专题01圆锥曲线中的轨迹方程问题(典型例题题型归类练)

专题01圆锥曲线中的轨迹方程问题(典型例题+题型归类练)目录类型一：定义法求轨迹方程类型二：直接法类型三：代入法（相关点法）类型四：点差法一、必备秘籍1、曲线方程的定义一般地，如果曲线与方程之间有以下两个关系：①曲线上的点的坐标都是方程的解；②以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．此时，把方程叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线．2、求曲线方程的一般步骤：（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；（2）设曲线上任意一点的坐标为；（3）根据曲线上点所适合的条件写出等式；（4）用坐标表示这个等式，并化简；（5）确定化简后的式子中点的范围．上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围．3、求轨迹方程的方法：3.1定义法：如果动点的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。3.2直接法：如果动点的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点所满足的几何上的等量关系，再用点的坐标表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。3.3代入法（相关点法）：如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程。3.4点差法：圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得，，，等关系式，由于弦的中点的坐标满足，且直线的斜率为，由此可求得弦中点的轨迹方程.二、典型例题类型一：定义法求轨迹方程1.1圆的原始定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径.1.2椭圆原始定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数，这个动点的轨迹叫椭圆.1.3双曲线原始定义:到两个定点与的距离之差的绝对值等于定长（）的点的轨迹（（为常数））.这两个定点叫双曲线的焦点.1.4抛物线原始定义：平面内与一定点和一条定直线(不经过点)距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线.例题1．（2022·全国·高二课时练习）动圆与圆外切，且与直线相切．(1)求动圆圆心的轨迹的方程．【答案】(1)圆的标准方程为，即，半径．设圆M的半径为R，则点M到点C的距离为，点M到直线的距离为R，所以点M到C的距离等于点M到直线的距离，即点M的轨迹为抛物线，且抛物线方程为．例题2．（2022·贵州遵义·高三开学考试（文））已知圆C的方程为，，为圆上任意一点，若点为线段的垂直平分线与直线的交点，则点的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为点P为线段AB的垂直平分线与直线AC的交点，所以，所以，而，所以点轨迹是以为焦点，长轴长是4的椭圆．设其方程为，，，，则，所以点轨迹方程是．故选：C．例题3．（2022·福建福州·高二期中）在平面直角坐标系中，动点到直线的距离比它到定点的距离小1，则的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】由题意知动点到直线的距离与定点的距离相等，由抛物线的定义知，P的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所以，轨迹方程为，故选：D例题4．（2022·全国·高二课时练习）已知点，，，动圆与直线切于点，过与圆相切的两直线（非轴）相交于点，则点的轨迹方程为______．【答案】．【详解】如图所示：设分别与圆相切与，由圆的切线长定理得，所以，所以点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，且除去轴上的点，且，，知，所以点的轨迹方程为．故答案为：．例题5．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知是平面上的动点，且点与的距离之差的绝对值为．设点的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；【答案】(1)解：依题意，P是平面上的动点，且点与的距离之差的绝对值为．即，根据双曲线的定义，可得点的轨迹E是以为焦点，其中，所以，则，所以轨迹的方程为．感悟升华（核心秘籍）利用定义法求轨迹方程时，重点在于根据题意判断已知条件符合何种曲线的定义，然后利用定义求解.注意求解过程中变量的取值范围.点评：对于例题5，6，注意在利用双曲线定义求轨迹方程时：①，则轨迹为双曲线②，则轨迹为远离的那支③则轨迹为远离的那支类型二：直接法例题1．（2022·全国·高二课时练习）设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于、两点，点与点关于轴对称，为坐标原点．若，且，则点的轨迹方程是______．【答案】【详解】设点，则，设，，则，，，，，，又，，，，即.故答案为：.例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知定点，动点满足，设动点的轨迹为曲线，直线．