高考数学立几大题热点50题训练试题（带答案解析）

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2023立体几何大题热点50题

解答题(共50小题)

1.(2023•新城区校级模拟)如图，在三棱柱中，ABLBC,平面NBC_L平面4&BW,

AB=BC=BB'=2,丽在直上的投影为1.

(1)证明：BC±CC.

(2)求二面角夕-NC-B的余弦值.

2.(2023•温州模拟)已知三棱锥。-Z8C中，A5co是边长为3的正三角形，AB=AC=AD,4D与平面

8c〃所成角的余弦值为

3

(1)求证：AD1BC；

(2)求二面角。-NC-B的平面角的正弦值.

3.(2023•抚顺模拟)如图，四棱锥S-4BCD的底面是正方形，点P,。在侧棱SD上，£是侧棱SC的中

点.

(1)若SQ=0P=PD,证明：2£//平面上4。；

(2)若每条侧棱的长都是底面边长的后倍，从下面两个条件中选一个，求二面角P-NC-。的大小.

①SD_L平面P/C;②尸为SO的中点.

C

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jr

4.（2023・九江二模）如图,在三棱柱48。一4月。］中，/C_L平面,ZABBt=-,AB=\,AC=AA,=2,

D为棱BB、的中点.

（1）求证：4D_L平面4G。；

（2）在棱BC上是否存在异于点3的一点£,使得与平面4CQ所成的角为.？若存在，求出箓的

值若存在，请说明理由.

B

5.（2023•太原模拟）如图，四棱锥尸-N8CD中，AB//CD,ABYAD,S.AB=AD=2CD=4,PA=2,

ZPAB=60°,直线P/与平面45。的所成角为30。，E,尸分别是8C和PD的中点.

（1）证明：E尸//平面尸/8；

（2）求平面P4B与平面尸4D夹角的余弦值.

6.（2023•江苏模拟）在三棱柱ABC-AXBXCX中，平面AXBXBA±平面48C,侧面AXBXBA为菱形，ZABBt=（

ABX1AC,AB=AC=2,E是NC的中点.

（1）求证：48_1_平面/耳C；

（2）点P在线段4E上（异于点4，E）,NP与平面48E所成角为工，求旦的值.

4EA

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7.（2023•浙江模拟）如图，四面体4BC。中，ABAD=ABAC=ACAD=90°,AC=AD,48与面BCD的

所成角为45。.

（1）若四面体N8C。的体积为迪，求/C的长；

3

（2）设点M在面3c。中，ZABM=45°,ZACM=30°,过M作CO的平行线，分别交8C、BD于点、H、

F,求面与面/CD所成夹角的余弦值.

8.（2023•贵州模拟）如图甲，在四边形P2CD中，PD//BC,PB=BC=CD=AD=PA=2,将AA8P沿48

折起得图乙，点”是PD上的点.

（1）若M为PD的中点，证明：尸C_L平面

（2）若PC=&,试确定M的位置，使二面角M-48-C的正弦值等于二匚.

9.（2022秋•滨江区校级期末）如图①，在等腰梯形N8C。中，ABHCD,AB=2AD=2CD=2,将A4DC

沿NC折起，使得NOL3C,如图②.

（1）求直线8D与平面4OC所成的角；

（2）在线段3D上是否存在点£,使得二面角E-/C-。的平面角的大小为工？若存在，指出点£的位置;

4

若不存在，请说明理由.

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10.(2023•桃城区校级一模)如图所示，A,B,C,。四点共面，其中NA4O=N4X?=90。，AB=-AD,

2

点尸，。在平面/BCD的同侧，且P/_L平面/BCD,C0_L平面48CD.

(1)若直线/u平面P/8,求证：///平面C。。；

(2)若尸Q///C,ZABP=ZDAC=45°,平面BP。C平面C。。=〃?，求锐二面角3-加-C的余弦值.

II.(2023•榆林二模)如图，在四棱锥尸-N3C。中，BD±PC,ZABC=60°,四边形/BCD是菱形，

PB=y/2AB=41.PA,£是棱上的动点，S.PE=APD.

(1)证明：PN_L平面/BCD.

(2)是否存在实数2,使得平面P/3与平面NCE所成锐二面角的余弦值是噜？若存在，求出2的值;

12.(2023•大英县校级模拟)在三棱锥P-42C中，NABC是边长为4的等边三角形，平面PAB1平面ABC,

P4=P8=2VL点M为棱8C的中点，点N在棱尸。上且满丽=2定，已知使得异面直线与NC所

成角的余弦值为。的力有两个不同的值4，4区<久).

