数学课堂导学案：正弦函数、余弦函数的性质（单调性和奇偶性）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析1.正余弦函数的单调性、奇偶性与最值【例1】求下列函数的单调区间：（1)y=sin(x—）；(2)y=cos2x。思路分析：本题主要考查复合函数的单调区间的求法.可依据y=sinx(x∈R)和y=cosx（x∈R）的单调区间及复合函数单调性原则求单调区间.解:（1）令u=x-,函数y=sinu的递增、递减区间分别为［2kπ—,2kπ+］,k∈Z，［2kπ+,2kπ+］，k∈Z.∴y=sin(x-）的递增、递减区间分别由下面的不等式确定.2kπ—≤x—≤2kπ+,k∈Z,2kπ+≤x-≤2kπ+，k∈Z,得2kπ—≤x≤2kπ+,k∈Z，2kπ+≤x≤2kπ+116π,k∈Z.∴函数y=sin(x-）的递增区间、递减区间分别是［2kπ-，2kπ+］，k∈Z,［2kπ+，2kπ+116π］，k∈Z。(2)函数y=cos2x的单调递增区间、单调递减区间分别由下面的不等式确定2kπ—π≤2x≤2kπ(k∈Z）,2kπ≤2x≤2kπ+π,k∈Z。∴kπ—≤x≤kπ，k∈Z，kπ≤x≤kπ+,k∈Z。∴函数y=cos2x的单调递增区间、单调递减区间分别为［kπ-，kπ］，k∈Z,［kπ，kπ+］，k∈Z.【例2】求函数y=3-2sin(x+）的最大、最小值及相应的x值.思路分析：使函数y=3—2sin(x+)取得最大、最小值的x就是使得函数y=sin（x+）取得最小、最大值的x。解：当sin（x+）=1即x+=2kπ+，x=2kπ+时,y取最小值,y的最小值为3-2=1。当sin（x+）=—1即x+=2kπ-,x=2kπ-23π时，y取最大值，y的最大值为3+2=5。温馨提示求形如y=Asin（ωx+φ）+B或y=Acos(ωx+φ)+B的单调区间或最值时，我们用整体换元思想。A、ω＞0时，则ωx+φ直接套正余弦函数的增减区间和取最大、最小值的x的集合，解得x的范围即可.2。判断函数的奇偶性【例3】判断下列函数的奇偶性.（1）f(x）=｜sinx|+cosx；(2）f(x）=；（3)y=；（4)y=.思路分析：本题主要考查奇偶性的判定.判断奇偶性的方法.①判断定义域是否关于原点对称；②判断f(-x)与f（x)的关系。解：（1）函数的定义域为R，f(—x）=｜sin(—x)｜+cos(—x)=|-sinx｜+cosx=|sinx｜+cosx=f(x).∴函数为偶函数.（2)由1+sinx+cosx≠0得x≠π+2kπ，且x≠+2kπ,k∈Z。∴函数的定义域不关于原点对称。∴函数f（x)=为非奇非偶函数。(3）∵sinx—1≥0,∴sinx=1，x=2kπ+（k∈Z)。函数定义域不是关于原点对称的区间,故为非奇非偶函数。(4）∵1—cosx≥0且cosx≥1，∴cosx=1,x=2kπ(k∈Z).此时，y=0，故该函数既是奇函数，又是偶函数。温馨提示判断函数的奇偶性,要特别注意函数的定义域.如果定义域不关于原点对称,则为非奇非偶函数，若定义域关于原点对称.再通过化简判断f（—x）与f(x)的关系，如f(x）=f(-x）且f(x）≠-f（x）,则该函数为只偶非奇函数;如:f(-x)=-f（x）且f(-x)≠f（x)，则该函数为只奇非偶函数；如f(—x)=f（x)且f(-x）=—f（x），则该函数为既奇又偶函数；如f(-x)≠f（x)，且f(—x)≠—f（x)，则该函数为非奇非偶函数.3.y=Asin（ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ）型函数中，A、ω的正负对求单调区间及最值的影响【例4】求函数的单调区间：y=2sin(—x).思路分析：令-x=u,则u=-x在x∈R上是减函数，由复合函数同增异减原则,要求原函数的递增区间，-x必须套sinu的减区间。解：y=2sin（—x）化为y=—2sin（x-)。∵y=sinu（u∈R)的递增、递减区间分别为[2kπ—，2kπ+］,k∈Z.