重难点11 四边形压轴综合（17种题型）

重难点突破11四边形压轴综合（17种题型）重难点题型突破题型01利用特殊四边的性质与判定解决多结论问题1．（2022·山东东营·统考中考真题）如图，已知菱形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，点M，N分别是边BC、CD上的动点，∠BAC=∠MAN=60°，连接MN、OM.以下四个结论正确的是（

）①△AMN是等边三角形；②MN的最小值是3；③当MN最小时S△CMN=18S菱形ABCDA．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④2．（2020·内蒙古·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC>AC，按以下步骤作图：（1）分别以点A,B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于M,N两点（点M在AB的上方）；（2）作直线MN交AB于点O，交BC于点D；（3）用圆规在射线OM上截取OE=OD．连接AD,AE,BE，过点O作OF⊥AC，垂足为F，交AD于点G．下列结论：①CD=2GF；②BD2−CD2=AC2；③A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2023·山东日照·统考中考真题）如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点P在对角线BD上，过点P作MN⊥BD，交边AD，BC于点M，N，过点M作ME⊥AD交BD于点E，连接EN，BM，DN．下列结论：①EM=EN；②四边形MBND的面积不变；③当AM:MD=1:2

4．（2022·黑龙江大庆·统考中考真题）如图，正方形ABCD中，点E，F分别是边AB,BC上的两个动点，且正方形ABCD的周长是△BEF周长的2倍，连接DE,DF分别与对角线AC交于点M，N．给出如下几个结论：①若AE=2,CF=3，则EF=4；②∠EFN+∠EMN=180°；③若AM=2,CN=3，则MN=4；④若MNAM=2,BE=3，则EF=4．其中正确结论的序号为

5．（2022·广西玉林·统考中考真题）如图，点A在双曲线y=kx(k>0,x>0)上，点B在直线y=mx−2b(m>0,b>0)上，A与B关于x轴对称，直线l与y轴交于点C，当四边形AOCB是菱形时，有以下结论：①A(b,3b)

②当b=2时，k=43③m=36．（2022·四川达州·统考中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别为AD，CD边上的动点（不与端点重合），连接BE，BF，分别交对角线AC于点P，Q．点E，F在运动过程中，始终保持∠EBF=45°，连接EF，PF，PD．以下结论：①PB=PD；②∠EFD=2∠FBC；③PQ=PA+CQ；④△BPF为等腰直角三角形；⑤若过点B作BH⊥EF，垂足为H，连接DH，则DH的最小值为22−2．其中所有正确结论的序号是题型02利用特殊四边的性质与判定解决新定义问题7．（2021·湖南岳阳·统考中考真题）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC中，点A0,2，点C2,0，则互异二次函数y=x−m2−m与正方形OABCA．4，-1 B．5−172，-1 C．4，0 D．8．（2023·江苏·统考中考真题）综合与实践定义：将宽与长的比值为22n+1−12n（1）概念理解：当n=1时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图（1），这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽（AD）与长CD的比值是_________．（2）操作验证：用正方形纸片ABCD进行如下操作（如图（2））：第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为EF，连接CE；第二步：折叠纸片使CD落在CE上，点D的对应点为点H，展开，折痕为CG；第三步：过点G折叠纸片，使得点A、B分别落在边AD、BC上，展开，折痕为GK．试说明：矩形GDCK是1阶奇妙矩形．

（3）方法迁移：用正方形纸片ABCD折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注．（4）探究发现：小明操作发现任一个n阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图（4），点E为正方形ABCD边AB上（不与端点重合）任意一点，连接CE，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形AGHE的周长与矩形GDCK的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由．9．（2023·浙江宁波·统考中考真题）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．

(1)如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，对角线BD平分∠ADC．求证：四边形ABCD为邻等四边形．(2)如图2，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D．(3)如图3，四边形ABCD是邻等四边形，∠DAB=∠ABC=90°，∠BCD为邻等角，连接AC，过B作BE∥AC交DA的延长线于点E．若AC=8,DE=10，求四边形EBCD的周长．10．（2022·甘肃兰州·统考中考真题）在平面直角坐标系中，P(a,b)是第一象限内一点，给出如下定义：k1=ab和k2(1)求点P(6,2)的“倾斜系数”k的值；(2)①若点P(a,b)的“倾斜系数”k=2，请写出a和b的数量关系，并说明理由；②若点P(a,b)的“倾斜系数”k=2，且a+b=3，求OP的长；(3)如图，边长为2的正方形ABCD沿直线AC：y=x运动，P(a,b)是正方形ABCD上任意一点，且点P的“倾斜系数”k<3，请直接写出a11．（2020·湖南益阳·统考中考真题）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题：（1）如图1，正方形ABCD中，E是CD上的点，将ΔBCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF为“直等补”四边形，为什么？（2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB=BC=5，CD=1，AD>AB，点B到直线AD的距离为BE．①求BE的长．②若M、N分别是AB、AD边上的动点，求ΔMNC周长的最小值．题型03利用特殊四边的性质与判定解决规律探究12．（2022·山东烟台·统考中考真题）如图，正方形ABCD边长为1，以AC为边作第2个正方形ACEF，再以CF为边作第3个正方形FCGH，…，按照这样的规律作下去，第6个正方形的边长为（）

A．（22）5 B．（22）6 C．（2）5 D．（2）613．（2022·贵州安顺·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将边长为2的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转n个45°，得到正六边形OAnBnCnDnEA．−3,−3 B．−3,−3 C．3,−14．（2022·辽宁·统考中考真题）如图，A1为射线ON上一点，B1为射线OM上一点，∠B1A1O=60°,OA1=3,B1A1=1．以B1A1为边在其右侧作菱形A1B1C1D1，且∠B1A1D1=60°,C1D1与射线OM交于点B2，得△C1B1题型04根据图象运动判断函数关系15．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正半轴上，D2,3，P−1,−1．点M在菱形的边AD和DC上运动（不与点A，C重合），过点M作MN∥y轴，与菱形的另一边交于点N，连接PM，PN，设点M的横坐标为x，△PMN的面积为y，则下列图象能正确反映y

A． B．

C． D．

16．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD交于点O，AB=4，BC=43，垂直于BC的直线MN从AB出发，沿BC方向以每秒3个单位长度的速度平移，当直线MN与CD重合时停止运动，运动过程中MN分别交矩形的对角线AC,BD于点E，F，以EF为边在MN左侧作正方形EFGH，设正方形EFGH与△AOB重叠部分的面积为S，直线MN的运动时间为ts，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（

A． B．

C． D．

17．（2023·四川遂宁·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=10，BC=6，AC=8，点P为线段AB上的动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止．过点P作PM⊥AC于点M、作PN⊥BC于点N，连接MN，线段MN的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点

