圆与圆的方程教案

4.2.1直线与圆的位置关系一、教学目标1、知识与技能（1）理解直线与圆的位置的种类；（2）利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；（3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．2、过程与方法设直线：，圆：，圆的半径为，圆心到直线的距离为，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当时，直线与圆相离；（2）当时，直线与圆相切；（3）当时，直线与圆相交；3、情态与价值观让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想．二、教学重点、难点：重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法．难点：用坐标法判直线与圆的位置关系．三、教学设想问题设计意图师生活动1．初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几类？启发学生由图形获取判断直线与圆的位置关系的直观认知，引入新课．师：让学生之间进行讨论、交流，引导学生观察图形，导入新课．生：看图，并说出自己的看法．2．直线与圆的位置关系有哪几种呢？得出直线与圆的位置关系的几何特征与种类．师：引导学生利用类比、归纳的思想，总结直线与圆的位置关系的种类，进一步深化“数形结合”的数学思想．问题设计意图师生活动生：观察图形，利用类比的方法，归纳直线与圆的位置关系．3．在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢？使学生回忆初中的数学知识，培养抽象概括能力．师：引导学生回忆初中判断直线与圆的位置关系的思想过程．生：回忆直线与圆的位置关系的判断过程．4．你能说出判断直线与圆的位置关系的两种方法吗？抽象判断直线与圆的位置关系的思路与方法．师：引导学生从几何的角度说明判断方法和通过直线与圆的方程说明判断方法．生：利用图形，寻找两种方法的数学思想．5．你能两种判断直线与圆的位置关系的数学思想解决例1的问题吗？体会判断直线与圆的位置关系的思想方法，关注量与量之间的关系．师：指导学生阅读教科书上的例1．生：新闻记者教科书上的例1，并完成教科书第页的练习题6．通过学习教科书的例1，你能总结一下判断直线与圆的位置关系的步骤吗？使学生熟悉判断直线与圆的位置关系的基本步骤．生：阅读例1．师；分析例1，并展示解答过程；启发学生概括判断直线与圆的位置关系的基本步骤，注意给学生留有总结思考的时间．生：交流自己总结的步骤．师：展示解题步骤．7．通过学习教科书上的例2，你能说明例2中体现出来的数学思想方法吗？进一步深化“数形结合”的数学思想．师：指导学生阅读并完成教科书上的例2，启发学生利用“数形结合”的数学思想解决问题．生：阅读教科书上的例2，并完成第页的练习题．问题设计意图师生活动8．通过例2的学习，你发现了什么？明确弦长的运算方法．师：引导并启发学生探索直线与圆的相交弦的求法．生：通过分析、抽象、归纳，得出相交弦长的运算方法．9．完成教科书第页的练习题巩固所学过的知识，进一步理解和掌握直线与圆的位置关系．师：引导学生完成练习题．生：互相讨论、交流，完成练习题．10．课堂小结：教师提出下列问题让学生思考：（1）通过直线与圆的位置关系的判断，你学到了什么？（2）判断直线与圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？（3）如何求出直线与圆的相交弦长？作业：习题A组：4.2.2圆与圆的位置关系一、教学目标1、知识与技能（1）理解圆与圆的位置的种类；（2）利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；（3）会用连心线长判断两圆的位置关系．2、过程与方法设两圆的连心线长为，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当时，圆与圆相离；（2）当时，圆与圆外切；（3）当时，圆与圆相交；（4）当时，圆与圆内切；（5）当时，圆与圆内含；3、情态与价值观让学生通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想．二、教学重点、难点：重点与难点：用坐标法判断圆与圆的位置关系三、教学设想问题设计意图师生活动1．初中学过的平面几何中，圆与圆的位置关系有几类？结合学生已有知识以验，启发学生思考，激发学生学习兴趣．教师引导学生回忆、举例，并对学生活动进行评价；学生回顾知识点时，可互相交流．2．判断两圆的位置关系，你有什么好的方法吗？