(1)求4,4的值;

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(2)当;1=24时，求二面角N-4W-C的余弦值.

13.(2023•贵州模拟)如图甲，已知四边形/BCD是直角梯形，E,尸分别为线段8。上的点，且满足

AB//CDIIEF-AB=2EF=4CD=4,ABLBC,ZA=45°，将四边形COM沿昉翻折，使得C,。分

别到Cl,D1的位置，并且BC]=仃，如图乙

(2)求平面4D1E与平面2CF所成的二面角的余弦值.

14.(2023•南充模拟)在四棱锥尸-/BC。中，底面/BCO是边长为2的菱形，ZABC=60°,PB=PD,

PA1AC.

(1)证明：平面P/C；

(2)P/=百，是否存在常数2e[0,1],满足CM=ACP,且直线AM与平面PBC所成角的正弦值为平?

若存在，求出点”的位置；若不存在，请说明理由.

15.(2023•兰州模拟)如图所示的五边形SA4DC中48CD是矩形，BC=2AB,SB=SC,沿BC折叠成四

棱锥S-48C。，点M是BC的中点，SM=2.

(1)在四棱锥S-48c。中，可以满足条件①&4=几；②cosNSBM=叵；©sinZSAM=—,请从中任

53

选两个作为补充条件，证明：侧面S3C,底面/BCD;(注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答

计分.)

(2)在(1)的条件下求直线SC与平面所成角的正弦值.

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16.(2023•开封二模)如图1,在直角梯形/3CD中，AB//CD,ABAD=90°,AD=CD=-AB=4?.,E

2

为ZC的中点，将A4CD沿/C折起(如图2),在图2所示的几何体4BC中：

(1)若求证：平面/BC；

(2)若8。与平面NCZ＞所成的角为60。，求二面角。-的余弦值.

17.(2022秋•天津期末)在如图所示的几何体中，四边形N8CD是菱形，/DW是矩形，ND_L平面48。，

jr

ADAB=-,AD=2,AM=\,£为的中点.

3

(1)求证：NN//平面MFC；

(2)求平面EMC与平面BMC夹角的余弦值.

(3)在线段上是否存在点尸，使直线尸石与平面所成的角为生?若存在，求出PE的长；若不存

3

18.(2023•丰台区一模)如图，在四棱锥P-/BCD中,底面是边长为2的菱形，4C交BD于点、O,ABAD=60°,

尸3=尸。.点E是棱产/的中点，连接OE,OP.

(1)求证：OE//平面PCD；

(2)若平面尸/C与平面尸CA的夹角的余弦值为正，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已

5

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知，求线段OP的长.

条件①：平面平面N2C。；

条件②：PBLAC.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

19.（2023•包头模）如图，已知矩形/5C。是圆柱的轴截面，P是CD的中点，直线5P与下底面所成角

的正切值为工，矩形N8CD的面积为12,为圆柱的一条母线（不与CD重合）.

3

（1）证明：BNIMP；

（2）当三棱锥8-MVP的体积最大时，求二面角N-BM-P的正弦值.

20.（2023•兴庆区校级一模）如图，在四棱锥尸-43C。中，尸/，平面/BCD,ADVCD,AD/IBC,

PF1

PA=AD=CD=2,BC=3.£为尸。的中点，点歹在PC上，且在一

PC3

（I）求证：平面尸CD_L平面尸；

（II）求二面角，'-N£-P的余弦值；

（III）设点G在尸8上，且空=2.判断直线/G是否在平面内，说明理由.

PB3

21.（2023•南宁模拟）如图1,平面图形/BCD是一个直角梯形，其中48//CD,ZABC=90°,BC=DC=2,

AB=6,E是AB上一点，且4E=2EB.将\AED沿着ED折起使得平面AED1平面DEBC,连接AB、AC,

M,N分别是40、/C的中点，如图2.

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（1）证明：在图2中£、M、N、3四点共面，且平面4DC_L平面NED；

（2）在图2中，若G是线段NE上一个动点，当直线CG与平面BOG所成角的正弦值取得最大值时，求GE

的长.

22.（2023•石景山区一模）如图，在四棱锥尸-/BCD中，底面48CD是边长为2的正方形，侧面为

等腰直角三角形，且=，点尸为棱尸。上的点，平面4D尸与棱PB交于点E.

