第02讲 三角恒等变换（和差公式、倍角公式、升降幂公式、辅助角公式）（教师版）-2025版高中数学一轮复习考点帮

Page第02讲三角恒等变换（和差公式、倍角公式、升降幂公式、辅助角公式）（14类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析关联考点2024年新I卷，第4题,5分用和、差角的余弦公式化简、求值三角函数的化简、求值同角三角函数基本关系2024年新I卷，第13题,5分用和、差角的正切公式化简、求值同角三角函数基本关系2023年新I卷，第8题,5分用和、差角的正弦公式化简、求值二倍角的余弦公式三角函数求值2023年新Ⅱ卷，第7题,5分半角公式、二倍角的余弦公式无2023年新Ⅱ卷，第16题,5分由图象确定正(余)弦型函数解析式特殊角的三角函数值2022年新Ⅱ卷，第6题,5分用和、差角的余弦公式化简、求值用和、差角的正弦公式化简、求值无2021年新I卷，第6题,5分二倍角的正弦公式正、余弦齐次式的计算三角函数求值2021年新I卷，第10题,5分逆用和、差角的余弦公式化简、求值二倍角的余弦公式数量积的坐标表示坐标计算向量的模2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较中等或偏难，分值为5-11分【备考策略】1.推导两角差余弦公式，理解两角差余弦公式的意义2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式3.能推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，能运用公式解决相关的求值与化简问题【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式变形应用和半角公式变形应用，需加强复习备考知识讲解正弦的和差公式余弦的和差公式正切的和差公式正弦的倍角公式 余弦的倍角公式升幂公式：，降幂公式：，正切的倍角公式半角公式(1)sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2)).(2)coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2)).(3)taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα).以上称之为半角公式，符号由eq\f(α,2)所在象限决定．万能公式和差化积与积化和差公式推导公式辅助角公式，，其中，考点一、正弦两角和与差的基本应用1．（福建·高考真题）等于（）A．0 B． C．1 D．【答案】C【分析】由题得原式=，再利用和角的正弦公式化简计算.【详解】由题得原式=.故选C【点睛】本题主要考查诱导公式和和角的正弦公式的运用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.2．（全国·高考真题）=A． B．C． D．【答案】D【详解】原式===，故选D.考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式.3．（2020·全国·高考真题）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.【详解】由题意可得：，则：，，从而有：，即.故选：B.【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.4．（2024·全国·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则.【答案】【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得，再缩小的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【详解】法一：由题意得，因为，，则，，又因为，则，，则，则，联立，解得.法二：因为为第一象限角，为第三象限角，则,，，则故答案为：.1．（2024高三·全国·专题练习）．【答案】【分析】先利用诱导公式得，再利用两角和的正弦公式求解.【详解】．故答案为：2．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据三角函数的定义求出角的正余弦值，再利用差角的正弦公式计算即得.【详解】由题意，.则.故选：D.3．（2024高三·全国·专题练习）化简：．【答案】/【分析】根据两角差的正弦公式和特殊角的三角函数值得出答案；【详解】原式．故答案为：.4．（2024·河南·三模）若，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用正弦的差角公式结合弦切关系分别计算，再根据和角公式计算即可.【详解】因为，又，即，则，所以，故.故选：D5．（2024·云南·模拟预测）若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，利用两角和与差的三角函数，准确运算，即可求解.【详解】由，即，所以.故选：A.考点二、余弦两角和与差的基本应用1．（高考真题）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用诱导公式转化，原式=sin163°•sin223°+cos163°cos223°再通过两角和公式化简，转化成特殊角得出结果．【详解】原式=sin163°•sin223°+cos163°cos223°=cos（163°-223°）=cos（-60°）=.故选A.【点睛】本题主要考查了诱导公式应用及两角和与差的余弦公式．要熟记公式是关键．2．（2024·全国·高考真题）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据两角和的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值.【详解】因为，所以，而，所以，故即，从而，故，故选：A.3．（2023·全国·高考真题）已知，则（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答.【详解】因为，而，因此，则，所以.故选：B【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．1．（2024·山东枣庄·模拟预测）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（

