高等数学（第二版）下册课件：一阶常系数线性差分方程

一阶常系数线性差分方程

.9.8.1一阶常系数齐次线性差分方程的解法9.8.2一阶常系数非齐次线性差分方程的解法一阶常系数线性差分方程的一般形式为

是t的函数，，称第一个方程为一阶常系数非

和齐次线性差分方程，第二个方程为其对应的齐次线性差分方程。9.8.1一阶常系数齐次线性差分方程的解法把齐次线性差分方程改写为

假设已知，则将依次代入差分方程

中，有

一般地，

其中C为任意常数，这种求解一阶常系数齐次线性

则差分方程的通解为差分方程的方法称为迭代法．

例9.8.1求方程的通解．

解:方程可以化为则由公式

得方程的通解为

9.8.2一阶常系数非齐次线性差分方程的解法定理9.5设是一阶齐次线性差分方程

的通解，是常系数非齐次线性差分方程

的一个特解，则是非齐次线性差分方程的通解．

法和待定系数法，而求解一阶常系数非齐次线性差分方程特特解的方法主要为待定系数法．求解一阶常系数非齐次线性差分方程通解常用的方法有迭代Ⅰ）．迭代法

将方程改写为

逐步进行迭代有

其中

由数学归纳法有

是方程的通解．

可见是方程的特解，

例9.8.2求差分方程的通解．

解:代入公式

得方程的通解为当时，

综上所述，差分方程的通解为

当时，迭代法虽然可以求出一阶非齐次线性差分方程的通解，差分方程的特解，常见的有以下几种表达式．

项的一些特殊形式，利用待定系数法来求解差分

（1）(常数)．

（2）是t的n次多项式．

（3），，是多项式和

但是实际应用起来比较复杂．在求解非齐次线性差分方程时选取和解常微分方程相类似的方法，根据右端自由指数函数的乘积。Ⅱ）．待定系数法

情形Ⅰ为常值函数设差分方程的特解为，(为待定常数)，代入

即当时

当时，设差分方程的特解为

方程变形为

(a，b为常数)．差分方程得综上所述，差分方程的通解为例9.8.3求方程的通解．

解:因为，所以方程的通解为

例9.8.4求方程的通解．

解:因为，所以方程的通解为

代入方程有

即情形Ⅱ是t的n次多项式

此时方程为

由差分

有

因为右端是多项式，所以特解也是多项式

且由前面差分性质有，当是多项式时，比这个

多项式的次数高出1次，故对式

有以下两种情况．（1）当，即时，右端是n次多项式，

其中系数是待定系数，将代入到差分方

程中，通过比较两端t的同次

幂的系数，可以确定出系数，

即可以求出特解，

（2）当，即时，有

则设特解为

其中系数是待定系数，将代入到差分方程

中，通过比较两端t的同次幂的系数，可以确定出系数

即可以求出特解．

综上所述，对于一阶非齐次线性差分方程

当时，．

设特解，其中当时，，

例9.8.5求方程的通解．

解:对应齐次差分方程的通解为因为

设非齐次差分方程的特解为代入差分方程有

整理得

即

则特解为

所求差分方程的通解为

例9.8.6求方程满足条件的特解．

解:对应齐次差分方程的通解为

因为，设非齐次差分方程的特解为

代入差分方程有

整理得

即

则特解为

所求差分方程的通解为

满足条件的特解为

情形Ⅲ，，是多项式和

指数函数的乘积此时方程为

设变换

代入上式差分方程有

由有

即

由前面情形Ⅱ，此时可设特解为，

其中当，即时，，

当即时，．

则此时差分方程的

特解可以设为，其中当

时，，时，

．

例9.8.7求方程的通解．

解:对应齐次差分方程的通解为

因为设非齐次差分方程的特解为

代入差分方程有

整理得

即

所求差分方程的通解为

则特解为例9.8.8求方程的通解．

解:对应齐次差分方程的通解为，

因为，设非齐次差分方程的特解为

所求差分方程的通解为

代入差分方程有整理得即则特解为定在市场售清的水平上，求价格随时间变动的规律.

例9.8.9在产品的生产中，时期该产品的价格决定着

本期该产品的需求量，还决定着生产者在下一时期愿意

提供市场的产量，因此有

其中均为正常数.假定在每一个时期中价格总是确解：由于在每一个时期中价格总是确定在市场售清的水水平上，即，因此可得到

故(其中均为正常数).

这是一个一阶常系数线性非齐次差分方程，属于右端为常数的情形.因为，所以显然

从而方程的特解为

而相应齐

次方程的通解为

故问题的通解为

当时，(初始价格)，代入得

即满足初始条件时，的特解为

格趋向的种种形态.现就的不同情况加以分析：

这就是价格随时间变动的规律，这一结论也说明了市场价(1)若，则

这说明市场价格趋于平衡，且特解是一个

平衡价格.(2)若，则这说明市场价格呈周期变化状态.

这说明此情况下，市场价格波