2024-2025学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.4抛物线2.4.2抛物线的几何性质学案新人教B版选修2-1

PAGEPAGE12．4.2抛物线的几何性质1.了解探讨抛物线几何性质的思想方法．2.理解抛物线的几何性质．3.驾驭焦点弦有关的结论与性质．抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形范围x≥0x≤0y≥0y≤0对称轴x轴y轴顶点坐标(0，0)焦点坐标(eq\f(p,2)，0)(－eq\f(p,2)，0)(0，eq\f(p,2))(0，－eq\f(p,2))准线方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)离心率e＝11．推断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)抛物线关于顶点对称．()(2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．()(3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．()答案：(1)×(2)√(3)√2．四种标准方程对应的抛物线有相同的()A．顶点B．焦点C．准线D．对称轴答案：A3．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是()A．x2＝±3yB．y2＝±6xC．x2＝±12yD．x2＝±6y答案：C4．抛物线y＝2px2(p>0)的对称轴为________．答案：y轴抛物线的标准方程与性质抛物线的顶点在原点，对称轴是椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及准线方程．【解】因为椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1短轴在x轴上，所以抛物线的对称轴为x轴，设抛物线的标准方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，因为抛物线的焦点到顶点的距离为3，所以eq\f(p,2)＝3，即p＝6，所以抛物线的方程为y2＝12x或y2＝－12x，准线方程分别为x＝－3或x＝3.eq\a\vs4\al()求抛物线的标准方程要明确四个步骤(1)定位置(依据条件确定抛物线的焦点位置及开口方向)；(2)设方程(依据焦点和开口方向设出标准方程)；(3)找关系(依据条件列出关于p的方程)；(4)得出抛物线的标准方程．Ｋ求以双曲线eq\f(x2,8)－eq\f(y2,9)＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及准线方程．解：因为双曲线的右顶点为(2eq\r(2)，0)，即抛物线的焦点，所以eq\f(p,2)＝2eq\r(2)，所以2p＝8eq\r(2)，所以抛物线方程为y2＝8eq\r(2)x，准线方程为x＝－2eq\r(2).焦点弦问题已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值．【解】因为直线l的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan60°＝eq\r(3).又Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))，所以直线l的方程为y＝eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2))).联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝6x，,y＝\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))，))消去y得x2－5x＋eq\f(9,4)＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5，而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋eq\f(p,2)＋x2＋eq\f(p,2)＝x1＋x2＋p，所以|AB|＝5＋3＝8.1．若本例中“直线l的倾斜角为60°”改为“直线l垂直于x轴”，求|AB|的值．解：直线l的方程为x＝eq\f(3,2)，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2)，,y2＝6x，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2),y＝3))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2)，,y＝－3.))所以|AB|＝3－(－3)＝6.2．若本例中“直线l的倾斜角为60°”改为“|AB|＝9”，求线段AB的中点M到准线的距离．解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3.又准线方程是x＝－eq\f(3,2)，所以点M到准线的距离为3＋eq\f(3,2)＝eq\f(9,2).eq\a\vs4\al()抛物线焦点弦问题的解法(1)由于抛物线的焦点弦过焦点，因此与焦点弦有关的问题要留意结合抛物线的定义求解．(2)焦点弦有关的问题要把过焦点的直线方程与抛物线方程联立，再结合根与系数的关系求解．(3)求焦点弦的长度可以利用两点间的距离公式，也可以利用弦长公式，但由于弦过焦点，结合抛物线的定义得出焦点弦长为x1＋x2＋p，同时由弦长x1＋x2＋p≥2eq\r(x1x2)＋p＝2p知，通径是全部弦中最短的弦．已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝eq\f(5,2)p，求AB所在直线的方程．解：如图所示，抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－eq\f(p,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，设A，B到准线的距离分别为dA，dB，由抛物线的定义知，|AF|＝dA＝x1＋eq\f(p,2)，|BF|＝dB＝x2＋eq\f(p,2)，于是|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(5,2)p，x1＋x2＝eq\f(3,2)p.当x1＝x2时，|AB|＝2p<eq\f(5,2)p，所以直线AB与Ox不垂直．设直线AB的方程为y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2))).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，,y2＝2px，))得k2x2－p(k2＋2)x＋eq\f(1,4)k2p2＝0，x1＋x2＝eq\f(p(k2＋2),k2)＝eq\f(3,2)p，解得k＝±2，所以直线AB的方程为y＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))或y＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2))).