数学学案：应用举例

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精教材习题点拨练习A1．解：如图所示，在△BC1D1中，∠C1BD1＝β－α＝14°16′.由正弦定理得BD1＝eq\f(C1D1sinα，sin∠C1BD1)≈26.01(m），在Rt△A1BD1中，A1B＝BD1sinβ＝26。01×sin49°28′≈19.77（m）．∴AB＝A1B＋AA1＝21.29（m）,即烟囱的高约为21。29m。2．解：如图所示，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°－α,AB＝eq\f(h,cos∠BAD)＝eq\f（h,sinα)，在△ABC中，∠BAC＝α－β，∠C＝β，由正弦定理得BC＝eq\f(ABsin∠BAC,sinC）＝eq\f（hsin(α－β），sinαsinβ）.3．解：如图所示，∠CBA＝70°，∠CAB＝60°,BC＝30km/h，在△ABC中，∠ACB＝50°，∴AB＝≈26.5（km/h）．答：水流的速度约为26.5km/h.练习B1．解：依题意,∠BAC＝60°＋6°20′＝66°20′,由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝1。952＋1.42－2×1。95×1.4cos66°20′≈3.5708,所以BC≈1。89（m)．2．解：在△ABC中，由正弦定理得sin∠BAC＝eq\f（BCsin80°,AB）＝eq\f(85sin80°，340）≈0.2462,∠BAC≈14。25°，∠ABC＝180°－（80°＋14.25°)＝85.75°，AC＝eq\f（ABsin∠ABC,sin80°)＝eq\f（340sin85。75°，sin80°）≈344。3（mm)，A0A＝A0C－AC＝（340＋85）－344.3≈81(mm）．习题12A1．解:∠ABC＝180°－(∠BAC＋∠ACB)＝54°，由正弦定理得AB＝eq\f（ACsin∠ACB，sin∠ABC)＝eq\f（50sin75°，sin54°）≈59.7(m）．2．解：如图所示，在△ABC中,AB＝1。2,BC＝2.8，AC＝3。5，由余弦定理得cos∠ABC＝eq\f(AB2＋BC2－AC2，2AB·BC)≈－0。4420，∠ABC≈116°.所以河堤背水坡的倾斜角约为116°。3．解:如图所示,在△ABD中,∠A＝29°，∠ABD＝38°－29°＝9°.由正弦定理得BD＝eq\f（ADsinA，sin∠ABD)＝eq\f(200sin29°,sin9°）≈619。8(m)．在Rt△BCD中，BC＝BDsin∠BDC＝619.8sin38°≈381.6(m)．评注：以上三题分别是利用正弦定理、余弦定理求两点间距离、求高度和角度问题，要注意总结解题规律．4．解:如图所示,依题意,OF＝5,∠GOF＝25°，∠OFG＝95，∠G＝60°.在△OFG中，由正弦定理得FG＝eq\f(OFsin∠FOG，sinG）＝eq\f(5sin25°，sin60°）≈2。44，OG＝eq\f（OFsin95°,sinG）＝eq\f(5sin95°,sin60°）≈5.75。所以在OA方向上的分力的大小约为5。75N，在OB方向上的分力的大小约为2.44N.评注：本题是利用正弦定理解决力学问题．习题12B1．解:如图所示，由题意知，∠BAC＝12°30′，∠BAD＝37°40′，AC＝31.2m。在Rt△ABD中，∠D＝90°－37°40′＝52°20′,在△ACD中，∠CAD＝37°40′－12°30′＝25°10′，由正弦定理得CD＝eq\f（ACsin∠CAD，sinD）＝eq\f(31。2sin25°10′,sin52°20′)≈16.8（m）．故旗杆的高约为16.8m.评注：要正确理解太阳的仰角及旗杆在山坡上的影子．2．解：设CD＝x，则AD＝2x.在△BCD中，∠CBD＝20°,BD＝eq\f(CDsin40°，sin20°)≈1。9x，在△ADB中，AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos60°，即400＝4x2＋3.61x2－3。8x2，x≈10.2,则AC＝30.6m．在△BCD中，BC＝eq\f（CDsin120°,sin20°)≈25.8.S△ABC＝eq\f(1，2）AC·BCsinC＝eq\f(1,2)×30.6×25。8×sin40°≈254(m2）．故这块绿地的面积约为254m2.评注：本题计算过程比较复杂，要结合图形，由已知求未知．3．解：如图所示,在Rt△ACD中，∠CAD＝α，AD＝hcotα，在Rt△BCD中，BD＝hcotβ，在△ABD中，AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcosγ＝h2co