）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】根据三角函数的定义求出，，再由两角差的余弦公式计算可得.【详解】因为，即，即角的终边经过点，所以，，所以.故选：D2．（2024·宁夏石嘴山·三模）已知，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平方关系求出，然后由余弦的两角差公式可得.【详解】因为，，，，所以，所以.故选：A3．（2024·四川宜宾·模拟预测）若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先对进行化简整理，得到，求得结果.【详解】，所以.故选：A.4．（23-24高三下·江苏扬州·开学考试）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用两角余弦的和差公式结合二倍角公式求解即可.【详解】由题意得，又，则，解得，，故，则，故选：C5．（2024·全国·模拟预测）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据二倍角的正弦公式和同角三角函数的关系求出，再根据两角差的余弦公式即可得解.【详解】因为，所以，因为，所以，，，所以.故选：B．考点三、正切两角和与差的基本应用1．（2019·全国·高考真题）tan255°=A．－2－ B．－2+ C．2－ D．2+【答案】D【分析】本题首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．【详解】详解：=【点睛】三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．2．（重庆·高考真题）若,则A． B． C． D．【答案】A【详解】试题分析：，故选A.考点：两角和与差的正切公式．3．（2024·全国·高考真题）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为，所以，，所以，故选：B.4．（2020·全国·高考真题）已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（

）A．–2 B．–1 C．1 D．2【答案】D【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.【详解】，，令，则，整理得，解得，即.故选：D.【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.5．（2022·全国·高考真题）若，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】[方法一]：直接法由已知得：,即：，即：所以故选：C[方法二]：特殊值排除法解法一:设β=0则sinα+cosα=0，取，排除A,B；再取α=0则sinβ+cosβ=2sinβ，取β，排除D；选C.[方法三]：三角恒等变换所以即故选：C.1．（2024·山西吕梁·二模）已知角的顶点在原点，始边在轴的正半轴上，终边经过点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角函数的定义可得，即可利用和差角公式求解，或者根据特殊角得，代入求解.【详解】方法一；由角终边经过点，可得，所以.故选：A.方法二：角终边经过点，故为第二象限角，，则，则.故选:A.2．（2024·重庆·三模）已知，则（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【分析】利用诱导公式得到，即可求出，再由两角和的正切公式展开计算可得.【详解】因为，所以，即，所以，则，解得.故选：B3．（2024·江苏·模拟预测）若，则（

）A． B．7 C． D．【答案】B【分析】先根据已知及同角三角函数的平方关系弦化切，再根据正切的和角公式计算即可.【详解】因为，整理得，所以，又.故选：B4．（2024·福建泉州·模拟预测）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用两角和差的正余弦公式展开，两边同除，得到.再利用两角差的正切公式展开，将换成，化简即可得到答案.【详解】，所以，两边同除，得到，即.，.故选：C.5．（2024·贵州黔东南·二模）已知，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】找出和的关系，求出和即可求解.【详解】，，①，，，②，由①②解得或，，，，.故选：C.考点四、拼凑角思想在三角恒等变换中求值1．（2024·四川·模拟预测）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据，，求出，计算，再利用两角差的正弦公式得到展开即可.【详解】因为，所以，又因为，所以，所以，所以由两角差的正弦公式得，所以.故选：C.2．（浙江·高考真题）若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣）=，则cos（α+）=（）A． B．﹣ C． D．﹣【答案】C【详解】∵0＜a＜，﹣＜β＜0，∴＜+α＜，＜﹣＜∴sin（+α）==，sin（﹣）==∴cos（α+）=cos[（+α）﹣（﹣）]=cos（+α）cos（﹣）+sin（+α）sin（﹣）=故选C3．（23-24高三下·浙江金华·阶段练习）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知结合两角差的余弦公式可先求出，然后结合二倍角公式及和差化积公式进行化简即可求解．【详解】由得，又，所以，所以．故选：C．4．（22-23高一下·江西景德镇·期中）已知，满足，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】注意到，后结合，，利用二倍角，两角和的正弦公式可得答案.【详解】因，则，又，则，得.因，则.又，则，结合，则，得，则.又注意到，则.故选：B1．（2024·河北石家庄·三模）已知角满足，则（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】借助对已知化简，可求出的值，再由可解.【详解】因为，即，所以，整理得，变形得，所以.故选：C2．（2024·山西·三模）若，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据结合的范围分析可得，，再根据结合的范围分析可得，由结合两角和差公式分析求解.【详解】因为，则，且，则，可得，，又因为，则，且，可得，，所以.故选：D.3．（2024·重庆·模拟预测）已知都是锐角，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，求得，再由的单调性，求得，利用两角差的余弦公式，求得，结合余弦的倍角公式，即可求解.【详解】由与均为锐角，且，所以，因为，可得，，又因为在上单调递减，且，所以，因为，所以，所以，则.故选：A.考点五、拼凑角思想在三角恒等变换中求角1．（23-24高三上·贵州铜仁·阶段练习）已知，且和均为钝角，则的值为（

