2024-2025学年新教材高中数学第十章复数10.1.1复数的概念学案新人教B版必修第四册

PAGE10.1.1复数的概念必备学问·自主学习导思1.实数集与复数集之间的关系是什么?2.两个复数相等的条件是什么?1.虚数单位为了使得方程x2=-1有解,人们规定i的平方等于-1,即称i为虚数单位.2.复数的概念当a与b都是实数时,称a+bi为复数.3.复数的表示复数一般用小写字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),其中a称为z的实部,b称为z的虚部,分别记作Re(z)=a,Im(z)=b.4.复数集全部复数组成的集合称为复数集,复数集通常用大写字母C表示,因此C={z|z=a+bi,a,b∈R}.5.复数的分类复数a+bi(a,b∈R)QUOTE(1)两个复数肯定能比较大小吗?提示:不肯定,只有当这两个复数都是实数时,才能比较大小.(2)复数a+bi的实部是a,虚部是b吗?提示:不肯定,对于复数z=a+bi(a,b∈R),实部才是a,虚部才是b.6.复数相等的充要条件两个复数z1与z2,假如实部与虚部都对应相等,我们就说这两个复数相等,记作z1=z2.这就是说,假如a,b,c,d都是实数,那么a+bi=c+di⇔a=c,且b=d;特殊地,当a,b都是实数时,a+bi=0⇔a=0,且b=0.若复数z1,z2为z1=3+ai(a∈R),z2=b+i(b∈R),且z1=z2,则a+b的值为多少?提示:4.1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)若a,b为实数,则z=a+bi为虚数. ()(2)若a为实数,则z=a肯定不是虚数. ()(3)假如两个复数的实部的差和虚部的差都等于0,那么这两个复数相等. ()提示:(1)×.当b=0时,z=a+bi为实数.(2)√.(3)√.假如两个复数的实部的差和虚部的差都等于0,则这两个复数的实部和虚部分别相等,则这两个复数相等.2.若复数2-bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数,则b的值为 ()A.-2 B.QUOTE C.-QUOTE D.2【解析】选D.复数2-bi的实部为2,虚部为-b,由题意知2=-(-b),所以b=2.3.(教材二次开发:例题改编)若4-3a-a2i=a2+4ai,则实数a的值为 ()A.1 B.1或-4 C.-4 D.0或-4【解析】选C.易知QUOTE解得a=-4.关键实力·合作学习类型一复数的概念(数学抽象)1.已知下列命题:①复数a+bi不是实数;②当z∈C时,z2≥0;③若(x2-4)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实数x=±2;④若复数z=a+bi,则当且仅当b≠0时,z为虚数;⑤若a,b,c,d∈C时,有a+bi=c+di,则a=c且b=d.其中真命题的个数是.

【思路导引】依据复数的相关概念进行推断.【解析】依据复数的有关概念推断命题的真假.①是假命题,因为当a∈R且b=0时,a+bi是实数.②是假命题,如当z=i时,则z2=-1<0.③是假命题,因为由纯虚数的条件得QUOTE解得x=2.当x=-2时,对应复数为实数.④是假命题,因为没有强调a,b∈R.⑤是假命题,只有当a,b,c,d∈R时,结论才成立.答案:02.请说出下列复数的实部和虚部,并推断它们是实数,虚数,还是纯虚数.①2+3i;②-3+QUOTEi;③QUOTE+i;④π;⑤-QUOTEi;⑥0.【解析】①的实部为2,虚部为3,是虚数;②的实部为-3,虚部为QUOTE,是虚数;③的实部为QUOTE,虚部为1,是虚数;④的实部为π,虚部为0,是实数;⑤的实部为0,虚部为-QUOTE,是纯虚数;⑥的实部为0,虚部为0,是实数.精确理解复数的实部与虚部的概念复数a+bi(a,b∈R)中,实数a和b分别叫做复数的实部和虚部.特殊留意,b为复数的虚数单位的系数,b连同它的符号叫做复数的虚部.类型二复数的分类(数学抽象)【典例】当m为何实数时,复数z=QUOTE+(m2-2m-15)i.(1)是虚数.(2)是纯虚数.【思路导引】(1)若复数z是虚数,则其虚部不等于0,同时留意使分式有意义.(2)若复数z是纯虚数,则其实部等于0,虚部不等于0.【解析】(1)当QUOTE即m≠5且m≠-3时,z是虚数.(2)当QUOTE即m=3或m=-2时,z是纯虚数.本例中条件不变,当m为何值时,z为实数?【解析】当QUOTE即m=5时z是实数.解决复数分类问题的方法与步骤(1)化标准式:解题时肯定要先看复数是否为a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部.(2)定条件:复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应当满意的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满意的方程(不等式)即可.(3)下结论:设所给复数为z=a+bi(a,b∈R),①z为实数⇔b=0;②z为虚数⇔b≠0;③z为纯虚数⇔a=0且b≠0.已知m∈R,复数z=QUOTE+(m2+2m-3)i,当m为何值时.(1)z为实数?(2)z为虚数?(3)z为纯虚数?【解析】(1)要使z为实数,m需满意m2+2m-3=0,且QUOTE有意义,即m-1≠0,解得m=-3.(2)要使z为虚数,m需满意m2+2m-3≠0,且QUOTE有意义,即m-1≠0,解得m≠1且m≠-3.(3)要使z为纯虚数,m需满意QUOTE=0,且m2+2m-3≠0,解得m=0或-2.类型三复数相等的条件及应用(数学运算)【典例】(1)若复数z=(m+1)+(m2-9)i<0,则实数m的值等于.

