概率论与数理统计习题集解答(第二版)

第一章随机事件及其概率

1.写出下列随机试验的样本空间：

(1)同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和；

(2)在单位圆内任意一点，记录它的坐标；

(3)10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出

为止，记录抽取的次数；

(4)测量一汽车通过给定点的速度.

解所求的样本空间如下

(1)S={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)

(2)S={(x,y)|x2+y2<l}

(3)S={3,4,5,6,7,8,9,10)

(4)S={v|v>0}

2.设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件：

(1)A发生，8和C不发生；

(2)A与8都发生，而C不发生；

(3)A、B、C都发生；

(4)A、B、C都不发生；

(5)A、B、C不都发生；

(6)A、B、C至少有一个发生；

(7)A、B、C不多于一个发生；

(8)A、B、C至少有两个发生.

解所求的事件表示如下

(1(TjlBC(3)1~(

(5FVC(6国SC

(8》4U40CA

3.在某小学的学生中任选一名，若事件A表示被选学生是男生，事件8表示该生是三年

级学生，事件C表示该学生是运动员，则

(1)事件A3表示什么？

(2)在什么条件下ABC=C成立？

(3)在什么条件下关系式CuB是正确的？

(4)在什么条件下乱B成立？

解所求的事件表示如下

(1)事件A3表示该生是三年级男生，但不是运动员.

(2)当全校运动员都是三年级男生时，ABC=C成立.

(3)当全校运动员都是三年级学生时，关系式CuB是正确的.

(4)当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，屋B成立.

4.设P(A)=0.7,P(A-B)=0.3,试求P(而)

解由于=P(A)=0.7所以

P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=0.3,

所以P(AB)=0.4,故P(AB)=1-0.4=0.6.

5.对事件A、B和C,已知P(A)=P(B)=P(C)=1,P(AB)=P(CB)=0,P(AC)=-求A、

48

B、C中至少有一个发生的概率.

解由于ABCuAB.P(AB)=0,故P(ABC)=0

贝P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)

6.设盒中有a只红球和b只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率：

A=｛两球颜色相同｝,

B=｛两球颜色不同｝.

解由题意，基本事件总数为反.，有利于A的事件数为北+用，有利于B的事件数为

44+4*244,

则P(4)=叁2P(B)=4△

7.若10件产品中有件正品，3件次品，

(1)不放回地每次从中任取一件，共取三次，求取到三件次品的概率；

(2)每次从中任取一件，有放回地取三次，求取到三次次品的概率.

解(1)设人=｛取得三件次品｝则

P(A)=与=」-或者尸(4)=4=9.

(2)设8=｛取到三个次品｝,则

3327

尸(*=存=丽,

8.某旅行社100名导游中有43人会讲英语，35人会讲日语，32人会讲日语和英语，9人

会讲法语、英语和日语，且每人至少会讲英、日、法三种语言中的一种，求：

(1)此人会讲英语和日语，但不会讲法语的概率；

(2)此人只会讲法语的概率.

解设A=｛此人会讲英语｝,B=｛此人会讲日语｝,C=｛此人会讲法语｝

根据题意，可得

(1)P(ABC)=P(AB)-P(ABC)=—--—=—

''100100100

(2)P(ABC)=P(AB)~P(ABC)

=P(A+=P(A+B)

=1-P(A)-P(5)+P(AB)

,43353254

100100100100

9.罐中有12颗围棋子，其中8颗白子4颗黑子，若从中任取3颗，求:

(1)取到的都是白子的概率;

(2)取到两颗白子，一颗黑子的概率;

(3)取到三颗棋子中至少有一颗黑子的概率;

(4)取到三颗棋子颜色相同的概率.

解

(1)设人=（取到的都是白子｝则

P（A）=Z=更=0.255.

C：,55

⑵设8=｛取到两颗白子，一颗黑子｝

P（B）=^^=0.509•

设C=｛最三颗子中至少的一颗黑子｝

⑶

P（C）=1-P（4）=0.745.

(4)设》=｛取到三颗子颜色相同｝

p（D）=G[J=0.273.

