2024年中考数学复习第29讲 尺规作图与定义、命题、定理（解析版）

第29讲尺规作图与定义、命题、定理

录

题型07尺规作图-找圆心

一、考情分析题型（）8尺规作图过圆外一点作圆的切线

二、知识建构题型09尺规作图-作外接圆

考点一尺规作图题型10尺规作图-作内切圆

题型01尺规作图-作线段题型11尺规作图-作圆内接正多边形

题型02尺规作图-作角度题型12尺规作图-格点作图

类型一作一个角等于已知角考点二定义、命题、定理

类型二尺规作角的和、差题型01判断是否命题

类型三过直线外一点作这条线的平行题型02判断命题真假

类型四作角平分线题型03举反例说明命题为假命题

题型03尺规作图-作三角形：含特殊三角形）题型04写出命题的逆命题

题型04尺规作图-作三角形的中线与高题型（）5反证法证明中的假设

题型05尺规作图-作垂直平分线题型06用反证法证明命题

题型06尺规作图-画圆

考点要求新课标要求命题预测

＞能用尺规作图：本考点内容以考查尺规作

①作一个角等于已知角：作一个角的平分线.图和真假命题为主，年年考查，

②作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线.是广大考生的得分点，分值为

③过直线外一点作这条直线的平行线.6分左右.预计2024年各地中

尺规作性④己知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形：已知底边及底考还将继续考查这两个知识

边上的高线作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形.点.中考对尺规作图的考查

⑤过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的涉及多种形式，不再是单一的

内接正方形和内接正六边形.对作图技法操作进行考查，而

⑥过圆外一点作圆的切线.是把作图与计算、证明、分析、

>通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义.判断等数学思维活动有效融

>结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的合，既体现了动手实践的数学

概念.会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立.思维活动，也考查了学生运用

定义、命

>知道证明的意义和证明的必要性，知道数学思维要合乎逻辑，知道可数学思考解决问题的能力，为

题、定理

以用不同的形式表述证明的过程，会用综合法的证明格式.避免丢分，学生应扎实掌握.

>了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的.

>通过实例体会反证法的含义.

题型01尺规作图-作线段

题型02尺规作图-作角度

类型一作一个角等于已知角

类型二尺规作角的和、差

先分析题目，读懂题意,类型三过直线夕一点作这条线的平行

尺判断题目要求作什么类型四作角平分线

关题型03尺规作图-作三角形（含特殊三角形）

规

键读僮题意后，再运用几种迤型04尺规作图-作三角形的中线与高

作

基本作图方法解决问题题型05尺规作图-作垂直平分线

图

题型06尺规作图-画圆

切记作图中一定要保留作题型07尺观作图-找回心

图痕迹题型08尺视作图-过圆外一点作圆的切线

题型09尺规作图-作外接圆

题型10尺规作图-作内切圆

题型11尺规作图-作圆内接正多边形

题型12尺规作图-格点作图

定

义题型01判断是否命题

命题型02判断命题真假

题型03举反例说明命题为假命题

应

题型04写出命题的逆命题

定

题型05反证法证明中的假设

理

题型06用反证法证明命题

考点一尺规作图

―夯基•必备基础知识梳理

尺规作图的定义：在几何里，把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图.

五种基本作图：

类型图示作图依据

I

作一条线段等a।

圆上的点到圆心的距离等于半径.

于已知线段

.\A

d一r—尸

作一个角等于

1）三边分别相等的两个三角形全等；

已知角

2）全等三角形的对应角相等；

X茗二3）两点确定一条直线.

B

作一个角的平

分线上

作一条线段的8

L1）到线段两个端点距离相等的点在这条

理直平分线

线段的垂直平分线上；

2）两点确定一条直线.

MX

过一点作己知

1）等腰三角形“三线合一”；

直线的垂线

A——^p—BA—.....,，二R2）两点确定一条直线.

根据基本作图作三角形

已知三角形的两角及其夹边，求作三角形

B~~m

已知直角三角形一直角边和斜边，求作直角a

三角形c

根据基本作图作圆

过不在同一直线上的三点作圆

（即三角形的外接圆）

作三角形的内切圆

尺规作图的关键：

】）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么；

2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题;

3）切记作图中•定要保留作图痕迹.

提升•必考题型归纳

题型01尺规作图作线段

【例1】（2021上.辽宁抚顺.九年级校联考周测）如图，平面上有四个点A,B,C,D,根据下列要求画图.