2

（I）求证：EF//AD；

（II）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面PCD与平面4DFE所成锐二面

角的大小.

条件①：AE=日

条件②：平面尸/。,平面/BCD；

条件③：PB1FD.

注：如果选择的条件不符合要求，第（II）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个

解答计分.

23.（2023•安康二模）如图，在斜三棱柱NBC-421G中，。为AB中点，4。_1底面/3。，/Q=4,AC=BC，

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AB=2OC=6,G,E分别在线段ZC,8G上，5.—=—=-.

1GCQE2

（1）求证：6£//面/4月3；

（2）记面AGEC面48C=/,求二面角瓦-/-2的余弦值.

24.（2022秋•郴州期末）如图2,在平行四边形48CD中，AB=2,BC=。,ZABC=30°.将AD/C沿

/C翻折，使点。到达点P位置（如图3）,且平面尸/C，平面网C.

（1）求证：平面尸/C_1_平面4BC；

（2）设0是线段上一点，满足耳=如丽，试问：是否存在一个实数加，使得平面。/C与平面P/3的

夹角的余弦值为手，若存在，求出”的值；若不存在，请说明理由.

图2图3

25.（2023•新疆模拟）如图，在平面四边形/BCD中，AB=AD=1,BC=CD=—,且BC_LCD,以BD为

2

折痕把A4AD和ACAD向上折起，使点/到达点E的位置，点C到达点尸的位置，且平面F5D和平面EAD

不重合.

（1）求证：EFLBD-,

（2）若点G为A43D的重心（三条中线的交点），EG,平面N8O,求直线8。与平面N8E所成角的余弦

值.

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D

26.(2022秋•驻马店期末)如图，在多面体4BCDE产中，四边形48CD是平行四边形，四边形/CE产是矩

形，BC=2AB=2AF,ZABC=60°,AF1BC,〃是棱的中点，尸是棱E尸上的动点.

(1)证明：平面/CE厂；

(2)求平面尸AH■与平面CDE所成锐二面角的余弦值的最大值.

27.(2023•烟台一模)如图，在四棱棱厂中，底面A8CD为菱形，48=2,ZBAD=60°,NBC为

等边三角形.

(1)求证：BC1VD；

(2)若二面角/-8C-厂的大小为60。，求直线以与平面rsc所成角的正弦值.

28.(2023・咸阳校级模拟)已知直四棱柱/2。。-43。12中，底面N8CO为梯形，AB//CD,AB=5,AD=6,

i3

CD=2,E,H分别是耳C],441上的点，且用£==^幺4=3,ZW_L为48上的点.

(1)证明：EF±DH；

(2)当/斤=3时，求平面。斯与平面所成的二面角的正弦值.

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29.（2023•焦作二模）如图1,在A43C中，AB=AC,ZBAC=——，E为的中点，尸为48上一点,

3

且所_1_48.现将NBEF沿EF翻折到△B'EF,如图2.

（1）证明：EF1AB'.

（2）已知二面角夕为工，在棱/C上是否存在点“，使得直线8C与平面8'"尸所成角的正弦值

3

为好？若存在，确定”的位置；若不存在，请说明理由.

5

0-TT

30.（2023•龙岩模拟）三棱柱月G中，AB1AC,N3=/C=2,侧面4/CG，为矩形，ZAAB=-y-

三棱锥C「4BC的体积为空.

13

（1）求侧棱441的长；

（2）侧棱CG上是否存在点E,使得直线/£与平面43c所成角的正弦值为F?若存在，求出线段GE

的长；若不存在，请说明理由.

31.（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，在三棱锥P-48C中，PA=PB,AB=BC=2,ZAPB=ZABC=90°,

平面P48L平面NBC,点E是线段尸/上的动点.

（1）证明：平面4PC_L平面尸8C；

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7

(2)若点。在线段8C上，BQ=-,且异面直线£0与尸3成30。角，求平面E3C和平面N8C夹角的余弦

值.

32.(2023•湖北模拟)如图，在斜三棱柱NBC-45cl中，底面A42C是边长为2的正三角形，侧面

为菱形，己知N88]C=60。，ABx=a.

(1)当a=C时，求三棱柱/BC-4瓦G的体积；

(2)设点尸为侧棱3月上一动点，当°=3时，求直线尸G与平面/CG4所成角的正弦值的取值范围•

33.(2023•平湖市模拟)如图在三棱柱48C-481G中，。为/C的中点，AB=BC=2,ZAAtB]=ZB}BC.