C12

10.（1）500人中，至少有一个的生日是7月1日的概率是多少（1年按365日计算）?

（2）6个人中，恰好有个人的生日在同一个月的概率是多少？

解

（1）设人=｛至少有一个人生日在7月1日）,则

-364500

P（A）=1-P（A）=1-^—=0.746

365Mo

（2）设所求的概率为P（B）

P（B）=C"=0.0073

11.将C,C,E,E,I,N,S7个字母随意排成一行，试求恰好排成SCIENCE的概率p.

解由于两个C,两个E共有&&种排法，而基本事件总数为田，因此有

〃=0.000794

4

12.从5副不同的手套中任取款4只，求这4只都不配对的概率.

解要4只都不配对，我们先取出4双，再从每一双中任取一只，共有图力中取法.设

A=｛4只手套都不配对｝,则有

13.一实习生用一台机器接连独立地制造三只同种零件，第i只零件是不合格的概率为

P.=—,i=l,2,3,若以x表示零件中合格品的个数，则P（x=2）为多少？

1+1

解设Ai=｛第i个零件不合格｝,i=l,2,3,则

所以P（A）=I-P,=-L

1+/

P（X=2）=P（NAA）+P（A川A）+P（4&A）

由于零件制造相互独立，有：

P«A2A3）=p（而p（d）p（4）,P（AWA）=P（A）P（^）P（A）

尸（A&A）=P（A）P（&）尸（4）

11112111311

所以，P(x=2)=—X—X—+—X—X—+—X—X—

23423423424

14.假设目标出现在射程之内的概率为0.7,这时射击命中目标的概率为0.6,试求两次独

立射击至少有一次命中目标的概率p.

解设人=｛目标出现在射程内｝,B=｛射击击中目标｝,Bi=｛第i次击中目标｝,i=l,2.

则P(A)=0.7,P(Bi|A)=0.6另外B=BI+B2,由全概率公式

P(B)=P(AB)+P(AB)

=P(AB)=P(A)P(B|A)

=P(A)P((稣+Bz)|A)

另外，由于两次射击是独立的，故

P(B1B2|A)=P(B1|A)P(B2|A)=0.36

由加法公式

P((B|+B2)|A)=P(B||A)+P(B2|A)-P(BIB2|A)=0.6+0.6-0.36=0.84

因此

P(B)=P(A)P((BI+B2)|A)=0.7X0.84=0.588

15.设某种产品50件为一批，如果每批产品中没有次品的概率为0.35,有1,2,3,4件

次品的概率分别为0.25,0.2,0.18,0.02,今从某批产品中抽取10件，检查出一件次品,

求该批产品中次品不超过两件的概率.

解设Ai=｛一批产品中有i件次品｝,i=0,l,2,3,4,B=｛任取10件检查出一件次品｝,

C=｛产品中次品不超两件｝,由题意

p⑷A>)=。

A)=-

「(M4)=百=而

P⑻2箸啜

988

P(B\A)=

i2303

由于Ao,Ai,A3A%A4构成了一个完备的事件组，由全概率公式

p(8)=七产(3)「(8|A,)=0.196

i-O

由Bayes公式

HA,IB>=39142=0.255

1P(B)

"吁"if=0333

2P(B)

故

P(C)=£P(A,|B)=0.588

16.由以往记录的数据分析，某船只运输某种物品损坏2%,10%和90%的概率分别为0.8,

0.15,0.05,现在从中随机地取三件，发现三件全是好的，试分析这批物品的损坏率是

多少(这里设物品件数很多，取出一件后不影响下一件的概率).

解设8=｛三件都是好的｝,A产｛损坏2%｝,A2=｛损坏10%｝,A尸｛损坏90%｝,则Ai,A2,A3

是两两互斥，且Ai+A2+A3=Q,P(Ai)=0.8,P(A2)=0.15,P(A2)=0.05.