.B

D

（1）画直线AB：

（2）作射线BC；

⑶画线段AD；

（4）连接CQ,并延长CO至点E,使。E=C。；（保留作图痕迹）

（5）在四边形A3C。内找一点0,使它到四边形四个顶点的距离的和0A+03+0C+0。最小.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

⑶见解析

（4）见解析

（5）见解析

【分析】（1）根据直线的概念作图即可；

（2）根据射线的概念作图即可；

（3）根据线段的概念作图即可；

（4）以点。为圆心、OC为半径，画弧交C。延长线于点已

（5）根据两点之间线段最短，连接AC、BD,交点即为所求点。.

【详解】（1）如图所示，直线即为所求；

（2）如图所示，射线8c即为所求；

（3）如图所示，线段AO即为所取：

（4）如图所示，线段DE即为所求；

（5）如图所示，点。即为所求.

B

【点睛】本题主要考查了直线，射线和线段的定义和作图.熟练地掌握直线，射线和线段的定义，并正确

的根据定义作图是解题的关键.

【变式1-1](2023上•广西河池.九年级统考期末)如图，在同一平面上有A,B,C三个点，按要求作图：

C

AB

(1)作直线AC,射线8C,连接4B；

(2)延长A8到点。，使得8。=48；

(3)直接写出248。+乙CBD=。.

【答案】(1)图见解析；

(2)图见解析：

(3)180°

【分析】(1)按照题意用直尺作出图形；

(2)按照题意作出图形即可；

(3)由题意可知，Z.ABC+Z.CBD=180°.

【详解】(1)解：如图所示，直线4C,射线BC,线段4B即为所求;

(2)解：如图所示线段8。即为所求；

(3)解：/-ABC+LCBD=180°,理由是：

•・•延长AB到点。，使得8。=48

・・・乙48。是平角

：.LABC+LCBD=180°

【点睛】本题考查了直线、线段、射线的作图，解决本题的关键是准确作图.

【变式『2】（2023•山西太原•山西大附中校考模拟预测）已知线段a、b、c.

b

（1）用直尺和圆规作出一条线段力&使它等于Q+C-从（保留作图痕迹，检查无误后用水笔描黑，包括痕

迹）

（2）若a=6,b=4,c=7,点C是线段A8的中点，求47的长.

【答案】（1）作图见解析

⑵4.5

【分析】（1）作射线AM,在射线AM上顺次截取4E=a,EF=c,在线段凡4上截取FB=b,则线段4B即为

所求：

（2）由（1）中结论及已知条件，求得力8的长，再利用线段中点的性质即可解得力C的长.

【详解】（1）解：如图，线段48即为所求：

（2）如图,

ACB\]EIFM

va=6>b=4,c=7,

4B=a+c—b=6+7—4=9

•・,点C是线段AB的中点，

11

•••i4C=-/IS=-x9=4.5

乙乙

即/IC的长4.5.

【点睛】本题考查基本作图、线段的和差、线段的中点等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键.

【变式1-3］（2022上.广西梧州.七年级统考期末）（1）如图，已知线段4,瓦用直尺和圆规作图,分别作

下列两条线段.

①48=a+b；

②CD=2a-b.

ab

（2）已知：如图，LAOB=Z.COD=90°,乙BOD=25°.求4AOC的度数.

OA

【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）155。

【分析】（1）①先作线段AC=a,再以点C为一端点，往AC延长线方向作线段。84即可;

②先作线段。石=%，再以点石为一端点，往EC延长线方向作线段斯。即可；

（2）先根据已知条件求出乙4。。的度数，再由44。。=4。。。+乙4。0计算即可.

【详解】（1）解：

AacbB

①WB=a+b；

CD

'-----L----r-----------'E

aba

@CD=2a-b

(2)解：vZ.AOB=90°,4BOD=25。

AZ.AOD=Z.AOB-乙BOD=90°-25°=65°

vZ.COD=90°

£AOC=乙COD+Z-AOD=90°+65°=155°.

【点睛】本题考查了作图-线段的和差及计算角的和差，熟练掌握作图技巧及知识点是解题的关键.