）A． B． C．或 D．【答案】D【分析】根据角度范围求解，再求解，结合角度范围判断即可.【详解】∵和均为钝角，∴，．∴．由和均为钝角，得，∴．故选：D2．（2024高三·全国·专题练习）已知,,且,,则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用二倍角的正切公式求出,再根据结合两角和的正切公式求得,根据求出,从而可得的范围,即可得出的范围,即可得解.【详解】因为,所以,故,由,所以,又,所以,故,所以.故选：A.3．（22-23高三·全国·期末）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】直接利用三角函数恒等变换进行凑角化简，再根据，的范围即可求出结果.【详解】由已知可将，，则，，，即或．又，所以，所以，所以选项A，B错误，即，则，所以．则C错，D对，故选：D1．（2023高三·全国·专题练习）已知，，且，，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用同角三角函数平方关系可求得，利用两角和差余弦公式可求得，结合可得结果.【详解】，，，，，又，.故选：B.2．（22-23高三上·山东青岛·期中）已知，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出的取值范围，利用同角三角函数的基本关系以及两角差的正弦公式求出的值，即可得解.【详解】因为，则，因为，则，可得，因为，则，，所以，，，所以，，所以，.故选：A.3．（2024·吉林长春·模拟预测）已知，，，，则（

）A． B． C． D．或【答案】B【分析】求出、的范围，利用平方关系求出、，再由求出，结合的范围可得答案.【详解】因为，所以，所以，因为，，所以，所以，又由知又因为，所以.故选：B.考点六、正弦倍角公式的应用1．（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】结合倍角公式以及特殊角的三角函数值即可求出结果.【详解】，故选：A.2．（2024·河南·二模）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】对已知等式两边平方结合平方关系、二倍角公式以及诱导公式即可运算求解.【详解】.故选：D.3．（2024·四川自贡·三模）已知角满足，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】结合题意运用倍角公式和化正弦余弦为正切，即可求解.【详解】由得，即，.故选：D.1．（2024·山东济南·三模）若，则（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】由同角的三角函数和二倍角公式结合特殊角的三角函数计算可得.【详解】因为，所以，所以，所以，故选：B2．（2024·山东·模拟预测）已知，则（

）A．4 B．2 C． D．【答案】D【分析】由已知可得，利用，可求值.【详解】因为，所以，所以．故选：D.考点七、余弦倍角公式的应用1．（山东·高考真题）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据余弦二倍角公式计算即可得到答案.【详解】.故选：D【点睛】本题主要考查余弦二倍角公式，属于简单题.2．（2022·北京·高考真题）已知函数，则（

）A．在上单调递减 B．在上单调递增C．在上单调递减 D．在上单调递增【答案】C【分析】化简得出，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为.对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错；对于B选项，当时，，则在上不单调，B错；对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对；对于D选项，当时，，则在上不单调，D错.故选：C.3．（2021·全国·高考真题）（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意结合诱导公式可得，再由二倍角公式即可得解.【详解】由题意，.故选：D.4．（全国·高考真题）函数的最小正周期是A． B． C． D．【答案】B【分析】将函数利用平方差公式及二倍角公式化成最简，在代入公式求周期．【详解】，∴函数的最小正周期.选B【点睛】本题关键是把函数化成的形式，属基础题．1．（2020·全国·高考真题）若，则．【答案】【分析】直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可.【详解】.故答案为：.【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式的应用，属于基础题.2．（2024·北京顺义·三模）已知函数，则（

