2024-2025学年新教材高中数学第五章统计与概率5.3概率5.3.4频率与概率学案含解析新人教B版必修第二册

PAGE5.3.4频率与概率学习目标1.在详细情境中,了解随机事务发生的不确定性和频率的稳定性,培育学生数据分析、逻辑推理的核心素养.2.理解概率的意义,利用概率学问正确理解现实生活中的实际问题,培育学生数学建模、数学运算的核心素养.3.理解频率与概率的区分,培育学生数学抽象的核心素养.自主预习1.在n次重复进行的试验中,事务A发生的频率为mn,则当n很大时,可以认为事务A发生的概率P(A)的估计值为mn,此时也有2.概率是可以通过来“测量”的,或者说频率是概率的一个,概率从数量上反映了一个事务发生可能性的大小.

课堂探究一、温故旧知1.古典概型的两个特性是什么?2.古典概型计算概率的步骤是什么?二、设置情境1.《中国青年报》社会调查中心联合问卷网,对2000名18~35岁的青年进行的一项调查显示,在生活节奏加快的今日,70.0%的受访青年表示仍要培育古典诗词爱好,15.5%的人认为不须要,14.5%的人表示不好说.随机选取一名18~35岁的青年,这名青年认为仍要培育古典诗词爱好的概率为多少?2.随机抛一个瓶盖,视察它落地后的状态(参见上一节的图5-3-7),怎样确定瓶盖盖口朝下的概率?怎样确定这两个概率究竟多大呢,今日我们就来一起学习频率与概率.三、问题探究1.情境引入中的两个问题能不能用古典概型来确定概率?为什么?2.我们应当用什么方法来估计这两个概率?请作出简要叙述.3.你觉得用频率来估计概率的方法牢靠吗?怎样检验这种方法的牢靠性?四、要点归纳总结频率与概率的区分和联系:五、典型例题题型一用频率估计概率例1为了确定某类种子的发芽率,从一大批这类种子中随机抽取了2000粒试种,后来视察到有1806粒种子发了芽,试估计这类种子的发芽率.小结:在随机事务的大量重复试验中,往往呈现几乎必定的规律,这个规律就是大数定律.通俗地说,这个定理就是,在试验条件不变的状况下,重复试验多次,随机事务的频率近似于它的概率.偶然中包含着某种必定.变式训练1某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图所示),并规定:顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会,当转盘停止时,指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品,下表是活动进行中的一组统计数据.转动转盘的次数n1001502005008001000落在“铅笔”区域的次数m68111136345564701落在“铅笔”区域的频率m(1)计算并完成表格.(2)请估计,当n很大时,落在“铅笔”区域的频率将会接近多少?(3)假如你去转动该转盘一次,你获得铅笔的概率约是多少?题型二频率与概率的关系例2下列关于概率和频率的叙述中正确的有.(把符合条件的全部答案的序号填在横线上)

①随机事务的频率就是概率;②随机事务的概率是一个确定的数值,而频率不是一个固定的数值;③频率是客观存在的,与试验次数无关;④概率是随机的,在试验前不能确定;⑤概率可以看作频率在理论上的期望值,它从数量上反映了随机事务发生的可能性大小,而频率在大量重复试验的前提下可近似地看作这个事务的概率.小结:概率可以通过频率来“测量”或者说频率是概率的一个近似值,概率从数量上反映了一个事务发生的可能性的大小.变式训练2下列说法:①频率是反映事务发生的频繁程度,概率是反映事务发生的可能性大小;②百分率能表示频率,但不能表示概率;③频率是不能脱离试验次数n的试验值,而概率是具有确定性的不依靠于试验次数的理论值;④频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值.其中正确的是.

