专题09 圆心角、圆周角压轴题八种模型全攻略（解析版）

专题09圆心角、圆周角压轴题八种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一利用弧、弦、圆心角的关系求解】 1【考点二利用弧、弦、圆心角的关系求证】 3【考点三圆周角定理】 5【考点四同弧或等弧所对的圆周角相等】 7【考点五半圆(直径)所对的圆周角是直角】 10【考点六90度的圆周角所对的弦是直径】 12【考点七已知圆内接四边形求角度】 15【考点八求四边形外接圆的直径】 17【过关检测】 20【典型例题】【考点一利用弧、弦、圆心角的关系求解】例题：（2023·陕西西安·西安市庆安初级中学校联考模拟预测）如图，是的直径，点C，D在上，，则的度数是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】首先由可得，再由可得出．【详解】解：∵在中，∴，∵，∴，故选：B．【点睛】此题考查了弧与圆心角的关系、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，掌握数形结合思想的应用是解题的关键．【变式训练】1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，点A，B，C在上，，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出答案．【详解】解：∵，∴，故选：B．【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角与圆心角的关系，熟知同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解本题的关键．2．（2023春·安徽合肥·九年级校考阶段练习）下列说法：①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆；④圆是轴对称图形，直径是它的对称轴．其中正确的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理判断①，根据垂径定理的推论判断②；根据不共线的三点共圆可判断③；根据轴对称图形的定义判断④．【详解】解：①同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误；②平分弦不是直径的直径垂直于弦，故错误；③过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆，正确；④圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，故错误，正确的只有1个，故选：B．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，垂径定理的推论，轴对称图形的对称轴，圆的性质，熟练掌握定义与性质是解题的关键．【考点二利用弧、弦、圆心角的关系求证】例题：（2023·全国·九年级专题练习）如图，已知的半径，，在上，于点，于点，且，求证：．

【答案】见解析【分析】根据角平分线的判定定理可得，然后根据弧、弦和圆心角的关系证明即可．【详解】证明：∵，，，∴，∴．【点睛】本题主要考查了角平分线的判定定理以及弧、弦和圆心角的关系等知识，准确证明是解题关键．【变式训练】1．（2023春·广东惠州·九年级校考开学考试）已知：如图，在⊙O中，∠ABD=∠CDB．求证：AB=CD．【答案】见解析【分析】根据∠ABD=∠CDB，可知，则有，由此可得，进而可证AB=CD．【详解】证明：∵∠ABD=∠CDB，∴，∴，∴，∴AB=CD．【点睛】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，即在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，能够熟练掌握圆心角、弧、弦之间的关系是解决本题的关键．2．（2023秋·河北秦皇岛·九年级统考期末）如图，A、B是⊙O上的两点，C是弧AB中点．求证：∠A＝∠B．【答案】见解析【分析】连接，通过证明即可得结论．【详解】证明：如图，连接，是的中点，，，在和中，，，．【点睛】本题考查弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用全等三角形的判定和性质解决问题，属于中考常考题型．【考点三圆周角定理】例题：（2023·广东梅州·校考一模）如图，是上的三个点，，则度数是．

【答案】【分析】由圆周角定理即可得到答案．【详解】解：，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，是解题的关键．【变式训练】1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，为的直径，点在上，且，过点的弦与线段相交于点，满足，连接，则．【答案】20【分析】连接，由圆周角定理可得，由等腰三角形的性质可得，再由结合等腰三角形的性质即可得到答案．【详解】解：连接，如图，，，，，，，，，，，故答案为：20．【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理、等腰三角形的性质，是解题的关键．2．（2023·湖南·统考中考真题）如图，点A，B，C在半径为2的上，，，垂足为E，交于点D，连接，则的长度为．【答案】1【分析】连接，利用圆周角定理及垂径定理易得，则，结合已知条件，利用直角三角形中角对的直角边等于斜边的一半即可求得答案．【详解】解：如图，连接，∵，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，故答案为：1．【点睛】本题考查圆与直角三角形性质的综合应用，结合已知条件求得是解题的关键．【考点四同弧或等弧所对的圆周角相等】例题：（2022秋·浙江嘉兴·九年级平湖市林埭中学校联考期中）如图，为⊙O的直径，，则的度数为．【答案】65°/65度【分析】先根据圆周角定理得到，，然后利用互余计算出的度数；【详解】为⊙O的直径，故答案为：【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．【变式训练】1．（2023春·北京东城·八年级景山学校校考期末）如图，为的外接圆的直径，若，则

