2025年中考数学思想方法复习系列 【数形结合】平面直角坐标系中的数形结合思（解析版）

平面直角坐标系中的数形结合思想知识方法精讲1．坐标确定位置平面内特殊位置的点的坐标特征（1）各象限内点P（a，b）的坐标特征：①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0．（2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征：①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0．（3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征：①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b．2．轴对称-最短路线问题1、最短路线问题在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．3．坐标与图形变化-旋转（1）关于原点对称的点的坐标P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y）（2）旋转图形的坐标图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°.4.数形结合思想数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。2.所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与HYPERLINK\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3）HYPERLINK\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"线与方程的对应关系；（4）所给的HYPERLINK\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"等式或HYPERLINK\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"代数式的结构含有明显的几何意义。如等式。3.巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。4.数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解HYPERLINK\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"不等式问题中，在求函数的HYPERLINK\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"值域、最值问题中，运用数形结思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图见数想图，以开拓自己的思维视野。一．选择题（共2小题）1．（2021秋•瑞安市月考）如图，这是某所学校的部分平面示意图，教学楼、实验楼和图书馆的位置都在边长为1的小正方形网格线的交点处，若教学楼位置的坐标是，实验楼位置的坐标是，则图书馆位置的坐标是A． B． C． D．【考点】坐标确定位置【分析】根据已知点坐标得出原点位置，进而得出答案．【解答】解：如图所示：图书馆位置的坐标是．故选：．【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．2．（2021春•姑苏区校级月考）苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图1，两栋建筑第八层由一条长的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥处各有一窗户，两窗户的水平距离为，如图2，则此抛物线顶端到连桥距离为A． B． C． D．【考点】二次函数的应用【分析】以所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求得抛物线的解析式，则可知顶点的坐标，从而可得此抛物线顶端到连桥距离．【解答】解：以所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系：，，，设抛物线的解析式为，将代入，得：，解得：，，抛物线顶端的坐标为，此抛物线顶端到连桥距离为．故选：．【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合、熟练掌握待定系数法是解题的关键．二．填空题（共10小题）3．（2020•贺州）某学生在一平地上推铅球，铅球出手时离地面的高度为米，出手后铅球在空中运动的高度（米与水平距离（米之间的函数关系式为，当铅球运行至与出手高度相等时，与出手点水平距离为8米，则该学生推铅球的成绩为10米．【考点】二次函数的应用【分析】建立平面直角坐标系，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令，得关于的一元二次方程，求得方程的解并作出取舍即可．