）A．为偶函数且周期为 B．为奇函数且在上有最小值C．为偶函数且在上单调递减 D．为奇函数且为一个对称中心【答案】C【分析】由二倍角公式得，再根据余弦函数性质判断即可；【详解】解：因为，所以，函数为偶函数且周期为，在上单调递减.所以，ABD选项错误，C选项正确.故选：C3．（2022·浙江·高考真题）若，则，．【答案】【分析】先通过诱导公式变形，得到的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出，接下来再求．【详解】[方法一]：利用辅助角公式处理∵，∴，即，即，令，，则，∴，即，∴，则.故答案为：；.[方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程∵，∴，即，又，将代入得，解得，则.故答案为：；.考点八、升幂公式与降幂公式的应用1．（浙江宁波·期末）=A． B． C． D．【答案】A【分析】利用降次公式求得所求表达式的值.【详解】依题意.故选：A【点睛】本小题主要考查降次公式，属于基础题.2．（2024·浙江·模拟预测）若，则．【答案】【分析】本题考查同角三角函数的基本关系和二倍角余弦公式的应用.根据，，解得，结合二倍角余弦公式进行解答即可．【详解】因为可得，因为，可得，解得或（舍去）所以．故答案为:．3．（2024·浙江·三模）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据诱导公式和二倍角公式化简等式，在利用二倍角公式计算得到结果；【详解】∵，∴，∴，故选：A．4．（2024·全国·模拟预测）已知为锐角，满足，则，．【答案】//【分析】由，利用两角和与差的正弦公式和余弦的二倍角公式，求出；再用余弦的二倍角公式求出.【详解】因为，所以，又，所以，因为为锐角，所以为锐角，又，所以，又，所以，所以．故答案为：；.1．（2024·浙江绍兴·二模）若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由降幂公式求出，再结合诱导公式求解即可．【详解】由已知得，，即，则，故选：D．2．（2024·安徽合肥·三模）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由辅助角公式得，再利用诱导公式和余弦二倍角公式即可求解.【详解】由得，即，所以，故选：D3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，则．【答案】【分析】先将条件式化简可得，再利用诱导公式和二倍角余弦公式将所求式子变形得解.【详解】由，得，即，所以，所以.故答案为：.4．（2024·黑龙江·三模）已知，则.【答案】/【分析】已知，由两角和的余弦公式求得，再由两角和的余弦公式求，倍角公式求.【详解】因为，而，因此，则，所以.故答案为：.5．（2024·湖南长沙·二模）已知，则【答案】/【分析】由，结合两角和的余弦公式化简条件可求得，再利用二倍角的余弦公式求即可.【详解】因为，所以，所以，所以所以.故答案为：考点九、正切倍角公式的应用1．（2024高三·全国·专题练习）若，则．【答案】【分析】利用诱导公式化简已知，得，再利用二倍角公式求解.【详解】因为，则，所以．故答案为：2．（2024·安徽合肥·三模）已知，则.【答案】【分析】利用两角和差的正切公式计算，再使用二倍角的正切公式即可.【详解】由，且，得，整理得，解得（舍）或，所以．故答案为：.3．（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，利用倍角公式，化简得到，求得，再结合正切的倍角公式，即可求解.【详解】因为，可得，因为，可得，所以，即，可得，即，所以，则，即，解得或因为，可得，所以.故选：B.1．（2024高三·全国·专题练习）．【答案】【分析】利用二倍角公式计算可得.【详解】.故答案为：2．（2024·辽宁沈阳·二模）已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据结合可得与，进而可得.【详解】则，即，又因为，故，，，故，因为，则，结合可得，，则.故.故选：C3．（2024·全国·模拟预测）已知，，则（