A．5，5 B．6,245 18．（2022·辽宁锦州·统考中考真题）如图，四边形ABCD是边长为2cm的正方形，点E，点F分别为边AD，CD中点，点O为正方形的中心，连接OE,OF，点P从点E出发沿E−O−F运动，同时点Q从点B出发沿BC运动，两点运动速度均为1cm/s，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为ts，连接BP,PQ，△BPQ的面积为Scm2，下列图像能正确反映出S与tA． B．C． D．19．（2021·湖南郴州·统考中考真题）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°．点P从点A出发，沿路线A→B→C→D运动．设P点经过的路程为x，以点A，D，P为顶点的三角形的面积为y，则下列图象能反映y与x的函数关系的是（

）A． B．C． D．题型05四边形中的动点问题20．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）在平行四边形ABCD中（顶点A,B,C,D按逆时针方向排列），AB=12,AD=10,∠B为锐角，且sinB=

(1)如图1，求AB边上的高CH的长．(2)P是边AB上的一动点，点C,D同时绕点P按逆时针方向旋转90°得点C'①如图2，当点C'落在射线CA上时，求BP②当△AC'D21．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图①．在矩形ABCD．AB=3，AD=5，点E在边BC上，且BE=2．动点P从点E出发，沿折线EB−BA−AD以每秒1个单位长度的速度运动，作∠PEQ=90°，EQ交边AD或边DC于点Q，连续PQ．当点Q与点C重合时，点P停止运动．设点P的运动时间为t秒．（

(1)当点P和点B重合时，线段PQ的长为__________；(2)当点Q和点D重合时，求tan∠PQE(3)当点P在边AD上运动时，△PQE的形状始终是等腰直角三角形．如图②．请说明理由；(4)作点E关于直线PQ的对称点F，连接PF、QF，当四边形EPFQ和矩形ABCD重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出t的取值范围．22．（2023·山东济南·统考中考真题）在矩形ABCD中，AB=2，AD=23，点E在边BC上，将射线AE绕点A逆时针旋转90°，交CD延长线于点G，以线段AE，AG为邻边作矩形AEFG

(1)如图1，连接BD，求∠BDC的度数和DGBE(2)如图2，当点F在射线BD上时，求线段BE的长；(3)如图3，当EA=EC时，在平面内有一动点P，满足PE=EF，连接PA，PC，求PA+PC的最小值．23．（2023·江苏无锡·统考中考真题）如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，∠A=60°，点Q为CD的中点，P为线段AB上的动点，现将四边形PBCQ沿PQ翻折得到四边形PB(1)当∠QPB=45°时，求四边形BB(2)当点P在线段AB上移动时，设BP=x，四边形BB'C'C的面积为S24．（2023·山东滨州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一边OC在x轴正半轴上，顶点A的坐标为2,23，点D是边OC上的动点，过点D作DE⊥OB交边OA于点E，作DF∥OB交边BC于点F，连接EF．设OD=x,△DEF的面积为S(1)求S关于x的函数解析式；(2)当x取何值时，S的值最大？请求出最大值．25．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，在正方形ABCD中，E是边AD上一动点（不与点A，D重合）．边BC关于BE对称的线段为BF，连接AF．

(1)若∠ABE=15°，求证：△ABF是等边三角形；(2)延长FA，交射线BE于点G；①△BGF能否为等腰三角形？如果能，求此时∠ABE的度数；如果不能，请说明理由；②若AB=3+6，求△BGF26．（2023·吉林·统考中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB=4cm，点O是对角线AC的中点，动点P，Q分别从点A，B同时出发，点P以1cm/s的速度沿边AB向终点B匀速运动，点Q以2cm/s的速度沿折线BC−CD向终点D匀速运动．连接PO并延长交边CD于点M，连接QO并延长交折线DA−AB于点N，连接PQ，QM，MN，NP，得到四边形PQMN．设点P的运动时间为x（s）（0<x<4），四边形PQMN的面积为y（cm

(1)BP的长为__________cm，CM的长为_________cm．（用含x的代数式表示）(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．(3)当四边形PQMN是轴对称图形时，直接写出x的值．题型06四边形折叠与旋转中的角度问题27．（2023·湖北恩施·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，将矩形ABCD沿BE所在的直线折叠，C，D的对应点分别为C'，D'，连接AD

(1)若∠DED'=70°(2)连接EF，试判断四边形C'28．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下：操作一：对折正方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接PM、BM，延长PM交CD于点Q，连接BQ．

(1)如图1，当点M在EF上时，∠EMB=___________度；(2)改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合）如图2，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．29．（2023·湖北·统考中考真题）如图，将边长为3的正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M落在边AD上（点M不与点A,D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，折痕分别与边AB，CD交于点E,F，连接BM．(1)求证：∠AMB=∠BMP；(2)若DP=1，求MD的长．

30．（2023·辽宁大连·统考中考真题）综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质．已知AB=AC,∠A>90°，点E为AC上一动点，将△ABE以BE为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下探究：独立思考：小明：“当点D落在BC上时，∠EDC=2∠ACB．”小红：“若点E为AC中点，给出AC与DC的长，就可求出BE的长．”实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：

问题1：在等腰△ABC中，AB=AC,∠A>90°,△BDE由△ABE翻折得到．（1）如图1，当点D落在BC上时，求证：∠EDC=2∠ACB；（2）如图2，若点E为AC中点，AC=4,CD=3，求BE的长．问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成∠A<90°的等腰三角形，可以将问题进一步拓展．问题2：如图3，在等腰△ABC中，∠A<90°,AB=AC=BD=4,2∠D=∠ABD．若CD=1，则求BC的长．31．（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，在正方形ABCD中，线段CD绕点C逆时针旋转到CE处，旋转角为α，点F在直线DE上，且AD=AF，连接BF．

(1)如图1，当0°<α<90°时，①求∠BAF的大小（用含α的式子表示）．②求证：EF=2(2)如图2，取线段EF的中点G，连接AG，已知AB=2，请直接写出在线段CE旋转过程中（0°<α<360°）△ADG面积的最大值．题型07四边形折叠与旋转中的线段长度问题32．（2023·江苏扬州·统考中考真题）【问题情境】在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含30°的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作△ADB和△A'D【操作探究】如图1，先将△ADB和△A'D'C的边AD、A'D'重合，再将△A'D

(1)当α=60°时，BC=________；当BC=22时，α=________°(2)当α=90°时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；(3)如图2，取BC的中点F，将△A'D'C33．（2023·辽宁沈阳·统考中考真题）如图1，在▱ABCD纸片中，AB=10，AD=6，∠DAB=60°，点E为BC边上的一点（点E不与点C重合），连接AE，将▱ABCD纸片沿AE所在直线折叠，点C，D的对应点分别为C'、D'，射线C'E与射线