引导学生明确两圆的位置关系，并发现判断和解决两圆的位置教师引导学生阅读教科书中的相关内容，注意个别辅导，解答学生疑难，并引导学生自己总结解题的方法．问题设计意图师生活动关系的方法．学生观察图形并思考，发表自己的解题方法．3．例3你能根据题目，在同一个直角坐标系中画出两个方程所表示的圆吗？你从中发现了什么？培养学生“数形结合”的意识．教师应该关注并发现有多少学生利用“图形”求，对这些学生应该给予表扬．同时强调，解析几何是一门数与形结合的学科．4．根据你所画出的图形，可以直观判断两个圆的位置关系．如何把这些直观的事实转化为数学语言呢？进一步培养学生解决问题、分析问题的能力．利用判别式来探求两圆的位置关系．师：启发学生利用图形的特征，用代数的方法来解决几何问题．生：观察图形，并通过思考，指出两圆的交点，可以转化为两个圆的方程联立方程组后是否有实数根，进而利用判别式求解．5．从上面你所画出的图形，你能发现解决两个圆的位置的其它方法吗？进一步激发学生探求新知的精神，培养学生师：指导学生利用两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来判别两个圆的位置．生：互相探讨、交流，寻找解决问题的方法，并能通过图形的直观性，利用平面直角坐标系的两点间距离公式寻求解题的途径．6．如何判断两个圆的位置关系呢？从具体到一般地总结判断两个圆的位置关系的一般方法．师：对于两个圆的方程，我们应当如何判断它们的位置关系呢？引导学生讨论、交流，说出各自的想法，并进行分析、评价，补充完善判断两个圆的位置关系的方法．7．阅读例3的两种解法，解决第页的练习题．巩固方法，并培养学生解决问题的能力．师：指导学生完成练习题．生：阅读教科书的例3，并完成第页的练习题．问题设计意图师生活动8．若将两个圆的方程相减，你发现了什么？得出两个圆的相交弦所在直线的方程．师：引导并启发学生相交弦所在直线的方程的求法．生：通过判断、分析，得出相交弦所在直线的方程．9．两个圆的位置关系是否可以转化为一条直线与两个圆中的一个圆的关系的判定呢？进一步验证相交弦的方程．师：引导学生验证结论．生：互相讨论、交流，验证结论．10．课堂小结：教师提出下列问题让学生思考：（1）通过两个圆的位置关系的判断，你学到了什么？（2）判断两个圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？（3）如何利用两个圆的相交弦来判断它们的位置关系？作业：习题A组：圆和圆的位置关系1、定义：（1）如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离。外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离。（图（1））内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含（图（5））。两圆同心是两圆内含的一个特例。（图（6））（2）如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切。这个唯一的公共点叫做切点。（图（2））内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切。这个唯一的公共点叫做切点。（图（4））（3）两个圆有两个公共点，此时叫做这两个圆相交。（图（3））注意：（1）两圆外离与内含时，两圆都无公共点，但同时要考虑内部和外部的因素。两圆外切与内切也有这样的比较。（2）两圆外切和内切统称两圆相切，即外切和内切的共性是公共点的个数唯一。（3）两圆位置关系的五种情况也可归纳为三类：相离（外离和内含）；相交；相切（外切和内切）。提问：从两圆的公共点的个数考虑，无公共点则相离；有一个公共点则相切；有两个公共点则相交。除以上关系外，还有其它关系吗？可能不可能有三个公共点？答：“不在同一直线上的三个点确定一个圆”判断出这两个圆是同一个圆。即重合。结论：在同一平面内任意两圆只存在以上五种位置关系。2、两圆位置关系的数量特征设两圆半径分别为R和r。圆心距为d，用电脑或投影再次出示两圆的五种位置关系，让学生观察R，r和d之间有何数量关系？学生很可能只说出d＞R-r，则应向学生说明，这时两圆还可能外切或外离，如果只说出d＜R+r，则还可能内切或内含。结合上图会发现R，r和O1O2构成△AO1O2的三边。所以只有R-r＜d＜R+r时。才能判定两圆相交。反过来也成立，于是有：为了方便记忆，将这五种数量关系用数轴表示为：例：如图，⊙O的半径为5厘米，点P是⊙O外一点，OP=8求：（1）以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆⊙P的半径是多少？（2）以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P的半径是多少？