2025年中考数学思想方法复习系列 【新定义问题】函数中的新定义问题（原卷版）

函数中的新定义问题知识方法精讲1．一次函数的性质一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．2．正比例函数的性质正比例函数的性质．3．一次函数图象上点的坐标特征一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．4．一次函数与一元一次不等式（1）一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）．当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜；当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞．5．一次函数综合题（1）一次函数与几何图形的面积问题首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．（2）一次函数的优化问题通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．（3）用函数图象解决实际问题从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．6．二次函数的性质二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．7．二次函数图象与系数的关系二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）③．常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．④抛物线与x轴交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．8．二次函数图象上点的坐标特征二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．9．二次函数图象与几何变换由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．10．二次函数的最值（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝．（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝．（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．11．抛物线与x轴的交点求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．12．二次函数与不等式（组）二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围．②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．13．二次函数综合题（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．14．解新定义题型的方法：方法一:从定义知识的新情景问题入手这种题型它要求学生在新定义的条件下，对提出的说法作出判断，主要考查学生阅读理解能力，分析问题和解决问题的能力．因此在解这类型题时就必须先认真阅读，正理解新定义的含义；再运用新定义解决问题；然后得出结论。方法二：从数学理论应用探究问题入手对于涉及到数学理论的题目，要解决后面提出的新问题，必须仔细研究前面的问题解法．即前面解决问题过程中用到的知识在后面问题中很可能还会用到，因此在解决新问题时，认真阅读，理解阅读材料中所告知的相关问题和内容，并注意这些新知识运用的方法步骤．方法三：从日常生活中的实际问题入手对于一些新定义问题，出题的方向通常借助生活问题，那么处理此类问题需要结合生活实际，再将问题转化成数学知识、或者将生活图形转化为数学图形，从而利用数学知识进行解答。15．解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.一．选择题（共3小题）1．（2021秋•黔西南州期中）若将抛物线平移，有一个点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，则称这个点为“平衡点”．现将抛物线向右平移个单位长度后得到新的抛物线，若为“平衡点”，则的值为A．2 B．1 C．4 D．32．（2021•河南模拟）新定义：，，为二次函数，，，为实数）的“图象数”，如：的“图象数”为，，，若“图象数”是，，的二次函数的图象与轴只有一个交点，则的值为A． B． C．或2 D．23．（2020秋•鼓楼区校级月考）定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，这两条垂线与坐标轴围成一个矩形，若矩形的周长值与面积值相等，则点叫做和谐点，所围成的矩形叫做和谐矩形．已知点是抛物线上的和谐点，所围成的和谐矩形的面积为16，则的值可以是A．16 B．4 C． D．二．填空题（共2小题）4．（2021•南浔区二模）对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．将函数的图象向上平移个单位，得到的函数的边界值满足时，则的取值范围是．5．（2021•邗江区二模）定义：在平面直角坐标系中，为坐标原点，设点的坐标为，当时，点的变换点的坐标为；当时，点的变换点的坐标为．抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），顶点为，点在该抛物线上．若点的变换点在抛物线的对称轴上，且四边形是菱形，则满足该条件所有值的和为．三．解答题（共17小题）6．（2021秋•东城区期末）在平面直角坐标系中．的半径为1，对于直线和线段，给出如下定义：若将线段关于直线对称，可以得到的弦，分别为，的对应点），则称线段是的关于直线对称的“关联线段”．例如：在图1中，线段是的关于直线对称的“关联线段”．（1）如图2，点，，，，，的横、纵坐标都是整数．①在线段，，中，的关于直线对称的“关联线段”是；②若线段，，中，存在的关于直线对称的“关联线段”，则；已知直线交轴于点，在中，，．若线段是的关于直线对称的“关联线段”，直接写出的最大值和最小值，以及相应的长．7．