【解答】解：设铅球出手点为点，当铅球运行至与出手高度相等时为点，根据题意建立平面直角坐标系，如图：由题意可知，点，点，代入，得：，解得．，当时，，解得，（不符合题意，舍去）．该学生推铅球的成绩为．故答案为：10．【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，熟练掌握待定系数法及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．4．（2021•二道区校级一模）如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于、两点，拱桥最高点到的距离为，，，为拱桥底部的两点，且，若的长为，则点到直线的距离为．【考点】二次函数的应用【分析】建立平面直角坐标系，在轴上，轴经过最高点，设抛物线的解析式为，，用含的式子表示出点和点的坐标，再代入抛物线解析式，得方程组，解得和的值，则的值即为所求的答案．【解答】解：如图，建立平面直角坐标系，在轴上，轴经过最高点，设与轴交于点，，，，设抛物线的解析式为，，，设，则，拱桥最高点到的距离为，，将点和点的坐标代入抛物线解析式得：，解得：，点到直线的距离为．故答案为：．【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确建立平面直角坐标系，从而求得抛物线的解析式是解题的关键．5．（2020秋•瑞安市期末）如图1是某校园运动场主席台及遮阳棚，其侧面结构示意图如图2所示．主席台（矩形高米，直杆米，斜拉杆，起稳固作用，点处装有一射灯．遮阳棚边缘曲线可近似看成抛物线的一部分，为抛物线的最高点且位于主席台边缘的正上方，若点，，在同一直线上，且米，米，，则射灯离地面的高度为4.5米．【考点】二次函数的应用【分析】以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，过点作于点，求得点，，，，，的坐标，用待定系数法求得抛物线和直线的解析式，将两者联立，解得点的坐标，则点的纵坐标即为所求．【解答】解：如图所示，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，过点作于点，米，米，米，，，，又，米，，（米，（米，（米，，，，，，，点为抛物线的顶点，设抛物线的解析式为，将点代入，得：，解得，抛物线的解析式为，设直线的解析式为，将，，代入，得：，解得，直线的解析式为，联立，解得，或（舍去），，，射灯离地面的高度为4.5米．故答案为：4.5．【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法是解题的关键．6．（2021•长春模拟）为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练，在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处距离地面的高度是1.68米，当铅球运行的水平距离为2米时，达到最大高度2米的处，则小丁此次投掷的成绩是7米．【考点】二次函数的应用【分析】建立坐标系，设抛物线的解析式为，由待定系数法求得抛物线的解析式，令，得关于的一元二次方程，求得方程的解并根据问题的实际意义作出取舍即可．【解答】解：建立坐标系，如图所示：由题意得：，，点为抛物线的顶点，设抛物线的解析式为，把代入得：，解得，，令，得，解得，（舍，小丁此次投掷的成绩是7米．故答案为：7．【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确建立平面直角坐标系、熟练掌握待定系数法及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．7．（2020秋•路南区期末）一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为，在如图所示的平面直角坐标系中，则此抛物线的解析式为．【考点】二次函数的应用【分析】由题意，先求得抛物线的顶点坐标，再设其解析式为；由图象得出篮圈中心的坐标，代入抛物线解析式，求得的值，则问题得解．【解答】解：当球运动的水平距离为时，达到最大高度，抛物线的顶点坐标为，设此抛物线的解析式为，由图象可知，篮圈中心与轴的距离为：，且篮圈中心距离地面高度为，篮圈中心的坐标为，代入，得：，，．故答案为：．【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键．8．（2020秋•江都区期末）道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图，图2是一个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点，点以及点，点落在同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分与第2根栏杆未涂色部分长度相等，则的长度是0.4米．【考点】二次函数的应用【分析】设为坐标原点，所在的直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为：，先分别将点和点的坐标代入，求得的值并用表示，设，用含的式子分别表示出点和点的坐标，代入解析式，从而得出关于和的方程组，求解即可．