(2)已知关于x的方程(x2+x+3m)-(2x+1)i=0有实数根,求实数m的值.【思路导引】(1)等价转化为虚部为零,且实部小于零;(2)依据复数相等的充要条件求解.【解析】(1)因为z<0,所以QUOTE所以m=-3.答案:-3(2)设a是原方程的实根,则(a2+a+3m)-(2a+1)i=0+0i,所以a2+a+3m=0且2a+1=0,所以a=-QUOTE且QUOTE-QUOTE+3m=0,所以m=QUOTE.复数相等问题的解题技巧(1)必需是复数的代数形式才可以依据实部与实部相等,虚部与虚部相等列方程组求解.(2)依据复数相等的条件,将复数问题转化为实数问题,为应用方程思想供应了条件,同时这也是复数问题实数化思想的体现.(3)假如两个复数都是实数,可以比较大小,否则是不能比较大小的.1.关于x的方程3x2-QUOTEx-1=(10-x-2x2)i有实根,则实数a的值为.

【解析】由题意得,QUOTE解得a=11或a=-QUOTE.答案:11或-QUOTE2.已知x2-y2+2xyi=2i,求实数x,y的值.【解析】因为x2-y2+2xyi=2i,所以QUOTE解得QUOTE或QUOTE课堂检测·素养达标1.已知复数z=a2-(2-b)i的实部和虚部分别是2和3,则实数a,b的值分别是 ()A.QUOTE,1 B.QUOTE,5C.±QUOTE,5 D.±QUOTE,1【解析】选C.令QUOTE得a=±QUOTE,b=5.2.下列复数中,满意方程x2+1=0的x的取值是 ()A.1 B.-1C.i D.以上都不是【解析】选C.因为x2+1=0,所以x2=-1,而i2=-1.3.下列命题正确的是 ()A.若a∈R,则(a+1)i是纯虚数B.若a,b∈R且a>b,则a+i>b+iC.若x2+(x2+x)i是纯虚数,则实数x=0D.两个虚数不能比较大小【解析】选D.在A中,若a=-1,则(a+1)i不是纯虚数,故A错误;在B中,两个虚数不能比较大小,故B错误;在C中,若x=0,不成立,故C错误;D正确.4.(教材二次开发:练习改编)以QUOTEi-QUOTE的虚部为实部,以8i2+QUOTEi的实部为虚部的复数是.

【解析】QUOTEi-QUOTE的虚部为QUOTE,8i2+QUOTEi=-8+QUOTEi的实部为-8.答案:QUOTE-8i5.(2024·南京高一检测)若实数x,y满意x+yi=-1+QUOTEi(i是虚数单位),则xy=.

【解析】因为x+yi=-1+QUOTEi,所以QUOTE解得QUOTE因此xy=QUOTE.答案:QUOTE四复数的概念(15分钟30分)1.若a,b∈R,i是虚数单位,a+2020i=2-bi,则a2+bi= ()A.2020+2i B.2020+4iC.2+2020i D.4-2020i【解析】选D.因为a+2020i=2-bi,所以a=2,-b=2020,即a=2,b=-2020,所以a2+bi=4-2020i.2.(2024·浙江高考)已知a∈R,若a-1+(a-2)i(i为虚数单位)是实数,则a= ()A.1 B.-1 C.2 D.-2【解析】选C.因为a-1+(a-2)i为实数,所以a-2=0,a=2.【补偿训练】设a,b∈R.“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的 ()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.因为a,b∈R.“a=0”时“复数a+bi不肯定是纯虚数”.“复数a+bi是纯虚数”则“a=0”肯定成立.所以a,b∈R.“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的必要而不充分条件.3.i2+i是 ()A.实数 B.虚数 C.0 D.1【解析】选B.因为i2=-1所以i2+i=-1+i,-1+i为虚数.4.复数z=a2-b2+(a+|a|)i(a,b∈R)为实数的充要条件是 ()A.|a|=|b| B.a<0且a=-bC.a>0且a≠b D.a≤0【解析】选D.复数z为实数的充要条件是a+|a|=0,故a≤0.5.若复数z=a2-3+2ai的实部与虚部互为相反数,则实数a的值为.