(1)求证：AF=EF；(2)如图2，当EF⊥AF时，DF的长为______；(3)如图3，当CE=2时，过点F作FM⊥AE，垂足为点M，延长FM交C'D'于点N，连接AN、EN34．（2022·贵州安顺·统考中考真题）如图1，在矩形ABCD中，AB=10，AD=8，E是AD边上的一点，连接CE，将矩形ABCD沿CE折叠，顶点D恰好落在AB边上的点F处，延长CE交BA的延长线于点G．(1)求线段AE的长；(2)求证四边形DGFC为菱形；(3)如图2，M，N分别是线段CG，DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN=∠DCM，设DN=x，是否存在这样的点N，使△DMN是直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．35．（2021·吉林长春·统考中考真题）实践与探究操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，则∠EAF=度．操作二：如图②，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N．我们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同．当点E在BC边的某一位置时，点N恰好落在折痕AE上，则∠AEF=度．在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：（1）设AM与NF的交点为点P．求证△ANP≌△FNE：．（2）若AB=3，则线段AP的长为36．（2020·广西贵港·中考真题）已知：在矩形ABCD中，AB=6，AD=23，P是BC边上的一个动点，将矩形ABCD折叠，使点A与点P重合，点D落在点G处，折痕为EF（1）如图1，当点P与点C重合时，则线段EB=_______________，EF=_____________；（2）如图2，当点P与点B，C均不重合时，取EF的中点O，连接并延长PO与GF的延长线交于点M，连接PF，ME，MA．①求证：四边形MEPF是平行四边形：②当tan∠MAD=1337．（2023·山西·统考中考真题）问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为△ABC和△DFE，其中∠ACB=∠DEF=90°,∠A=∠D．将△ABC和△DFE按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合（标记为点B）．当∠ABE=∠A时，延长DE交AC于点G．试判断四边形BCGE的形状，并说明理由．

(1)数学思考：谈你解答老师提出的问题；(2)深入探究：老师将图2中的△DBE绕点B逆时针方向旋转，使点E落在△ABC内部，并让同学们提出新的问题．

①“善思小组”提出问题：如图3，当∠ABE=∠BAC时，过点A作AM⊥BE交BE的延长线于点M,BM与AC交于点N．试猜想线段AM和BE的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；

②“智慧小组”提出问题：如图4，当∠CBE=∠BAC时，过点A作AH⊥DE于点H，若BC=9,AC=12，求AH的长．请你思考此问题，直接写出结果．

38．（2023·山东烟台·统考中考真题）【问题背景】如图1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形ABCD进行如下操作：①分别以点B,C为圆心，以大于12BC的长度为半径作弧，两弧相交于点E，F，作直线EF交BC于点O，连接AO；②将△ABO沿AO翻折，点B的对应点落在点P处，作射线AP交CD于点

【问题提出】在矩形ABCD中，AD=5，AB=3，求线段【问题解决】经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：方案一：连接OQ，如图2．经过推理、计算可求出线段CQ的长；方案二：将△ABO绕点O旋转180°至△RCO处，如图3．经过推理、计算可求出线段CQ的长．请你任选其中一种方案求线段CQ的长．题型08四边形折叠与旋转中的坐标问题39．（2023·山东日照·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy内，抛物线y=−ax2+5ax+2a>0交y轴于点C，过点C作

(1)求点C，D的坐标；(2)当a=13时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点P为直线AD上方抛物线上一点，将直线PD沿直线AD翻折，交x轴于点M(4,0)，求点(3)坐标平面内有两点E1a,a+1,F5,a+1①若a=1，求正方形EFGH的边与抛物线的所有交点坐标；②当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为52时，求a40．（2022·天津·统考中考真题）将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O(0,0)，点A(3,0)，点C(0,6)，点P在边OC上（点P不与点O，C重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且∠OPQ=30°，点O的对应点O'落在第一象限．设OQ=t(1)如图①，当t=1时，求∠O'QA(2)如图②，若折叠后重合部分为四边形，O'Q,O'P分别与边AB相交于点E，F，试用含有t(3)若折叠后重合部分的面积为33，则t的值可以是___________（请直接写出两个不同题型09四边形折叠与旋转中的周长和面积问题41．（2019·湖南岳阳·统考中考真题）操作体验：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C′处.点P为直线EF上一动点(不与E、F重合)，过点P分别作直线BE、BF的垂线，垂足分别为点M和N，以PM、PN为邻边构造平行四边形PMQN.(1)如图1，求证：BE＝BF；(2)特例感知：如图2，若DE＝5，CF＝2，当点P在线段EF上运动时，求平行四边形PMQN的周长；(3)类比探究：若DE＝a，CF＝b.①如图3，当点P在线段EF的延长线上运动时，试用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系，并证明；②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系.(不要求写证明过程)42．（2023·山东枣庄·统考中考真题）问题情境：如图1，在△ABC中，AB=AC=17，BC=30，AD是BC边上的中线．如图2，将△ABC的两个顶点B，C分别沿EF,GH折叠后均与点D重合，折痕分别交AB,AC,BC于点E，G，F，

猜想证明：(1)如图2，试判断四边形AEDG的形状，并说明理由．问题解决；(2)如图3，将图2中左侧折叠的三角形展开后，重新沿MN折叠，使得顶点B与点H重合，折痕分别交AB,BC于点M，N，BM的对应线段交DG于点K，求四边形MKGA的面积．43．（2021·山西·统考中考真题）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在▱ABCD中，BE⊥AD，垂足为E，F为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明；独立思考：（1）请解答老师提出的问题；实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将▱ABCD沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为C'，连接DC'并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明；问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将▱ABCD沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点为A'，使A'B⊥CD于点H，折痕交AD于点M，连接A'M，交CD于点N．该小组提出一个问题：若此▱ABCD的面积为20，边长AB=5，BC=25，求图中阴影部分（四边形BHNM44．（2023·山东淄博·统考中考真题）在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动．(1)操作判断小红将两个完全相同的矩形纸片ABCD和CEFG拼成“L”形图案，如图①．试判断：△ACF的形状为________．

(2)深入探究小红在保持矩形ABCD不动的条件下，将矩形CEFG绕点C旋转，若AB=2，AD=4．探究一：当点F恰好落在AD的延长线上时，设CG与DF相交于点M，如图②．求△CMF的面积．探究二：连接AE，取AE的中点H，连接DH，如图③．求线段DH长度的最大值和最小值．

题型10四边形折叠与旋转中的最值问题45．（2023·辽宁·模拟预测）如图，矩形ABCD中，AB=4,AD=3，点E在折线BCD上运动，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，旋转角等于∠BAC，连接CF．(1)当点E在BC上时，作FM⊥AC，垂足为M，求证AM=AB；(2)当AE=32时，求CF(3)连接DF，点E从点B运动到点D的过程中，试探究DF的最小值．46．（2023·陕西西安·校考三模）如图1，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B分别在y轴，x轴上，当B在x轴上运动时，A随之在y轴上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=6，BC=2．(1)取AB的中点E，连接OE，DE，求OE+DE的值．(2)如图2，若以AB为边长在第一象限内作等边三角形△ABP，运动过程中，点P到原点的最大距离是多少？题型11四边形中的线段最值问题47．（2021·重庆·字水中学校考一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB边上任意一点，连接AD，以点D为旋转中心，将线段DA顺时针旋转90°，点A的对应点是点E，连接AE，取AE的中点F，连接DF．（1）如图1，若∠CAD=30°，DF=6，求线段CD的长．（2）如图1，连接CF，求证：AC+CD=2（3）如图2，若AC=6，BC＝8，点D在线段BC上运动，点G在线段DE上运动，连接AG，取线段AG的中点P，连接BP、BF、PF，当线段PB最大时，直接写出△BPF的面积．48．（2023·江苏苏州·苏州市振华中学校校考二模）如图，在矩形ABCD中，点E为AB上一点，过点D作DP⊥CE于点P，连接DE交AP于点F，点P恰好为CE的中点．