抛物线的最值问题已知抛物线y2＝2x.(1)设点A的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，0))，求抛物线上距离A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；(2)在抛物线上求一点P，使P到直线x－y＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．【解】(1)设抛物线上任一点P的坐标为(x，y)，则|PA|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,3)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,3)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,3).因为x≥0且在此区间上函数单调递增，故当x＝0时，|PA|min＝eq\f(2,3)，故距A最近的点的坐标为(0，0)．(2)设点P(x0，y0)是y2＝2x上任一点，则P到直线x－y＋3＝0的距离为d＝eq\f(|x0－y0＋3|,\r(2))＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(yeq\o\al(2,0),2)－y0＋3)),\r(2))＝eq\f(|(y0－1)2＋5|,2\r(2))，当y0＝1时，dmin＝eq\f(5,2\r(2))＝eq\f(5\r(2),4)，所以点P的坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).有关抛物线的最值问题，主要有两种解决思路：一是利用抛物线的定义，进行到焦点的距离与到准线的距离的转化，数形结合，以几何意义解决之；二是利用抛物线的标准方程，进行消元代换，获得有关距离的含变量的代数关系式，以目标函数最值的求法解决之．eq\a\vs4\al()已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上．若抛物线上一动点P到Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,2)))、F两点距离之和的最小值为4，A在抛物线内部．求抛物线C的标准方程．解：设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，其准线为x＝－eq\f(p,2)，过P点作抛物线准线的垂线，垂足为H，由定义知，|PH|＝|PF|.当H、P、A三点共线时，|PA|＋|PF|最小．所以|PF|＋|PA|的最小值为eq\f(p,2)＋2＝4，所以p＝4，即y2＝8x.所以抛物线方程为y2＝8x.1．抛物线的性质与椭圆、双曲线相比较，差别较大，它的离心率等于1，它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线，它不是中心对称图形，因而没有中心，是无心曲线．2．抛物线上一点与焦点F的连线的线段叫做焦半径，设抛物线上任一点A(x0，y0)，则四种标准方程形式下的焦半径公式如表所示：标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)焦半径|AF||AF|＝x0＋eq\f(p,2)|AF|＝eq\f(p,2)－x0|AF|＝y0＋eq\f(p,2)|AF|＝eq\f(p,2)－y0在解决有关抛物线的最值问题时，不能忽视范围，抛物线的范围往往作为隐含条件用，因此要留意对条件的挖掘，另一方面一元二次函数求最值要考察对称轴与区间的位置关系，不确定的要分类探讨.1．以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为()A．y2＝8xB．y2＝－8xC．y2＝8x或y2＝－8xD．x2＝8y或x2＝－8y解析：选C．设抛物线y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，通径为2p＝8，p＝4.2．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，±\f(\r(2),4))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，±\f(\r(2),4)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(\r(2),4))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，\f(\r(2),4)))解析：选B．由题意知，点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离，因此点P在线段OF的垂直平分线上，而Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))，所以点P的横坐标为eq\f(1,8)，代入抛物线方程得y＝±eq\f(\r(2),4)，故点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，±\f(\r(2),4)))，故选B．3．过点P(0，1)与抛物线y2＝x有且只有一个交点的直线有()A．4条 B．3条C．2条 D．1条解析：选B．当直线垂直于x轴时满意条件，当直线不垂直于x轴时，设直线方程为y＝kx＋1，满意条件的直线有两条，共三条满意题意的直线．4．抛物线y2＝4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为4eq\r(3)，则焦点到AB的距离为________．解析：不妨设A(x，2eq\r(3))，则(2eq\r(3))2＝4x.所以x＝3，所以AB的方程为x＝3，抛物线的焦点为(1，0)．所以焦点到AB的距离为2.答案：2[A基础达标]1．顶点在原点，焦点为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))的抛物线的标准方程是()A．y2＝eq\f(3,2)x B．y2＝3xC．y2＝6x D．y2＝－6x解析：选C．顶点在原点，焦点为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))的抛物线的标准方程可设为y2＝2px(p>0)，由题意知eq\f(p,2)＝eq\f(3,2)，故p＝3.因此，所求抛物线的标准方程为y2＝6x.2．已知直线y＝kx－k(k为实数)及抛物线y2＝2px(p>0)，则()A．直线与抛物线有一个公共点B．直线与抛物线有两个公共点C．直线与抛物线有一个或两个公共点D．直线与抛物线没有公共点解析：选C．因为直线y＝kx－k恒过点(1，0)，点(1，0)在抛物线y2＝2px的内部，所以当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点，当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点．3．过抛物线C：y2＝12x的焦点作直线l交C于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|＝()A．16 B．12C．10 D．8解析：选B．