解：（1）设小圆⊙P与⊙O外切于点A，则PA=OP－OA=8－5=3cm所以⊙P1的半径是3cm（2）设大圆⊙P与⊙O内切于点B，则PB=OP+OB=8+5=13cm所以⊙P2的半径是13cm3、相切两圆的性质。思考：观察发现：相切两圆也组成轴对称图形，通过两圆圆心的直线叫连心线，是它们的对称轴相切两圆的连心线的性质：如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。（轴对称来说明，证明可用反证法，不作要求）例：如图，已知，⊙O1和⊙O2外切于P，并且⊙O和⊙O1、⊙O2分别内切于M、N，O1O2O的周长为18cm。求：⊙O的半径长。解：设⊙O、⊙O1、⊙O2的半径分别为R、r1、r2∵⊙O1和⊙O2相外切∴O1O2=r1+r2又⊙O和⊙O1、⊙O2分别相内切∴O1O=R－r1，O2O=R－r2。△O1O2O的周长为18cm即O1O2+O1O+O2O=（r1+r2）+（R－r1）+（R－r2）=18。∴R=9（cm）例：⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，求证：直线O1O2垂直平分AB。证：连接O1A、O1B、O2A、O∵O1A=O1∴O1在AB的垂直平分线上∵O2A=O2∴O2在AB的垂直平分线上∵直线O1O2垂直平分AB总结：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。例：已知：两个等圆⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，⊙O1经过点O2。求∠O1AB的度数解：∵圆O1经过O2∴∠O1AO2=60°∵O1A=O1B，O2A=O∴∠O1AB=∠O1AO2=30°在解决有关相交两圆的问题时，常常添加以下几种辅助线：连心线、公共弦、连结交点与圆心。从而可以把两圆半径、公共弦长的一半、圆心距集中到同一个三角形中，利用三角形的有关知识加以解决。例：如图，已知⊙O1和⊙O2相交于点A、B，O1在⊙O2上，AC是⊙O1的直径，CB与⊙O2相交于点D，连结AD。（1）求证：AD是⊙O2的直径。（2）求证：DA=DC。证明：（1）连结AB，∵AC是⊙O1的直径，∴∠ABC=90°，∴∠ABD=90°，AD是⊙O2的直径。（2）连结O1O2，∵AO1＝O1C，AO2=O2D∴O1O2∥CD，∴∠C=∠AO1O2。又∵O2A=O2O1∴∠O2AO1=∠AO1O2，∴∠C=∠O1AO2，∴DA=DC。例：相交两圆的公共弦长为6，若两圆半径分别为8和5，则两圆的连心线为________？解：①圆心在公共弦两侧为AB的垂直平分线∴AB⊥，AC=CB∵AO1=8，AC=3②圆心在公共弦同侧同①例：已知：圆O1与圆O2是等圆，相交于A、B，O2在圆O1上，AC是圆O2的直径，直线CB交圆O1于D，E为AB延长线上一点。（1）证明：AD是圆O1的直径；（2）若∠E=60°，求证：DE是圆O1的切线。*两圆相交，通常连公共弦，把两圆中的边和角连接起来。证：（1）∵AC是圆O2的直径∴AB⊥DC∴∠ABD=90°∴AD为圆O1的直径。（2）法一：∵AD是圆O1的直径∴点O1为AD中点，连O1O2∵点O2在圆O1上，圆O1与圆O2的半径相等是等边三角形∴∠AO1O2=60°由中位线∴∠ADB=∠AO1O2=60°∵AB⊥DC，∠E=60°∴∠BDE=30°∴∠ADE=∠ADB+∠BDE=60°+30°=90°∵AD直径∴DE是圆O1的切线法二：连O1O2∵点O2在圆O1上，圆O1与圆O2的半径相等∴点O1在圆O2上∴∠O1AO2=60°∵AB公共弦∴AB⊥O1O2∴∠O1AB=30°∵∠E=60°∴∠ADE=180°－（∠E+∠O1AB）=180°－（60°+30°）=90° ∵AD是直径，∴DE是切线 例：已知，如图所示，圆O1与圆O2相交于A、B两点，圆心O1在圆O2上，过B点作两圆的割线CD，射线DO1交AC于E点。 求证：OE⊥AC 证：连结AB、作圆O1的直径AC1∵AC1为直径 ∴∠BAC1+∠AC1B=90° ∵∠C=∠C1 ∠C1AB=∠D ∴∠C+∠D=90° ∴DE⊥AC例：已知，如图所示，圆O1与圆O2相交于A、B两点，过A点的弦分别交两圆于C、D，弦CE//DB，连结EB，试判断EB与圆O2的位置关系，并证明你的结论。 证：连结BO2并延长交圆O2于F，∵BF为直径∴∠1+∠2=90°∵EC//DB∴∠E+∠EBD=180°∴∠E+∠EBO2+∠3=180°∵∠2=∠E，∠1=∠3∴∠2+∠1+∠EBO2=180°∴∠EBO2=90°，∴O2B⊥EB，∴EB与圆O2相切。【模拟试题】1.若两圆无公共点，则两圆的位置关系为___________。2.若两圆有公共点，则两圆的位置关系为___________。3.