题型02尺规作图-作角度

类型一作一个角等于已知角

【例2】（2022•吉林长春♦统考一模）如图，在△力8c中，Z.ACB=90°,AC^BC.用无刻度的直尺和圆规在

48边上找一点。，使N8CD=44则符合要求的作图是（）

cc

【答案】c

【分析】过点。作A6的垂线，利用同角的余角相等证明即可.

【详解】根据题意，4作图是构造等腰三角形，

不符合题意；

8是作的角的平分线，

故不符合题意；

C是过点。作AB的垂线，

AZA=90°-ZB,ZBCD=90°-ZB,

/.BCD=Z.A,

故C符合题意；

。作的是线段AC的垂直平分线，

故不符合题意，

故选C.

【点睛】本题考查了垂线的基木作图，余角的性质，熟练掌握作图，灵活运用互余性质是解题的关犍.

【变式2-1](2023♦山东青岛•校考一模)如图，8。平分NA8C,点足为48上一点.

(1)尺规作图：以E为顶点，作乙4七尸=N/WC,交BO于点〃[不写作法，保留作图痕迹);

(2)在(1)的条件下,若ND尸E=150°,求的度数.

【答案】(1)见解析

⑵120。

【分析】（1）根据作一个角等于己知角的方法即可作NAM=NA8C,交BD于点F.

（2）根据NOFE=150。，可得到NEFB的度数，再根据平行线的制定及性质，角平分线的定义即可得到

的度数.

【详解】（1）解：如图，N4EF即为所求；

NEFB=180。-150。=30。，

•：AAEF=AARC,

^FBC=NEFB=30°,NEBC+NBEF=180°.

;班＞平分NABC,

：.ZEBC=2ZFBC=60°,

NBEF=180°-60°=120°.

【点睛】本题考查了基本作图，角平分线的定义，平行线的判定与性质，掌握作一个角等于已知角，熟练

运用平行线的判定和性质是解决本题的关键.

【变式2-2］（2021下.上海闵行.上海上师初级中学校考期中）加图，已知乙/1。8=70。，4a=53。，在图中

用尺规作4a,并计算NBOC的值.（保留作图痕迹，不得使用量角器）

【答案】见解析

【分析】分两种情况：OC在N/1OB内和。C在乙40B夕卜进行作图解题即可.

【详解】解：如图，当OC在4AOB内时，

乙B0C=/.AOB-^AOC=70°-53°=17°,

A

c

如图，当OC在乙4。8夕卜时，

乙BOC=/-AOB+Z.AOC=70°+53°=123°,

综上所述，LBOC=17。或2BOC=123°.

【点睛】本题考查限定工具作图一尺规作一个角等于已知角，角的和差，掌握分类讨论是解题的关键.

类型二尺规作角的和、差

【例3】（2023上•内蒙古呼和浩特•校考阶段练习）如图，已知NABC.

（1）请以射线DG为边作一个角，使它等于乙48C的补角；（尺规作图，不必写作法，保留作图痕迹）

G

（2）若4ABe的补角是ZABC的5倍，则NABC=_.

【答案】（1）详见解析

（2）30°

【分析】（1）作一个角等于已知角，反向延长所作角的一边，得其邻补角即为所求.

（2）根据补角的定义知互为补角的两个角和为180。，构建方程求解.

【详解】（1）解：作乙M/）F=4ABC,反向延长射线DM,得射线。G,4GCF即为所求;

（2）解：由题意，得，A8C+54ABe=180°,

解得：^ABC=30°,

故答案为：30°.

【点睛】本题主要考查了尺规作图一作一个角等于已知角，补角的定义，解题的关键是掌握尺规作图的方

法和步骤，以及相加等于180。的两个角互补.

【变式3-1］（2023上•陕西榆林•校考阶段练习）已知如图4%“，请你利用尺规作图作，使乙4。8=

一/a.（不写作法，保留作图痕迹）

【答案】见解析

【分析】根据尺规作图的方法先作乙AOC=Z/?,再以0C为角的一边作N80C=4a,则乙40B即为所求.

【详解】解：如图，乙408即为所求.

斤A

»c

【点睛】本题考查了尺规作图，角的计算，熟练掌握尺规作一个角等于已知角的方法是解题的关键.

【变式3-2］（2023♦陕西商洛♦统考模拟预测）如图，在△4BC中，AB=AC,〃BC的平分线交AC于点E,

请用尺规作图法，在射线BE上求作一点。，使得乙4DE=：乙C.（保留作图痕迹，不写作法）

BV----------------

【答案】见解析

【分析】如图所示，作乙。40=4。交射线8E于。，点。即为所求.