(1)求曲线的轨迹方程．【答案】(1)；（1）设点的坐标为，因为，所以，化简，得，所以曲线的轨迹方程为；例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知，平面内一动点满足．(1)求点运动轨迹的轨迹方程；【答案】(1)设，则，所以点轨迹方程为：．例题4．（2022·安徽省宣城市第二中学高二期末）圆：与轴的两个交点分别为，，点为圆上一动点，过作轴的垂线，垂足为，点满足(1)求点的轨迹方程；【答案】(1)设点在圆上，故有，设，又，可得，，即，代入可得，化简得：，故点的轨迹方程为：.例题5．（2022·全国·高二课时练习）已知两个定点、的坐标分别为和，动点满足（为坐标原点）．(1)求动点的轨迹的方程；【答案】(1)设，，，，，，因为，则，所以，即．例题6．（2022·四川·富顺第二中学校高二阶段练习（文））已知直线上有一个动点，过作直线垂直于轴，动点在直线上，且，记点的轨迹为，(1)求曲线的方程；【答案】(1)设点P的坐标为，则，∵，∴∴，当时，P、O、Q三点共线，不符合题意，故．∴曲线C的方程为．感悟升华（核心秘籍）直译法，就是根据题目给定的已知条件，利用代数法，直接翻译转化为代数式通过化简得到解答；如；；；；等，根据这些已知条件直接转化为代数式求解.类型三：代入法（相关点法）例题1．（2022·全国·高二期中）当点在曲线上运动时，连接与定点，则的中点的轨迹方程为______．【答案】【详解】设，则由中点坐标公式可得，代入得整理得P的轨迹方程为.故答案为：例题2．（2022·上海市嘉定区第二中学高二阶段练习）已知点在曲线上运动，点为，则中点的轨迹方程是_____________.【答案】【详解】设，由于点是中点，且点，，所以，所以，又点在曲线上，所以，所以，所以中点的轨迹方程是.故答案为：.例题3．（2022·四川乐山·高二期末（理））从双曲线上一点作轴的垂线，垂足为，则线段中点的轨迹方程为___________.【答案】.【详解】由题意，设，则，则，即，因为，则，即的轨迹方程为.例题4．（2022·福建厦门·高二期末）圆与轴相切于点．点在圆上运动，则的中点的轨迹方程为______（当点运动到与重合时，规定点与点重合）；点是直线上一点，则的最小值为______．【答案】

【详解】依题意得，，因为M为AB中点，所以，所以点M的轨迹是以AC为直径的圆，又AC中点为，，所以点M的轨迹方程为，圆心，设关于直线的对称点为，则有，解得，所以，所以由对称性可知的最小值为．故答案为：，感悟升华（核心秘籍）代入法(相关点法）：如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程。类型四：点差法例题1．（2022·全国·高三专题练习）椭圆，则该椭圆所有斜率为的弦的中点的轨迹方程为_________________．【答案】【详解】设斜率为的直线方程为，与椭圆的交点为，设中点坐标为，则，所以，两式相减可得，，即，由于在椭圆内部，由得，所以时，即直线与椭圆相切，此时由解得或，所以，所求得轨迹方程为．故答案为：．例题2．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆的弦所在直线过点，求弦中点的轨迹方程.【答案】【详解】设，弦的中点，则，将代入椭圆方程得，两式相减得，所以，当时，，因为，所以，则，整理得；当时，则直线方程为，代入椭圆方程解得所以满足上述方程，故点的轨迹方程.例题3．（2021·全国·高二课前预习）已知抛物线，过点作一条直线交抛物线于，两点，试求弦的中点轨迹方程.【答案】.【详解】方法1：设，，弦的中点为，则，当直线的斜率存在时，.因为两式相减，得.所以，即，即.当直线斜率不存在，即轴时，的中点为，适合上式，故所求轨迹方程为.方法2：当直线的斜率存在时，设直线的方程为（），由得.所以所以.设，，的中点为，则，.所以.所以消去参数，得.当直线的斜率不存在时，即轴时，的中点为，适合上式，故所求轨迹方程为.感悟升华（核心秘籍）点差法具有一定的局限性，适用中点弦问题，遇到中点弦问题可以优先考虑点差法。三、题型归类练1．（2022·江苏·高二课时练习）已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与定直线l：x＝1，且动圆P和圆A外切并与直线l相切，求动圆的圆心P的轨迹方程．【答案】y2＝－8x.【详解】由题意知：点P到圆心A(－2,0)的距离和到定直线x＝2的距离相等，所以点P的轨迹为抛物线，且焦点为A，准线为x＝2，故点P的轨迹方程为y2＝－8x.2．（2022·宁夏·石嘴山市第三中学三模（理））在平面直角坐标系中，动点到点的距离比到直线的距离小2．(1)求的轨迹的方程；【答案】(1)由题意可得动点到点的距离比到直线的距离小2，则动点到点的距离与到直线的距离相等，故G的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线，设抛物线方程为，则焦准距，故的轨迹的方程为：；3．（2022·江西省乐平中学高一期末）已知是圆上的动点，是线段上一点，，且(1)求点的轨迹的方程【答案】(1)由题意知,.因为，所以,所以点M的轨迹C是以A,B为左、右焦点,长轴长为4的椭圆.设椭圆C的标准方程为，则a=2,c=1,所以，所以点M的轨迹C的方程为.4．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知平面内两点，动点P满足：.(1)求动点P的轨迹C的方程；【答案】(1)；(1)因为.