（2021秋•长沙期末）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线为常数）对称，则把该函数称之为“函数”．（1）在下列关于的函数中，是“函数”的，请在相应题目后面的括号中打“”，不是“函数”的打“”．①②③（2）若关于的函数为常数）是“（2）函数”，与为常数，相交于，、，两点，在的左边，，求的值；（3）若关于的“函数”，为常数）经过点，且，当时，函数的最大值为，最小值为，且，求的值．8．（2021秋•宝安区期末）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”．例如求的“不动点”：联立方程，解得，则的“不动点”为．（1）由定义可知，一次函数的“不动点”为；（2）若一次函数的“不动点”为，求、的值；（3）若直线与轴交于点，与轴交于点，且直线上没有“不动点”，若点为轴上一个动点，使得，求满足条件的点坐标．9．（2021秋•昌平区期末）在平面直角坐标系中，对于点，，给出如下定义：若且，我们称点是线段的“潜力点”．已知点，．（1）在，，，中是线段的“潜力点”是；（2）若点在直线上，且为线段的“潜力点”，求点横坐标的取值范围；（3）直线与轴交于点，与轴交于点，当线段上存在线段的“潜力点”时，直接写出的取值范围．10．（2021秋•房山区期末）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数，对于任意的函数值，都满足，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的中，其最大值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数是有上界函数，其上确界是2．（1）函数①和②中是有上界函数的为（只填序号即可），其上确界为；（2）如果函数的上确界是，且这个函数的最小值不超过，求的取值范围；（3）如果函数是以3为上确界的有上界函数，求实数的值．11．（2021•海沧区模拟）已知抛物线与轴交于点，与轴交于点和（点在点左侧），若是等腰三角形，则称抛物线是“理想抛物线”．（1）判断抛物线是否为“理想抛物线”，并说明理由；（2）已知经过点的抛物线是“理想抛物线”．①若点，，是抛物线上另两点，满足当时，与的交点始终在抛物线的对称轴上，且线段的垂直平分线恰好经过点，求此抛物线的解析式；②是否存在整数使得，且？若存在，求出所有满足条件的整数的值；若不存在，请说明理由．12．（2021•龙岩模拟）对于平面直角坐标系中第一象限内的点和图形，给出如下定义：过点作轴和轴的垂线，垂足分别为，，若图形中的任意一点满足且，则称四边形是图形的一个覆盖，点为这个覆盖的一个特征点．例：若，，则点为线段的一个覆盖的特征点．已知，，，求解下列问题：（1）在，，中，是的覆盖特征点的有；（2）若在一次函数的图象上存在的覆盖的特征点，求的取值范围．13．（2021秋•拱墅区月考）对某一个函数给出如下定义：对于函数，若当，函数值满足，且满足，则称此函数为“系和谐函数”．（1）已知正比例函数为“系和谐函数”，请求出的值；（2）若一次函数为“3系和谐函数”，求的值；（3）已知二次函数，当时，是“系和谐函数”，求的取值范围．14．（2021秋•西平县期中）二次函数的图象交轴于原点及点．【感知特例】（1）当时，如图1，抛物线上的点，，，，分别关于点中心对称的点为，’，，，，如表：，①补全表格；②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为．【形成概念】我们发现形如（1）中的图象上的点和抛物线上的点关于点中心对称，则称是的“孔像抛物线”．例如，当时，图2中的抛物线是抛物线的“孔像抛物线”．【探究问题】（2）①当时，若抛物线与它的“孔像抛物线”的函数值都随着的增大而减小，则的取值范围为；②在同一平面直角坐标系中，当取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数的所有“孔像抛物线”都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是（填“”或“”或“”或“”，其中；③若二次函数及它的“孔像抛物线”与直线有且只有三个交点，求的值．15．（2021秋•大同期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务：定义：我们把自变量为的二次函数与称为一对“亲密函数”，如的“亲密函数”是．任务：（1）写出二次函数的“亲密函数”：；（2）二次函数的图象与轴交点的横坐标为1和，它的“亲密函数”的图象与轴交点的横坐标为，猜想二次函数的图象与轴交点的横坐标与其“亲密函数”的图象与轴交点的横坐标之间的关系是；（3）二次函数的图象与轴交点的横坐标为1和，请利用（2）中的结论直接写出二次函数的图象与轴交点的横坐标．16．（2021秋•越秀区校级期中）已知是关于的函数，若存在时，函数值，则称函数是关于的倩影函数，此时点叫该倩影函数的影像点．例如对于函数，若存在时，函数值，则，解得，则函数是倩影函数，点，是函数的影像点．（1）判断函数是否为倩影函数．如果是，请求出影像点；如果不是，请说明理由；（2）已知函数．①求证：该函数总有两个不同的影像点；②是否存在一个值，使得函数的影像点的横坐标，都为整数，如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由．17．（2021秋•长沙期中）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“实验点”．例如，都是“实验点”．（1）求函数图象上的“实验点”坐标；（2）函数是常数）的图象上存在“实验点”吗？若存在，请求出“实验点”的坐标；（3）若抛物线上有且只有一个“实验点”，该抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧）．当时，求的度数．18．（2021秋•西城区校级期中）定义：在平面直角坐标系中，图形上点的纵坐标与其横坐标的差称为点的“坐标差”，而图形上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形的“特征值”．（1）①点的“坐标差”为；②抛物线的“特征值”为；（2）某二次函数的“特征值”为1，点与点分别是此二次函数的图象与轴和轴的交点，且点与点的“坐标差”相等．①直接写出；（用含的式子表示）②求的值．19．（2021•渝北区校级开学）如图①，定义：直线与、轴分别相交于、两点，将绕着点逆时针旋转得到，过点、、的抛物线叫做直线的“纠缠抛物