数学高考科学复习创新方案-数学高考大题冲关系列(4)-课堂学习课件

高考大题冲关系列(4)高考中立体几何问题的热点题型第八章立体几何与空间向量命题动向：立体几何是高考的重点，约占整个试卷的15%，通常以一大两小的模式命题，以中、低档难度为主．简单几何体的表面积与体积，点、线、面位置关系的判定与证明以及空间向量与空间角(特别是二面角)的计算是考查的重点内容，前者多以客观题的形式命题，后者主要以解答题的形式考查．立体几何着重考查考生的推理论证能力和空间想象能力，而且对数学运算的要求有加强的趋势．转化与化归思想贯穿整个立体几何的始终．题型1空间位置关系的证明及空间角的计算例1

(2021·天津高考)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．(1)求证：D1F∥平面A1EC1；(2)求直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值；(3)求二面角A－A1C1－E的正弦值．解解解[冲关策略]立体几何中的位置关系(平行或垂直)的证明常采用几何法，即借助线面或面面的平行(或垂直)的判定及性质定理求解；而角度的计算常采用坐标法借助向量的相关知识求解，求解的关键是坐标系的建立及相应坐标的正确书写．变式训练1

(2021·新高考Ⅰ卷)如图，在三棱锥A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点．(1)证明：OA⊥CD；(2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E－BC－D的大小为45°，求三棱锥A－BCD的体积．解解解解解题型2立体几何中的折叠问题例2

(2019·全国Ⅲ卷)图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；(2)求图2中的二面角B－CG－A的大小．解(1)证明：由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，所以AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，且BE∩BC＝B，所以AB⊥平面BCGE.又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.(2)作EH⊥BC，垂足为H.因为EH⊂平面BCGE，平面BCGE⊥平面ABC，所以EH⊥平面ABC．解解解[冲关策略]解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量．一般情况下，在同一半平面内的位置关系和度量关系不变，在两个半平面内的关系多发生变化，弄清相应关系是解题突破口．解解解解解解[冲关策略]利用向量法探究线面平行，只需将这条直线的方向向量用平面内两个不共线的向量来线性表示或转化为直线的方向向量与平面的法向量垂直来处理，再说明这条直线不在已知平面内．变式训练3如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．(1)求证：B1E⊥AD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．解解解解(1)存在．当B1C为圆柱OO1的母线时，BC⊥AB1.如图所示，连接BC，AC，B1C，因为B1C为圆柱OO1的母线，所以B1C⊥平面ABC，又因为BC⊂平面ABC，所以B1C⊥BC．因为AB为圆O的直径，所以BC⊥AC．又AC∩B1C＝C，所以BC⊥平面AB1C．因为AB1⊂平面AB1C，所以BC⊥AB1.解解解[冲关策略]利用向量法探究垂直问题，其一证明直线与直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，其二证明面面垂直，只需证明两个平面的法向量垂直，解题的关键是灵活建系，从而将几何证明转化为向量运算．解解解解解(1)证明：取AB的中点O，连接PO，DO，∵PA＝PB，∴PO⊥AB，∵平面PAB⊥底面ABCD，∴PO⊥底面ABCD.又EC⊂底面ABCD，∴PO⊥EC．在正方形ABCD内，O，E分别为AB，AD的中点，∴△DAO≌△CDE，∴∠ODE＝∠ECD，又∠ECD＋∠DEC＝90°，∴∠DEC＋∠ODE＝90°，∴EC⊥OD.又OD∩PO＝O，∴CE⊥平面POD，∵PD⊂平面POD，∴CE⊥PD.解解解解[冲关策略]空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断．对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等．变式训练5

(2021·全国甲卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，