所以点P的轨迹是以为焦点的椭圆，其中，所以轨迹C的方程为.5．（2022·全国·高三专题练习）已知动圆过定点，且与圆相外切，求动圆圆心的轨迹方程.【答案】【详解】整理可得：圆，圆的圆心，半径；圆与圆相外切，，动圆圆心的轨迹是以为焦点的双曲线的左半支，，，，，动圆圆心的轨迹方程为：.6．（2022·全国·高三专题练习）已知两个定圆和，它们的半径分别是和，动圆与圆内切，又与圆外切，求动圆圆心的轨迹方程.【答案】【详解】由圆方程知：圆心，半径；由圆方程知：圆心，半径；设动圆的半径为，动圆与圆内切，与圆外切，，，，动圆圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左半支，，，，动圆圆心的轨迹方程为：.7．（2022·全国·高二课时练习）如图，圆与圆内切，且，大圆的半径为5.过动点P分别作圆､圆的切线PM､PN（M､N分别为切点），使，试通过建立适当的平面直角坐标系，求动点P的轨迹.【答案】圆心为，半径为的圆.【详解】如图，以所在直线为轴，以的中点为原点，建立直角坐标系，则，设，连接则根据勾股定理可得，，由，可得，平方整理可得：，所以动点P的轨迹为圆心为，半径为的圆.8．（2022·全国·高三专题练习）在边长为1的正方形ABCD中，边AB、BC上分别有一个动点Q、R，且．求直线AR与DQ的交点P的轨迹方程．【答案】【详解】分别以AB，AD边所在的直线为x轴、y轴建立直角坐标系．如图所示，则点、、、，设动点，，由知：，则．当时，直线AR：①，直线DQ：，则②，①×②得：，化简得．当时，点P与原点重合，坐标也满足上述方程．故点P的轨迹方程为．9．（2022·江苏·高二专题练习）在中，，，与BC斜率的积是．(1)求点的轨迹方程；【答案】(1)设点C坐标为，由题知整理得点的轨迹方程为10．（2022·广东·佛山市南海区桂城中学高二阶段练习）已知动点到定点、的距离之比为，动直线与垂直，垂足为点．(1)求动点的轨迹方程；【答案】(1)解：设点，由已知可得，整理可得.因此，点的轨迹方程为.11．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）在平面直角坐标系中，已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积为.(1)求点的轨迹方程；【答案】(1)；设，因为直线相交于点，且它们的斜率之积为，所以，整理可得，所以点的轨迹方程为.12．（2022·河南商丘·三模（理））在平面直角坐标系xOy中，已知，，M是一个动点，C，D分别为线段AM，BM的中点，且直线OC，OD的斜率之积是．记M的轨迹为E．(1)求E的方程；【答案】(1)（）解：由题意可知，直线的斜率存在，且，．由直线OC，OD的斜率之积是可知，直线BM，AM的斜率之积是，设，则直线AM的斜率为，直线BM的斜率为，可得，整理得，故E的方程为．13．（2022·全国·高三专题练习）已知平面上一动点P到定点的距离与它到定直线的距离相等，设动点P的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的轨迹方程【答案】(1)；设，根据题意可得，化简得，所以，所以曲线C的方程为，14．（2022·云南·昆明一中高二期中）已知椭圆：上任意一点，过点作轴，为垂足，且.(1)求动点的轨迹的方程；【答案】(1)；设，则，所以，由得，即，又因为点在椭圆上，可得，即，故动点的轨迹的方程为；15．（2022·全国·高二课时练习）设为椭圆的左焦点，M是椭圆上任意一点，P是线段的中点，则动点P的轨迹的方程为______．【答案】【详解】对椭圆，其左焦点的坐标为，设点的坐标分别为，因为点是线段的中点，故可得，即，又点在椭圆上，故，即，整理得：.故答案为：.16．（2022·广东·高二阶段练习）已知点E是圆C：上的动点，点，M是线段EF的中点，P（m，0）（）是x轴上的一个动点．(1)求点M的轨迹方程；【答案】(1)设M（x，y），，则①，又因为M是EF的中点，所以，则，代入①式整理得，即点M的轨迹方程为圆O：．17．（2022·江苏·高二课时练习）如图，长为（a是正常数）的线段AB的两个端点A，B分别在互相垂直的两条直线上滑动，求线段AB的中点M的轨迹．【答案】点的轨迹方程为：x2+y2＝a2（a＞0）．表示圆心在原点半径为的圆.【详解】建立如下图所示的平面直角坐标系，两条互相垂直的直线分别为轴、轴，两直线的交点为坐标原点.设线段AB的中点，若A、B不与原点重合时，则是直角三角形，且∠O为直角，则OMAB，而AB＝2a，∴OP＝a，即P的轨迹是以原点为圆心，以a为半径的圆，方程为x2+y2＝a2（a＞0）；若A、B有一个是原点，同样满足x2+y2＝a2（a＞0）．故线段AB的中点的轨迹方程为：x2+y2＝a2（a＞0）．表示圆心在原点半径为的圆.18．（2022·全国·高二课时练习）在①过点，②圆E恒被直线平分，③与y轴相切这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知圆E经过点，且______.(1)求圆E的一般方程；(2)设P是圆E上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程.【答案】(1)(2)（1）方案一：选条件①.设圆的方程为，则，解得，则圆E的方程为.方案二：选条件②.直线恒过点.因为圆E恒被直线平分，所以恒过圆心，所以圆心坐标为，又圆E经过点，所以圆的半径r＝1，所以圆E的方程为，即.方案三：选条件③.设圆E的方程为.由题意可得，解得，则圆E的方程为，即.（2）设.因为M为线段AP的中点，所以，因为点P是圆E