(1)证明：BBX1AC；

(2)若BBi工BC,且满足：,(待选条件).

从下面给出的①②③中选择两个填入待选条件，求二面角3-月。的正弦值.

①三棱柱/8C-4月G的体积为3百；②直线/片与平面8CG耳所成的角的正弦值为誓;

③二面角A-BB.-C的大小为60°；

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

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34.(2022秋•西山区期末)如图，在四棱锥P-48CD中，底面4BCD是平行四边形，ZADC=—,

3

PDMDCMZBCM八点E是线段4D的中点，点尸在线段/P上且满足方=2/，PD1ffiABCD.

(I)当2=工时，证明：PC//平面BFE；

3

(II)当2为何值时，平面3FE与平面PAD所成的二面角的正弦值最小？

35.(2023•宛城区校级开学)四棱柱/88-4月。12中，底面48CD为正方形，_L面48。，点M,

N,。分别为棱。2，AD,8月的中点.

(1)求证：平面MNQ//平面BQ。；

(2)^AA,=2AB,棱/力上存在点尸，使得二面角P-MN-。的余弦值为巨包，求生的值.

63AXBX

36.(2023•南开区校级模拟)如图，已知梯形/8C。中，AD//BC,NDAB=90。，AB=BC=2AD=2,

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四边形助C尸为矩形，DE=2,平面即CP_L平面/BCD.

(1)求证：。尸//平面48£；

(2)求平面N2E与平面3跖的夹角的余弦值；

(3)若点尸在线段E尸上，且直线/P与平面3所所成角的正弦值为巫，求线段/P的长.

37.(2023春•荔湾区月考)如图，把边长为2夜的正方形纸片4SCD沿对角线NC折成直二面角，F是BC

的中点，。是原正方形N5C。的中心，动点£在线段/D(包含端点/,0上.

(1)若E为/D的中点，求直线48到平面EOF的距离；

(2)在线段4D上是否存在点E,使得平面EOF与平面/2C的夹角的余弦值为工，若存在，求出店的

3EA

值；若不存在，请说明理由.

38.(2023•九龙坡区校级开学)如图，在梯形48CD中，AB//CD,/BCD=一，四边形NCFE为矩形，

3

且。尸_1_平面48CD,AD=CD=BC=CF=\.

(1)求证：平面_L平面3CF；

(2)点加■在线段跖上运动，当点M在什么位置时，平面M43与平面尸C3所成锐二面角的余弦值为

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39.(2023•石家庄模拟)如图，四棱锥S-4BCD中，底面/BCD为矩形且垂直于侧面&42,。为48的中

点，SA=SB=AB=2,AD=42.

(I)证明：8D_L平面SOC；

(II)侧棱SD上是否存在点£,使得平面N8E与平面SCD夹角的余弦值为工，若存在，求艾的值；若

5SD

不存在，说明理由.

40.(2023•高州市一模)如图，四棱柱/BCD-481G2的底面4sCD为直角梯形，ZDAB=ZADC=90°,

AB=AD=1,CD=2,BDX1CD.点"为CQ的中点，且C2=28M.

(1)证明：平面_L平面3cO］；

(2)若钝二面角2-DA/-C的余弦值为-M5,当时，求BQ的长.

41.(2023•邵阳一模)如图所示，在多面体NBCDEF中，底面/BCD为直角梯形，AD//BC,AB1BC,

侧面/AE1/为菱形，平面/BEF_L平面M为棱8E的中点.

(1)若上有一点N满足MN//平面/BCD,确定点N的位置并证明；

(2)若==ZEBA=60°,求平面M<D与平面EFD所成二面角的正弦值.

2

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42.(2023•重庆二模)如图，在四棱锥中，侧棱PD_L矩形48CD,且PZ)=CD,过棱尸C的中

点、E,作EFLPB交PB于点,尸，连接£>E,DF,BD,BE.

(1)证明：PB±DF；

(2)若PD=1,平面DE尸与平面N8CD所成二面角的大小为事，求修田斯的值.

43.(2023•武威模拟)如图，在四棱锥P-N8CD中，四边形NBCD是直角梯形，ADLAB,AB//CD,

PB=CD=1AB=2AD,PD=42AB,PCLDE,E是棱PB的中点.

