2024-2025学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量的线性运算应用案巩固提升新人教B版选修2-1

PAGEPAGE13.1.1空间向量的线性运算[A基础达标]1．给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量a，b满意|a|＝|b|，则a＝b；③在正方体ABCD­A1B1C1D1中，必有eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A1C1,\s\up6(→))；④若空间向量m，n，p满意m＝n，n＝p，则有m＝p；⑤空间中随意两个单位向量必相等．其中正确的个数为()A．4 B．3C．2 D．1解析：选C．当两个空间向量起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个向量相等，不肯定有起点相同、终点相同，故①错；依据向量相等的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a与b的方向不肯定相同，故②错；依据正方体的性质，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，向量eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(A1C1,\s\up6(→))的方向相同，模也相等，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A1C1,\s\up6(→))，故③正确；命题④明显正确；对于命题⑤，空间中随意两个单位向量的模均为1，但方向不肯定相同，故不肯定相等，故⑤错．2．下列说法中正确的是()A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等，方向相同或相反B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|C．空间向量的减法满意结合律D．在四边形ABCD中，肯定有eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))解析：选B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等，方向不确定，故A不正确；相反向量是指长度相同，方向相反的向量，故B正确；空间向量的减法不满意结合律，故C不正确；在▱ABCD中，才有eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，故D不正确．故选B．3．a，b为空间两个随意向量，若命题p：|a|≠|b|，命题q：a≠b，则p是q的________条件．()A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分又不必要解析：选A．|a|≠|b|⇒a≠b，反推不成立，故选A．4．设有四边形ABCD，O为空间随意一点，且eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，则四边形ABCD是()A．平行四边形B．空间四边形C．等腰梯形D．矩形解析：选A．由于eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，从而|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|，且AB与CD不共线，所以AB∥DC，所以四边形ABCD是平行四边形．5．已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))满意|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＋|BC|，则()A．eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))B．eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))C．eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))同向D．eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(CB,\s\up6(→))同向解析：选D．由|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＋|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＋|eq\o(CB,\s\up6(→))|，知C点在线段AB上，否则与三角形两边之和大于第三边冲突，所以eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(CB,\s\up6(→))同向．6．如图，在三棱柱ABC­A′B′C′中，eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(A′C′,\s\up6(→))是________向量；eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(B′A′,\s\up6(→))是________向量．答案：相等相反7．化简：eq\f(1,2)(a＋2b－3c)＋5(eq\f(2,3)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(2,3)c)－3(a－2b＋c)＝________．解析：原式＝(eq\f(1,2)＋5×eq\f(2,3)－3)a＋(eq\f(1,2)×2－5×eq\f(1,2)＋3×2)b＋(－3×eq\f(1,2)＋5×eq\f(2,3)－3)c＝eq\f(5,6)a＋eq\f(9,2)b－eq\f(7,6)c.答案：eq\f(5,6)a＋eq\f(9,2)b－eq\f(7,6)c8．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，若eq\o(CA,\s\up6(→))＝a，eq\o(CB,\s\up6(→))＝b，eq\o(CC1,\s\up6(→))＝c，则eq\o(A1B,\s\up6(→))＝________(用a，b，c表示)．解析：eq\o(A1B,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA1,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→)))＝－a＋b－c.答案：－a＋b－c9．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，化简向量表达式：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))；(2)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))＋eq\o(D1D,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)).解：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0.(2)因为eq\o(B1C1,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(D1D,\s\up6(→))＝－eq\o(AA1,\s\up6(→))，所以原式＝eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝0.10．如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC、BD，E、F、G分别是BC、CD、DB的中点，请化简(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))；(2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(GD,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))，并标出化简结果的向量．解：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，如图中向量eq\o(AD,\s\up6(→))；(2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(GD,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(AG,\s\up6(→))＋eq\o(GF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))，如图中向量eq\o(AF,\s\up6(→)).[B实力提升]11．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为eq\o(BD1,\s\up6(→))的是()①(eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))－eq\o(AB,\s\up6(→))；②(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→)))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))；③(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))－2eq\o(DD1,\s\up6(→))；④(eq\o(B1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))＋eq\o(DD1,\s\up6(→)).A．①② B．②③C．③④ D．①④解析：选A．①(eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))；②(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→)))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝eq\o(BC1,\s\up6(→))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝eq\o(BC1,\s\up6(→))＋eq\o(C1D1,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))；③(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))－2eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))－2eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))－2eq\o(BB1,\s\up6(→))＝(eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BB1,\s\up6(→)))－eq\o(BB1,\s\up6(→))＝eq\o(B1D,\s\up6(→))－eq\o(BB1,\s\up6(→))＝eq\o(B1D,\s\up6(→))＋eq\o(B1B,\s\up6(→))≠eq\o(BD1,\s\up6(→))；④(eq\o(B1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(B1D1,\s\up6(→))－eq\o(B1B,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))≠eq\o(BD1,\s\up6(→)).所以正确的结果为①②.12．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为AB、B1C的中点．用eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AD,\s\up6(→))、eq\o(AA1,\s\up6(→))表示向量eq\o(MN,\s\up6(→))，则eq\o(MN,\s\up6(→))＝________．解析：eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(－eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→)).答案：eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))13.如图，设O为▱ABCD所在平面外随意一点，E为OC的中点，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up6(→))＋xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))，求x，y的值．解：因为eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝－eq\f(3,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，所以x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(3,2).14．(选做题)如图所示，已知几何体ABCD­A1B1C1D1是平行六面体．(1)化简eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，并在图中标出其结果