［2kπ+，2kπ+]，k∈Z。∴函数y=—2sin(x-）的递增、递减区间分别由下面的不等式确定.2kπ+≤x—≤2kπ+,k∈Z。2kπ—≤x—≤2kπ+,k∈Z.得2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z。2kπ—≤x≤2kπ+,k∈Z.∴函数y=sin（—x)的单调递增区间、单调递减区间分别为［2kπ+,2kπ+］,k∈Z。［2kπ—，2kπ+］，k∈Z。各个击破类题演练1求函数y=3sin（2x+）的单调递增区间.解:令2x+=u,则y=3sinu的单调增区间为[2kπ-,2kπ+］，k∈Z,即2kπ—≤2x+≤2kπ+，∴kπ-≤x≤kπ+。∴y=3sin(2x+)的单调递增区间是［kπ—π,kπ+］,k∈Z。变式提升1比较下列各组数的大小.（1）sin16°与sin154°；(2)cos3,cos，sin4，cos。解：（1)因为sin154°=sin(180°-26°）=sin26°.函数y=sinx在［0,］为增函数，而26°＞16°。所以sin26°＞sin16°，即sin154°＞sin16°。（2)因为sin4=cos(-4)=cos(4—)，函数y=cosx在［0，π］为减函数，而＜4—＜＜3＜π。所以cos＞cos(4-）＞cos＞cos3.即cos＞sin4＞cos＞cos3。类题演练2函数f（x）=3sin（π5x+）的最大值为____________,相应的x取值集合为____________。解析：最大值为3,此时π5x+=2kπ+，k∈Z,∴x=10k+，k∈Z.答案:3｛x|x=10k+,k∈Z｝变式提升2求下列函数的最大值与最小值及相应的x。(1）y=acosx+b；(2）y=cos2x+sinx—2.解:（1）①若a＞0，当cosx=1，即x=2kπ时，y取最大值,y的最大值为a+b；当cosx=-1，即x=2kπ+π时，y取最小值，y的最小值为b—a.②若a＜0,当cosx=1即x=2kπ时，y取最小值，y的最小值为a+b；当cosx=-1即x=2kπ+π时，y取最大值，y的最大值为b—a。总上知y的最大值为｜a｜+b，最小值为—｜a｜+b.(2）y=1—sin2x+sinx-2=-sin2x+sinx—1=-(sinx—)2—,当sinx=12，即x=2kπ+或x=2kπ+(k∈Z）时，y取得最大值，y的最大值为-;当sinx=—1即x=2kπ-时,y取得最小值,y的最小值为-3.类题演练3判断下列函数的奇偶性：(1)f(x）=xsin（π+x);（2）f(x）=cos(2π—x）—x3sinx；（3）f(x)=。解：(1）函数的定义域R关于原点对称。f（x）=xsin（π+x)=—xsinx,f（-x)=—(-x）sin（—x）=-xsinx=f（x）.∴f（x)是偶函数.(2）函数f（x)的定义域R关于原点对称,又f（x）=cosx—x3sinx∴f（-x）=cos（-x)-(—x)3sin（—x)=cosx-x3sinx=f(x）。∴f(x）为偶函数.(3）函数应满足1+sinx≠0,∴函数的定义域为｛x∈R|x≠2kπ+,k∈Z｝，∴函数的定义域关于原点不对称,∴函数既不是奇函数也不是偶函数。变式提升3(1）已知f（x)=ax+bsin3x+1(a、b为常数),且f(5）=7,求f（-5）.（2)如果函数y1=a-bcosx（b＞0)的最大值是32,最小值是,那么函数y2=—4asin3bx的最大值是(）A。-2B。2C。D.-解:（1）因为f(-x）-1=a（-x)+bsin3(—x)=—(ax+bsin3x）=-［f(x）-1］，所以f（—5)=-6.（2）由题意a+b=∴∴y2=-2sin3x.∴y2的最大值为2。答案：（1）-6（2）B类题演练4函数y=2sin（-2x)（x∈[0,π］)为增函数的区间是（）A.［0，］B.[，］C.［，］D。［，π］解：2sin(—2x)=-2sin（2x-),当2kπ+≤2x—≤2kπ+,即kπ+≤x≤kπ+（k∈Z