【答案】/40度【分析】连接，根据圆周角定理的推论得出，，然后根据角的和差计算即可．【详解】解：连接，∵为的直径，∴，又∵，∴，故答案为：．

【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，掌握同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（或直径）所对的圆周角是直角是解题的关键．2．（2023春·江西上饶·九年级统考阶段练习）如图，是的直径，点，在上，且，的延长线与的延长线交于点，连接，若，则的度数是．

【答案】/43度【分析】连接，根据圆周角定理得出，根据同弧所对的圆周角相等，可得，再根据等边对等角得出，最后根据三角形的外角的性质即可得出答案．【详解】解：连接，

∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，故答案为：【点睛】本题考查圆周角定理，等边对等角，三角形的外角，正确理解题意是解题的关键．【考点五半圆(直径)所对的圆周角是直角】例题：（2023·辽宁营口·校联考一模）如图，是的直径，弦交于点，连接，．若，则．

【答案】/61度【分析】如图，连接，证明，求出，可得结论．【详解】解：如图，连接．

∵是直径，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，属于中考常考题型．【变式训练】1．（2023秋·山西忻州·九年级校考期末）如图，是的直径，是的弦，如果．

(1)求的度数．(2)若，求的长．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据圆周角定理得到，，然后利用互余可计算出的度数；（2）利用含30度的直角三角形三边的关系求解．【详解】（1）解：是的直径，，，；（2）∵，∴在中，，∴．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．2．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，是的直径，点C，D是上的点，且，分别与，相交于点E，F．

(1)求证：点D为弧的中点；(2)若，，求的直径．【答案】(1)见解析(2)20【分析】（1）根据圆周角定理可得，再由平行线的性质可得，从而可得，再根据垂径定理即可得出结论；（2）根据垂径定理可得，再利用勾股定理进行计算即可．【详解】（1）证明：∵是直径∴，∵，∴，∴，∴，∴点D为的中点；（2）解：∵，∴，在中，，∴，∴，∴，∴的直径为20．【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．【考点六90度的圆周角所对的弦是直径】例题：（2023·山东济宁·统考一模）如图，在矩形中，，动点P在矩形的内部，连接、，若，则的最小值是．【答案】/【分析】由，可知在以为直径的上运动，如图，当三点共线时，最小，勾股定理求的长，根据，计算求解即可．【详解】解：∵，∴在以为直径的上运动，如图，∴当三点共线时，最小，∵，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了的圆周角所对的弦为直径，勾股定理．解题的关键在于确定的运动轨迹．【变式训练】1．（2023·山东济宁·统考三模）如图，在中，，，，D为线段上的动点，连接，过点B作交于点E，则在点D的运动过程中，求线段的最小值为．

【答案】/【分析】根据，得到，进而得到点在以为直径的圆上，设的中点为，连接，交于点，连接，则：，当且仅当三点共线时，取得最小值，即点与点重合时，取得最小值，进行求解即可．【详解】解：∵，∴，∴点在以为直径的圆上，设的中点为，连接，交于点，连接，则：，