已知两圆半径为12.4cm和7.3cm，则两圆相切时，圆心距等于___________。4.已知两圆的半径之比为3：5，若两圆内切时圆心距等于6cm，则两圆的半径分别为___________；若两圆无公共点，则圆心距d的取值范围为___________。5.若两圆半径为r和R，圆心距为d，且d<R+r，则两圆位置关系为___________。6.若两圆的半径分别是2cm和4cm，圆心距是1cm，则两圆的位置关系是___________。7.在△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，圆A、圆B、圆C两两外切，则圆C的半径是___________。8.若两圆直径分别是8+t和8－t，圆心距为16，则两圆的位置关系为___________。9.若两圆半径分别为R和r（R>r），其圆心距为d，且有，则两圆的位置关系为___________。10.若两圆半径分别为R和r，圆心距为d，且，则两圆位置关系为___________。11.已知圆O1和圆O2相切，这个图形是___________对称图形，它的对称轴是___________，切点与对称轴的位置关系为___________。12.两个半径相等的圆的位置关系有___________种。13.已知两圆的半径R、r（）是方程的两根，两圆的圆心距为d。（1）若d=5，试判定两圆的位置关系；（2）若d=2，试判定两圆的位置关系；（3）若两圆相交，试确定d的取值范围；（4）若两圆相切，求d的值。14.已知，如图，施工工地的水平地面上，有三根外径都是1m的水泥管两两相切摞在一起，求其最高点到地面的距离。【试题答案】1.外离或内含2.外切或相交或内切3.19.7cm4.9cm15cmd>24cm或0≤d<6cm5.内含或内切或相交6.内含7.1cm8.外离9.内切或外切10.不内含11.轴两圆的连心线切点在对称轴上12.（外离、外切、相交）三13.由R、r是方程的两根可得R+r=3，Rr=1，R－r=|R－r|（1）d=5>R+r，所以两圆外离；（2）d=2<R－r，所以两圆内含；（3）因两圆相交，R－r<d<R+r，；（4）两圆相切，d=R+r或d=R－r，所以d=3或。14.其截面图中三个圆的圆心组成一个边长为1m的正三角形，其高为，其最高点到地面和距离为。4.2.3直线与圆的方程的应用一、教学目标1、知识与技能（1）理解直线与圆的位置关系的几何性质；（2）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；（3）会用“数形结合”的数学思想解决问题．2、过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．3、情态与价值观让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力．二、教学重点、难点：重点与难点：直线与圆的方程的应用．三、教学设想问题设计意图师生活动1．你能说出直线与圆的位置关系吗？启发并引导学生回顾直线与圆的位置关系，从而引入新课．师：启发学生回顾直线与圆的位置关系，导入新课．生：回顾，说出自己的看法．2．解决直线与圆的位置关系，你将采用什么方法？理解并掌握直线与圆的位置关系的解决办法与数学思想．师：引导学生通过观察图形，回顾所学过的知识，说出解决问题的方法．生：回顾、思考、讨论、交流，得到解决问题的方法．问题设计意图师生活动3．阅读并思考教科书上的例4，你将选择什么方法解决例4的问题？指导学生从直观认识过渡到数学思想方法的选择．师：指导学生观察教科书上的图形特征，利用平面直角坐标系求解．生：自学例4，并完成练习题1、2．师：分析例4并展示解题过程，启发学生利用坐标法求，注意给学生留有总结思考的时间．4．你能分析一下确定一个圆的方程的要点吗？使学生加深对圆的方程的认识．教师引导学生分析圆的方程中，若横坐标确定，如何求出纵坐标的值．5．你能利用“坐标法”解决例5吗？巩固“坐标法”，培养学生分析问题与解决问题的能力．师：引导学生建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示相应的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题．生：建立适当的直角坐标系，探求解决问题的方法．6．完成教科书第页的练习题使学生熟悉平面几何问题与代数问题的转化，加深“坐标法”的解题步骤．教师指导学生阅读教材，并解决课本第页的练习题．教师要注意引导学生思考平面几何问题与代数问题相互转化的依据．7．你能说出练习题蕴含了什么思想方法吗？反馈学生掌握“坐标法”解决问题的情况，巩固所学知识．学生独立解决第页习题A第题，教师组织学生讨论交流．8．小结：（1）利用“坐标法”解决问对知识进行归纳概括，体会利师：指导学生完成练习题．