【解答】解：设为坐标原点，所在的直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图：设抛物线解析式为：，将代入得：，，米，，，，，设，则，，将点和点坐标分别代入抛物线解析式得：，解得：．米，故答案为：0.4米．【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，由实际问题正确建立数学模型是解题的关键．9．（2020•鹿城区二模）图1是一个高脚杯截面图，杯体呈抛物线状（杯体厚度不计），点是抛物线的顶点，，，点是的中点，当高脚杯中装满液体时，液面，此时最大深度（液面到最低点的距离）为12，将高脚杯绕点缓缓倾斜倒出部分液体，当时停止，此时液面为，则液面到平面的距离是；此时杯体内液体的最大深度为．【考点】二次函数的应用【分析】以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，由待定系数法求得抛物线的解析式；将高脚杯绕点倾斜后，仍以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，分别用待定系数法求得直线的解析式和直线的解析式，过点作于点，用三角函数求得液面到平面的距离；过抛物线最低点作，再将的解析式与抛物线的解析式联立，得出关于的一元二次方程，由判别式求得，最后用三角函数求得答案．【解答】解：以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，如图：由题意得：，，，，，，设抛物线的解析式为：，将，代入得：，解得：，．将高脚杯绕点倾斜后，仍以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，如图：由题意得：，，，，，，，，，，由题可知，直线与轴的夹角为，，经过点，，且，设直线的解析式为：，将，代入，解得，，又，，设直线的解析式为，将，代入，解得，，，，过点作于点，，，，．过抛物线最低点作，为于的交点，设直线的解析式为，由得：，只有一个交点，△，，，．故答案为：，．【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法、二次函数及解直角三角形等知识点是解题的关键．10．如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于、两点，拱桥最高点到的距离为，，、为拱桥底部的两点，且，点到直线的距离为，则的长为48．【考点】二次函数的应用【分析】首先建立平面直角坐标系，轴在直线上，轴经过最高点，设与轴交于，求出的长，然后设该抛物线的解析式为：，根据题干条件求出和的值，再令，求出的值，即可求出和点的坐标，的长度即可求出．【解答】解：如图所示，建立平面直角坐标系，轴在直线上，轴经过最高点．设与轴交于点，，，由题可知：，，，、．设该抛物线的解析式为：，将代入得：，，抛物线：，当时，即：，，，，，，故答案为：48．【点评】本题主要考查二次函数综合应用的知识点，解答本题的关键是正确地建立平面直角坐标系，此题难度一般，是一道非常好的试题．11．（2020秋•兴城市期末）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是2米．【考点】二次函数的应用【分析】水喷出的最大高度就是水在空中划出的抛物线的顶点纵坐标，将写成顶点式即可得出顶点坐标，从而求得答案．【解答】解：由题意可知，水喷出的最大高度就是水在空中划出的抛物线的顶点纵坐标，，顶点坐标为，水喷出的最大高度是2米．故答案为：2．【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，将实际问题与数学模型联系起来是解题的关键．12．（2020秋•甘南县期末）在抛物线形拱桥中，以抛物线的对称轴为轴，顶点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线解析式为，水面宽，与轴交于点，，当水面上升时，水面宽为．【考点】二次函数的应用【分析】根据题意可得点的坐标，将点的坐标代入抛物线解析式，解得的值，从而可得抛物线的解析式；当水面上升时，即纵坐标时，从而可得关于的方程，解得的值，则可求得答案．【解答】解：，，点坐标为，将代入得：，，．当水面上升时，即纵坐标时，有：，，，．水面宽为：．故答案为：．【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．三．解答题（共12小题）13．（2021秋•沭阳县校级月考）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点、、，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）（1）利用网格找出该圆弧所在圆的圆心点的位置，写出点的坐标为；（2）连接、，若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥底面半径为；（3）连接，将线段绕点旋转一周，求线段扫过的面积．