333

因此有P(B|Ai)=0.98,P(B|A2)=0.90,P(B|A3)=0.1,

由全概率公式

尸(8)=亡尸(人)尸(3|4)

;->l

=0.8x0.983+0.15x0.903+0.05xO.103=0.8624

由Bayes公式，这批货物的损坏率为2%,10%,90%的概率分别为

p(A)/>(8|A)0.8x0.98-

尸(A18)==0.8731

0.8624

Q(A)Q(AIA)0.15x0.90”

「(3|B)==0.1268

~~P(B)——0.8624-

P(d)P(2?|d)O.O5XO.IO3

P(&IB)==0.0001

P(B)-—0.8624-

由于P(Ai|B)远大于P(A3|B),P(A2IB),因此可以认为这批货物的损坏率为0.2.

17.验收成箱包装的玻璃器皿，每箱24只装，统计资料表明，每箱最多有两只残次品，且

含0,1和2件残次品的箱各占80%,15%和5%,现在随意抽取一箱，随意检查其中

4只；若未发现残次品，则通过验收，否则要逐一检验并更换残次品，试求：

(1)一次通过验收的概率a；

(2)通过验收的箱中确定无残次品的概率B.

解设Hi=(箱中实际有的次品数｝,,=OJ,2,A=｛通过验收｝

则P(Ho)=O.8,P(Hi)=0.15,P(H2)=0.05,那么有：

P(A|//O)=I.

/3UIW,)=S-=1.

C246

C495

P(A\H,)=^-=—

2Ci138

(1)由全概率公式

a===0.96

r-0

(2)由Bayes公式得

P=P(H,|A)=为「⑷=SIT!=o.83

'尸(A)0.96

18.一建筑物内装有5台同类型的空调设备，调查表明，在任一时刻，每台设备被使用的

概率为0.1,问在同一时刻

(1)恰有两台设备被使用的概率是多少？

(2)至少有三台设备被使用的概率是多少？

解设5台设备在同一时刻是否工作是相互独立的，因此本题可以看作是5重伯努利试验.

由题意，Wp=0.1,q=1-p=0.9,故

(1)耳=6(2)=C；(0.1)2(0.9/=0.0729

(2)鸟=鸟(3)+鸟(4)+乙(5)

=C；©I[(0.9)2+c；(0.1)4(0.9)i+点(0.140.9)°=0.00856

*

第二章随机变量及其分布

1.有10件产品，其中正品8件，次品两件，现从中任取两

件，求取得次品数X的分律.

解X的分布率如下表所示：

2.进行某种试验，设试验成功的概率为3,失败的概率为L

44

以X表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X的分

布律，并计算X取偶数的概率.

解X的分布律为：

P(X=k),Z=1,2,3,…

X取偶数的概率:

P{X为偶数}=£P(x=2k)=寸1]

3.从5个数1,2,3,4,5中任取三个为数不打七.求:

X=max(与%,玉)的分布律及P(XW4)；

Y=min(公打品)的分布律及P(Y>3).

解基本事件总数为：c^io,

*

(1)X的分p0.10.30.6布律为:

P(XW4)=P(3)+P(4)=0.4

(2)Y的分布律为

Y123

p0.60.30.1

P(X>3)=0

4.C应取何值，函数f(k)=c二，k=l,2,入＞0成为

k\

分布律？

解由题意，£/(x)=l,即

A=1

QOQOQkIQO二、

汇。=C汇备=CE=C(/-1)=1

k=\77k-\K•\A=O5J

]

解得：C

(/—1)

5.已知X的分布律

F=71I2

p1Z3

r666

*

求：（1）X的分布函数；（2）（3）p[i<x<|y

解（1）X的分布函数为2x）=p（xwx）=Z0

0,x<-l

1/6,X

F（x）=\-1<<1；

1/2,\<x<2

1,x>2

(2)P"£|=P(X=7)=:

(3)P(I<X«|)=P(0)=O

6.设某运动员投篮投中的概率为P=0.6,求一次投篮时投

中次数X的分布函数，并作出其用犷

解X的分布函数I。——

F（x）=<0.60<x<l0

1x>\

7.对同一目标作三次独立射击，设每次射击命中的概率为

P，求：

(1)三次射击中恰好命中两次的概率；

(2)目标被击中两弹或两弹以上被击毁，目标被击毁的

概率是多少？

解设A=｛三次射击中恰好命中两次｝,B=目标被击毁，

则

(1)P(A)=6⑵=C；p2(l-°产2=3p2(]一0

(2)P(B)=A(2)+33)=C；p2(l-p产+C；p3(l-p产=3p2-2p3

8.一电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分

布，求：

(1)每分钟恰有6次呼唤的概率；

*

(2)每分钟的呼唤次数不超过10次的概率.

解

#46

—厂一厂=0104

（DP（X=6）=k\6!或者

jkooAICDOAk

P（X=6）=上e--Z土屋―£匕二=0.21487-0.11067二

k!依k\6k!

0.1042.

io4女04%

二，一小二1—，一=1—0.00284

（2）p（xwi。）£k!

0.99716

9.设随机变量X服从泊松分布，且P(X=1)=P(X=2),求

P(X=4)

£_A_£T

解由已知可得，工，二万，‘

解得人=2,(入=0不合题意)

.?4

因止匕，P(X=4)=—e~2

I•=009

10.商店订购1000瓶鲜橙汁，在运输途中瓶子被打碎的概率

为0.003,求商店收到的玻璃瓶，(1)恰有两只；(2)小

于两只；(3)多于两只；(4)至少有一只的概率.

解设X={1000瓶鲜橙汁中由于运输而被打破的瓶子数},

则X服从参数为n=1000,p=0.003的二项分布，即

X~B(1000,0.003),由于n比较大,p比较小,np=3,因此可

以用泊松分布来近似，即乂~冗(3).因此

*

⑴P(X=2)=，』224

(2)p(x<2)=l-P(X>2)=l-^|ye-3=1-0.8008=0.1992

(3)P(X>2)=P(X>2)=g—e-3=0.5768

(4)P(X>1)=^—e'3=0.9502

k=\k!

11.设连续型随机变量X的分布函数为

0,x<0

F(x)=«kx2,0<x<l

1,x>\

求：(1)系数k；(2)P(0.25<X<0.75)；(3)X的密度函

数；(4)四次独立试验中有三次恰好在区间(0.25,0.75)

内取值的概率.

解(1)由于当OWxWl时，有

F(%)=P(X尸P(X<O)+P(OWX^x)=kx2

又F⑴=1,所以kXR=i

因此k=l.

(2)P(0.25<X<0.75)=F(0.75)-F(0.25)=0.752-0.252=0.5

(3)X的密度函数为

2x,0<x<l

f(x)=F'(x)=

0,Other

(4)由(2)知，P(0.25<X<0.75)=0.5,故

P｛四次独立试验中有三次在(0.25,0.75)内｝=

Cl0.53(1-0.5)4-3=0.25

12.设连续型随机变量x的密度函数为

x<]

F(x)=A/1-X2\\

0,中1

求：(1)系数k；(2)(3)X的分布函数.

*

0+8

解⑴由题意，J-oof=1因此

r+oo/•+1'1

f于(Qdx=\.dx=karcsinx=kjr=1

J-00J—I-x2-1

解得：」

71

(2)

(1A

「"2k,1.1/2171一兀'£

P=I-idx=—arcsinx

\乙)L"2J12冗-1/27166?3

(3)X的分布函数

0x<—1

F(x)=[f\x)dx=<1/2+arcsinx/7r-1<x<1

J-00

1X>1

解得：k=1/71

13.某城市每天用电量不超过100万千瓦时，以Z表示每天

的耗电率(即用电量除以100万千瓦时)，它具有分布密度

为

12x(1-x)2,0<x<l

F(x)=

0,其他

若该城市每天的供电量仅有80万千瓦时，求供电量不够

需要的概率是多少？如每天供电量为90万千瓦时又是怎

样的？

解如果供电量只有80万千瓦，供电量不够用的概率为:

P(Z>80/100)=P(Z>0.8)=J；i2x(i-以公=0.0272

如果供电量只有80万千瓦，茬电量不够用的概率为：

P(Z>90/l00)=P(Z>0.9)=£12宜1-4公=0.0037

14.某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命(单

位小时)都服从同一指数分布，分布密度为

*

g、——em,0<x

F(x)=J600

0,0>x

试求在仪器使用的最初200小时以内，至少有一只电子

元件损坏的概率.