(1)求证：△DEP∽△CEB；(2)如图1，若BEBC=3(3)如图2，在（2）的条件下，点G、Q分别为DP、DE上的动点，若CP=5，请直接写出GF+GQ的最小值．题型12探究四边形中线段存在的数量关系49．（2023·青海西宁·统考中考真题）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．【操作】如图1，在矩形ABCD中，点M在边AD上，将矩形纸片ABCD沿MC所在的直线折叠，使点D落在点D'处，MD'与BC【猜想】】MN=CN【验证】请将下列证明过程补充完整：∵矩形纸片ABCD沿MC所在的直线折叠∴∠CMD=∵四边形ABCD是矩形∴AD∥∴∠CMD=（）∴=（等量代换）∴MN=CN（）【应用】如图2，继续将矩形纸片ABCD折叠，使AM恰好落在直线MD'上，点A落在点A'处，点B落在点B（1）猜想MN与EC的数量关系，并说明理由；（2）若CD=2，MD=4，求EC的长．50．（2023·湖北襄阳·统考中考真题）【问题背景】人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1D1九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形ABCD的对角线相交于点O，点P落在线段OC上，PAPC=k（

【特例证明】（1）如图1，将Rt△PEF的直角顶点P与点O重合，两直角边分别与边AB，BC相交于点M，N①填空：k=______；②求证：PM=PN．（提示：借鉴解决【问题背景】的思路和方法，可直接证明△PAM≅△PBN；也可过点P分别作AB，BC的垂线构造全等三角形证明．请选择其中一种方法解答问题②．）【类比探究】（2）如图2，将图1中的△PEF沿OC方向平移，判断PM与PN的数量关系（用含k的式子表示），并说明理由．【拓展运用】（3）如图3，点N在边BC上，∠BPN=45°，延长NP交边CD于点E，若EN=kPN，求k的值．51．（2023·湖北十堰·统考中考真题）过正方形ABCD的顶点D作直线DP，点C关于直线DP的对称点为点E，连接AE，直线AE交直线DP于点F．

(1)如图1，若∠CDP=25°，则∠DAF=___________°；(2)如图1，请探究线段CD，EF，AF之间的数量关系，并证明你的结论；(3)在DP绕点D转动的过程中，设AF=a，EF=b请直接用含a,b的式子表示DF的长．52．（2023·湖南·统考中考真题）（1）[问题探究]如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．在线段AO上任取一点P（端点除外），连接PD、PB．

①求证：PD=PB；②将线段DP绕点P逆时针旋转，使点D落在BA的延长线上的点Q处．当点P在线段AO上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化？请说明理由；③探究AQ与OP的数量关系，并说明理由．（2）[迁移探究]如图2，将正方形ABCD换成菱形ABCD，且∠ABC=60°，其他条件不变．试探究AQ与CP的数量关系，并说明理由．

题型13探究四边形中线段存在的位置关系53．（2022·江苏淮安·统考中考真题）在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究．如图（1），在菱形ABCD中，∠B为锐角，E为BC中点，连接DE，将菱形ABCD沿DE折叠，得到四边形A'B'ED，点A的对应点为点A'，点B的对应点为点B'．(1)【观察发现】A'D与B'E的位置关系是______；(2)【思考表达】连接B'C，判断∠DEC与(3)如图（2），延长DC交A'B'于点G，连接EG(4)【综合运用】如图（3），当∠B=60°时，连接B'C，延长DC交A'B'于点G，连接EG54．（2022·江苏徐州·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，点P在边AB上，D、E分别为BC、PC的中点，连接DE．过点E作BC的垂线，与BC、AC分别交于F、G两点．连接DG，交PC于点H．

(1)∠EDC的度数为；(2)连接PG，求△APG的面积的最大值；(3)PE与DG存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由；(4)求CHCE55．（2022·山东东营·统考中考真题）△ABC和△ADF均为等边三角形，点E、D分别从点A，B同时出发，以相同的速度沿AB、BC运动，运动到点B、C停止.(1)如图1，当点E、D分别与点A、B重合时，请判断：线段CD、EF的数量关系是____________，位置关系是____________；(2)如图2，当点E、D不与点A，B重合时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(3)当点D运动到什么位置时，四边形CEFD的面积是△ABC面积的一半，请直接写出答案；此时，四边形BDEF是哪种特殊四边形？请在备用图中画出图形并给予证明.56．（2022·辽宁丹东·统考中考真题）已知矩形ABCD，点E为直线BD上的一个动点（点E不与点B重合），连接AE，以AE为一边构造矩形AEFG（A，E，F，G按逆时针方向排列），连接DG．(1)如图1，当ADAB＝AGAE＝1时，请直接写出线段BE与线段(2)如图2，当ADAB＝AGAE＝2时，请猜想线段BE与线段(3)如图3，在（2）的条件下，连接BG，EG，分别取线段BG，EG的中点M，N，连接MN，MD，ND，若AB＝5，∠AEB＝45°，请直接写出△MND的面积．57．（2021·山东烟台·统考中考真题）有公共顶点A的正方形ABCD与正方形AEGF按如图1所示放置，点E，F分别在边AB和AD上，连接BF，DE，M是BF的中点，连接AM交DE于点N．【观察猜想】（1）线段DE与AM之间的数量关系是____________，位置关系是___________；【探究证明】（2）将图1中的正方形AEGF绕点A顺时针旋转45°，点G恰好落在边AB上，如图2，其他条件不变，线段DE与AM之间的关系是否仍然成立？并说明理由．题型14探究四边形与反比例函数综合运用58．（2022·江苏徐州·统考中考真题）如图，一次函数y=kx+b(k>0)的图像与反比例函数y=8x(x>0)的图像交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C，AD⊥x轴于点D，CB=CD，点C关于直线AD(1)点E是否在这个反比例函数的图像上？请说明理由；(2)连接AE、DE，若四边形ACDE为正方形．①求k、b的值；②若点P在y轴上，当|PE−PB|最大时，求点P的坐标．

59．（2022·山东济南·统考中考真题）如图，一次函数y=12x+1的图象与反比例函数y=kx

(1)求a，k的值；(2)直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC＝AD，连接CB．①求△ABC的面积；②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P坐标．60．（2023·江苏泰州·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy中，点A(m，0)，B(m−a，0)(a>m>0)的位置和函数y1=mx(x>0)、y2=m−ax(x<0)的图像如图所示．以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，AD边与函数y1的图像相交于点E，CD边与函数y1、y2

