正确；在C选项的分析基础上，得到若，此时求出，，使得，若，推理出中至少有2个相同，这与集合中元素的互异性矛盾，得到D正确.【详解】由（1）得：数集中必有1或0，由（2）得：，故，A错误，B正确；由（1）知：，故等于中的一个，不妨设，因为，所以，故，下面证明C正确，因为，若，则，由（1）知：，满足要求，同理若，则，满足要求，若，则，满足要求，若，因为，若，则，满足要求，若，则中某个等于1，不妨设，由得，由（1）知：，又因为，，所以，，故，同理可得，所以相乘得，解得：，因为，所以，故取，满足要求，综上：若且，则，C正确；下面证明D正确；由（1）知：，故等于中的一个，不妨设，因为，所以，故，若，则，因为中某个等于1，不妨设，由得，根据C选项的分析可知：，，，则，故，故，，若，，此时，，使得，D正确；若，则，，由（1）知：，若，则，不可能，若，则，不可能，若，则，不可能，所以，故，同理可得：，因为的平方根有且只有2个，所以中至少有2个相同，这与集合中元素的互异性矛盾，故不存在即的情况，故，使得，D正确.故选：BCD【点睛】关键点点睛：集合新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数的性质，包括单调性，值域等进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决.三、填空题6．在下列命题中,正确的命题有(填写正确的序号)①若,则的最小值是6;②如果不等式的解集是,那么恒成立;③设x,,且,则的最小值是;④对于任意,恒成立,则t的取值范围是;⑤“”是“复数()是纯虚数”的必要非充分条件;⑥若,,,则必有;【答案】①②③④⑥【分析】①,利用均值定理求最值即可；②由一元二次不等式与一元二次方程的关系,利用韦达定理求解即可；③由得,代入式子中可得关于的函数,进而求得最值即可；④设,则可转化为在时,,进而求解即可；⑤由纯虚数的定义可知虚部不为0,实部为0,进而判断即可；⑥由可得,代入中可得,再将代入求解即可【详解】①因为,所以,所以,当且仅当,即时,等号成立,故①正确；②由不等式与方程的关系可知和是方程的解,所以,,所以,,则,故②正确；③因为,所以,则,则当时,的最小值为,故③正确；④由题,因为,即在时恒成立,当时,,不成立；当时,设,当时,,解得或,所以；当时,,解得或,所以,综上,,故④正确；⑤因为()是纯虚数,所以,解得或,所以“”是“复数()是纯虚数”的充分不必要条件,故⑤错误；⑥因为,,所以,代入可得,则,即,所以,即,所以,故⑥正确；故答案为:①②③④⑥【点睛】本题考查均值定理求最值,考查不等式与方程的关系的应用,考查不等式恒成立问题,考查复数的概念,考查同角的三角函数关系的应用,此题考查了多个知识点的应用,熟练掌握不等式、复数、三角函数等知识点是解题关键7．（2022秋·上海浦东新·高三上海市进才中学校考阶段练习）在复平面中，已知点，复数对应的点分别为，且满足，则的最大值为.【答案】【分析】根据复数的几何意义，由，分析得关于原点对称，所以确定，再利用平面向量的三角形法则与数量积的运算性质，将所求问题转化为平面向量数量积的最值问题.【详解】解：因为复数对应的点为且则可确定点在以O为圆心，2为半径的圆上又，所以为圆的直径，即关于原点对称所以因为所以又，，则所以即的最大值为，所以的最大值为.故答案为：.8．（2022春·上海虹口·高三上海市复兴高级中学校考阶段练习）已知，且z是复数，当的最大值为3，则.【答案】【分析】由可知，，化简可得其最值为，进而求出的值.【详解】设，因为，所以，，所以，因为，所以，因为，所以，所以，解得，，故答案为：.9．（2022·上海·高三专题练习）已知函数为偶函数，为奇函数，其中、为常数，则【答案】【分析】由奇偶函数的定义列出关于、的方程组，求出它们的和与积的值，在转化为对应一元二次方程的根，进而求出复数和，再利用和与积的值和求出，，等，找出具有周期性为3，再利用周期性求出式子的和．【详解】解：为偶函数，为奇函数，，即，解得；复数、是方程的两个根，解得，，；已知，；则，，同理可求，，，，归纳出有周期性且，故答案为：．【点睛】本题考查了奇（偶函数的定义和复数的运算，再求复数的值时用到转化思想，求和式的值时利用找出每项的和的周期，利用周期性求所求和式的值．10．已知复数，（，为虚数单位），在复平面上，设复数、对应的点分别为、，若，其中是坐标原点，则函数的最小正周期为.【答案】【分析】根据垂直得到，化简得到，利用周期公式得到答案.【详解】，，则函数的最小正周期为故答案为【点睛】本题考查了复数的几何意义，三角函数化简，周期，意在考查学生的计算能力和综合应用能力11．已知数列是无穷等比数列，它的前项的和为，该数列的首项是二项式展开式中的的系数，公比是复数的模，其中是虚数单位，则=．