解设X表示该型号电子元件的寿命，则X服从指数分布,

设A={XW200},贝IJ

X1

「2001

P(A)=Jo而e600dx=l-e

设Y={三只电子元件在200小时内损坏的数量},则所

求的概率为：

1

尸(丫21)=1—尸(丫=0)=1—CfP(A)°(1-尸(A))?-。=]—(e3y=]__

15.设X为正态随机变量,且X〜N(2,/),又P(2<X<4)=0.3,

求P(X<0)

解由题意知

P(2<X<4)=P仔上上①(2)一①(0)=0.3

BP①[2]=0.3+0.5=0.8

故P(X<0)=P(^^<^^)=①F)=l-0>(2)=0.2

16.设随机变量X服从正态分布N(10,4),求公使P(|X—

10|<a)=0.9.

解由于P(|X-10|")=?(一a<X-10<a)=p[/<^^<9

T升①用=2①⑶-1=0.9

所以①(£j=0.95

查表可得，巴二1.65

2

*

即。=3.3

17.设某台机器生产的螺栓的长度X服从正态分布N(10.05,

0.062),规定X在范围(10.在±0.12)厘米内为合格品,求

螺栓不合格的概率.

解由题意，设P为合格的概率，则

5

P=P(|X-10.05|<0.12)=P(-0.12<X-10.05<0.12)=尸［2<，；优<2)

=0(2)-①(—2)=2①⑵-1=2x0.9772-1=0.9544

则不合格的概率=1-P=0.0456

18.设随机变量X服从正态分布N(60,9),求分点xi,X2,

使X分别落在(-8,XI)、(Xl,X2)、(X2,+8)的概率之

比为3:4:5.

解由题，

X-60x,-60—60、3八”

P(X")=P3<3=①----)=------=0.25

33+4+5

查表可得

_^-60=()67

3

解得,xi=57.99

又？(*<刍)=尸[^^<^^]=中(^^)=^^-=0.5833

I33)33+4+5

查表可得

^^=0.21

3

解得,X2=60.63.

19.已知测量误差X(米)服从正态分布N(7.5,10,必须进

行多少次测量才能使至少有一次误差的绝对值不超过10

米的概率大于0.98?

解设一次测量的误差不超过10米的概率为p,则由题可知

-10-7.5C-7510-5

p=P(\X\<1O)=P<2：<11

101010

=①(0.25)-0(-1.75)=0(0.25)-1+0(1.75)=0.5987-1+0.9599=0.5586

*

设Y为n次独立重复测量误差不超过10米出现的次数,

则Y〜B(n,0.5586)

于是P(Y^1)=1-P(X=0)=1-(1-0.5586)n0.98

0.441个W0.02,n2ln(0.02)/ln(0.4414)

解得：n三4.784

取n=5,即，需要进行5次测量.

20.设随机变量X的分布列为

_X-------W--------0------2-3

试求：(1)2X的分布列；(2)X2的分布列.

解(1)2X的分布列如下

解y二|x|的反函数为h(y)={'从而可得Y二|X|

的密度函数为：

当y>0时，

1zZZ2_I_ZZ.

e2+ee

fy(y=fx-y-y+fxyy=-^=~^=J~

当yWO时，fy(y)=O

因此有G3)=

22.若随机变量X的密度函数为

*

3x2,0cx<1

f(x)=

0,其他

求Y=，的分布函数和密度函数.

解y=l在(0,1)上严格单调，且反函数为h(y)=1,

%y

y>l,h'(y一一二

f(y)=fWy)]\h'(y)\=f----y=3

YxxI”y

因此有小y)=亍

0,other

Y的分布函数为：8)=J3”"

23.设随机变量X的密度函数为

-----—，%>。

/(%)=俨1+厂)

0,x<0

试求Y=lnX的密度函数.