(1)证明：PD_L平面/BCD；

(2)若#=2万，求平面DE尸与平面尸/。所成的锐二面角的余弦值的最大值.

44.(2023•舞钢市开学)如图所示，在四棱锥N-8CDE中，AX8C是等边三角形，CD//BE,BDLCD,

记平面ACD与平面ABE的交线为I.

(1)证明：1//CD.

⑵若AD=BE=M2D=2,DE=n,。为/上一点，求与平面所成角的正弦值的最大值.

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A

45.(2023•新城区校级一模)如图，三棱柱的底面/5C是正三角形，侧面NCC/i是菱形，平

面ZCG4,平面/8C,E,尸分别是棱4G，8C的中点.

(1)证明：跖//平面48月4；

(2)AC=2,ZACCt=60°,C^G=2GC,求直线2cl与平面跖G所成角的正弦值.

46.(2023•安徽开学)如图，四棱锥P-/3C。的底面48CD为正方形，二面角P-48-。为直二面角,

ZPAB=NPBA，点M为棱AD的中点.

(1)求证：PD工MC;

(2)若=点N是线段上靠近3的三等分点，求直线产/与平面尸所成角的正弦值.

47.(2023•湖北模拟)如图，在四棱锥S-/8C。中，底面48。是直角梯形，AD/IBC,ABVBC,SA1

平面ABCD,SA=AB=BC=2AD=2.

(1)求C到平面S3。的距离；

(2)求平面与平面SCD的夹角的正弦值.

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q

48.（2023•河南模拟）如图，在四棱锥中，底面48CD是平行四边形，/5=4,AD=2&,MC

=2加,N4DC=45°,点M在底面N5CD上的射影为CA的中点。，£为线段AD上的点（含端点）.

（1）若£为线段工。的中点，证明：平面MOE_L平面肋W；

⑵若3AE=DE,求二面角。-ME1-。的余弦值.

49.（2023•梅州一模）如图，在边长为4的正三角形中，E为边的中点，过E作皮）_LNC于。.把

ZUDE沿Z组翻折至△耳£）£的位置，连接4C、AXB.

（1）尸为边4c的一点，若丽=2取，求证：3尸//平面

（2）当四面体C-E84的体积取得最大值时，求平面与平面43c的夹角的余弦值.

4

50.（2023•新乡模拟）如图，已知圆锥尸-/3C,是底面圆。的直径，且长为4,C是圆。上异于N,

3的一点，PA=20设二面角P-/C-8与二面角P-8C-4的大小分别为。与

（1）求」+的值；

tanatanp

（2）若tan，=V^tana,求二面角/-尸。一3的余弦值.

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2023立体几何大题热点50题

参考答案与试题解析

一.解答题(共50小题)

1.(2023•新城区校级模拟)如图，在三棱柱/8C-中，AB1BC,平面_L平面,

AB=BC=BB'=2,丽在跑上的投影为1.

(1)证明：BC±CC.

(2)求二面角9-NC-8的余弦值.

【分析】(1)由条件根据面面垂直性质定理证明平面,由此证明8C1B®,结合BB'"CC；

即可证明结论；

(2)建立空间直角坐标系，求平面3NC和平面/3C的法向量，利用向量法，即可得出答案.

【解答】解：(1)证明：•.・平面N2C_L平面4B2W,

ABCnABB'A'=AB,且3Cu平面/3C,ABVBC,

8CJ_平面,

•••BB'u平面ABB'A1,

BCIBB',又BB'//CC,

BC1CC；

(2)•.•而在初上的投影为1,又AB=BC=BB，=2

:.易得〈而，瓦,BPAB'BA=y,

.•.△B区4为等边三角形，

由(1)得平面4BC_1_平面/A8W,ABVBC,

二.建立以3为原点的空间直角坐标系，如图所示，则根据题意可得：

5X0,1,5,A(0,2,0),C(2,0,0),3(0,0,0),

.•.瓦5=(0,1,-回，1C=(2,-2,0),

高考数学立几大题热点50题训练试题(带答案解析)

设平面B'AC的法向量为h=(x,y,z),

则一,，取力=(百,6,1),

n-AC=2x-2y=0

又加=(0,0,1)为平面ABC的一个法向量，

一_m-n1J7

/.cos<m,n>=-----=—；==---，

\rh\\n\7

77-

设二面角9-ZC-8的平面角为d,由图可知。e(0,5),

【点评】本题考查二面角、直线与平面垂直，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能

力，属于中档题.