【详解】解：如图所示，作“力。="交射线8E于。，点。即为所求;

，：£CAD=",

'：AD||BC,

：.LADE=乙CBE,

•・・"BC的平分线交AC于点E,

：・“BE=/乙BAC,

'：AB=AC,

乙C=Z.ABC,

・・・"=*

【点睛】本题主要考查了尺规作图一作与已知角相等的角，平行线的性质与判定，角平分线的定义，等边

对等角等等，灵活运用所学知识是解题的关键.

类型三过直线外一点作这条线的平行

【例4】(2022.广东佛山.西南中学校考三模)如图，在中，。为力。边上任意一点，按以下步骤作图:

①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交力P、力B于点M,M②以点户为圆心，以长为半径作

弧，交PC于点E；③以点E为圆心，以MN长为半径作弧，在△ABC内部交前面的弧于点八④作射线PF交

BC于点、Q.若4A=60°,乙C=40°,则乙PQC=()

【答案】B

【分析】先由三角形内角和定理得到乙8=80。，再根据作图方法可知NCPQ=44则PQII48,由此即可

得到乙PQC==80°.

【详解】解：'：LA=60°,=40°,

=180°-Z.A-Z,C=80°,

由作图方法可知乙CPQ=24

：・PQIIAB,

：.LPQC=LB=80°,

故选B.

【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质与判定，尺规作图一作与已知角相等的角，证

明PQ||力8是解题的关键.

【变式4-1］（2023下•河南焦作・统考期中）如图，已知NBOP与射线OP上的点4小亮用尺规过点/作08的

平行线，步骤如下.

①取射线0P上的点C,以点。为圆心，0C长为半径画弧，交0B于点D；

②以点A为圆心，。。长为半径画弧，交。力于点M；

③以点M为圆心，CD长为半径画弧，交第②步中所画的弧于点E,直线EA即为所求.

A.同位角相等，两直线平行

B.内错角相等，两直线平行

C.同旁内先互补，两直线平行

D.以上结论都不正确

【答案】B

【分析】由作法可知：W=WAE,结合平行线的判定定理即可得出结论.

【详解】解：由作法可知：

根据内错角相等，两直线平行，可得4EII08

故选:D.

【点睛】本题考查了平行线的判定，尺规作图，根据图形的作法得到乙。=△。4£是关键.

【变式4-2］（2024上•陕西商洛・统考期末）如图，在△48。中，延长8。至点。，请用尺规作图法求作射线CE,

使得CE||48,且点石在8。上方.（保留作图痕迹，不写作法）

【分析】本题考查了角的基本作图，利用同位角相等，两直线平行，画一个角等于4B,且是一对同位角即

可.

【详解】根据题意，画图如下:

A

E,

BCD

则CE即为所求.

【变式4-3］（2023上•吉林长春・统考期末）图①、图②、图③均是6x6的正方形网格，每个小正方形的顶

点称为格点，△/8C的顶点均在格点上，点。为A8的中点，在给定的网格中，按下列要求作图

图①图②图③

⑴在图①中的边BC上确定一点E,连结OE,使。EIIAC.

（2）在图②中44BC的边AC上确定一点F,连结。凡使乙力尸。=zC.

（3）在图③中△力BC的边AC上确定一点G,连结DG,使4=

【答案】（1）见解析

（2）见解析

⑶见解析

【分析】本题考查网格作图，中位线的性质，平行线的性质;

（1）利用网格特征作出6c的中点E,连接OE即可；

（2）利用网格特征作出线段4c的中点F,连接。尸即可；

（3）利用网格特征作出乙4）£=乙。，交AC于点G,即可.

解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题.

【详解】（1）解：如图1中，点E即为所求；

图①

（2）如图2中，点尸即为所求;

图②

（3）如图3中，利用网格特征作出乙ADE=4。，交4C于点G,

由三角形的内角和可知：Z.AGD=Z.B,

故点G即为所求.

图③

类型四作角平分线

【例5】（2024上.内蒙古包头.统考期末）如图，在中，按以下步骤作图：①以点8为圆心，适当长为

半径作弧，分别交于点。和E；②分别以点D,E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点F；

③作射线8r交4C于点G；④过点G作G/7II8C交力8于点，，若乙BHG=110。，贝此HGB=（）

【答案】C

【分析】本题考查了作图-基本作图，熟练掌握角平分线的基本作图思想是解决问题的关键.也考查了平行

线的性质以及三角形内角和.由题意可知BG是乙18C的平分线，得到=根据平行线的性质得

至叱，GB=ZCBG,等量代换得到ZJ/G8=41",根据三角形的内角和定理即可得到结论.