解由于y=lnx严格单调，其反函数为〃(y)=“且/z'(y)=e=则

不(，)=八["(>)]I无'(，)1=八o金〉|

2d〉

+口2,

2

兀y+W,)

24.设随机变量X服从N(P,/)分布，求丫=人的分布密度.

解由于y=e*严格单调，其反函数为/?(y)=lny,且"(y)=l,y>0,

*

则

A(y)=A[^)]l^)l=A(m^)|

1------z-(lny-〃尸

=•--e2b.y>0

京by

当”0时万(y)=0

[1W

y>o

因此fY(y)=,J2兀by

0,y<0

25.假设随机变量X服从参数为2的指数分布，证明：Y=

1-在区间(0,1)上服从均匀分布.

解由于y=l-eN在(0,+8)上单调增函数，其反函数为：

h(y)=-gln(l-y),0<y<1,

并且h,(y)=一!一，则当0<>,<1

2(1-y)

r

fYCy)=fxlh(y^\h(y)\

1

2(1-y)

—2(—^-ln(l-y))1

=2e2------------=1

2(1-y)

当yWO或y》l时，"(y)=0.

因此Y在区间(0,1)上服从均匀分布.

26.把一枚硬币连掷三次，以X表示在三次中正面出现的次

数，Y表示三次中出现正面的次数与出现反面的次数之

差的绝对值，试求(X,Y)的联合概率分布.

解根据题意可知,(X,Y)可能出现的情况有：3次正面，2

次正面1次反面，1次正面2次反面，3次反面，对应的X,Y

的取值及概率分别为

P(X=3,Y=3)=lP(X=2,Y=l)=c；^J[l]=|

P(X=1,Y=D=c；Wfir=|P(X=0,Y=3)=[4=1

于是，(X,Y)的联合分布表如下：

*

X0123

103/83/80

31/8001/8

27.在10件产品中有2件一级品，7件二级品和1件次品，

从10件产品中无放回抽取3件，用X表示其中一级品件

数，Y表示其中二级品件数，求：

(1)X与Y的联合概率分布；

(2)X、Y的边缘概率分布；

(3)X与Y相互独立吗？

解根据题意，X只能取0,1,2,Y可取的值有：0,1,

2,3,由古典概型公式得：

(1)PLP(X=i,Y=j)=EG、其

jo

中,i+/+A=3,i=0,l,2,/=0,l,2,3

Z=0,1,可以计算出联合分布表如下

X0123P<

00021/12035/12056/120

1014/12042/120056/120

21/1207/120008/120

Pj1/12021/12063/12035/120

(2)X,Y的边缘分布如上表

(3)由于P(X=0,Y=0)=0,而P(X=0)P(Y=0)¥0,

P(X=0,Y=0)¥P(X=0)P(Y=0),因此X,Y不相互独立.

28.袋中有9张纸牌,其中两张“2”，三张中”,四张“4”,

任取一张，不放回，再任取一张，前后所取纸牌上的数

*

分别为X和Y,求二维随机变量(X,Y)的联合分布律，以

及概率P(X+Y>6)

解(1)X,Y可取的值都为2,3,4,则(X,Y)的联合概率分

布为：

X234Pi

2&/蜀=1/36必/&=1/12娟/4=1/92/9

3府=1/12&/&=l/12C；C：/4=l/61/3

44：8/4=1/9A：A；/4=1/6&/蜀=1/64/9

Pj2/91/34/9

(2)P(X+Y>6)=P(X=3,Y=4)+P(X=4,Y=3)+

P(X=4,Y=4)

=1/6+176+1/6=1/2.