）A． B． C． D．13【答案】B【分析】根据题意及二倍角公式、诱导公式、两角差的正切公式、同角三角函数的基本关系即可求解．【详解】由，则，所以，所以．又因为，则，，所以，则．故选：B．考点十、半角公式的应用1．（2023·全国·高考真题）已知为锐角，，则（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．【详解】因为，而为锐角，解得：．故选：D．2．（2024·湖南邵阳·二模）已知为锐角，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由平方关系以及半角公式（二倍角公式）运算即可求解.【详解】已知为锐角，若，则，所以.故选：A.3．（2023·浙江·二模）数学里有一种证明方法叫做Proofwithoutwords，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证时被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理.如下图，点为半圆上一点，，垂足为，记，则由可以直接证明的三角函数公式是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据直角三角形中的定义写出，用表示出，然后分析可得．【详解】由已知，则，，又，，，，因此，故选：C．1．（2024·全国·模拟预测）已知角是第二象限角，且终边经过点，则（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】根据已知条件求出和的值，再利用求解即可.【详解】∵角是第二象限角，且终边经过点，∴，，∴.故选：C．2．（2023·全国·模拟预测）已知是锐角，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据倍角公式的变形求出，，再由两角和的余弦公式求解.【详解】因为是锐角，所以，因为，，所以，，所以．故选：D．3．若，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用同角三角函数的基本关系与半角公式求解即可【详解】因为，，所以，因为，所以，，所以，，所以，则，故选：B.考点十一、辅助角公式的应用1．（2024·全国·高考真题）函数在上的最大值是．【答案】2【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【详解】，当时，，当时，即时，.故答案为：22．（2020·北京·高考真题）若函数的最大值为2，则常数的一个取值为．【答案】（均可）【分析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得，可得，即可解出.【详解】因为，所以，解得，故可取.故答案为：（均可）.【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.3．（全国·高考真题）设当时，函数取得最大值，则.【答案】；【详解】f(x)＝sinx－2cosx＝＝sin(x－φ)，其中sinφ＝，cosφ＝，当x－φ＝2kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以cosθ＝－sinφ＝－.4．（2024高三·湖北·二模）在中，内角，，所对的边分别为，，，，，则当取得最大值时，.【答案】【分析】由正弦定理可求出的外接圆半径，借助于正弦定理进行边化角运算可得，在中，，由两角和的正弦公式展开代入的正余弦值计算，由辅助角公式即可求出结果.【详解】解：，，设外接圆半径为．则，得，则，其中，，．当．即时，取得最大值，此时．所以.故答案为：1．（2024·湖北·二模）函数，当取得最大值时，（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由辅助角公式、诱导公式直接运算即可求解.【详解】，其中，而，等号成立当且仅当，此时.故选：B.2．（2024·四川南充·二模）已知函数．设时，取得最大值．则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用辅助角公式求出，再利用诱导公式以及正弦的和差角公式可得答案.【详解】，其中；所以当时，，取得最大值，由题意，即..故选：C3．（2024·山东·模拟预测）若函数的最大值为，则常数的一个取值为．【答案】（答案不唯一，满足即可）【分析】利用和（差）角公式化简，再判断，利用辅助角公式化简，再结合函数的最大值，求出.【详解】因为，若，则，所以或，显然不满足的最大值为，所以，则，（其中），依题意可得，即，所以，所以，解得.故答案为：（答案不唯一，满足即可）4．（2024·河北保定·三模）已知锐角，（）满足，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用辅助角公式化简已知函数，得到正弦型函数，再利用自变量的范围得到函数是不单调的，所以自变量不相等但函数值相等的情形就是两角互补，从而就可以通过运算得到结果.【详解】设，其中，，，当时，，此时在，有增有减，又因为，且，所以，所以，所以.故选：D.考点十二、万能公式的综合应用1．（21-22高三上·四川成都·阶段练习）已知为锐角且，则的值是．【答案】/-0.6【分析】由题意首先求得的值，然后利用诱导公式和二倍角公式求得三角函数式的值即可.【详解】由，得，解得，或.因为为锐角，故.故答案为:.2．（2023·江苏徐州·模拟预测）已知，则．【答案】【分析】由条件等式右边含有，可联想到中分离出来处理，设，待求表达式中用表示，结合万能公式进行求解.【详解】设，于是，整理可得，根据万能公式，，整理可得，由可得，，故，根据诱导公式，，根据两角和的正切公式，，故.故答案为：1．（2022·四川眉山·模拟预测）若，，则的值为（