(1)m=2，a=4，求函数y3的表达式及△PGH(2)当a、m在满足a>m>0的条件下任意变化时，△PGH的面积是否变化？请说明理由；(3)试判断直线PH与BC边的交点是否在函数y261．（2022·贵州安顺·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在y轴上，A，C两点的坐标分别为(4,0)，(4,m)，直线CD：y=ax+b(a≠0)与反比例函数y=kx(k≠0)的图象交于C(1)求该反比例函数的解析式及m的值；(2)判断点B是否在该反比例函数的图象上，并说明理由．62．（2021·四川雅安·统考中考真题）已知反比例函数y=mx的图象经过点（1）求该反比例函数的表达式；（2）如图，在反比例函数y=mx的图象上点A的右侧取点C，作CH⊥x轴于H，过点A作y轴的垂线AG交直线CH于点①过点A，点C分别作x轴，y轴的垂线，交于B，垂足分别为为F、E，连结OB，BD，求证：O，B，D三点共线；②若AC=2OA，求证：∠AOD=2∠DOH．63．（2023·贵州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，反比例函数y=kxx>0的图象分别与AB,BC交于点D4,1和点E，且点

(1)求反比例函数的表达式和点E的坐标；(2)若一次函数y=x+m与反比例函数y=kxx>0的图象相交于点M，当点M在反比例函数图象上D,E之间的部分时（点M可与点D,E题型15探究四边形与二次函数综合运用64．（2023·湖南湘西·统考中考真题）如图（1），二次函数y=ax2−5x+c的图像与x轴交于A−4,0，Bb,0

(1)求二次函数的解析式和b的值．(2)在二次函数位于x轴上方的图像上是否存在点M，使S△BOM=1(3)如图（2），作点A关于原点O的对称点E，连接CE，作以CE为直径的圆．点E'是圆在x轴上方圆弧上的动点（点E'不与圆弧的端点E重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段AE，使点E移动到点E'，线段AE的对应线段为A'E'，连接E'C，A'65．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，点B的坐标为1,0，对称轴是直线x=−1，点P是x轴上一动点，PM⊥x轴，交直线AC

(1)求这个二次函数的解析式．(2)若点P在线段AO上运动（点P与点A、点O不重合），求四边形ABCN面积的最大值，并求出此时点P的坐标．(3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．66．（2022·四川资阳·中考真题）已知二次函数图象的顶点坐标为A(1,4)，且与x轴交于点B(−1,0)．(1)求二次函数的表达式；(2)如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点P(m,0)旋转180°，此时点A、B的对应点分别为点C、D．①连结AB、BC、CD、DA，当四边形ABCD为矩形时，求m的值；②在①的条件下，若点M是直线x=m上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得以点B、C、M、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．67．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）综合与探究如图，某一次函数与二次函数y=x2+mx+n的图象交点为A(1)求抛物线的解析式；(2)点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为；(3)点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值；(4)在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．68．（2020·山东聊城·中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点A(−1,0)，B(4,0)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x（1）求出二次函数y=ax2+bx+4（2）在动直线l移动的过程中，试求使四边形DEFP为平行四边形的点P的坐标；（3）连接CP，CD，在动直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△DCE相似，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．题型16探究四边形与三角形综合运用69．（2023·江苏镇江·统考中考真题）【发现】如图1，有一张三角形纸片ABC，小宏做如下操作：

（1）取AB，AC的中点D，E，在边BC上作MN=DE；（2）连接EM，分别过点D，N作DG⊥EM，NH⊥EM，垂足为G，H；（3）将四边形BDGM剪下，绕点D旋转180°至四边形ADPQ的位置，将四边形CEHN剪下，绕点E旋转180°至四边形AEST的位置；（4）延长PQ，ST交于点F．小宏发现并证明了以下几个结论是正确的：①点Q，A，T在一条直线上；②四边形FPGS是矩形；③△FQT≌④四边形FPGS与△ABC的面积相等．【任务1】请你对结论①进行证明．【任务2】如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC，P，Q分别是AB，CD的中点，连接PQ．求证：【任务3】如图3，有一张四边形纸ABCD，AD∥BC，AD=2，BC=8，CD=9，sin∠DCB=45，小丽分别取AB，CD的中点P，Q，在边BC上作MN=PQ，连接MQ70．（2022·贵州黔东南·统考中考真题）阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，点A在DE上．求证：以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形．(1)【探究发现】小明通过探究发现：连接DC，根据已知条件，可以证明DC=AE，∠ADC=120°，从而得出△ADC为钝角三角形，故以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形．请你根据小明的思路，写出完整的证明过程．(2)【拓展迁移】如图，四边形ABCD和四边形BGFE都是正方形，点A在EG上．①试猜想：以AE、AG、AC为边的三角形的形状，并说明理由．②若AE2+A71．（2021·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）已知四边形ABCD是正方形，点E在边DA的延长线上，连接CE交AB于点C，过点B作BM⊥CE，垂足为点M，BM的延长线交AD于点F，交CD的延长线于点H．（1）如图1，求证：CE=BH；（2）如图2，若AE=AB，连接CF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形（ΔAEG除外），使写出的每个三角形都与ΔAEG全等，题型17探究四边形与圆综合运用72．（2023·广东·统考中考真题）综合探究如图1，在矩形ABCD中(AB>AD)，对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A'，连接AA'交BD于点E，连接

(1)求证：AA'⊥CA'；(2)以点O为圆心，OE为半径作圆．①如图2，⊙O与CD相切，求证：AA'=3②如图3，⊙O与CA'相切，AD=1，求⊙O的面积．73．（2023·上海·统考中考真题）如图（1）所示，已知在△ABC中，AB=AC，O在边AB上，点F为边OB中点，为以O为圆心，BO为半径的圆分别交CB，AC于点D，E，联结EF交OD于点G．

(1)如果OG=DG，求证：四边形CEGD为平行四边形；(2)如图（2）所示，联结OE，如果∠BAC=90°,∠OFE=∠DOE,AO=4，求边OB的长；(3)联结BG，如果△OBG是以OB为腰的等腰三角形，且AO=OF，求OGOD74．（2021·四川攀枝花·统考中考真题）如图，在直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AB=12，BC=14，AD=9，线段BC上的点P从点B运动到点C，∠ADP的角平分线DQ交以DP为直径的圆M于点Q，连接PQ．(1)当点P不与点B重合时，求证：PQ平分∠BPD；(2)当圆M与直角梯形ABCD的边相切时，请直接写出此时BP的长度；(3)动点P从点B出发，运动到点C停止，求点Q所经过的路程．75．（2022·浙江舟山·中考真题）如图1．在正方形ABCD中，点F，H分别在边AD，AB上，连结AC，FH交于点E，已知CF=CH．(1)线段AC与FH垂直吗？请说明理由．(2)如图2，过点A，H，F的圆交CF于点P，连结PH交AC于点K．求证：KHCH(3)如图3，在（2）的条件下，当点K是线段AC的中点时，求CPPF76．（2020·陕西·统考中考真题）问题提出（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D．过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC．垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是．问题探究（2）如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8．P是AB上一点，且PB=2PA，连接AP，BP．∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段问题解决（3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB．P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D．连接AD，BD．过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，重足分别为E，F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）．①求y与x之间的函数关系式；②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理．试求当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积．77．（2020·江苏连云港·中考真题）（1）如图1，点P为矩形ABCD对角线BD上一点，过点P作EF//BC，分别交AB、CD于点E、F．若BE=2，PF=6，△AEP的面积为S1，△CFP的面积为S

