2024-2025学年新教材高中数学第九章统计9.2用样本估计总体9.2.3总体集中趋势的估计学案含解析新人教A版必修第二册

PAGE1-9．2.3总体集中趋势的估计[目标]1.会求样本的众数、中位数、平均数；2.会应用相关学问解决实际统计问题．[重点]通过数字特征的计算，提升数学运算素养．[难点]借助实际统计问题的应用，培育数学建模素养．要点整合夯基础学问点众数、中位数、平均数[填一填]1．众数一组数据中出现次数最多的数．2．中位数一组数据按大小依次排列后，处于中间位置的数．假如个数是偶数，则取中间两个数据的平均数．3．平均数一组数据的和除以数据个数所得到的数．[答一答]三种数字特征的优缺点？提示：典例讲练破题型类型众数、中位数、平均数[例]某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下表：职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数11215320工资5500500035003000250020001500(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；(2)假设副董事长的工资从5000元提升到20000元，董事长的工资从5500元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少？(精确到元)(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．[分析]根据众数、中位数、平均数的定义计算即可．[解](1)平均数是eq\x\to(x)＝1500＋eq\f(4000＋3500＋2000×2＋1500,33)＋eq\f(1000×5＋500×3＋0×20,33)≈1500＋591＝2091，中位数是1500，众数是1500.(2)新的平均数是eq\x\to(x)′＝1500＋eq\f(28500＋18500＋2000×2＋1500,33)＋eq\f(1000×5＋500×3＋0×20,33)≈1500＋1788＝3288，新的中位数是1500，新的众数是1500.(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．平均数、众数、中位数都是描述一组数据的特点，但描绘的含义不同.[变式训练]某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄如下(单位：岁)：甲群：13,13,14,15,15,15,15,16,17,17；乙群：54,3,4,4,5,6,6,6,6,56.(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？解：(1)甲群市民年龄的平均数为eq\f(13＋13＋14＋15＋15＋15＋15＋16＋17＋17,10)＝15，中位数为15，众数为15.平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征．(2)乙群市民年龄的平均数为eq\f(54＋3＋4＋4＋5＋6＋6＋6＋6＋56,10)＝15，中位数为6，众数为6.由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的牢靠性较差.课堂达标练经典1．一个样本数据从小到大的依次排列为12,15,20，x,23,28,30,50，其中，中位数为22，则x＝(A)A．21B．15C．22D．35解析：因为数据有8个，所以中位数为：eq\f(x＋23,2)＝22，所以解得：x＝21，故选A.2．由小到大排列的一组数据x1，x2，x3，x4，x5，其中每个数据都小于－1，那么对于样本1，x1，－x2，x3，－x4，x5的中位数可以表示为(C)A.eq\f(1,2)(1＋x2) B.eq\f(1,2)(x2＋x1)C.eq\f(1,2)(1＋x5) D.eq\f(1,2)(x3－x4)解析：∵x1<x2<x3<x4<x5<－1，∴x1<x3<x5<1<－x4<－x2，则该组样本的中位数为中间两数的平均数，即eq\f(1,2)(1＋x5)．3．某班级在一次数学竞赛中为全班同学设置了一等奖、二等奖、三等奖以及参加奖，且奖品的单价分别为：一等奖20元、二等奖10元、三等奖5元、参加奖2元，获奖人数的安排状况如图所示，则以下说法正确的是(D)A．参加奖总费用最高B．三等奖的总费用是二等奖总费用的2倍C．购买奖品的费用的平均数为9.25元D．购买奖品的费用的中位数为2元解析：参加奖的百分比为：1－30%－10%－5%＝55%.设人数为单位1，一等奖费用：20×5%＝1；二等奖费用：10×10%＝1；三等奖费用：5×30%＝1.5；参加奖费用：2×55%＝1.1.故购买奖品的费用的平均数为4.6元，参加奖的百分比为55%，故购买奖品的费用的中位数为2元，故选D.4．对于数据3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2.①这组数据的众数是3；②这组数据的众数与中位数的数值不相等；③这组数据的中位数与平均数的数值相等；④这组数据的平均数与众数的值相等．其中正确的结论的个数为(A)A．1B．2C．3D．4解析：在这11个数据中，数据3出现了6次，出现次数最多，故众数是3；将这11个数据按从小到大排列得2,2,3,3,3,3,3,3,6,6,10，中间的数据是3，故中位数是3；平均数eq\x\to(x)＝eq\f(2×2＋3×6＋6×2＋10,11)＝4.故选A.5．某高校有甲、乙两个数学建模爱好班．其中甲班有40人，乙班有50人．现分析两个班的一次考试成果，算得甲班的平均成果是90分，乙班的平均成果是81分，则该校数学建模爱好班的平均成果是85分．解析：由题意知，该校数学建模爱好班的平均成果是eq\f(40×90＋50×81,40＋50)＝85.——本课须驾驭的问题对众数、中位数、平