2.(2023•温州模拟)已知三棱锥。-/2C中，A5CD是边长为3的正三角形，AB=AC=AD,4D与平面

BCD所成角的余弦值为

3

(1)求证：AD1BC；

(2)求二面角D-/C-8的平面角的正弦值.

【分析】(1)如图所示，取3c中点为£,连接NE,DE,易证5C_L/E,BC1DE,从而可证8c_1平

面/DE,可证结论；

(2)取/。中点为〃，连接CH,BH,二面角。-的平面角为NB8C,利用余弦定理可求二面角

。-/C-5的平面角的余弦值，从而可求正弦值.

【解答】解：(1)证明：如图所示，取3C中点为£,连接DE,

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因为ASCD是边长为3的正三角形，AB=AC=AD,

所以三棱锥D-ABC是正四面体，

所以8C_L/E,BCVDE,

又因为=AE,DEu平面4DE,8C，平面4DE,

所以BC_L平面NDE,又因为/Ou平面NDE,

所以4D_L3C.

（2）如下图所示，

因为ASCD是边长为3的正三角形，AB=AC=AD,

所以三棱锥D-ABC是正四面体，

所以AD1CH,

所以二面角。的平面角为

另一方面，CH=BH=—,BC=3,

2

二匚［、Ir+t人口*…T中,日/nrrz-rBH2+CH2—BC~1

所以由余弦定理得cosABHC=----------------=-，

2BHCH3

所以sinZBHC=yll-cos2ZBHC=马旦,

3

所以二面角的平面角的正弦值为—.

3

【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，属中档题.

3.（2023•抚顺模拟）如图，四棱锥S-/8CO的底面是正方形，点尸，。在侧棱SD上，E是侧棱SC的中

点.

（1）若5。=。尸=尸。，证明：AE1//平面尸4C；

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(2)若每条侧棱的长都是底面边长的后倍，从下面两个条件中选一个，求二面角尸-NC-。的大小.

①SD_L平面P/C；②尸为SO的中点.

【分析】(1)连接8。，设交点为。，连接3。，QE,OP,先证明平面3£。//平面尸NC,进而即可证明

BE//平面P/C；

(2)选①或②，都是先证明SO，平面/BCD,进而建立空间直角坐标系，根据向量法，向量夹角公式，

即可求解.

【解答】解：(1)证明：连接3。，设交点为。，连接8。，QE,OP,

在ASCP中，点E是SC的中点，点0是线段SP的中点，二。E//PC,

又PCu平面尸/C,且。EC平面P/C,

.•.0E〃平面尸4c,

在A5QD中，点。是线段8。的中点，点P是线段。。的中点，所以QB//OP,

又OPu平面尸/C,且03,平面P/C,

二02//平面PNC,XBQ^\EQ=Q,且30,E0u平面3EQ,

平面BEQII平面PAC，又BEu平面BEQ,

BEII平面PAC;

(2)若选①SO_L平面尸/C,连接SO,

VABCD为正方形，，点O分别为NC与的中点，

又易知S3=SD,SO1BD,同理SO_LNC,

又S。_L平面，

，以。C,OD,0s所在直线分别为x,y,z轴，建系如图，

设OC=1,CD=42,SC=2,OS=GZSCO=60°,

0,0),4-1,0,0),D(0,1,0),

8(0,-1,0),S(0,0,G),S/5=(0,1,-73),

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VSD1平面PAC，平面PAC的一个法向量为*=/=(0,l,-V3),

显然平面D4C的一个法向量为鼠=(0,0,1),

设二面角的平面角为0,

cosd=|32|=—，

|«1II«112-4

若选②尸为SZ)的中点，连接S。，

VABCD为正方形，，点0分别为NC与的中点，

由题意S3=SO,SO1BD.同理5。_L/C,

又SO_L平面.

，以。C,0D,0s所在直线分别为x,y,z轴，建系如图,

设0C=1,则CD=a，SC=2,OS=。,ZSCO=-,

3

.-.c(l,0,0),A(-l,0,0),D(0,1,0),

5(0,-1,0),S(0,0,G),尸(0,5，1)，

贝宙=(,与,而=(一［§),

设平面/PC的法向量为，=(xj,z),

1mn

nx-AP=x+—yH-----z=0

则22取E=(0,6,-l)，

1G„

nCP=-x+—yH--------2=0

{22

显然平面DAC的一个法向量为鼠=(0,0,1),

设二面角P-/C-D的平而角为8,

71

cos6=|32|=—3

I«iII«iI23

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【点评】本题考查线面平行的证明，线面平行的判定定理，面面平行的判定定理与性质，向量法求解二面

角问题，向量夹角公式的应用，属中档题.