∴当且仅当三点共线时，取得最小值，此时点与点重合，∵，，，∴，∴的最小值为：；故答案为：．【点睛】本题考查勾股定理，求一点到圆上的距离的最小值．解题的关键是确定点在以为直径的圆上．2．（2023春·浙江·九年级专题练习）在矩形中，，，点F是边上的一个动点，连接，过点B作于点G，交射线于点E，连接，则的最小值是．【答案】/【分析】根据题意可得点G的运动轨迹为以AB为直径，H为圆心的圆弧．当C、G、H三点共线时，CG取最小值，根据勾股定理进行计算即可．【详解】解：∵，∴，∴点G的运动轨迹为以AB为直径，H为圆心的圆弧．当C、G、H三点共线时，CG取最小值，如图，∴CG最小值为：，故答案为：．【点睛】本题考查了圆周角定理以及勾股定理，根据题意得出点G的运动轨迹是解本题的关键．【考点七已知圆内接四边形求角度】例题：（2023·宁夏·统考中考真题）如图，四边形内接于，延长至点，已知，那么．

【答案】【分析】根据圆周角定理得到，再根据圆内接四边形性质和平角的定义即可得解．【详解】解：∵，∴，∵四边形内接于，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的性质、圆周角定理是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·广东广州·九年级统考开学考试）如图，已知四边形内接于，，则的度数是．

【答案】【分析】根据同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半求出的度数，再根据圆内接四边形的对角互补求出，的度数．【详解】解∶，又四边形内接于圆，在四边形中，，，故答案为∶．【点睛】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，求出圆周角的度数是解题的关键．2．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在直径为的中，点，在圆上，，若，则的度数为．【答案】【分析】利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形内角和定理可得，然后根据圆内接四边形对角互补求出，再根据直径所对的圆周角是直角可得，从而求出的度数．【详解】解：，，，，四边形是的内接四边形，，，是的直径，，．故答案为：．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．【考点八求四边形外接圆的直径】例题：（2023春·广东河源·九年级校考开学考试）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（）A． B．2 C．2 D．4【答案】D【分析】连接OD，根据圆内接四边形的性质求出∠A=60°，得出△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质得出OD=OA=AD=2，求出直径AB即可．【详解】解：连接OD，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠C=180°，∵∠C=120°，∴∠A=60°，∵OD=OA，∴△AOD是等边三角形，∴AD=OD=OA，∵AD=2，∴OA=OD=OB=2，∴AB=2+2=4，故选：D．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质和等边三角形的性质和判定，能根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C=180°是解此题的关键．【变式训练】1．（2022秋·山西临汾·九年级统考阶段练习）如图，为正方形的外接圆，若，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据正方形的性质，得出，，再根据勾股定理，得出，再根据正方形的性质，得出，进而得出的半径为，再根据圆的面积公式，即可得出答案．【详解】解：∵四边形是正方形，∴，，∴，∴，解得：，∴，∴的半径为，∴的面积为：．故选：A【点睛】本题考查了求正方形外接圆的直径、正方形的性质、勾股定理、圆的面积，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．2．（2021·广西贺州·统考二模）如图，四边形ABCD内接于，，点C为的中点，延长AB、DC交于点E，且，则的面积是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】连接BD，根据圆内接四边形的外角等于其内对角可得∠D＝∠CBE＝60°，根据等边对等角以及三角形内角和定理求出∠BCE＝60°，可得∠A＝60°，点C为的中点，可得出∠BDC＝∠CBD＝30°，进而得出∠ABD=90°，AD为直径，可得出AD=2AB=4，再根据面积公式计算得出结论；【详解】解：连接BD，∵ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠CBE＝∠ADC，∠BCE＝∠A∵∴∴∠CBE＝∠ADC=60°，∠CBA＝120°∵∴△CBE为等边三角形∴∠BCE＝∠A=60°，∵点C为的中点，∴∠CDB＝∠DBC=30°∴∠ABD=90°，∠ADB=30°∴AD为直径∵AB=2∴AD=2AB=4∴的面积是=故答案选：D【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握相关性质及公式是解题的关键．【过关检测】一、单选题1．（21·22上·肇庆·期末）如图，点，，在上，若，则的度数是（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用圆周角定理求解．【详解】解：与都对，．故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．2．（17·18上·南通·期中）如图，四边形内接，平分，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一判断即可．【详解】解：A、与的大小关系不确定，与不一定相等，故本选项错误；B、平分，，，，故本选项正确；C、与的大小关系不确定，与不一定相等，故本选项错误；D、与的大小关系不确定，故本选项错误．故选：B．【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．3．（23·24上·广州·期中）如图，是的直径，是的弦，，则等于（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，求得，继而求得的度数，然后由圆周角定理，求得的度数．【详解】解：∵是的直径，∴，∵，∴，∵∴．故选：B．【点睛】此题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．4．（23·24上·大同·阶段练习）如图，是的直径，点是上的一点，若，于点．则长为（）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】由圆周角定理得，从而得到，推出，进而得到，由相似三角形的性质即可得到答案．【详解】解：是的直径，，，，，，，，故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．5．（23·24上·武汉·期中）如图，四边形是的内接四边形，，将绕点旋转至，则下列说法不正确的是（

