数学学案：课堂探究直线与圆锥曲线

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一直线与圆锥曲线的位置关系判断判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，可将直线l的方程代入曲线C的方程，消去y（或x）得一个关于变量x（或y)的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0。（1）当a≠0时，若Δ＞0，则直线l与曲线C相交；若Δ＝0，则直线l与曲线C相切；若Δ＜0，则直线l与曲线C相离．(2)当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点．此时，若C为双曲线，则l平行于双曲线的渐近线；若C为抛物线，则l平行于抛物线的对称轴．(3）当直线与双曲线或抛物线只有一个公共点时，直线与双曲线或抛物线可能相切,也可能相交．【典型例题1】已知直线l:kx－y＋2－k＝0，双曲线C：x2－4y2＝4，当k为何值时，(1）l与C无公共点；(2)l与C有唯一公共点；（3）l与C有两个不同的公共点．思路分析：直线与圆锥曲线的公共点的个数，就等于直线方程与圆锥曲线方程所组成的方程组的解的个数．因此本题可转化为方程组解的个数的判定,从而确定参数的取值．解:(1）将直线方程与双曲线方程联立,消去y得（1－4k2）x2－8k（2－k）x－4(k2－4k＋5)＝0.①要使l与C无公共点，即方程①无实数解，则有1－4k2≠0,且Δ＜0，即64k2(2－k）2＋16(1－4k2)（k2－4k＋5)＜0.解得k＞eq\f（－2＋eq\r（19)，3）或k＜eq\f(－2－eq\r(19)，3），故当k＞eq\f(－2＋eq\r（19）,3)或k＜eq\f（－2－eq\r(19),3）时，l与C无公共点．(2)当1－4k2＝0，即k＝±eq\f（1，2）时，方程①只有一解；当1－4k2≠0，且Δ＝0，即k＝eq\f(－2±eq\r(19）,3)时，方程①只有一解，故当k＝±eq\f(1，2）或k＝eq\f（－2±eq\r(19),3)时，l与C有唯一公共点．(3)当1－4k2≠0,且Δ＞0时，方程①有两个不同的解,即l与C有两个不同的公共点,于是可得，当eq\f（－2－eq\r（19)，3)＜k＜eq\f(－2＋eq\r(19),3），且k≠±eq\f（1，2)时,l与C有两个不同的公共点．探究二相交弦长问题若直线l与圆锥曲线F（x,y)＝0相交于A，B两点，求弦AB的长可用下列两种方法:（1)把直线的方程与圆锥曲线的方程联立，解得点A，B的坐标，然后用两点间距离公式，便得到弦AB的长，一般来说，这种方法较为麻烦．(2)不求交点坐标，可用一元二次方程根与系数的关系求解．设直线方程为y＝kx＋m,与圆锥曲线F(x,y）＝0交于两点A（x1,y1），B(x2，y2），则|AB｜＝eq\r(（x1－x2)2＋(y1－y2)2）＝eq\r(（x1－x2）2＋（kx1＋m－kx2－m）2)＝eq\r（1＋k2）·eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2);或当k≠0时，|AB｜＝eq\r（1＋eq\f（1，k2))|y1－y2｜＝eq\r（1＋eq\f（1,k2）)·eq\r（(y1＋y2）2－4y1y2）.当k＝0时,直线平行于x轴,∴｜AB|＝｜x1－x2|.【典型例题2】已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y＝x＋1与椭圆交于P，Q两点，且OP⊥OQ,｜PQ|＝eq\f（eq\r(10），2）,求椭圆的方程．思路分析:设出椭圆方程，将椭圆方程和直线方程联立消去y，转化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系，根据向量数量积和弦长公式建立方程组求解．