【详解】解：由题意可知BG是乙48c的平分线，

:.Z.ABG=乙CBG,

•••HGIIBC,

:.乙HGB=乙CBG,

•••4HGB=Z.ABG,

•••Z.BHG=110%

AZ.AGB=(HBG=；x(180°-110°)=35。，

故选：C.

【变式5-1](2023上•广东广州•广州市第七十五中学校考期中)如图,已知△48C.

(1)尺规作图：作乙4cB的角平分线，与48交于点D；(保留作图痕迹，不用写作法)

⑵若乙4=50。,28=70。,求上CZM的大小.

【答案】(1)见解析

(2)LCDA=100°

【分析】(1)根据角平分线的作图方法作图即可；

(2)利用三角形内角和及角平分线定义乙4cD=/BCZ)=30。，由三角形内角和定理求出/CDA大小即可.

【详解】(1)解：如图，即为所求；

(2)解：Vz/1=50°,乙B=70°,

：,LACB=1800=60°,

・1D平分乙4C8,

：,Z.ACD=乙BCD=-AACB=30°,

2

：,ACDA=180°-ACD-/.A=180°-30°-50°=100°.

【点睛】此题考查/基本作图一角平分线，利用角平分线的定义求角度，三角形的内角和定理，熟练掌握

各知识点是解题的关键.

【变式5-2](2023上•河南驻马店•统考阶段练习)如图，已知△48C,过点八的直线N8C.

8

（1）请用无刻度的直尺和圆规作的平分线（保留作图痕迹，不写作法）：

（2）若（I）中所作的角平分线与直线/交于点。.求证：△718。是等腰三角形.

【答案】（1）见解析

⑵见解析

【分析】（1）利用角平分线的作图步骤作图即可；

（2）由平行线的性质和角平分线的定义，得出乙480=4408,即可证明结论.

【详解】（1）解：如图，8E即为乙B的平分线；

•••Z.ADB=Z.DBC

•••BD平分4ABC,

•••Z.ABD=乙CBD,

•••乙40。=乙AD。,

•••AB=AD,

是等腰三角形.

【点睛】本题考查了作图——角平分线，平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，熟练掌握

等腰三角形判定条件是解题关键.

题型03尺规作图-作三角形（含特殊三角形）

【例6】（2024上.山西吕梁・统考期末）如图，已知△48C.

实践操作：

（1）作使△力BD三△力8c.（要求：尺规作图，点£）在直线力8的下方，保留作图痕迹，不写作法）.

推理与探究：

（2）点E是BC上一点,AE||BD.探究：线段CE+4E与08有怎样的数量关系，并说明理由.

c

AL------------

【答案】（1）见解析；（2）CE+AE=DB,见解析

【分析】本题考查了作三角形以及全等三角形的性质、平行线的性质：

（1）以点A为圆心，4c为半径在下方画弧，同时以点8为圆心，BC为半径，在48下方画弧，两弧相交

一点，即为点。，因为4c=4D,AB=AB,BC=BD,所以△4BD三△ABC,即可作答.

（2）先由全等三角形的性质，^LCBA=LDBA,CB=DB,结合平行线的性质，^£.CBA=LEAB,以及

等角对等边，即可作答.

【详解】解：（1）如图△4BD即为所求；

（2）CE+AE=DB.理由：

v△ABD=△ABC

LCBA=乙DBA,CB=DB

•••AEIIBD

•••LEAB=乙ABD

•••LCBA=Z.EAB

:.EA=EB

vCB=CE+EB

:.DB=CE+AE.

【变式6-1］（2023上•湖北襄阳•统考期末）（1）尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法,如图,为了

得到乙M8N=ZP4Q,在用直尺和圆规作图的过程中，得到△4C0三4BEF的依据是（）

（2）如图，直线〃是一条公路，M,N是公路〃同侧的两个居民区，现计划在公路〃上修建一个公交候车

亭。，及修建两居民区M,N之间的道路，为了使OM+ON+A1N最短，请在图中作出点O的位置（尺规作

图，不写作法，保留作图痕迹）.