）

A．平分B．点A，，在同一条直线上C．若，则D．若，则【答案】C【分析】根据圆周角、弦、弧之间的关系即可判断选项A选项；根据旋转的性质和圆内接四边形的性质即可判断B选项；先求出，由旋转可知，，进一步得到，，作于点H，则，则，进一步得到，则，即可判断C选项；在截取，连接，证明是等边三角形，得到，由四边形是的内接四边形即可得，即可判断D选项．【详解】解：A．∵，∴，∴，∴平分，故选项正确，不符合题意；B．∵将绕点旋转至，∴，∵四边形是的内接四边形，∴，∴，∴点A，，在同一条直线上；故选项正确，不符合题意；C．∵，∴，∴，∵，∴，由旋转可知，，∴，，∴，，作于点H，则，

∴，∴，∴，故选项错误，符合题意；D．在截取，连接，

∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴是等边三角形，∴，∵四边形是的内接四边形，∴,故选项正确，故选：C【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、旋转的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆内接四边形的性质和添加适当的辅助线是解答此题的关键．二、填空题6．（23·24上·滨海新·期中）如图，是的直径，，，则．

【答案】【分析】根据同圆或等圆中相等的弧所对的圆心角相等即可求解．【详解】∵，∴，∵是直径，∴，∴，故答案为：．【点睛】此题考查了弧与圆心角的关系，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等是解题的关键．7．（23·24上·西城·期中）如图，四边形内接于为直径，，若，则．【答案】55【分析】连接，由题意易得，然后问题可求解．【详解】解：连接，如图所示：

∵为的直径，∴，∵四边形内接于，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；故答案为：55．【点睛】本题主要考查圆周角的性质及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角及圆内接四边形的性质是解题的关键．8．（23·24上·盐城·阶段练习）如图，四边形内接于，交的延长线于点，若平分，若，，则．【答案】【分析】连接，根据角平分线的定义得到，根据圆内接四边形的性质得到，根据圆周角定理得到，进而证明，根据等腰三角形的判定定理得出，根据勾股定理计算，进而得到答案．【详解】解：如图，连接．平分，，四边形为圆内接四边形，，由圆周角定理得：，，，，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定、圆周角定理、勾股定理、角平分线定义，熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形对角互补是解题的关键．9．（22·23下·襄阳·模拟预测）半径长为的中，有一条弦的长为，则弦所对的圆周角度数等于．【答案】或【分析】利用勾股定理的逆定理求得是直角三角形，再利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质即可求解．【详解】解：如图，∵，，

∴，，∴，∴是直角三角形，∴，∴，∵四边形是圆内接四边形，∴，∴，∴弦所对的圆周角度数等于或．故答案为：或．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，圆周角定理及圆内接四边形的性质，解答此题时要注意一条弦所对的圆周角有两个，这两个角互为补角．10．（23·24上·福州·阶段练习）如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转角得到AP，连接，．当为直角三角形时，旋转角α的度数为．