【考点】点、线、面、体；圆锥的计算；坐标与图形变化旋转；垂径定理【分析】（1）线段与的垂直平分线的交点为；（2）连接，先判断，则可求的弧长，该弧长即为圆锥底面圆的周长，由此可求底面圆的半径；（3）设的中点为，线段的运动轨迹是以为圆心、分别为半径的圆环面积．【解答】解：（1）过点作轴垂线，过点作与垂直的线，两线的交点即为点坐标，，故答案为：；（2）连接，，，，，，，，，的长，扇形是一个圆锥的侧面展开图，，，故答案为：；（3）设的中点为，，，，线段扫过的面积是．【点评】本题考查圆锥的展开图，垂径定理，能够由三点确定圆的圆心位置，理解圆锥展开图与圆锥各部位的对应关系是解题的关键．14．（2021秋•芗城区校级期中）【初步探究】（1）如图1，在四边形中，，是边上一点，，，连接、．请判断的形状，并说明理由．【问题解决】（2）若设，，．试利用图1验证勾股定理．【拓展应用】（3）如图2，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在第一象限内，若为等腰直角三角形，求点的坐标．【考点】四边形综合题【分析】（1）证明，由全等三角形的性质即可求解；（2）根据四边形的面积的两种不同表示方式，即可得到．（3）分、、，三种情况求解即可．【解答】解：（1）是等腰直角三角形，证明：在和中，，，，，在中，，，，，，是等腰直角三角形；（2）由（1）可知是等腰直角三角形，，，，、、在同一条直线上，且，四边形是直角梯形，，又，，即．（3）如图，当，时，过点作于点，过点作于点，点，点，，，，，，，，，，，，，，，，点坐标为，如图，当，时，过点作，过点作，，，，，，，，，，，，点坐标为，如图，当，时，过点作于点，过点作于点，，，，，，，，，，，，，，点坐标，，综上所述：点坐标为：、、，．【点评】本题是四边形综合题目，考查了坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、尺规作图以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．15．（2021秋•孝南区月考）如图，在平面直角坐标系中，点是轴上一点，点是轴上一点，且满足．（1）求出，两点坐标；（2）连接，以线段为直角边，在右侧作等腰直角三角形，点为直角顶点，连接，求的面积；（3）点是轴上一动点，点为轴上一动点，若、各自同时从原点出发沿轴正半轴、轴正半轴运动，点运动的速度是每秒1个单位，点运动的速度每秒2个单位；请求出多少秒时的面积正好是（2）中的面积的．【考点】三角形综合题【分析】（1）由题意得出，根据非负数的性质求出，的值即可得出答案；（2）过点作轴于点，证明，由全等三角形的性质得出，根据三角形的面积公式可得出答案；（3）设经过秒时的面积正好是（2）中的面积的，由题意得，，根据三角形面积公式可列出方程求出的值．【解答】解：（1），，，，，，，；（2）过点作轴于点，，，，，，，，；（3）设经过秒时的面积正好是（2）中的面积的，由题意得，，，，（负值舍去），秒时的面积正好是（2）中的面积的．【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．16．（2021秋•荔城区校级期中）等腰中，，点、点分别是轴、轴两个动点，直角边交轴于点，斜边交轴于点．（1）如图（1），若，，求点的坐标；（2）如图（2），当等腰运动到使点恰为中点时，连接，求证：；（3）如图（3），在等腰不断运动的过程中，若满足始终是的平分线，试探究：线段、、三者之间是否存在确定的数量关系？若有，请直接写出结论；若没有，请说明理由．【考点】三角形综合题【分析】（1）过点作轴于点，证明，由全等三角形的性质得出，，求得的值，就可以求出的坐标；（2）过点作交轴于点，先证明，由全等三角形的性质得出，，再证明就可以得出结论；（3）在上截取，连接，由对称性得，，可证，再证明就可以得出结论．【解答】（1）解：过点作轴于点，，．是等腰直角三角形，，，，，．在和中，，，，，，；（2）证明：过点作交轴于点，，．，．，，，．在和中，，，，，，，在和中，，，，，即；（3）解：结论：．理由如下：在上截取，连接，由对称性得，．，，是的平分线，，，在和中，，，，，，．．在和中，，，，，．【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，解答时证明三角形的全等是关键．17．（2021秋•瑞安市月考）如图，在平面直角坐标系中，点，，，于点，交轴于点．（1）求证：．（2）点在线段上，作交于点，连结．①若是的中点，求的面积．②连结，当是以为腰的等腰三角形时，求的长．【考点】三角形综合题【分析】（1）由直角三角形的性质得出，根据可证出；（2）①证明，由全等三角形的性质得出，由勾股定理求出，求出的长，由三角形面积公式可得出答案；②分两种情况：当时，当时，由三角形的面积和勾股定理可求出答案．【解答】（1）证明：，，，，，，，，，在和中，，；（2）①解：，即，，，由（1）可知，，，，，，，，；②解：当时，，，，，平分，过点作于点，于点，则，，，．当时，则．，，，，．综合以上可得的长为或．【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积，坐标与图形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．18．（2021秋•诸暨市期中）【了解概念】在凸四边形中（内角度数都小于，若一边与它的两条邻边组成的两个内角相等，则称该四边形为邻等四边形，这条边叫做这个四边形的邻等边．