）A． B． C．0 D．【答案】D【分析】结合二倍角公式化简可求，再结合万能公式可求.【详解】因为，，所以且，解得，所以.故选：D2．（2024高三·全国·专题练习）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用三角恒等变换公式化简求解即可.【详解】由可得，得，则，，故．故选：C.考点十三、积化和差与和差化积公式的综合应用1．（2024高三·全国·专题练习）已知，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据和差化积公式化简，得到，再利用正切二倍角公式求出答案.【详解】由和差化积公式，得，，所以．所以．故选：A．2．（2024·安徽阜阳·一模）已知，则，.【答案】【分析】第一空，将已知条件两边同时平方两式相加，结合同角三角函数基本关系与余弦函数的和差公式即可求解；第二空，利用三角函数的和差公式得到，再利用倍角公式化简转化即可得解.【详解】由可得，即，由可得，即，两式相加可得，即，解得；因为，，所以，所以．故答案为：；.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是熟练掌握三角函数半角公式的转化，从而得解.3．（2024·广东·一模）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据条件，利用余弦的二倍角及积化和差公式，得到，从而得到，即可求出结果.【详解】因为，得到，又，所以，所以，故选：B.1．（2024·山东·模拟预测）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用两角和的正弦公式求出，再根据结合两角和差的余弦公式化简即可得解.【详解】，，所以.故选：D.2．（2024·全国·模拟预测）已知角，，满足，且，则()()()=（

