数学学案：课堂探究抛物线的几何性质

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一由抛物线的性质求标准方程确定抛物线的标准方程时，从形式上看，只需求一个参数p，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论，有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x轴上的抛物线标准方程可设为y2＝2mx（m≠0），焦点在y轴上的抛物线标准方程可设为x2＝2my（m≠0)．【典型例题1】求适合下列条件的抛物线的标准方程．(1）过点(－3,2）;（2)对称轴为x轴，顶点与焦点的距离为6；(3）抛物线上点(－5，2eq\r（5）)到焦点F（x，0）的距离是6.思路分析：在求抛物线标准方程时，首先要确定标准方程的类型，即定型，也就是判断焦点的位置，然后根据条件求出p值，即定量．解：（1)设所求的抛物线方程为y2＝－2p1x(p1＞0）或x2＝2p2y(p2＞0)，由过点(－3,2）,知4＝－2p1·(－3）或9＝2p2×2，得p1＝eq\f(2,3)，p2＝eq\f(9，4)，故所求的抛物线方程为y2＝－eq\f（4，3)x或x2＝eq\f(9，2)y.(2）设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)或y2＝－2px（p＞0)．依题意eq\f(p，2)＝6，所以2p＝24。所以抛物线方程为y2＝±24x.（3)由已知eq\r((x＋5)2＋（2\r（5))2)＝6，整理得x2＋10x＋9＝0，即（x＋1）（x＋9)＝0，所以x＝－1或x＝－9。所以F(－1，0），p＝2,y2＝－4x；或F(－9，0），p＝18，y2＝－36x。显然，若抛物线为y2＝－36x，则它的准线方程为x＝9。由抛物线的定义，点A(－5,2eq\r（5））到F(－9,0)的距离是6，而点A（－5,2eq\r(5)）到x＝9的距离为14,矛盾．所以所求抛物线的标准方程为y2＝－4x。探究二抛物线的实际应用涉及桥的高度、隧道的高低问题，通常用抛物线的标准方程解决，在建立坐标系时，常以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴，这样使标准方程不仅具有对称性,而且形式更为简单，便于应用，但要注意点的坐标有正负之分，与实际问题中的数据并不完全相同．【典型例题2】河上有一座抛物线形拱桥,当水面距拱顶5m时，水面宽为8m，一条小船宽4m，高2m，载货后船露出水面的部分高eq\f(3，4）m，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多高时,小船不能通航？思路分析:当小船上货物两侧与抛物线拱顶接触时,船不能通航．由于抛物线与小船均是轴对称图形，可设出公共对称轴建立抛物线方程，将已知数据转化为点的坐标求解．解：如图，建立直角坐标系，设拱桥抛物线方程为x2＝－2py（p＞0）．由题意,将B（4，－5）代入方程得p＝1.6.所以x2＝－3.2y.当船两侧和抛物线相接触时,船不能通航，设此时船面宽为AA′，则A（2，yA）．由22＝－3.2yA,得yA＝－eq\f(5,4）.又知船面露出水面部分为eq\f(3,4）m，所以h＝｜yA|＋eq\f（3，4）＝2（m)．答：水面上涨到距抛物线拱顶2m时,小船不能通航．探究三直线与抛物线相交问题直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px（p＞0）的位置关系判断，通常是将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x(或y)的一元二次方程形式，根据其解的个数进行判断,直线和抛物线相交于A（x1，y1），B(x2，y2)两点，直线的斜率为k.(1）一般的弦长公式：｜AB|＝eq\r(1＋k2）｜x1－x2|.（2)当直线经过抛物线y2＝2px（p＞0)的焦点时，弦长｜AB｜＝x1＋x2＋p。【典型例题3】设抛物线C：y2＝4x，F为C的焦点，过F的直线l与C相交于A,B两点．(1)设l的斜率为2，求｜AB｜的大小．（2）求证：·是一个定值．思路分析:设出直线方程,将直线方程与抛物线方程联立，整理成一元二次方程形式，利用根与系数的关系求解．(1）解：依题意得F(1,0）,所以直线l的方程为y＝2(x－1)．设直线l与抛物线的交点A（x1，y1)，B（x2，y2），由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（y＝2（x－1），,y2＝4x,）)消去y整理得x2－3x＋1＝0，所以x1＋x2＝3，x1x2＝1。方法一：所以｜AB｜＝eq\r(1＋k2）|x1－x2｜＝eq\r（1＋k2）·eq\r（(x1＋x2)2－4x1x2）＝eq\r（5）·eq\r（32－4×1)＝5。方法二：所以｜AB|＝|AF|＋|BF｜＝x1＋x2＋p＝3＋2＝5。(2）证明：设直线l的方程为x＝ky＋1，直线l与抛物线的交点A(x1，y1),B（x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝ky＋1，，y2＝4x，）)消去x整理得y2－4ky－4＝0，所以y1＋y2＝4k,y1y2＝－4。因为·＝（x1,y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝（ky1＋1）(ky2＋1）＋y1y2＝k2y1y2＋k(y1＋y2）＋1＋y1y2＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3,所以·是一个定值．【典型例题4】已知抛物线y2＝6x，过点P（4,1）引一条弦，使它恰在点P被平分，求这条弦所在的直线方程．思路分析：本题主要考查中点弦问题．可采用“点差法”或判别式法．解法一：设直线上任意一点的坐标为(x，y)，弦的两个端点为P1(x1，y1），P2(x2，y2）．因为P1,P2在抛物线上，所以y21＝6x1，y22＝6x2。两式相减得(y1＋y2）（y1－y2）＝6（x1－x2)．①由题意知y1＋y2＝2，代入①得k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝3。所以直线的方程为y－1＝3（x－4)，即3x－y－11＝0。解法二：由题意知弦所在的直线的斜率存在且不为零，设所求方程为y－1＝k(x－4）．由方程组eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（y2＝6x，，y＝kx－4k＋1，）)得ky2－6y－24k＋6＝0.设弦的两端点P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2），则y1＋y2＝eq\f(6，k).因为P1P2的中点为(4，1），所以eq\f(6,k)＝2.所以k＝3.所以所求直线方程为y－1＝3（x－4），即3x－y－11＝0。点评：本题解法一是求与中点有关问题常用的“点差法”．设点、作差、找斜率是主要的解题技巧．解法二没有求出P1，P2的坐标，而是运用韦达定理及P1P2的中点坐标求出k值,这也是解题中常用的方法．一般求出直线方程后,把直线方程与抛物线方程联立，组成方程组看方程组是否有两个解，有两解时求出的直线方程为所求的直线方程．探究四易错辨析易错点不理解抛物线的标准方程的形式【典型例题5】设抛物线y＝mx2(m≠0)的准线与直线y＝1的距离为3，求抛物线的标准方程．错解：由y＝mx2(m≠0)可知其准线方程为y＝－eq\f(m，4）。由题意知－eq\f(m,4)＝－2，解得m＝8，故所求抛物线的标准方程为y＝8x2.错因分析：本题在解答过程中容易出现两个错误：一是不能正确理解抛物线标准方程的形式，错误地将所给方程看成是抛物线的标准方程，得到准线方程为y＝－eq\f(m,4);二是得到准线方程后，只分析其中的一种情况，