【理解应用】（1）邻等四边形中，，，则的度数130；（2）如图，四边形为邻等四边形，为邻等边，且，求证：；【拓展提升】（3）在平面直角坐标系中，为邻等四边形的邻等边，且边与轴重合，已知，，，若在边上使的点有且只有1个，求的值．【考点】相似形综合题【分析】（1）分三种情况考虑：①由为邻等边，②由为邻等边，③由为邻等边，根据邻等四边形的定义即可求解；（2）根据相似三角形的判定解答即可；（3）分两种情况：①若点在点右侧，如图1，过点作轴于点，过点作轴于点，由为邻等边，则有，可证，可得，设点，由三角函数可求，可求、横坐标之差为2，，将，，，，代入得：，由于在边上使的点有且只有1个，即上述方程有且只有1个实数根，运用根的判别式即可求得答案；②若点在点左侧，如图2，过点作轴于点，过点作轴于点，根据，可得，同①方法即可求得答案．【解答】解：（1）①若为邻等边，则，不为凸四边形，所以舍去；②若为邻等边，则，（舍；③若为邻等边，则，，．故答案为：130；（2）证明：四边形为邻等四边形，为邻等边，，，，，，，；（3）①若点在点右侧，如图1，过点作轴于点，过点作轴于点，为邻等边，，，，，，，，，设点，，，，，，，，，，由（2）知，，，，，，，，，，，，在边上使的点有且只有1个，即上述方程有且只有1个实数根，△，，点在点右侧，；②若点在点左侧，如图2，过点作轴于点，过点作轴于点，，，，，，，，，，由①得：，，，，，，，，，在边上使的点有且只有1个，即上述方程有且只有1个实数根，△，，点在点左侧，；综上所述，．【点评】本题是相似综合题，考查新定义图形，仔细阅读题目，抓住定义中的性质，会验证新定义图形，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，一元二次方程根的判别式，利用相似三角形的性质构造关于的一元二次方程是解题关键．19．（2021秋•吉安期中）画出关于轴对称的图形△，求：（1）△三个顶点的坐标；（2）△的面积．（3）在轴上画出点，值最小（不写作法，保留作图痕迹）．【考点】轴对称最短路线问题；作图轴对称变换【分析】（1）写出点、、关于轴对称的对应点、、的坐标，然后描点即可；（2）根据网格即可求出△的面积；（3）作点关于轴的对应点，连接交轴于点，利用两点之间线段最短可判断此时最小．【解答】解：（1）如图所示：（2）△的面积；（3）如图所示，点即为所求．【点评】本题考查了作图轴对称变换：在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．20．（2021•杭州模拟）如图所示，某河面上有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位时，宽为，若水位上升，水面就会达到警戒线，这时水面宽为．（1）建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线的解析式；（2）若洪水到来时，水位以每小时的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时就能到达拱桥的拱顶？【考点】二次函数的应用【分析】（1）以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为轴建立平面直角坐标系，然后根据题意可得点、的横坐标，设抛物线解析式为，然后可进行求解；（2）由（1）可得距拱顶的距离，然后根据题意可直接进行列式求解．【解答】解：（1）以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为轴建立平面直角坐标系，如图所示：设抛物线解析式为，点的坐标为，则，由抛物线经过点和点，可得：，解得：，抛物线的解析式为；（2）由（1）可得距拱顶的距离为，水位以每小时的速度上升，从警戒线开始，到达拱顶的时间为（小时）．从警戒线开始，再持续5小时就能到达拱桥的拱顶．【点评】本题考查了二次函数的应用，明确题意、熟练掌握用待定系数法求解函数表达式是解题的关键．21．（2020秋•肥西县期末）某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．已知跳板长为2米，跳板距水面高为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度4米，现以为横轴，为纵轴建立直角坐标系．（1）求这条抛物线的解析式；（2）求运动员落水点与点的距离．【考点】二次函数的应用【分析】（1）建立平面直角坐标系，列出顶点式，代入点的坐标，求得的值，则可求得抛物线的解析式；（2）令，得关于的方程，求得方程的解并根据题意作出取舍即可．【解答】解：（1）如图所示，建立平面直角坐标系，由题意可得抛物线的顶点坐标为，点坐标为，设抛物线的解析式为，将点坐标代入得：，解得：，这条抛物线的解析式为；（2），令得：，解得：，，起跳点坐标为，，不符合题意，，运动员落水点与点的距离为5米．【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键．22．（2020秋•鄞州区期末）如图1．游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在喷水池周边安装