题型三频率与概率的综合问题例3某高校艺术专业400名学生参与某次测评,依据男女学生人数比例,运用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:[20,30),[30,40),…,[80,90],并整理得到如下频率分布直方图:(1)从总体的400名学生中随机抽取一人,估计其分数小于70的概率;(2)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数;(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.小结:依据频率与概率的关系,概率的有关计算就可以转化为频率的计算,有关事务的频率值就可以看作是概率值.六、当堂检测1.“某彩票的中奖概率为11000A.买1000张彩票就肯定能中奖B.买1000张彩票中一次奖C.买1000张彩票一次奖也不中D.购买彩票中奖的可能性是12.同时向上抛掷100枚质量匀称的铜板,落地时这100枚铜板全都正面对上,则这100枚铜板更可能是下面哪种状况()A.这100枚铜板两面是一样的B.这100枚铜板两面是不一样的C.这100枚铜板中有50枚两面是一样的,另外50枚两面是不一样的D.这100枚铜板中有20枚两面是一样的,另外80枚两面是不一样的3.已知某次试验随机事务A发生的频率是0.2,事务A出现了10次,那么共进行了次试验.

七、课堂小结1.学问清单:(1)用频率估计概率.(2)频率与概率的关系.2.方法归纳:极限思想.3.常见误区:频率与概率的区分与联系.核心素养专练层次一基础巩固一、课本,P113,练习A.二、课外习题1.关于随机事务的频率与概率,以下说法正确的是()A.频率是确定的,概率是随机的B.频率是随机的,概率也是随机的C.概率是确定的,概率是频率的近似值D.概率是确定的,频率是概率的近似值2.下列说法正确的是()A.某事务发生的频率为P(A)=1.1B.不行能事务的概率为0,必定事务的概率为1C.小概率事务就是不行能发生的事务,也许率事务就是必定要发生的事务D.某事务发生的概率是随着试验次数的改变而改变的3.下列说法正确的是()A.某厂一批产品的次品率为5%,则随意抽取其中20件产品肯定会发觉一件次品B.气象部门预报明天下雨的概率是90%,说明明天该地区90%的地方要下雨,其余10%的地方不会下雨C.某医院治疗一种疾病的治愈率为10%,那么前9个病人都没有治愈,第10个人就肯定能治愈D.掷一枚匀称硬币,连续出现5次正面对上,第六次出现反面对上的概率与正面对上的概率仍旧都为50%4.盒中装有4只白球和5只黑球,从中随意取出1只球.(1)“取出的球是黄球”是事务,它的概率是;

(2)“取出的球是白球”是事务,它的概率是;

(3)“取出的球是白球或黑球”是事务,它的概率是.

5.说明下列概率的含义:(1)某厂生产产品合格的概率为0.9;(2)一次抽奖活动中,中奖的概率为0.2.层次二实力提升一、课本,P113,练习B.二、课外习题1.某人将一枚硬币连续掷了10次,正面朝上的出现了6次,若用A表示正面朝上这一事务,则A的()A.概率为35 B.频率为C.频率为6 D.概率接近32.从12件同类产品(其中10件正品,2件次品),随意抽取6件产品,下列说法中正确的是()A.抽出的6件产品中必有5件正品,一件次品B.抽出的6件产品中可能有5件正品,一件次品C.抽取6件产品时逐个不放回抽取,前5件是正品,第6件必是次品D.抽取6件产品时,不行能抽得5件正品,一件次品3.从某自动包装机包装的食盐中,随机抽取20袋,测得各袋的质量分别为(单位:g):492496494495498497501502504496497503506508507492496500501499依据频率分布估计总体分布的原理,该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g~501.5g之间的概率约为.