【解析】由条件知a2-3+2a=0,解得a=1或a=-3.答案:1或-36.假如(m2-1)+(m2-2m)i>1,则实数m的值为.

【解析】由题意得QUOTE解得m=2.答案:2(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.(2024·南宁高一检测)若复数z满意z=1-2i,i为虚数单位,则z的虚部为 ()A.-2i B.2 C.-2 D.2i【解析】选C.因为z=1-2i,所以z的虚部为-2.2.若a是实数,复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i是纯虚数,则 ()A.a=0或a=2 B.a=0C.a≠1且a≠2 D.a≠1或a≠2【解析】选B.因为复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i是纯虚数,所以a2-2a=0且a2-a-2≠0,所以a=0.3.下列命题正确的是 ()A.(a2+1)i(a∈R)是纯虚数B.-i2=-1C.若a>b,则a+i>b+iD.若z∈C,则z2>0【解析】选A.∀a∈R,a2+1>0恒成立,所以A正确;-i2=-QUOTE=1,B错误;虚数无法比较大小,C错误;若z=i,则z2=-1<0,D错误.4.若sin2θ-1+i(QUOTEcosθ+1)是纯虚数,则θ的值为 ()A.2kπ-QUOTE(k∈Z) B.2kπ+QUOTE(k∈Z)C.2kπ±QUOTE(k∈Z) D.QUOTEπ+QUOTE(k∈Z)【解析】选B.由题意,得QUOTE解得QUOTE(k∈Z),所以θ=2kπ+QUOTE,k∈Z.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.已知i为虚数单位,下列说法正确的是 ()A.若x,y∈R且x+yi=1+i,则x=y=1B.随意两个虚数都不能比较大小C.若复数z1,z2满意QUOTE+QUOTE=0,则z1=z2=0D.i的平方等于1【解析】选AB.对于选项A,因为x,y∈R,且x+yi=1+i,依据复数相等的性质,则x=y=1,故正确;对于选项B,因为虚数不能比较大小,故正确;对于选项C,因为若复数z1=i,z2=1满意QUOTE+QUOTE=0,则z1≠z2≠0,故不正确;对于选项D,因为复数i2=-1,故不正确.6.(2024·潍坊高一检测)已知i为虚数单位,下列命题中正确的是 ()A.若a≠0,则ai是纯虚数B.虚部为-QUOTE的虚数有多数个C.实数集是复数集的真子集D.两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等【解析】选BCD.对于A,若a=i,则ai=i2=-1,不是纯虚数,故A错误;对于B,虚部为-QUOTE的虚数可以表示为m-QUOTEi(m∈R),有多数个,故B正确;依据复数的分类,推断C正确;两个复数相等肯定能推出实部相等,必要性成立,但两个复数的实部相等推不出两个复数相等,充分性不成立,故D正确.三、填空题(每小题5分,共10分)7.已知z1=-3-4i,z2=(n2-3m-1)+(n2-m-6)i,且z1=z2,则实数m=,n=.

【解析】由复数相等的充要条件有QUOTE解得QUOTE答案:2±28.若复数z1=m2+1+(m3+3m2+2m)i,z2=4m-2+(m2-5m)i,m为实数,且z1>z2,则实数m的取值集合为【解析】因为z1>z2,所以QUOTE解得m=0,所以实数m的取值集合为{0}.答案:{0}四、解答题(每小题10分,共20分)9.假如loQUOTE(m+n)-(m2-3m)i>-1,求自然数m,n的值.【解析】因为loQUOTE(m+n)-(m2-3m)i>-1,所以loQUOTE(m+n)-(m2-3m)i是实数,从而有QUOTE由①得m=0或m=3,当m=0时,代入②得n<2,又m+n>0,所以n=1;当m=3时,代入②得n<-1,与n是自然数冲突,综上可得m=0,n=1.10.已知关于x的方程x2+k