生：阅读教科书的例3，并完成第问题设计意图师生活动题的需要准备什么工作？（2）如何建立直角坐标系，才能易于解决平面几何问题？（3）你认为学好“坐标法”解决问题的关键是什么？（4）建立不同的平面直角坐标系，对解决问题有什么直接的影响呢？用“坐标法”解决实际问题的作用．教师引导学生自己归纳总结所学过的知识，组织学生讨论、交流、探究．4.3.2空间两点间的距离公式教案教学任务分析通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式教学重点和难点重点：空间两点间的距离公式难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。教学基本流程由平面上两点间的距离公式，引入空间两点距离公式的猜想先推导特殊情况下的空间两点间的距离公式推导一般情况下的空间两点间的距离公式情景设计问题问题设计意图师生活动在平面上任意两点A，B之间距离的公式为|AB|=，那么对于空间中任意两点A，B之间距离的公式会是怎样呢？你猜猜？通过类比，充分发挥学生的联想能力。师：、只需引导学生大胆猜测，是否正确无关紧要。生：踊跃回答（2）空间中任意一点P到原点之间的距离公式会是怎样呢？[1]从特殊的情况入手，化解难度师：为了验证一下同学们的猜想，我们来看比较特殊的情况，引导学生用勾股定理来完成学生：在教师的指导下作答得出问题问题设计意图师生活动（3）如果是定长r,那么表示什么图形？任何知识的猜想都要建立在学生原有知识经验的基础上，学生可以通过类比在平面直角坐标系中，方程表示原点或圆，得到知识上的升华，提高学习的兴趣。师：注意引导类比平面直角坐标系中，方程表示的图形，让学生有种回归感。生：猜想说出理由（4）如果是空间中任意一点到点之间的距离公式会是怎样呢？[2]人的认知是从特殊情况到一般情况的师生：一起推导，但是在推导的过程中要重视学生思路的引导。得出结论：空间直角坐标系（教学设计）1．教学任务分析使学生深刻感受空间直角坐标系的建立的背景以及理解空间中点的坐标表示。通过数轴与数，平面直角坐标系与一对有序实数，引申出建立空间直角坐标系的必要性。2．教学重点和难点重点：空间直角坐标系中点的坐标表示难点：空间直角坐标系中点的坐标表示3．教学基本流程设情景引入空间直角坐标系的建立空间中任意一个点的坐标表示通过例1、例2的讲解，加深对空间点的坐标表示的理解教师讲评小节学生完成课后练习1、24．学情景设计问题问题设计意图师生活动（1）我们知道数轴上的任意一点M都可用对应一个实数表示，建立了平面直角坐标系后，平面上任意一点M都可用对应一对有序实数表示。那么假设我们建立一个空间直角坐标系时，空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组表示出来呢？让学生体会到点与数（有序数组）的对应关系师：启发学生联想思考，生：感觉可以师：我们不能仅凭感觉，我们要把对它的认识从感性化提升到理性化。问题问题设计意图师生活动（2）空间直角坐标系该如何建立呢？[1]体会空间直角坐标系的建立过程师：引导学生看图[1]，单位正方体，让学生认识该空间直角坐标系O-中，什么是坐标原点，坐标轴以及坐标平面。师：该空间直角坐标系我们称为右手直角坐标系。（3）建立了空间直角坐标系以后，空间中任意一点M如何用坐标表示呢？[2]学生从（1）中的感性向理性过渡师：引导学生观察图[2]，生：点M对应着唯一确定的有序实数组（x，y，z）分别是P、Q、R在x、y轴上的坐标师：如果给定了有序实数组，它是否对应着空间直角坐标系中的一点呢/生：（思考）是的师：由上我们知道了空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记M，叫做点M的横坐标，叫做点M的纵坐标，叫做点M的竖坐标。师：大家观察一下图[1]，你能说出点O，A，B，C的坐标吗？生：回答（4）例1、例2学生在教师的指导下完成，加深对点的坐标的理解，例2更能体现出建立一个合适的空间直角系的重要性师：让学生思考例一一会，学生作答，师讲评。师：对于例二的讲解，主要是引导学生先要学会建立合适的空间直角坐标系，然后才涉及到点的坐标的求法。生：思考例一、例二的一些特点。总结如何求出空间中的点坐标的方法。（5）练习2学生在原宥小结的经验的基础上，动手操作，并且锻炼学生的口才师：大家拿笔完成练习2然后上黑板来讲解生：完成（6）今天通过这堂课的学习，你能有什么收获？让学生的自信心得到增强生：谈收获师：总结配套练习：一、选择题1、点到轴的距离是（）A.B.C.D.2、若轴上的点M到原点及点（5，-3）的距离相等，则M的坐标是（）A.（-2，0）B.（1，0）C.D.3、已知两点A，B，则线段AB的长为（）A.B.C.D.4、已知两点P，Q，则|PQ|的最大值是（）A.1B.C.2D.45、设点P(a，b)，Q(c，d)是