【答案】；【详解】的展开式通项为,令,有的系数为,所以数列的首项为35,,所以,所以数列公比为,故,则.点睛:本题主要考查了求等比数列的前项和的极限,涉及的知识点有二项式定理,复数的模,等比数列前项和公式,极限等,属于中档题.12．在实数集R中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个序，类似地，我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”，定义如下：对于任意两个复数，当且仅当，下面命题①1i0;②若，，则；③若，则对于任意，；④对于复数，则其中真命题是【答案】①②③【详解】试题分析：命题①，1的实部是1,的实部是0,①正确；命题②，设，由已知得或，或，显然有，若，则，若，则，，也有，故②正确；命题③，设，由得或，从而或且，∴,③正确；命题4，，，，则有，但，，显然有，故④错误．填空①②③．考点：新定义运算，复数的运算．四、解答题13．（2022·上海·高三校考强基计划）已知函数，其中，证明：存在，且.的根的实部全部大于0.【答案】证明见解析【分析】取，利用反证法可证根的实部全部大于0.【详解】证明：取，反设，且.则这要求，矛盾！14．（2022秋·上海浦东新·高三上海市实验学校校考阶段练习）设b、c均为实数，关于的方程.(1)是否存在实数b、c，使得该方程在复数集上仅有两个共轭虚根，如存在，请写出一组b、c；如不存在，请说明理由；(2)试求该方程在复数集上有最多个互不相等的根时，实数b、c满足的条件.【答案】(1)答案不唯一，如，(2)方程复数集上根最多有6个，实数b、c满足的条件为.【分析】（1）若，时，方程在复数集上仅有两个共轭虚根；（2）分与的大小关系讨论，复数集上根的情况分实数根与虚数根讨论，实数根的个数决定于关于的方程解的个数；虚数根决定于关于的方程解的个数，最后综合复数集上根的情况.【详解】（1）答案不唯一，如，时，满足题意.（2）先举例说明该方程在复数集上有6个互不相等的根如，，时，方程的实数根有四个，虚数根有，所以此方程在复数集上有6个互不相等的根.下面说明当时此方程在复数集上根不会超过6个.（1）当时，方程只能有两个实数根或两个虚数根.（2）当时，方程化简为，①当时，此方程恰有三个实数根；若有虚数根，设虚数根为代入得，则所以，得，这个关于的方程无解，故无虚数根，所以此时方程只能有三个实数根.②当时，此方程无实根，若有虚数根，设虚数根为同上可得，这个关于的方程有两解，所以此时方程只能有两个虚数根.下面说明当时方程在复数集上根的个数情况，分实数根与虚数根讨论.（1）若方程有尽可能多的实数根，则首先满足，令，设方程两根为，，且①当时，，此时，，所以关于的方程无实数解.②当时，，此时，，所以关于的方程有两个不相等的实数解.③当时，，此时，，所以关于的方程有两个不相等的实数解.④当时，，此时，，所以关于的方程四个不相等的实数解.（2）若方程有虚数根，设虚数根为，代入方程得，则，所以，得，此方程有尽可能多的根首先满足令，记方程的两根为，且，①当时，，此时，，所以关于的方程有两个不相等的实数解，即方程有两个不相等的虚数根.②当时，，此时，，所以关于的方程有四个不相等的实数解，即方程有四个不相等的虚数根.③当时，，此时，，所以关于的方程无实数解，即方程无虚数根.④当时，，此时，，所以关于的方程有两个不相等的实数解，即方程有两个不相等的虚数根.综上方程复数集上根的所有情况：当时，复数集上根的个数不超过6个；当时，无实数根，2个虚数根，复数集上根的个数共2个；当时，2个实数根，4个虚数根，复数集上根的个数共6个；当时，2个实数根，无虚数根，复数集上根的个数共2个；当时，4个实数根，2个虚数根，复数集上根的个数共6个；故方程复数集上根最多有6个，实数b、c满足的条件为.15．已知复数和，其中均为实数，i为虚数单位，且对于任意复数z，有．(1)试求m的值，并分别写出和用x、y表示的关系式；(2)将作为点P的坐标，作为点Q的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q，当点P在直线上移动时，试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程；(3)是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由．【答案】(1)，(2)(3)这样的直线存在，其方程为或.【分析】（1）根据复数模的运算性质，求得；再由两复数相等就是实部与虚部对应相等得、与x、y表示的关系式.（2）变换后的点坐标均用表示为，再消去参数得到Q的轨迹方程.（3）将变换后的点坐标代入直线，用对应系数相等或对应成比例求得值.