4.掷一枚骰子得到6点的概率是16,是否意味着把它掷6次肯定参考答案自主预习略课堂探究一、略二、略三、1.不能,因为不符合古典概型等可能性和有限性的特性.2.不能用古典概型来确定概率的时候,我们可以利用有关统计数据得出事务发生的概率的估计值.3.牢靠.我们可以进行大量的重复试验,视察经过试验次数的增多,频率是否趋于稳定.要点归纳频率是通过随机试验测量出来的结果,它的值是不稳定的;概率是通过许多次随机试验总结归纳出来的,是可以代替频率的稳定值.典型例题例1解:因为1806÷2000=0.903,所以估计这类种子的发芽率是0.903.变式训练1解:(1)0.680.740.680.690.7050.701(2)当n很大时,落在“铅笔”区域的频率将会接近0.7.(3)获得铅笔的概率约是0.7.例2②⑤变式训练2①③④例3解:(1)依据频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的频率为(0.02+0.04)×10=0.6,所以样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4.所以从总体的400名学生中随机抽取一人,其分数小于70的概率估计为0.4.(2)依据题意,样本中分数不小于50的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9,分数在区间[40,50)内的人数为100-100×0.9-5=5.所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400×5100=20(3)由题意可知,样本中分数不小于70的学生人数为(0.02+0.04)×10×100=60,所以样本中分数不小于70的男生人数为60×12=30所以样本中的男生人数为30×2=60,女生人数为100-60=40,所以样本中男生和女生人数的比例为60∶40=3∶2.所以依据分层抽样原理,估计总体中男生和女生人数的比例为3∶2.当堂检测1.D2.A3.50核心素养专练层次一一、略二、1.D2.B3.D4.(1)不行能0(2)随机4(3)必定15.(1)从某厂生产产品中抽取一件,是合格品的可能为0.9(2)抽奖一次,中奖可能为0.2层次二一、略二、1.B2.B3.0.254.不是学习目标1.在详细情境中,了解随机事务发生的不确定性和频率的稳定性.2.正确理解概率的意义,利用概率学问正确理解现实生活中的实际问题.3.理解概率的意义以及频率与概率的区分.核心素养1.通过频率与概率的学习,培育数学抽象的核心素养.2.借助概率学问理解现实生活中的实际问题,提升数学运算的核心素养.自主预习1.概率(1)统计定义:一般地,假如在n次重复进行的试验中,事务A发生的频率为mn,则当n很大时,可以认为事务A发生的概率P(A)的估计值为m(2)性质:随机事务A的概率P(A)满意0≤P(A)≤1.特殊地,①当A是必定事务时,P(A)=1.②当A是不行能事务时,P(A)=0.2.概率与频率之间的联系概率是可以通过频率来“测量”的,或者说频率是概率的一个近似值.概率从数量上反映了一个事务发生可能性的大小.课堂练习1.下列说法正确的是()A.任何事务的概率总是在(0,1]之间B.频率是客观存在的,与试验次数无关C.随着试验次数的增加,事务发生的频率一般会稳定于概率D.概率是随机的,在试验前不能确定2.已知某人在投篮时投中的概率为50%,则下列说法正确的是()A.若他投100次,肯定有50次投中B.若他投一次,肯定投中C.他投一次投中的可能性大小为50%D.以上说法均错3.从存放号码分别为1,2,…,10的卡片的盒子中,有放回地取100次,每次取一张卡片并登记号码,统计结果如下:卡片号码12345678910取到的次数101188610189119则取到号码为奇数的频率是()A.0.53B.0.5C.0.47D.0.374.在一次掷硬币试验中,掷30000次,其中有14984次正面朝上,则出现正面朝上的频率是,这样,掷一枚硬币,正面朝上的概率是.