•N

M

【答案】（1）B；（2）见解析

【分析】（1）本题考查了全等三角形的判定定理，三边对应相等的两个三角形全等，以及作一个角等于已

知角，根据用尺规画一个角等于已知角的步骤，据此即可求解.

（2）本题考查将军饮马模型，作M关于直线〃的对称点连接NM，与直线。交于点。，根据对称的性质和

两点之间线段最短，即可得到OM+ON+MN最短.

【详解】（1）解：根据做法可知：AC=BE,AD=BF,CD=EF,

AA/1CD^A^EF（SSS）,

故选：B.

（2）解：点。的位置如图所示：

y/

­/

A

?z

M'

【变式6-2］（2024上•湖北襄阳•统考期末）我们定义：顶角等于36。的等腰三角形为黄金三角形.

如图，△48C中，=4C且NA=36。，则△力BC为黄金三角形.

腔--------1c（1）利用尺规作图，在图中构造出一个“黄金三角形”；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）说说（1）中的三角形是“黄金三角形''的理由.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】本题主要考查了角平分线的作图，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质

及角平分线的作图是解答本题的关键.

（1）根据定义可知，黄金三角形需满足两个条件：①等腰三角形，②顶角为36。.因此满足条件的黄金三

角形不唯一，例如以4c=72。为一个角构造黄金三角形，只需作48的平分线交AC于点。，则△BDC是黄金

三角形；

（2）由48=4C及三角形内角和定理可知乙48c=zC=72°,由角平分线的定义可得=LCBD=36。,

则/BDC=72°,所以NBDC=〃，故ZkMC是黄金三角形.

【详解】(1)如图，ABDC就是所求作的黄金三角形;

180°—4A

Z.ABC—Z.C—=72°,

2

由作图可知，8。平分乙1BC,

・“…加沁BC=36。,

乙BDC=Z.A+Z.ABD=72°,

•••Z.BDC=乙C,

所以△8DC是黄金三角形.

【变式6-3](2024上•江西南昌•校联考期末)如图是5x5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1,仅

用无刻度直尺在图①和图②中按要求作图.

图①图②

(1)在图①中，画等腰三角形48C,使其面积为3(画出一个即可)；

(2)在图②中，画等腰直角三角形使其面积为[(画出一个却可).

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定:

(1)取格点C，连接AC、BC,则△ABC即为所求;

(2)取格点。，连接40、BD,则△48。即为所求;

【详解】(1)解：如图所示，△4BC即为所求;

（2）解：如图所示，△48。即为所求。

【变式6-4］（2023上江苏南京校联考期末）如图，已知线段力夕，用两种不同的方法作一个含30。角的直角

三角形ABC,使其斜边为48（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）.

jI________________________।

ABAB

【答案】见解析

【分析】方法一，作线段的垂直平分线，交48于点。，再以点。为圆心，DB长为半径作弧，以点4为

圆心，AD长为半径作弧与前弧相交于点C△48C即为所作；

方法二，作线段48的垂直平分线，交AB于点D,再作射线力C,在射线4c上截取力。过点。作力。的

垂线CB,以点A为圆心，48长为半径作弧，交CB于点、B,△ABC即为所作.

【洋解】解：方法一：含30。角的直角三角形4BC如图所示：

方法二：含30。角的直角三角形力8C如图所示:

【点睛】本题考查的是作图-复杂作出，熟知直角三角形的作法以及含30度角的直角三角形的性质是解题的

关键.

【变式6-5］（2022下.福建漳州.统考期末）求证：在直角三角形中，若一个锐角等于30。，则它所对的直角

边等于斜边的一半.要求:

（I）根据给出的线段48及以线段48为直角边，在给出的图形上用尺规作出RtA/BC的斜边4C,使得

44=30。，保留作图痕迹，不写作法；

（2）根据（1）中所作的图形，写出已知、求证和证明过程.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可；

（2）根据图形和命题的己知事项写出己知，根据命题的未知事项写出求证，再写出证明过程即可.

【详解】（1）解：如图所示，线段4c为所求作的线段；

（2）已知：如图，△48C是直角三角形，/.ABC=90%乙4=30。.

求证：BC=-AC.

解法一：如图，在AC上截取一点D,使得CD=C8,连接DB.

*：LABC=90°,匕力=30°,：.LACB=60°.

