数学学案：课堂探究瞬时速度与导数导数的几何意义

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一求导数求函数在点x0处的导数就是求该点的函数值的改变量与自变量的改变量的比的极限，求解过程中要注意对式子eq\f(Δy,Δx)的变形和约分,变形不彻底可能会导致eq\o(lim，\s\do4（Δx→0）)eq\f(Δy，Δx)不存在，得出错误结论．【典型例题1】已知函数y＝eq\r（x），求y′，y′|x＝1.思路分析：按求导数的步骤求解即可，但要注意变形的技巧．解：因为Δy＝eq\r(Δx＋x）－eq\r(x），所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\r（Δx＋x)－\r(x),Δx)＝eq\f（Δx，(\r（Δx＋x)＋\r(x))Δx)＝eq\f（1,\r（Δx＋x）＋\r（x)）。所以y′＝eq\o(lim，\s\do4（Δx→0)）eq\f(Δy,Δx）＝eq\o（lim,\s\do4（Δx→0）)eq\f（1，\r(Δx＋x）＋\r（x）)＝eq\f（1，2\r（x）)。所以y′|x＝1＝eq\f(1,2）.点评函数的导数与在点x0处的导数不是同一概念，在点x0处的导数是函数的导数在x＝x0处的函数值．分子有理化是解决本题的一种重要的变形技巧，要认真体会．探究二利用导数求曲线的切线方程求曲线上某点(x0,y0)处的切线方程，需要先求出f′（x0)，即切线的斜率，再用点斜式写出切线方程后化简，但要注意分清“求曲线y＝f（x）上过点M的切线”与“求曲线y＝f(x）上在点M处的切线”两者的不同．【典型例题2】如图，已知曲线y＝eq\f(1，3）x3上一点Peq\b\lc\(\rc\）（eq\a\vs4\al\co1(2，\f（8，3）)),求：(1)点P处的切线方程．（2）满足斜率为1的曲线的切线方程．思路分析：（1）先利用导数的几何意义求斜率，然后写出切线方程．(2)设出切点坐标，利用斜率求出切点坐标，从而得切线方程．解：因为y＝f(x)＝eq\f(1,3)x3，所以y′＝eq\o(lim，\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx）＝eq\o(lim，\s\do4（Δx→0)）eq\f（\f(1,3)（x＋Δx)3－\f(1,3)x3，Δx)＝eq\o(lim，\s\do4(Δx→0）)eq\f（x2Δx＋x(Δx）2＋\f（1，3）(Δx）3,Δx）＝eq\o（lim，\s\do4（Δx→0))eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(x2＋x·Δx＋\f(1,3)（Δx)2))＝x2.（1)因为y′｜x＝2＝4，所以在点P处的切线方程为y－eq\f（8，3）＝4（x－2）,即12x－3y－16＝0.(2)设切点坐标为M,由于切线斜率k＝，则＝1,x0＝±1，那么切点坐标Meq\b\lc\（\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(－1，－\f（1,3）))或M′eq\b\lc\(\rc\)（eq\a\vs4\al\co1（1，\f（1,3))），所以所求切线方程为y＋eq\f(1,3）＝x＋1或y－eq\f（1,3)＝x－1，即x－y＋eq\f(2，3）＝0或x－y－eq\f(2，3）＝0。探究三导数几何意义的应用(1）与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题．（2)与导数的几何意义相关的综合问题解题的关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求斜率,已知斜率也可以求切点，切点的坐标是常设的未知量．【典型例题3】已知点M（0，－1)，F(0,1），过点M的直线l与曲线y＝eq\f（1,3)x3－4x＋4在x＝－2处的切线平行．（1）求直线l的方程;（2）求以点F为焦点，l为准线的抛物线C的方程．思路分析:要求直线l的方程,只需求y′|x＝－2，要求抛物线C的方程，可以利用抛物线的定义求解．解：(1）设曲线y＝f（x),因为y′｜x＝－2＝eq\o（lim,\s\do4(Δx→0））eq\f(f（－2＋Δx)－f（－2),Δx)＝0，所以直线l的斜率为0，其方程为y＝－1.(2）因为抛物线以点F(0,1)为焦点,y＝－1为准线，所以可设抛物线方程为x2＝2py,则有eq\f（p,2）＝1，p＝2.故抛物线C的方程为x2＝4y。探究四易错辨析易错点混淆切点与切线经过的点【典型例题4】试求过点P（3，5）且与曲线y＝x2相切的直线的方程．错解：因为函数y＝x2的导数为y′＝2x，所以y′|x＝3＝2×3＝6.所以切线方程为y－5＝6(x－3)，即y＝6x－13。错因分析:没有注意到点P不在曲线上，点P不是切点，错解中把点P当成了切点,从而导致错误．正解：直线的斜率不存在时显然不成立．函数y＝x2的导数为y′＝2x。设所求切线的切点为A(x0，y0)，则y0＝x20，切线斜率为y′｜x＝x0＝2x0.因为切线过P(3，5)和A(x0，y0）两点，所以其斜率为eq\f(y0－5，x0－3）＝，所以2x0＝，解得x0＝1或x0＝5，从而切点A的坐标为(1，1）或(5,25)．当切点为(1，1）时，切线的斜率为2x0＝2;当切点为（5,25)时，切线的斜率为2x0＝10.所以所求切线有两条，方程分别为y－1＝2(x－1)或y－5＝10（x－3），即y＝2x－1或y＝10x－25。点评