【详解】（1）由题设，，于是由，且，得，因此由，得关系式（2）设点在直线上，则其经变换后的点满足，消去，得，故点的轨迹方程为（3）假设存在这样的直线，∵平行坐标轴的直线显然不满足条件，∴所求直线可设为，∵该直线上的任一点，其经变换后得到的点仍在该直线上，∴，即，当时，方程组无解，故这样的直线不存在。当时，由得，解得或，故这样的直线存在，其方程为或.16．已知复数．(1)若复数在复平面内的对应点落在第一象限，求实数a的取值范围；(2)若虚数是方程的一个根，求实数m的值．【答案】(1)(2)13【分析】（1）根据复数的减法，确定实部与虚部，根据其几何意义，可得实部与虚部的取值范围，可得答案；（2）根据复数与一元二次方程的关系，再由韦达定理，可得答案.【详解】（1）．因为在复平面内的对应点落在第一象限，所以即解得．因此，实数a的取值范围是．（2）因为虚数是方程的一个根，所以也是方程的一个根，于是，解得．把代入，得，，所以．17．已知的顶点分别为，，．(1)若，，，求的值；(2)若虚数是实系数方程的根，且是钝角，求的取值范围．【答案】(1)(2)且．【分析】（1）根据坐标，可作图，利用方格图，在构造的直角三角形中，利用三角函数定义，可得答案；（2）根据一元二次方程的根的性质，以及余弦定理，可得答案.【详解】（1）（1）因为，，，所以，，．所以，，，如图，因为，所以．（2）将代入得，展开得，即，解得（舍去）或（舍去）或，所以，，，则，．因为是钝角，所以且，，三点不共线，即且，解得且．18．已知复数，为虚数单位，.（1）若为实数，求的值；（2）若复数对应的向量分别是，存在使等式成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【分析】（1）计算为实数，则，得到，计算得到答案.（2）化简得到，计算，，得到，根据范围解不等式得到答案.【详解】（1）为实数，则因为，所以，（2），所以，因为，所以，进而，解得.【点睛】本题考查了复数和向量的运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.19．设复数，其中，为虚数单位，，，复数在复平面上对应的点为．（1）求复数的值；（2）证明：当时，；（3）求数列的前100项之和．【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)【分析】(1)根据复数的运算法则求解即可；(2)由题设条件得出，当时，，结合向量共线定理即可证明；(3)由题设条件推导出，利用这个条件以及等比数列的求和公式化简即可得出答案.【详解】(1)，(2)由已知得当时，令，则，即即存在非零实数，使得所以当时，(3),得又，，则【点睛】本题主要考查了复数的运算法则、复数的几何意义、向量共线定理、等比数列的求和公式，属于较难题.20．设复数，其中xnyn∈R，n∈N*，i为虚数单位，，z1=3+4i，复数zn在复平面上对应的点为Zn.（1）求复数z2，z3，z4的值；（2）是否存在正整数n使得？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由；（3）求数列的前项之和.【答案】（1）z2=﹣1+7i，z3=﹣8+6i，z4=﹣14﹣2i；（2）存在，n=4k+1，k∈N；（3）1+2102【分析】（1）利用已知条件之间求解z2，z3，z4；（2）求出，利用复数的幂运算，求解即可；（3）通过，推出xn+4=﹣4xn，yn+4=﹣4yn，得到xn+4yn+4=16xnyn，然后求解数列的和即可.【详解】（1）z2=（1+i）（3+4i）=﹣1+7i，，.（2）若，则存在实数λ，使得，故，即（xn，yn）=λ（x1，y1），又zn+1=（1+i）zn，故，即为实数，，，故n﹣1为4的倍数，即n﹣1=4k，n=4k+1，k∈N；（3）因为，故xn+4=﹣4xn，yn+4=﹣4yn，所以xn+4yn+4=16xnyn，又x1y1=12，x2y2=﹣7，x3y3=﹣48，x4y4=28，x1y1+x2y2+x3y3+…+x100y100=（x1y1+x2y2+x3y3+x4y4）+（x5y5+x6y6+x7y7+x8y8）+…+（x97y97+x98y98+x99y99+x100y100）=，而，，所以数列{xnyn}的前102项之和为1﹣2100+12×2100﹣7×2100=1+2102.【点睛】本题考查复数的基本运算，复数的代数形式混合运算，考查数列求和，考查计算能力，属于难题.21．（2022·上海浦东新·上海市实验学校校考模拟预测）设复平面上点对应的复数（为虚数单位）满足，点的轨迹方程为曲线.双曲线:与曲线有共同焦点，倾斜角为的直线与双曲线