•:CD=CB,,,•△BCD是等边三角形.

:,BC=CD=BD,乙CBD=60°.

,：LABC=90°,，乙ABD=LABC-ABD=30°.

工乙ABD=4力.：.DA=DB.

■:BC=CD=DB,.\BC=-AC.

2

解法二：如图，延长C8至点。，使CB=BD,连接40.

*：LABC=90°,ABAC=30°,

：.£ABD=90°,LACB=60°,

*：AB=AB,BC=BD,/.ABC=Z.ABD,

：.LABC^^ABD（SAS）.：.AC=AD.

・•・AAG）是等边三角形.

*.AC-CD.

VBC=-CD,：.BC=-AC.

22

【点睛】本题主要考查了用尺规作一个角等于已知角及命题的证明过程的书写格式，掌握相关内容是解题

的美键.

【变式6-6].（2022・江苏南京•统考一模）如图，已知线段小儿用直尺和圆规按下列要求分别作二个等腰

三角形ASC（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）.

⑴△A4C的底边长为小底边上的高为/?；

⑵△ABC的腰长为〃，腰上的高为江

【答案】（1）作图及理由见解析；

（2）作图及理由见解析.

【分析】（1）首先作线段8C=a,再作出BC的垂宜平分线，然后截取高为/?,连接人8、CA即可.

（2）首先作直线G"垂直于直线。E,垂足为凡再直线上取线段尸。=力，然后4B=4C=a,连接AB、

C3即可.

作法：1.作线段8C=a,（如图1）

2.作线段4c的垂直平分线MM最足为0,

3.在直线MN上取线段0A=h,

4.连接A3、AC,

△48C为所求作的三角形；

理由：•••线段8。的垂直平分线是WN,0A=h,

•••AB=AC,△ABC的高为力，

••.△ABC为等腰三角形，

vBC=a,

.••△48C是底边长为a,底边上的高为h的等腰三角形:

G

图2

(2)解:

作法：I.作直线G”垂直于直线。E,垂足为F,（如图2）

2.在直线QE上取线段/C二〃,

3.以点。为圆心，。的长为半径画弧，交直线GH于点A,

4.以点A为圆心，〃的长为半径画弧，交射线4尸于点

5.连接8C、AC,

△48C为所求作的三角形:

理由：vAB=AC=a,

••.△ABC为等腰三角形,

••・直线GH垂直于直线OE,垂足为F,FC=h,

••.△A3C是腰长为〃，腰上的高为〃的等腰三角形;

【点睛】此题主要考查了复杂作图，关键是正确掌握线段垂直平分线的作法和等腰三角形的性质.

题型04尺规作图-作三角形的中线与高

【例7】（2023小江苏泰州•泰州市海军中学校考阶段练习）如图，在正方形网格中有一个△力8C,按要求进

行下列作图（只能借助于网格）

c

（1）分别画出△ABC的中线BG、高CH；

（2）画出先将4A8C向右平移6格，再向上平移3格后的△OEF；

（3）画一个直曲三角形MNP（要求各顶点在格点上），使其面积等干△48。的面积的2倍.

【答案】（1）见解析

⑵见解析

（3）见解析

【分析】（1）根据三角形的高和中线的定义结合网格作图即可；

（2）根据平移变换的定义和性质作图即可；

（3）由△A8C的面积为3知所作三角形的面积为6,据此结合网格作图即可得解.；

【详解】（I）如图所示，中线8G、高CH即为所求；

（3）如图所示，直角三角形MNP即为所求;

【点睛】本题主要考查作图-基本作图及平移变换，解题的关键是掌握三角形的高，中线的定义和平移变换

的定义与性质.

【变式7-1］（2023・吉林・一模）如图，图①、图②均是8x8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1,每

（1）在图①中，作的BC边上的高：

（2）在图②中，过点3作直线1，使得直线I平分△ABC的面积.

【答案】（1）见解析

⑵见解析

【分析】（1）在C8的延长线上，找到格点。，使得是直角三角形，且Z498=90。，连接4）,即可求

解.

（2）根据网格的特点找到4C的中点，过AC的中点与点8作直线I,即可求解.

【详解】（1）解.：线段AO即为所求；

*：AB=22+44=20,AD=324-33=18,8。=I2+I2=2

：.AB2=AD2+BD2

・•・A480是直角三角形，且4408=90。，

・•"/）即为所求；

（2）直线，即为所求.