由抛物线的方程可得p＝6，因为x1＋x2＝6，则|AB|＝x1＋x2＋p＝12.故选B．4．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))) B．[－2，2]C．[－1，1] D．[－4，4]解析：选C．由题意知点Q的坐标为(－2，0)，若直线l的斜率不存在，明显不符合题意，故直线l的斜率存在，且设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋2)，与抛物线方程y2＝8x联立，得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0，当k＝0时，明显符合题意；当k≠0时，需Δ≥0，即16(k2－2)2－4k2·4k2≥0，解得－1≤k<0或0＜k≤1.5．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()A．x＝1 B．x＝－1C．x＝2 D．x＝－2解析：选B．因为抛物线的焦点为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－eq\f(p,2)，即x＝y＋eq\f(p,2)，代入y2＝2px得y2＝2peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(p,2)))＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0，由根与系数的关系得eq\f(y1＋y2,2)＝p＝2(y1，y2分别为点A，B的纵坐标)，所以抛物线方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.6．抛物线y＝eq\f(1,8)x2上一点A(x0，2)到其对称轴的距离为________．解析：抛物线的对称轴为y轴，把A(x0，2)代入y＝eq\f(1,8)x2，得xeq\o\al(2,0)＝16，即|x0|＝4，故A到y轴的距离为4.答案：47．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________．解析：因为y2＝4x，所以p＝2，F(1，0)．又|AF|＝2，所以xA＋eq\f(p,2)＝2，所以xA＋1＝2，所以xA＝1，即AB⊥x轴，F为AB的中点，所以|BF|＝|AF|＝2.答案：28．已知A(2，0)，B为抛物线y2＝x上的一点，则|AB|的最小值为________．解析：设点B(x，y)，则x＝y2≥0，所以|AB|＝eq\r((x－2)2＋y2)＝eq\r((x－2)2＋x)＝eq\r(x2－3x＋4)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))\s\up12(2)＋\f(7,4)).所以当x＝eq\f(3,2)时，|AB|取得最小值，且|AB|min＝eq\f(\r(7),2).答案：eq\f(\r(7),2)9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝eq\r(17)，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程．解：设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)，设A(x0，y0)，由题知Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2))).因为|AF|＝3，所以y0＋eq\f(p,2)＝3，因为|AM|＝eq\r(17)，所以xeq\o\al(2,0)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y0＋\f(p,2)))eq\s\up12(2)＝17，所以xeq\o\al(2,0)＝8，代入方程xeq\o\al(2,0)＝2py0得，8＝2peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(p,2)))，解得p＝2或p＝4.所以所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.10．已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A、B两点．(1)求证：OA⊥OB；(2)当△OAB的面积等于eq\r(10)时，求k的值．解：(1)证明：设A(－yeq\o\al(2,1)，y1)，B(－yeq\o\al(2,2)，y2)．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝－x,y＝k(x＋1)))，得ky2＋y－k＝0，由题意知k≠0，所以y1y2＝－1，y1＋y2＝－eq\f(1,k).所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝y1y2＋yeq\o\al(2,1)yeq\o\al(2,2)＝y1y2(1＋y1y2)＝0，所以OA⊥OB.(2)由(1)知|y1－y2|＝eq\r((y1＋y2)2－4y1y2)＝eq\r(\f(1,k2)＋4)，所以S△OAB＝eq\f(1,2)·1·|y2－y1|＝eq\f(1,2)eq\r(\f(1,k2)＋4)＝eq\r(10)，所以k＝±eq\f(1,6).[B实力提升]11．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4eq\r(2)，|DE|＝2eq\r(5)，则C的焦点到准线的距离为()A．2 B．4C．6 D．8解析：选B．由题意，不妨设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，由|AB|＝4eq\r(2)，|DE|＝2eq\r(5)，可取Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,p)，2\r(2)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，\r(5)))，设O为坐标原点，由|OA|＝|OD|，得eq\f(16,p2)＋8＝eq\f(p2,4)＋5，得p＝4，所以选B．12．在直角坐标系xOy中任给一条直线，它与抛物线y2＝2x交于A、B两点，则eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))的取值范围为________．解析：设直线方程为x＝ty＋b，代入抛物线y2＝2x，得y2－2ty－2b＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2t，y1y2＝－2b.所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2＝b2－2b＝(b－1)2－1，所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))的取值范围为[－1，＋∞)．答案：[－1，＋∞)13．已知M(3，y0)(y0>0)为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，F为抛物线C的焦点，且|MF|＝5.(1)求抛物线C的方程；