）A．0 B．1C． D．【答案】A【分析】结合诱导公式与和差化积公式进行求值.【详解】因为.由和差化积公式得：.所以或或.若，则；同理，当或时，都有.故选：A考点十四、三角恒等变换的综合应用1．（23-24高二上·湖南长沙·期末）函数的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用导数可求最大值，也可以利用万能公式统一三角函数名，再利用换元法结合四元基本不等式求解即可.【详解】法一：不妨设，则，整理得到:,当时，；当时，，故在上为增函数，在为减函数，而，，故的最大值为.法二：由万能公式得，，代入原式并化简得，令，因为题设中欲求最大值，故可设,故原式转化为，当且仅当时取等，显然最大值为.故选：D【点睛】关键点点睛：本题考查求三角函数的最大值，解题关键是利用万能公式统一三角函数名，然后再用四元基本不等式求解，本题也可以直接利用导数计算.2．（2024·新疆·一模）已知:，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用三角恒等变换计算即可.【详解】由，则.故选：D【点睛】思路点睛：利用等式条件及正弦的和差角公式及同角三角函数的商数关系得出，再根据特殊角及正弦的差角公式与诱导公式计算即可.3．（2024·全国·模拟预测）已知角满足：，其中，，，则（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】利用和差化积公式和二倍角公式求解即可.【详解】因为，，所以，又，于是由可得，即，所以或．因为，所以，所以，即，所以，即，所以，即.故选：B．4．（2024·辽宁丹东·一模）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先结合二倍角公式、半角公式以及角的范围将已知等式变形为，解得，两边平方即可求解.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，即，所以，即，所以.故选：A.【点睛】关键点点睛：关键是得出，由此即可顺利得解.1．（2024·安徽阜阳·一模）已知，则，.【答案】【分析】第一空，将已知条件两边同时平方两式相加，结合同角三角函数基本关系与余弦函数的和差公式即可求解；第二空，利用三角函数的和差公式得到，再利用倍角公式化简转化即可得解.【详解】由可得，即，由可得，即，两式相加可得，即，解得；因为，，所以，所以．故答案为：；.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是熟练掌握三角函数半角公式的转化，从而得解.2．（2024·重庆·三模）已知函数满足.若是方程的两根，则=.【答案】0【分析】法一：令，根据三角变换得，则，从而，利用韦达定理得，即可求得.法二：利用韦达定理得，设，则可取，代入解析式利用诱导公式化简求解即可.【详解】法一：令，则，于是，则，即，又是方程的两根，所以，故.法二：是方程的两根，所以，设，则可取，于是.故答案为：0【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是利用巧妙的换元，结合诱导公式，或者二倍角公式，整体代入求解.3．（2024·湖北荆州·三模）设，，，若满足条件的与存在且唯一，则，.【答案】1【分析】由得到，再结合，利用，得到，，从而，再由满足条件的与存在且唯一，得到唯一，从而，求得m即可.【详解】解：由，得，即，因为，，所以，，又，所以，从而，所以，所以，所以，因为，所以，因为满足条件的与存在且唯一，所以唯一，所以，所以，经检验符合题意，所以，则，解得，所以.故答案为：，1【点睛】关键点点睛：关键是结合已知得出，求出，由此即可顺利得解.4．（2024·四川成都·三模）若为锐角三角形，当取最小值时，记其最小值为，对应的，则.【答案】160【分析】令，则，，代入中，通过构造，利用基本不等式和二次函数的性质求最小值和最小值成立的条件.【详解】为锐角三角形，，，令，则，，令，则.前两个“”取“=”的条件是，在时，所有“”全部取“=”，所以当且仅当时，取最小值40，即，所以.故答案为：160.【点睛】关键点点睛：令，构造成是关键，可利用基本不等式和二次函数性质求最小值，而且等号成立的条件相同.1．（2024·上海·高考真题）下列函数的最小正周期是的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可.【详解】对A，，周期，故A正确；对B，，周期，故B错误；对于选项C，，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误；对于选项D，，周期，故D错误，故选：A．2．（2024·河北保定·二模）若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用同角基本关系式和二倍角公式求解.【详解】由，得，即，解得或（舍），所以.故选：D.3．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由余弦的二倍角公式求解．【详解】∵，∴，，又，则，所以，故选：C．4．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由两角和差公式、二倍角公式逆用可得，进一步结合两角和的正切公式即可得解.【详解】由题意，即，即，所以.故选：B.5．（2024·江苏扬州·模拟预测）若，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用切化弦可得，再由两角和差公式先求，最后由同角基本关系式求解.【详解】因为，则，则，所以，而，则，所以.故选：C6．（2024·陕西·模拟预测）已知，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正切二倍角公式和和角公式得到，化简得到，齐次化代入求值.【详解】，即，所以，因为，所以，所以故，解得或（舍去），故选：C二、填空题7．（2024·广东深圳·模拟预测）计算：.【答案】/【详解】由题意可得：．故答案为：．8．（2024·上海·模拟预测）已知，，则．【答案】【分析】根据给定条件，利用二倍角的余弦公式计算即得.【详解】由，得，由，得，则，所以.故答案为：9．（2024·江苏苏州·三模）函数的值域是.【答案】【分析】首先分析函数的周期，再分，求出函数的取值范围，即可得到函数的值域.【详解】因为，所以是以为周期的周期函数，当时，由，则，所以，则；当时，由，则，所以，则；综上可得的值域为.故答案为：10．（2024·湖南·模拟预测）已知，，则.【答案】/-0.125【分析】根据两角和的正切公式，即可求得答案.【详解】因为，，故，故答案为：1．（2024·山东·模拟预测）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用两角差的余弦公式处理条件，结合两角差的正弦公式，可得，再利用二倍角公式可得，再结合诱导公式，可求.【详解】由，所以，所以.故选：B2．（2024·河北衡水·三模）已知，则m，n的关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用和差角的正弦公式化简，结合已知列出方程即可求解.【详解】依题意，，，则，即，即.故选：D3．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据两角和差的余弦公式化简，再根据结合两角差的余弦公式化简即可得解.【详解】由，得，故所以.故选：C.4．（2024·湖北襄阳·模拟预测）设，则“”是“，”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】B【分析】先利用三角函数恒等变换公式对已知式化简，然后根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可.【详解】由，得，所以，所以，，所以，，所以”是“，”的必要不充分条件，故选：B5．（2024·福建泉州·二模）若，且与存在且唯一，则（