29.设二维连续型随机变量(X,Y)的联合分布函数为

/、/、

xy।

F(x,y)=AB+arctan—C+arctan—,

\2八3J

求：(1)系数A、B及C；(2)(X,Y)的联合概率密度;

(3)X,Y的边缘分布函数及边缘概率密度；(4)随机

变量X与Y是否独立？

解⑴由(X,Y)的性质，F(x,-8)=o,F(-8,y)=o,F(-

-°°)=0,F(+8,+8)=1,可以得到如下方程组：

+arctanC-—0

3—+arctan=0

-卦。

XB+?XC+?)=1

*

解得：A=9B=&y

e”(x,y)6

⑵f(x,y)=

dxdy7r2(4+x2)(9+y2)

⑶X与Y的边缘分布函数为：

L/、L/、1(%,%Y乃乃11(乃，X

4(X)=F(X,+OO)=F-+arctan--+--+arctan-

7r\2222)7T\22

耳(y)=F(+8,y)

X与Y的边缘概率密度为：

2

勿上羯(尤)=而前

3

加…即可而

(4)由(2),(3)可知:/(x,y)=A(x)/r(y),所以X,Y相互独立.

30.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为

一、[e'(x+y),0<x<+oo,

[0,其他

(1)求分布函数F(x,y)；

(2)求(X,Y)落在由x=0,y=0,x+y=l所围成的三

角形区域G内的概率.

解⑴当时，F(x,y)=['['e~(u+v)dudv=(1-e~x)(l-e~y)

X>0,y>0JOJO

否则，F(x,y)=0.

(2)由题意，所求的概率为

P((x,y)eG)=JJf(x,y')dxdy

G

=J；dx^'e-(x+y}dy=1-2e-=0.2642

31.设随机变量(X,Y)的联合概率密度为

Ae«3x+4y),x>0,y>0,

f(x,y)=<

0,其他

*

求：(1)常数A；(2)X,Y的边缘概率密度；(3)

p(o<x<1,o<y<2).

解(1)由联合概率密度的性质，可得

J：」：y)dxdy=1=J；J；Ae-**+4,>和=A/12

解得A=12.

(2)X,Y的边缘概率密度分别为：

LMj112e-3“=3e3，x>0

力(x)=J/(x,yWy=产

0,other

「、产”、，［广12/3+4,"=4/、°

0,other

(3)P(0<x<l,0<j<2)

=良12"。"+4”办

=(l-e-3)(l-e-8)

.设随机变量(的联合概率密度为

32X,Yr)

〃、炉+?0<x<l,0<：v<2,

/(x,y)=33

.0,其他

求P(X+YN1).

解由题意，所求的概率就是(X,Y)落入由直线x=0,x=l,

y=0,y=2,x+y=l围的区域G中，则

P((x,y)eG)=jjf(x,y)dxdy

G

=1X1+券y

ri4x2x5x3,65

33.设二维随机变量(X,Y)在图2.20所示的区域G上服从均

匀分布，试求(X,Y)的联合概率密度及边缘概率密度.

解由于(X,Y)服从均匀分布，则G的面R

*

A=j|f(x,y)dxdy-j；dx^\dy=£(x-x1)dx--,

A

G°°6

(X,Y)的联合概率密度为：

[6,0<x<l

f(x,y)=\,

0,other

X,Y的边缘概率密度为：

’2

叱)=匚/(须.=J；她'=6,2O<X<1

0,other

加y)=J0(x,y加=|r皿=6(47)，。"<1

0,other

34.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在(0,0.2)上服

从均匀分布，Y的概率密度是

y>0

川)=1

0,y<0

求：(1)X和Y和联合概率密度；(2)P(YWX).

解由于X在(0,0.2)上服从均匀分布，所以人*)=1/0.2=5

(1)由于X,Y相互独立，因此X,Y的联合密度函数

251y>0,0<x<0.2

f(x,y)=fx(x)fY(y)=<

0,other

(2)由题意，所求的概率是由直线x=0,xO.2t-

所围的区域，

如右图所示，因此

P(Y4X)=JJf(x,y)dxdy=£25e~>ydy

G.

f0.2,..

=5f\-e-5xdx=\+e-'

Jo

35.设(X,Y)的联合概率密度为

g,0<x<l,0<y<2

f(x,y)=<

0,其他

求X与Y中至少有一个小于净概率.