4.（2023•九江二模）如图，在三棱柱48C-481G中，/。，平面/4月8,ZABBt=-,AB=1,AC=AAy=2,

D为棱BB、的中点.

（1）求证：4D_L平面4G。；

（2）在棱8c上是否存在异于点3的一点£,使得DE与平面4G。所成的角为.？若存在，求出祭的

值若存在，请说明理由.

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B

【分析】（1）根据题意，分别证明ADLAXD,结合线面垂直的判定定理即可证明；

（2）根据题意，连接/月，以/为原点，AB,AC,/月所在的直线分别为x,y,z轴，建立空间直角

坐标系，根据空间向量的坐标运算结合线面角的求法即可得到结果.

【解答】解：（1）证明：•.•ZC_L平面4Du平面4408,

AC1AD,

•.•/C//4C1，

AD14cl

jr

由已知得/8=8D=1,ZABD=-,

3

ZADB=同理可得AAXDBX=看，

ZADAt=L（NADB+4四）=彳,即ND_L，

又Mop!4G=4，4力,4Gu平面4G。，

AD1平面4cQ,

■rr

（2）连接AS】，vAABBX=-,AB=\,BB、=2,

ABXJ_AB,

•.•/C_L平面442田,

:.ACLAB,AC±ABr

以N为原点，AB,AC,4月所在的直线分别为x,y,z轴，建立如图空间直角坐标系,

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1、/3

则^(0,0,0),5(1,0,0),C(0,2,0),£>(-,0,,

设第=2配，贝!|E(1—4,22,0),

—­1J3

Z)£'=(--2,22,-y-),

由⑴知平面4G。的一个法向量为NO=(于0,1),

.1l2+1l1

/.|cos〈DE,AD)1=-1，=—,

.一…+($2

化简得4万-32=0,解得2=3或2=0(舍去)，

4

故在棱BC上存在异于点3的一点E,使得。£与平面4G。所成的角为工，且超=2.

62c4

【点评】本题考查线面垂直的判定以及利用空间向量研究线面角问题，考查逻辑推理能力和运算求解能力,

属于中档题.

5.(2023•太原模拟)如图，四棱锥P-n8CO中，AB//CD,ABVAD,^.AB=AD=2CD=4,PA=2,

ZPAB=60°,直线P4与平面48CD的所成角为30。，E,歹分别是8C和尸。的中点.

(1)证明：跖//平面尸/2；

(2)求平面P48与平面尸/。夹角的余弦值.

【分析】(1)取/D的中点G,连接EG,FG,可证G尸//平面尸,GE//平面尸48,进而可证平面GEF//

平面尸4S,可证结论；

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(2)以点/为原点，AB,4D所在的直线分别为X,y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面尸

与平面的一个法向量，利用向量法可求平面尸48与平面尸/D夹角的余弦值.

【解答】解：(1)证明：取的中点G,连接EG,FG,

•麻是尸口的中点.GF//AP,•r/Pu平面尸48,bGU平面P48,

GF//平面PAB,

同理可得GE//平面尸48,

■：GE^GF=G,GEu平面GEP,GFcGEF,

二.平面GM//平面尸48,EFu平面GEF,

EF//平面PAB；

(2)以点/为原点，AB,4D所在的直线分别为x,y轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

由题意可得/(0,0,0),8(4,0,0),D(0,4,0),C(2,4,0),

PA=2,直线尸4与平面N8C。所成的角为30。,

.,.点P的竖坐标为z=1,

又•.•/P/8=60。，.•.点P的横坐标为x=l,纵坐标夕=收，V2,1),

设平面P48的一个法向量为沅=(x,y,z),

则<_,令y=l,贝=m=(0,1,-V2),

m-AP=x+yJ2y+z=0

设平面尸ND的一个法向量h=(“，b,c),

.n-AD=4b=0.

则n《_厂，令a=l,6=0,c=-l,.•.万=(1,0,-1),

n-AP=a+y/2b+c=0

_一m-nV2V3

cos<m,n>=----------=—j=-----尸=—,

\m\-\n\V3xV23

也

平面PAB与平面PAD夹角的余弦值