（2）如图2，点P为▱ABCD内一点（点P不在BD上），点E、F、G、H分别为各边的中点．设四边形AEPH的面积为S1，四边形PFCG的面积为S2（其中S2>S1），求（3）如图3，点P为▱ABCD内一点（点P不在BD上）过点P作EF//AD，HG//AB，与各边分别相交于点E、F、G、H．设四边形AEPH的面积为S1，四边形PGCF的面积为S2（其中S2

（4）如图4，点A、B、C、D把⊙O四等分．请你在圆内选一点P（点P不在AC、BD上），设PB、PC、BC围成的封闭图形的面积为S1，PA、PD、AD围成的封闭图形的面积为S2，△PBD的面积为S3，△PAC的面积为S4．根据你选的点P的位置，直接写出一个含有S1、S

重难点突破11四边形压轴综合（17种题型）（解析版）重难点题型突破题型01利用特殊四边的性质与判定解决多结论问题1．（2022·山东东营·统考中考真题）如图，已知菱形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，点M，N分别是边BC、CD上的动点，∠BAC=∠MAN=60°，连接MN、OM.以下四个结论正确的是（

）①△AMN是等边三角形；②MN的最小值是3；③当MN最小时S△CMN=18S菱形ABCDA．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】D【分析】①依据题意，利用菱形的性质及等边三角形的判定与性质，证出∠MAC=∠DAN，然后证△CAM≌△DAN(ASA)，AM=②当MN最小值时，即AM为最小值，当AM⊥BC时，AM值最小，利用勾股定理求出AM=AB2③当MN最小时，点M、N分别为BC、CD中点，利用三角形中位线定理得到AC⊥MN，用勾股定理求出CE=CN2−EN2=④当OM⊥BC时，可证△OCM∽△BCO，利用相似三角形对应边成比例可得OC【详解】解：如图：在菱形ABCD中，AB=BC=AD=CD，AC⊥BD，OA=OC，∵∠BAC=∠MAN=60°，∴∠ACB=∠ADC=60°，△ABC与△ADC为等边三角形，又∠MAC=∠MAN−∠CAN=60°−∠CAN，∠DAN=∠DAC−∠CAN=60°−∠CAN，∴∠MAC=∠DAN，在△CAM与△DAN中∠CAM=∠DAN∴△CAM∴AM=AN，即△AMN为等边三角形，故①正确；∵AC⊥BD，当MN最小值时，即AM为最小值，当AM⊥BC时，AM值最小，∵AB=2,BM=1∴AM=即MN=3故②正确；当MN最小时，点M、N分别为BC、CD中点，∴MN∥∴AC⊥MN，在△CMN中，CE=C∴S△CMN而菱形ABCD的面积为：2×3∴18故③正确，当OM⊥BC时，∠BOC=∠OMC=90°∴△OCM∽△BCO∴OC∴O∴O故④正确；故选：D．【点睛】此题考查了菱形的性质与面积，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定，勾股定理，三角形中位线定理等相关内容，熟练掌握菱形的性质是解题关键．2．（2020·内蒙古·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC>AC，按以下步骤作图：（1）分别以点A,B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于M,N两点（点M在AB的上方）；（2）作直线MN交AB于点O，交BC于点D；（3）用圆规在射线OM上截取OE=OD．连接AD,AE,BE，过点O作OF⊥AC，垂足为F，交AD于点①CD=2GF；②BD2−CD2=AC2；③S△BOEA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】证明四边形ADBE是菱形，推出FG是△ACD的中位线，即可得到CD=2GF，由此判断①；根据菱形的性质得到AD=BD，再利用Rt△ACD得到AD2−CD2=AC2，即可判断②；根据FG是△ACD的中位线，证得S△AOD=2S【详解】由题意知：MN垂直平分AB，∴OA=OB，ED⊥AB，∵OD=OE，∴四边形ADBE是菱形，∵OF⊥AC，∠ACB=90°，∴OF∥BC，AF=CF，∴FG是△ACD的中位线，∴CD=2GF，故①正确；∵四边形ADBE是菱形，∴AD=BD，在Rt△ACD中，AD∴BD2−C∵FG是△ACD的中位线，∴点G是AD的中点，∴S△AOD∵S△AOD∴S△BOE=2S∵AC=6，∴AF=3，设OA=x，则OF=9-x，∵OA∴x2解得x=5，∴AB=10，∴BC=8，∵BD∴BD解得BD=254∴四边形ADBE的周长为254故选：D.【点睛】此题考查了线段垂直平分线的作图方法，菱形的判定及性质定理，勾股定理，三角形的中位线的判定及性质，三角形中线的性质，这是一道四边形的综合题.3．（2023·山东日照·统考中考真题）如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点P在对角线BD上，过点P作MN⊥BD，交边AD，BC于点M，N，过点M作ME⊥AD交BD于点E，连接EN，BM，DN．下列结论：①EM=EN；②四边形MBND的面积不变；③当AM:MD=1:2

【答案】②③④【分析】根据等腰三角形的三线合一可知MP=PN，可以判断①；利用相似和勾股定理可以得出BD=10，MN=152，，利用S四边形MBND=12MN×BD判断②【详解】解：∵EM=EN，MN⊥BD，∴MP=PN，在点P移动过程中，不一定MP=PN，相矛盾，故①不正确；

延长ME交BC于点H,则ABHM为矩形，∴BD=∵ME⊥AD，MN⊥BD，∴∠MED+∠MDE=∠MEP+∠EMN=90°∴∠MDE=∠EMN，∴△MHN∽△DAB，∴MHAD即68解得：HN=9∴S故②正确；∵ME∥AB，∴△DME∽△DAB，∴MEAB∴ME=4，∵∠MDE=∠EMN，∠MPE=∠A=90°，∴△MPE∽△DAB，∴S△MPE∴S△MPE故③正确，BM+MN+ND=BM+ND+15即当MB+ND最小时，BM+MN+ND的最小值，作B、D关于AD、BC的对称点B把图1中的CD1向上平移到图2位置，使得CD=92，连接B1D1，即这时B1即BM+MN+ND的最小值是20，故④正确；故答案为：②③④

【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，轴对称，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．4．（2022·黑龙江大庆·统考中考真题）如图，正方形ABCD中，点E，F分别是边AB,BC上的两个动点，且正方形ABCD的周长是△BEF周长的2倍，连接DE,DF分别与对角线AC交于点M，N．给出如下几个结论：①若AE=2,CF=3，则EF=4；②∠EFN+∠EMN=180°；③若AM=2,CN=3，则MN=4；④若MNAM=2,BE=3，则EF=4．其中正确结论的序号为