解所求的概率为

p"）u（y）；

=1-小弓,色

36.设随机变量X与Y相互独立，且

求二维随机变量（X,Y）的联合分布律.

解由独立性，计算如下表

X-113PJ

-31/81/203/401/4

13/83/209/403/4

Pi1/21/56/20

37.设二维随机变量（X,Y）的联合分布律为

11J_

?778

2abc

（1）求常数a,b,c应满足的条件；

（2）设随机变量X与Y相互独立，求常数a,b,c.

*

解由联合分布律的性质，有：

—+a+z?+c=i,即a+b+c—1——

691833

又，X,Y相互独立，可得a-.b-.c4----1

6918

从而可以得到：a=b--,c=-

399

38.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为

,X>0,y>1,

1+x2

F(x,y)=<,x>0,0<^<1,

1+x2

0,其他,

求边缘分布函数工(x)与々.(y),并判断随机变量X与Y是

否相互独立.

解由题意，边缘分布函数

-x2f

厂/、厂/、Hm-----7=-------y,x>0

Fx(x)=F(x,+oo)=<]+],|_工2

0,X<0

下面计算FY(>)

o,y<0

甲y)=W+8,y)=,1吧

0<y<1

2

lim------T-=1,y>i

Xf田1+x

可以看出，F(x,y尸Fx(x)FY。)，因此，X,Y相互独立.

39.设二维随机变量(X,Y)的联合分布

函数为

x>1,y>1

f(x,y)=«第

0,其他，

求边缘概率密度力⑴与人(>),并判断随机变量X与Y是

否相互独立.

解先计算力(幻，当XV1时，力(幻=0

当ei时，

再计算加力，当尸1时，人(y)=o

当y21时，/；(y)=JJ抵=23,：="'

可见，f(x,y)"(x)加y),所以随机变量X,Y相互独立

40.设二维随机变量(X,Y)的联合分布

函数为

卜+y,0<%,^<1,

小加=。，其他，

求边缘概率密度人(幻与亦(y),并判断随机变量X与Y

是否相互独立.

解先计算fx(%)，当％<。或者%>1时，fx(幻=0

1

当时，f(x)=^x+ydy=xy+}y2=%+一

x2

再计算力(y),当y<。或者y>l时，力(y)=o

当12y20时，/；(y)=£x+双=肛+产；=

由于/(x,y)=x+yK/x(x)/y(y)=(x+g)(y+g),所以随机变量

X,Y不独立

41.设二维随机变量(X,Y)的联合分布

函数为

2e"x~2yx>0,y>0

f(x,y)=(

u，其他

求随机变量Z=X-2Y的分布密度.

解先求Z的分布函数F(z)

尸(z)=P(ZWz)=P(X-2y〈z)=JJf(x,y)dxdy

DtX-2Y<z

当z<0时，积分区域为：D={(x,y)|x>0,y>0,x-2y

*

求得尸⑶=「时：2e-x-2ydx

^2fXe-2y-e-4y-：dy^-e:

J-22

当z20时，积分区域为：D={(x,y)|x>0,y>0,

2i"-I

由此，随机变量z的分布函数为

।1

1——ez>0

F(z)=，2

1z

2e，z<0

因此，得Z的密度函数为:

z>0

2

/(z)=v

J

z<0

,2

42.设随机变量X和Y独立，X〜N3b2),

Y服从[—b,b](b>0)上的均匀分布，求随机变量Z=X

+Y的分布密度.

解解法一由题意，

上心11

/⑶可f(z-y)fy^dy=-7=~e2b—dy

JvxJ-Jb,2b

令(z—y—a)/b=/,dy=—adt,ye[-b,b],则

1:+b-a1ZL_1

F(z)=—[；^=£2力=_(①(中)一①(中))

2b0而2/。°八

解法二

*

F(z)=fx(x)/r(z-x)dx,

,/-b<z-x<b,

z-b<x<z+b

一(%—a)2

e-2^-