【答案】90°或180°【分析】点在以为圆心，为半径的圆上运动，有固定轨迹，为直角三角形，要分三种情况讨论求解．【详解】由题意可知，点在以为圆心，为半径的圆上运动．如图：延长与交于，连接．

，又，△为等边三角形，．在中，，，．，当在直线上时符合题意，．连接，，，四边形为平行四边形．，即：运动到时符合题意．．记中点为，以为圆心，为半径作．，与相离，．故答案为：、．【点睛】本题考查了直角三角形的定义，等边三角形，等腰三角形的性质及判定，以及圆周角定理，勾股定理等知识点．题目新颖、灵活，解法多样，需要敏锐的感知图形的运动变化才能顺利解题．三、解答题11．（23·24上·南京·阶段练习）如图，在中，弦，相交于点E，．(1)求证；(2)连接，若，则的度数为________°．【答案】(1)见解析(2)120【分析】（1）根据同圆中等弧对应的弦长相等即可得出；（2）连接，取与的交点为，与的交点为，证明，，得，然后求出，根据对顶角即可求．【详解】（1）解：证明：∵，∴，∴，∴；（2）解：连接，记与的交点为，与的交点为，，，，，，，，同理，，，故答案为：120．【点睛】本题考查了圆心角，弧，弦之间的关系、三角形全等、四边形的内角和、对顶角，解题的关键是掌握圆周角的定理．12．（23·24上·温州·阶段练习）如图，在中，，D为中点，以为直径作，分别交于点E，F．

(1)求证：；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)．【分析】（1）由直角三角形斜边中线的性质得到，由圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质即可证明；（2）连接，利用勾股定理求得，利用等积法求得，再勾股定理即可求解．【详解】（1）证明：连接，

∵，D为中点，∴，∵为直径，∴，即，∴；（2）解：连接，

∵，，，∴，∵为直径，∴，即，∵，即，∴，由（1）得，∴．【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．13．（23·24上·南京·阶段练习）如图，在的内接四边形中，，是四边形的一个外角．

(1)若，则______；(2)过点作于，判断、、之间的数量关系并证明．【答案】(1)75(2)，证明见解析【分析】（1）根据四边形外接圆的性质，同弧所对的圆周角相等，可得；（2）过点作于点，可证明，，则；【详解】（1）四边形是圆的内接四边形，，是四边形的一个外角，∴，，，所对的圆周角分别为、，，，，故答案为：75；（2）过点作于点，

，，，，，，，，，又，，，，，即；【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握同弧所对的圆周角相等，四点共圆的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键．14．（23·24上·扬州·阶段练习）“求知”学习小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动：

(1)如图1，点、、在上，点在外，线段、与交于点、，试猜想______（请填“”、“”或“”），(2)如图2，点、、在上，点在内，此时（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请写出你的结论并予以证明；(3)如图3，凸四边形中，对角线长为8，，，则四边形面积的最大值是______.【答案】(1)(2)不成立，，证明见解析(3)【分析】（1）根据四边形为的内接四边形，推得，根据三角形的外角性质可得，即可求解；（2）延长交于点，连接，根据圆内接四边形的性质可得，根据三角形的外角性质可得，即可推得，即可证明；（3）根据四边形内角和可推得，得到四边形四点共圆，分别过点A、C作于点M，于点N，根据三角形的面积公式求得四边形的面积，结合圆的性质即可推得当A、M、N、C共线且为圆的直径时，四边形面积最大，连接、，根据圆周角定理可得，根据等边三角形的判定和性质可得，，即可求解．【详解】（1）解：连接，如图：

∵四边形为的内接四边形，∴，在中，，∴，故答案为：；（2）解：（1）的结论不成立，理由：延长交于点，连接，如图：

∵四边形为的内接四边形，∴，在中，，∴，即，故（1）的结论不成立．（3）解：∵，四边形的内角和为1，∴，即四边形四点共圆，分别过点A、C作于点M，于点