【点睛】本题考查了勾股定理与网格，作三角形的高，中线，熟练掌握以上知识是解题的关键.

【变式7-2］（2024.陕西西安•校考模拟预测）如图，在△48C中，/W是BC边上的中线，请用尺规作图法在AC

边上作一点P,使得，A8C=4S-”.（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见解析

【分析】本题考查了尺规作图一作垂线，与三角形中线有关的面积的计算，分别以点力、。为圆心，大于

的长度为半径画弧，交于M、N,作直线MN角力C于点P,点P即为所求，熟练掌握以上知识点并灵活运用是

解此题的关键.

【详解】解：如图，点P即为所求,

•.•在AABC中，左。是8c边上的中线，

S“8c=2SdACD»

由作图可得：MN垂直分AC,

•••AP=CP,

S“CD=2sMPD>

S&ABC=4SMPD•

【变式7-3］（2023•吉林长春•吉林大学附属中学校考二模）图①、那②，图③积是6x6的间格，每个小正

方形的顶点称为格点，顶点A、B、C均在格点上，在图①，图②，图③给定网格中按要求作图，并

保留作图痕迹.

图①图②图③

(D网格中的度数是°:

(2)在图①中画出△A8C中8C边上的中线A。；

(3)在图②中确定一点E,使得点£在力C边上，且满足BE_LAC：

(4)在图③中画出aBM/V,使得ABMN与ABCA是位似图形，旦点B为位似中心，点M、N分别在BC、AB边

上，位似比为

【答案】(1)45

⑵见解析

(3)见解析

(4)见解析

【分析】(1)直接根据网格的性质求解即可；

(2)找到8C的中点。，连接4。即可;

(3)根据网格的性质画出4c的垂线，与4C交于点七即可；

(4)在BC上找到点M,使得器=：,再过点M画AC的平行线，与AB交于点、N,即可得解.

BC3

【详解】(1)解：由图可知：

乙8的度数是45。

(2)在图①中，中线AD即为所求；

(3)在图②中，点E即为所求;

图②

图③

【点睛】本题考查了作图-位似变换，解决本题的关键是掌握位似变换.

题型05尺规作图-作垂直平分线

【例8】（2023下•河北石家庄•校考开学考试）如图，由作图痕迹做出如下判断，其中正确的是（）

A.FH>HGB.FH=HGC.EF>FHD.EF=FH

【答案】A

【分析】由作图可得；PC是，的角平分线，QE是线段PQ的垂直平分线，过H作于K,证明HG=

HK,结合HKVHF,可得HGVHF,故A符合题意，B不符合题意；由作图可得，E,。是随着作图需要

可以变化位置的，可判断C,D,从而可得答案.

【详解】解：由作图可得：PC是乙4PB的角平分线，OE是线段户Q的垂直平分线，过H作HK_L4P于K,

A

*：HG1PB,PC平分乙4PB,HKLAP,

:,HG=HK,

*：HK<HF,

：.HG<HF,故A符合题意，B不符合题意；

由作图可得，E,。是随着作图需要可以变化位置的，

:,EF,FH不能确定其大小，故C,D不符合题意；

故选A

【点睛】本题考查的是角平分线的作图与性质，线段的垂直平分线的作图，垂线段最短，理解题意是解本

题的关键.

【变式8-1］（2023•江苏南通・统考二模）如图，在△4BC中，AB=AC,乙4=36。.按照如下步骤作图：

①分别以点48为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点MN；

②作直线MN,交AC点D；

③以。为圆心，8C长为半径作弧，交4c的延长线于点邑

④连接

下列说法错误的是（）

A.4。=DEB."8E=2C.Be?=AC-CDD谓=|

【答案】D

【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得=4/1。8=72。，再根据题意可得：BC=

DE,MN是AB的垂直平分线，从而可得。4=03,进而可得乙力==36。，然后利用角的和差关系可

得/DBC=36。，从而利用三角形的外角性质可得乙。。8=乙4cB=72。，进而可得80=8C,再根据等量代

换可得8。=DE,从而可得4D8E=乙DEB=54°,进而可得/CBE=18°,即可判断A、B,然后证明^BCD〜

△71C8,从而利用相似三角形的性质可得号=W，即可判断C,根据等腰三角形的性质相似三角形的性质，

ACCB

可得黑=早即可判断D.

【详解】解：；力