【答案】②【分析】根据已知条件可得EF=AE+FC，即可判断①，进而推出∠EDF=45°，导角可得②正确，作DG⊥EF于点G，连接GM,GN，证明△GMN是直角三角形，勾股定理验证③，证明∠BEF=∠MNG=30°，即可判断④求解．【详解】解：∵正方形ABCD的周长是△BEF周长的2倍，∴BE+BF+EF=AB+BC，∴EF=AE+FC，①若AE=2,CF=3，则EF=5，故①不正确；如图，在BA的延长线上取点H，使得AH=CF，

∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAH=∠DAE=∠DCF=90°，AD=CD，∴△ADH≌△CDF，∴∠CDF=∠ADH，HD=DF，∠H=∠DFC，∵EF=AE+CF=AE+AH=EH，DE=DE，∴△DHE≌△DFESSS，∴∠HDE=∠FDE，∠H=∠EFD，∠HED=∠FED，∵∠CDF+∠ADF=∠ADH+∠ADF=∠HDF=90°，∴∠EDF=∠HDE=45°，∵∠H=∠DFC=∠DFE，∵∠EMN=∠HED+∠EAM=45°+∠DEF，∴∠EFN+∠EMN=∠DFC+45°+∠DEF=∠DFC+∠EDF+∠DEF=180°即∠EFN+∠EMN=180°，故②正确；

如图，作DG⊥EF于点G，连接GM,GN，则∠DGE=∠DAE=90°，∵∠AED=∠GED，DE=DE，∴△AED≌△GED，同理可得△GDF≌△CDF，∴AD=DG=CD，∴A,G关于DE对称轴，C,G关于DF对称，∴GM=AM,GN=CN，∠EGM=∠EAM=45°,∠NGF=∠NCF=45°，∴∠MGN=180°−45°−45°=90°，∴△GMN是直角三角形，③若AM=2,CN=3，∴GM=2,GN=3，∴MN=MG2∵MG=AM，若MNAM即sin∠MNG=MG∴∠MNG=30°，∵∠EFN+∠EMN=180°，∠EMN+∠AME=180°，又∠CFN=∠EFN，∴∠AME=∠CFN，∴2∠AEM=2∠CFN，即∠AMG=∠CFG，∴∠GMN=∠BFE，∴∠BEF=∠MNG=30°，∴cos∵BE=3，∴EF=2BE故④不正确．故答案为：②．【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．5．（2022·广西玉林·统考中考真题）如图，点A在双曲线y=kx(k>0,x>0)上，点B在直线y=mx−2b(m>0,b>0)上，A与B关于x轴对称，直线l与y轴交于点C①A(b,3b)

②当b=2时，k=43③m=则所有正确结论的序号是．【答案】②③【分析】根据一次函数图象上的点的坐标特征、菱形的性质及勾股定理即可求出A(3b,b)，即可判断①错误；根据反比例函图象上的点的特征即可求出k=3b2，当b=2时，即可求出k的值，即可判断②正确；将点B(3b,b)代入直线y=mx−2b(m>0,b>0)，即可求出m【详解】∵直线y=mx−2b(m>0,b>0)，∴当x=0时，y=−2b，∴C(0,−2b)，∴OC=2b，∵四边形AOCB是菱形，∴OC=OA=AB=2b，∵A与B关于x轴对称，设AB交x轴于点D，∴AD=BD=b∴在Rt△AOD中，OD=O∴A(3b,b)，故∵A(3b,b)在双曲线∴b=k∴k=3当b=2时，k=43，故②∵OD=3∴B(3∵点B在直线y=mx−2b(m>0,b>0)上，∴3∴3∴m=33，故S四边形AOCB=AB⋅OD=2b⋅综上，正确结论的序号是②③，故答案为：②③．【点睛】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征、反比例函数图象上的点的坐标特征、菱形的性质及勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．6．（2022·四川达州·统考中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别为AD，CD边上的动点（不与端点重合），连接BE，BF，分别交对角线AC于点P，Q．点E，F在运动过程中，始终保持∠EBF=45°，连接EF，PF，PD．以下结论：①PB=PD；②∠EFD=2∠FBC；③PQ=PA+CQ；④△BPF为等腰直角三角形；⑤若过点B作BH⊥EF，垂足为H，连接DH，则DH的最小值为22−2．其中所有正确结论的序号是【答案】①②④⑤【分析】连接BD，延长DA到M，使AM=CF，连接BM，根据正方形的性质及线段垂直平分线的性质定理即可判断①正确；通过证明△BCF≅△BAM(SAS)，△EBF≅△EBM(SAS)，可证明②正确；作∠CBN=∠ABP，交AC的延长线于K，在BK上截取BN=BP，连接CN，通过证明△ABP≅△CBN，可判断③错误；通过证明△BQP∼△CQF，△BCQ∼△PFQ，利用相似三角形的性质即可证明④正确；当点B、H、D三点共线时，DH的值最小，分别求解即可判断⑤正确．【详解】如图1，连接BD，延长DA到M，使AM=CF，连接BM，∵四边形ABCD是正方形，∴AC垂直平分BD，BA=BC,∠BCF=90°=∠BAD=∠ABC，∴PB=PD，∠BCF=∠BAM，∠FBC=90°−∠BFC，故①正确；∴△BCF≅△BAM(SAS)，∴∠CBF=∠ABM,BF=BM,∠M=∠BFC，∵∠EBF=45°，∴∠ABE+∠CBF=45°，∴∠ABE+∠ABM=45°，即∠EBM=∠EBF，∵BE=BE，∴△EBF≅△EBM(SAS)，∴∠M=∠EFB,∠MEB=∠FEB，∴∠EFB=∠CFB，∴∠EFD=180°−(∠EFB+∠CFB)=180°−2∠BFC，∴∠EFD=2∠FBC，故②正确；如图2，作∠CBN=∠ABP，交AC的延长线于K，在BK上截取BN=BP，连接CN，∴△ABP≅△CBN，∴∠BAP=∠BCN=45°，∵∠ACB=45°，∴∠NCK=90°，∴∠CNK≠∠K，即CN≠CK，∴PQ≠PA+CQ，故③错误；如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴∠EBF=∠BCP=∠FCP=45°，∵∠BQP=∠CQF，∴△BQP∼△CQF，∴BQ∵∠BQC=∠PQF，∴△BCQ∼△PFQ，∴∠BCQ=∠PFQ=45°，∴∠PBF=∠PFB=45°，∴∠BPF=90°，∴△BPF为等腰直角三角形，故④正确；如图1，当点B、H、D三点共线时，DH的值最小，∴BD=2∵∠BAE=∠BHE=90°,BE=BE，∴△BAE≅△BHE(AAS)，∴BA=BH=2，∴DH=BD−BH=22−2，故故答案为：①②④⑤．【点睛】本题考查了正方形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点并准确作出辅助线是解题的关键．题型02利用特殊四边的性质与判定解决新定义问题7．（2021·湖南岳阳·统考中考真题）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC中，点A0,2，点C2,0，则互异二次函数y=x−m2−m与正方形OABCA．4，-1 B．5−172，-1 C．4，0 D．【答案】D【分析】分别讨论当对称轴位于y轴左侧、位于y轴与正方形对称轴x=1之间、位于直线x=1和x=2之间、位于直线x=2右侧共四种情况，列出它们有交点时满足的条件，得到关于m的不等式组，求解即可．【详解】解：由正方形的性质可知：B（2,2）；若二次函数y=x−m2−m当m≤0时，则当A点在抛物线上或上方时，它们有交点，此时有m≤0m解得：−1≤m<0；当0<m≤1时，则当C点在抛物线上或下方时，它们有交点，此时有0<m≤12−m解得：0<m≤1；当1<m≤2时，则当O点位于抛物线上或下方时，它们有交点，此时有1<m≤2m解得：1<m≤2；当m>2时，则当O点在抛物线上或下方且B点在抛物线上或上方时，它们才有交点，此时有m>2m解得：2<m≤5+综上可得：m的最大值和最小值分别是5+172，故选：D．【点睛】本题考查了抛物线与正方形的交点问题，涉及到列一元一次不等式组等内容，解决本题的关键是能根据图像分析交点情况，并进行分类讨论，本题综合性较强，需要一定的分析能力与图形感知力，因此对学生的思维要求较高，本题蕴含了分类讨论和数形结合的思想方法等．8．（2023·江苏·统考中考真题）综合与实践定义：将宽与长的比值为22n+1−12n（1）概念理解：当n=1时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图（1），这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽（AD）与长CD的比值是_________．（2）操作验证：用正方形纸片ABCD进行如下操作（如图（2））：第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为EF，连接CE；第二步：折叠纸片使CD落在CE上，点D的对应点为点H，展开，折痕为CG；第三步：过点G折叠纸片，使得点A、B分别落在边AD、BC上，展开，折痕为GK．试说明：矩形GDCK是1阶奇妙矩形．