课堂探究类型1对概率的理解1.随机事务A的概率P(A)反映了什么?2.随机事务在一次试验中是否发生与概率的大小有关系吗?例1经统计,某篮球运动员的投篮命中率为90%,对此有人说明为其投篮100次肯定有90次命中,10次不中,你认为这种说明正确吗?说说你的理由.思路探究:结合概率的意义,正确理解概率的含义.母题探究1.(变条件)某种疾病治愈的概率是30%,有10个人来就诊,假如前7个人没有治愈,那么后3个人肯定能治愈吗?如何理解治愈的概率是30%?2.(变结论)经统计,某篮球运动员的投篮命中率为90%,已知他连续投篮5次均未投中,那么下次投篮的命中率肯定会大于90%,这种理解对吗?类型2概率与频率的关系及求法例2下面的表中列出了10次抛掷硬币的试验结果,n为每次试验抛掷硬币的次数,m为硬币正面对上的次数.计算每次试验中正面对上的频率,并考查它的概率.试验序号抛掷次数(n)正面对上次数(m)正面对上的频率15002512500249350025645002535500251续表试验序号抛掷次数(n)正面对上次数(m)正面对上的频率650024675002448500258950026210500247思路探究:由表中数据→计算事务频率→视察频率的稳定值→估计概率变式训练下面是某批乒乓球质量检查结果表:抽取球数5010020050010002000优等品数45921944709541902优等品出现的频率(1)在上表中填上优等品出现的频率;(2)估计该批乒乓球优等品的概率是多少?(3)若抽取乒乓球的数量为1700只,则优等品的数量大约为多少?类型3概率的实际应用例3甲、乙两人做嬉戏,规定“同时掷两枚骰子,若出现点数之和为偶数,则甲胜,若出现点数之和为奇数,则乙胜”,乙说“点数之和为2,3,4,…,12,共11种结果,其中偶数有6个,奇数有5个,所以这个嬉戏是不公允的,甲获胜的可能性要大些”.你认为乙的说法对吗?试说明理由.思路探究:列出全部结果→计算概率→推断变式训练已知运用一剂某种药物治愈某种疾病的概率为90%,则下列说法正确的是()A.假如有100个这种病人各运用一剂这样的药物,则有90人会治愈B.假如一个患有这种疾病的病人运用两剂这样的药物就肯定会治愈C.说明运用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%D.以上说法都不对核心素养专练1.思索辨析(1)概率就是随机事务发生的频率.()(2)随机事务的概率不能为0.()(3)必定事务的概率为1.()(4)在大量试验中频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值.()2.某医院治疗一种疾病的治愈率为15,前4个病人都没有治好,第5个病人的治愈率为(A.1 B.15 C.43.在一次掷硬币试验中,掷100次,其中有48次正面朝上.设反面朝上为事务A,则事务A出现的频数为,事务A出现的频率为.

4.假如掷一枚质地匀称的硬币,连续5次正面对上,有人认为下次出现反面对上的概率大于12(2024全国1)某险种的基本保费为a(单位:元),接着购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:上年度出险次数01234≥5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:一年内出险次数01234≥5概率0.300.150.200.200.100.05(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.参考答案课堂练习1.C2.C3.A4.0.49950.5课堂探究1.提示:反映了事务A发生的可能性的大小.2.提示:随机事务的概率表明白随机事务发生的可能性的大小,但并不表示概率大的事务肯定发生,概率小的事务肯定不发生.例1解:这种说明不正确,缘由如下:因为“投篮命中”是一个随机事务,90%是指此事务发生的概率,即每次投篮有90%命中的把握,但就一次投篮而言,也可能不发生,也可能发生,并不是说投100次必中90次.母题探究1.解:不肯定.假如把治疗一个病人当作一次试验,治愈的概率是30%,是指随着试验次数的增加,大约有30%的病人能治愈,对于一次试验来说,其结果是随机的.因此,前7个病人没有治愈是有可能的,而对后3个病人而言,其结果仍是随机的,即有可能治愈,也有可能不能治愈.2.解:这种理解不正确.此运动员命中率为90%,是他每次投中的可能性,但对于每一次投篮,其结果都是随机的,他连续5次未中是有可能的,但对下一次投篮而言,其命中率仍为90%,而不会大于90%.例2解:由频率公式fn(A)=mn,可分别得出这10次试验中事务正面对上出现的频率依次为0.502,0.498,0.512,0.506,0.502,0.492,0.488,0.516,0.524,0.这些数字在0.5旁边摇摆,由概率的统计定义可得,正面对上的概率约为0.5.变式训练解:(1)如下表所示:抽取球数5010020050010002000优等品数45921944709541902优等品出现的频率0.90.920.970.940.9540.951(2)从表中数据可以看出,这批乒乓球优等品的概率是0.95.(3)由优等品的概率为0.95,则抽取1700只乒乓球时,优等品数量为1700×0.95=1615(只).例3解:乙的说法是不对的,该嬉戏是公允的,掷两枚骰子点数之和其实共有36种结果,如下表所示:1点2点3点4点5点6点1点2345672点3456783点4567894点56789105点678910116点789101112不难