）A．2 B．4 C． D．【答案】B【分析】由，得，由，得，，则有，与存在且唯一，得，解得，即，再由，可求出，计算的值即可.【详解】，由，得，即，所以，有，所以，，所以，因为，所以，因为满足条件的与存在且唯一，所以唯一，若，有两解，其中一解中有钝角，此情况不存在.所以，解得，经检验符合题意，所以，因为，所以，所以，则，解得，所以．故选：B．6．（2024·江苏南通·模拟预测）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求出，再由同角三角函数的基本关系及两角差的正弦公式求出，最后由两角差的余弦公式计算可得.【详解】因为，所以，因为，所以，因为，所以，因为，则．故选：B．7．（2024·山西吕梁·三模）设函数.若存在实数使得对任意恒成立，则（

）A． B．0 C．1 D．【答案】B【分析】利用辅助角公式化简函数，再利用差角的正弦公式变形等式，借助恒成立建立关系，并分析计算可得答案.【详解】函数，依题意，对任意的恒成立，即对恒成立，因此对恒成立，于是，显然，否则且，矛盾，则，显然，否则且，矛盾，从而，解得，所以.故选：B.【点睛】关键点睛：把给定的等式利用差角的正弦公式按角展开，借助恒等式建立方程组是解决本问题的关键.8．（2024·重庆·模拟预测）（多选）在中，若，则下列说法正确的是（

）A． B．C．的最大值为 D．【答案】AC【分析】根据三角函数的基本关系式，得到，可判定A正确；由，化简得到，求得，可判定D不正确；结合两角和与差的余弦公式，得到和，可判定B错误；结合诱导公式和正弦的倍角公式，可判定C正确.【详解】由，因为，可得，所以，所以A正确；又由，可得，则，可得，整理得，可得，所以，所以D不正确；由，可得，可得，当，可得；当，可得，所以或，所以B错误；若，即，可得，当且仅当时，即时，此时，显然等号取不到；若，即，可得，当且仅当时，即时，此时，等号成立，综上可得，的最大值为，所以C正确.故选：AC.9．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知，，，则．【答案】2【分析】对角进行配凑，利用和差角的正弦公式，结合同角公式计算即得.【详解】由，得，即，整理得，由，得，则，，于是，又，所以.故答案为：210．（2024·山东泰安·模拟预测）已知，则.【答案】【分析】利用两角和的余弦公式化简，再将含的三角函数弦化切，通过变形即可求出.【详解】因为，所以，得，所以，则.故答案为：.1．（2023·全国·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径，过点作圆C的切线，切点为，因为，则，可得，则，，即为钝角，所以；法二：圆的圆心，半径，过点作圆C的切线，切点为，连接，可得，则，因为且，则，即，解得，即为钝角，则，且为锐角，所以；方法三：圆的圆心，半径，若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意；若切线斜率存在，设切线方程为，即，则，整理得，且设两切线斜率分别为，则，可得，所以，即，可得，则，且，则，解得.故选：B.

2．（2021·北京·高考真题）函数是A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为【答案】D【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.【详解】由题意，，所以该函数为偶函数，又，所以当时，取最大值.故选：D.3．（2021·浙江·高考真题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】利用基本不等式或排序不等式得，从而可判断三个代数式不可能均大于，再结合特例可得三式中大于的个数的最大值.【详解】法1：由基本不等式有，同理，，故，故不可能均大于.取，，，则，故三式中大于的个数的最大值为2，故选：C.法2：不妨设，则，由排列不等式可得：，而，故不可能均大于.取，，，则，故三式中大于的个数的最大值为2，故选：C.【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.4．（2020·全国·高考真题）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.【详解】由题意可得：，则：，，从而有：，即.故选：B.【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.5．（2020·全国·高考真题）已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（

）A．–2 B．–1 C．1 D．2【答案】D【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.【详解】，，令，则，整理得，解得，即.故选：D.【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.6．（2020·浙江·高考真题）已知，则；．【答案】【分析】利用二倍角余弦公式以及弦化切得，根据两角差正切公式得【详解】，，故答案为：【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.7．（2020·江苏·高考真题）已知=，则的值是.【答案】【分析】直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.【详解】故答案为：【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属