（3）方法迁移：用正方形纸片ABCD折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注．（4）探究发现：小明操作发现任一个n阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图（4），点E为正方形ABCD边AB上（不与端点重合）任意一点，连接CE，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形AGHE的周长与矩形GDCK的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由．【答案】（1）5−12；（2）见解析；（3）【分析】（1）将n=1代入22n（2）设正方形的边长为2，根据折叠的性质，可得AE=EB=1，设DG=x，则AG=2−x，在Rt△AEG,（3）仿照（2）的方法得出2阶奇妙矩形．（4）根据（2）的方法，分别求得四边形AGHE的周长与矩形GDCK的周长，即可求解．【详解】解：（1）当n=1时，22n故答案为：5−1（2）如图（2），连接EG，

设正方形的边长为2，根据折叠的性质，可得AE=EB=1设DG=x，则AG=2−x根据折叠，可得GH=GD=x，CH=CD=2，在Rt△BEC中，EC=∴EH=5在Rt△AEG,A∴2−x解得：x=∴GD∴矩形GDCK是1阶奇妙矩形．（3）用正方形纸片ABCD进行如下操作（如图）：第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为MN，再对折，折痕为EF，连接CE；第二步：折叠纸片使CD落在CE上，点D的对应点为点H，展开，折痕为CG；第三步：过点G折叠纸片，使得点A、B分别落在边AD、BC上，展开，折痕为GK．矩形GDCK是2阶奇妙矩形，

理由如下，连接GE，设正方形的边长为4，根据折叠可得EB=1，则AE=4−1=3，

设DG=x，则AG=4−x根据折叠，可得GH=GD=x，CH=CD=4，在Rt△BEC中，EC=∴EH=17在Rt△AEG,A∴4−x解得：x=∴GD当n=2时，2∴矩形GDCK是2阶奇妙矩形．（4）如图（4），连接诶GE，设正方形的边长为1，设EB=m，则AE=1−m，

设DG=x，则AG=1−x根据折叠，可得GH=GD=x，CH=CD=1，在Rt△BEC中，EC=∴EH=1+在Rt△AEG,A∴1−x整理得，x=∴四边形AGHE的边长为1−x+x+1+m矩形GDCK的周长为2GD+DC∴四边形AGHE的周长与矩形GDCK的周长比值总是定值1【点睛】本题考查了正方形的折叠问题，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．9．（2023·浙江宁波·统考中考真题）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．

(1)如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，对角线BD平分∠ADC．求证：四边形ABCD为邻等四边形．(2)如图2，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D．(3)如图3，四边形ABCD是邻等四边形，∠DAB=∠ABC=90°，∠BCD为邻等角，连接AC，过B作BE∥AC交DA的延长线于点E．若AC=8,DE=10，求四边形EBCD的周长．【答案】(1)证明见解析(2)画图见解析(3)38−6【分析】（1）先证明∠ABC=180°−∠A=90°，∠ADB=∠CBD，再证明CD=CB，即可得到结论；（2）根据新定义分两种情况进行讨论即可；①∠B=∠C=90，结合图形再确定满足CB=CD或AD=CD的格点D；②∠B=∠A=90，结合图形再确定满足AB=AD的格点D；（3）如图，过C作CQ⊥AD于Q，可得四边形ABCQ是矩形，AQ=BC，AD∥BC，证明四边形ACBE为平行四边形，可得BE=AC=8，AE=BC，设BC=AE=x，而DE=10，AD=10−x，DQ=x−10−x=2x−10，由新定义可得【详解】（1）解：∵AD∥BC,∠A=90°，∴∠ABC=180°−∠A=90°，∠ADB=∠CBD，∵对角线BD平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB，∴∠CBD=∠CDB，∴CD=CB，∴四边形ABCD为邻等四边形．（2）解：D1，D2，（3）如图，过C作CQ⊥AD于Q，

∵∠DAB=∠ABC=90°，∴四边形ABCQ是矩形，∴AQ=BC,AB=CQ，AD∥∵BE∥∴四边形ACBE为平行四边形，∴BE=AC=8，AE=BC，设BC=AE=x，而DE=10，∴AD=10−x，DQ=x−10−x由新定义可得CD=CB=x，由勾股定理可得：x2整理得：x2解得：x1=10−32∴CB=CD=10−32∴四边形EBCD的周长为10+8+210−3【点睛】本题考查的是新定义的含义，平行线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键．10．（2022·甘肃兰州·统考中考真题）在平面直角坐标系中，P(a,b)是第一象限内一点，给出如下定义：k1=ab和k2(1)求点P(6,2)的“倾斜系数”k的值；(2)①若点P(a,b)的“倾斜系数”k=2，请写出a和b的数量关系，并说明理由；②若点P(a,b)的“倾斜系数”k=2，且a+b=3，求OP的长；(3)如图，边长为2的正方形ABCD沿直线AC：y=x运动，P(a,b)是正方形ABCD上任意一点，且点P的“倾斜系数”k<3，请直接写出a【答案】(1)3(2)①a-2b或b=2a，②OP=5(3)a>3【分析】（1）直接由“倾斜系数”定义求解即可；（2）①由点P(a,b)的“倾斜系数”k=2，由ab=2或b②由a=2b或b=2a，又因a+b=3，求出a、b值，即可得点P坐标，从而由勾股定理可求解；（3）当点P与点D重合时，且k=3时，a有最小临界值，此时，b