解：设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n）,P（x1，y1）,Q（x2,y2）．由eq\b\lc\｛\rc\（eq\a\vs4\al\co1(y＝x＋1,,mx2＋ny2＝1,））得（m＋n)x2＋2nx＋n－1＝0,Δ＝4n2－4(m＋n）(n－1)＞0，即m＋n－mn＞0。由OP⊥OQ，得x1x2＋y1y2＝0，即2x1x2＋(x1＋x2）＋1＝0，∴eq\f(2(n－1）,m＋n）－eq\f(2n,m＋n)＋1＝0，∴m＋n＝2.①又|PQ｜2＝（x1－x2)2＋(y1－y2）2＝2[(x1＋x2）2－4x1x2]＝eq\f（8（m＋n－mn),(m＋n)2）＝eq\b\lc\（\rc\)（eq\a\vs4\al\co1（eq\f（eq\r(10），2)))2,将m＋n＝2代入得mn＝eq\f(3,4)。②由①②式,得eq\b\lc\｛\rc\（eq\a\vs4\al\co1(m＝eq\f(1，2)，,n＝eq\f(3，2）)）或eq\b\lc\{\rc\(eq\a\vs4\al\co1(m＝eq\f(3,2)，,n＝eq\f(1,2).))故椭圆方程为eq\f（x2,2)＋eq\f（3,2）y2＝1或eq\f（3，2）x2＋eq\f（y2,2)＝1。探究三中点弦问题对中点弦问题，常用的解题方法——平方差法,其解题步骤为：(1)设点,即设出弦的两端点坐标；（2)代入，即代入圆锥曲线方程；(3）作差，即两式相减，然后用平方差公式把上式展开，整理．【典型例题3】已知椭圆eq\f(x2，16)＋eq\f（y2,4）＝1，求：（1）以P（2，－1)为中点的弦所在直线的方程；(2)斜率为2的平行弦中点的轨迹方程；(3)过Q(8,2）的直线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程．分析:可利用平方差法求解,在求轨迹方程时要注意变量的范围．解：设弦的两端点分别为A（x1,y1)，B（x2,y2),AB中点为R（x，y),则2x＝x1＋x2，2y＝y1＋y2.又A，B两点均在椭圆上，故有xeq\o\al(2,1)＋4yeq\o\al（2，1)＝16，xeq\o\al（2，2）＋4yeq\o\al(2,2）＝16。两式相减，得（x1＋x2)（x1－x2)＝－4（y1＋y2）（y1－y2)．故kAB＝eq\f(y1－y2,x1－x2）＝－eq\f（x1＋x2,4（y1＋y2）)＝－eq\f（x,4y)。（1)由kAB＝－eq\f（x,4y）＝eq\f（1，2），得所求轨迹方程为x－2y－4＝0.（2）由kAB＝－eq\f（x,4y）＝2，得所求轨迹方程为x＋8y＝0(－4≤x≤4)．（3）由kAB＝－eq\f（x,4y）＝eq\f(y－2,x－8），得所求轨迹方程为（x－4）2＋4（y－1）2＝20（－4≤x≤4）．探究四易错辨析易错点混淆直线与圆锥曲线相切和直线与圆锥曲线只有一个公共点【典型例题4】过点（1，3）作直线与抛物线y＝x2－2x＋eq\f(17,4)交于一点，求此直线的方程．错解：设所求直线方程为y－3＝k(x－1)，把它代入抛物线方程y＝x2－2x＋eq\f（17，4)中,得x2－（2＋k)x＋k＋eq\f（5,4)＝0。由题意知,直线与抛物线相切，∴Δ＝（2＋k）2－4×eq\b\lc\(\rc\)（eq\a\vs4\al\co1(k＋eq\f(5,4）)）＝0，解得k＝±1.∴所求的直线方程为y－3＝±1×(x－1)，即x－y＋2＝0或x＋y－4＝0.错因分析:对于抛物线，一条直线若与它相切,则直线与抛物线只有一个公共点，反过来并不一定成立．与抛物线对称轴平行的直线与抛物线也只有一个公共点,但它不是抛物线的切线，因此，直线与抛物线相切,并不是直线与抛物线只有一个公共点的充要条件．上述解答把直线与抛物线只有一个公共点问题完全转化为切线问题,显然是错误的．正解：过平面上