高中学业水平考试数学真题分类汇编专题07立体几何初步含答案及解析

专题07立体几何初步考点一：简单几何体的表面积和体积1．（2023·北京）已知三棱柱的体积为12，则三棱锥的体积为（

）A．3 B．4 C．6 D．82．（2023·河北）将一块棱长为60cm的正方体石块，磨制成一个球形石块，则最大球形石块的体积是（取）（

）A． B． C． D．3．（2023春·福建）已知球体O的半径为2，则球体O的表面积为（

）A． B． C． D．4．（2022·北京）如图，在直三棱柱中，是等腰直角三角形．若，则该直三棱柱的体积为（

）A．6 B．12 C．18 D．245．（2022春·天津）已知圆锥的底面半径是1，高是2，则这个圆锥的体积为（

）A． B． C． D．6．（2021·北京）如图，在三棱锥中，，则三棱锥的体积为（

）A．1 B．2 C．6 D．127．（2021春·天津）如图，圆柱的底面半径是2，高是3，则这个圆柱的体积是（

）

A． B． C． D．8．（2023·山西）在三棱锥中，平面BCD，，则三棱锥的外接球的表面积的最小值为（

）A． B． C． D．9．（2022春·浙江）某广场设置了一些石凳供大家休息，每个石凳都是由正方体截去八个一样的四面体得到的（如图，从棱的中点截）.如果被截正方体的棱长是4（单位：），那么一个石凳的体积是（单位：）.10．（2022春·贵州）已知长方体的三条棱长分别为1，，，则该长方体外接球的表面积为．（结果用含的式子表示）11．（2021春·福建）半径为的球的体积为．12．（2021秋·青海）如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上下底面及母线均相切，已知圆柱的底面半径为3，则圆柱的体积为．考点二：空间点、直线、平面的位置关系1．（2023·北京）四棱锥如图所示，则直线PC（

）A．与直线AD平行 B．与直线AD相交C．与直线BD平行 D．与直线BD是异面直线2．（2023·河北）已知m，n是两条不同的直线，是平面，则下列四个结论中正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若m，n与所成的角相等，则3．（2023·山西）已知三条不重合的直线，，，三个不重合的平面，，，则（

）A．若，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，，则4．（2023·江苏）已知直线平面，直线平面，则与不可能（

）A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直5．（2023春·浙江）下列说法正确的是（

）A．一个平面里有三个不同的点到另一个平面的距离都相等，则这两个面平行B．和同一条直线都相交的两条直线一定相交C．经过空间中三个点有且只有一个平面D．经过两条相交直线有且只有一个平面6．（2023春·福建）已知四棱锥底面为正方形，平面，则（

）

A． B．C．平面 D．平面7．（2023·广东）已知α和β是两个不同平面，A:，B:α和β没有公共点，则A是B的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．（2023春·新疆）已知直线和两个不重合的平面，则下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则9．（2022·北京）在空间中，设是不同的直线，是不同的平面，则下形命题中真命题是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则10．（2022秋·广东）已知直线与平面，则下列结论成立的是（

）A．若直线垂直于平面内的一条直线，则B．若直线垂直于平面内的两条直线，则C．若直线平行于平面内的一条直线，则D．若直线与平面没有公共点，则11．（2022春·广西）如图，正方体中，分别是的中点，则下列结论正解的是（

）A． B． C．与相交 D．与相交12．（2022春·贵州）如图，在正方体中，直线与的位置关系是（

）A．相交 B．平行 C．异面不垂直 D．异面垂直13．（2021秋·浙江）已知平面和直线，则下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则14．（2021春·贵州）如图，正方体中，E为的中点，则下列直线中与平面AEC平行的是（

）A． B． C． D．EO15．（2021秋·贵州）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线与平面DAA1D1的位置关系是（

）A．直线与平面平行B．直线与平面垂直C．直线与平面相交但不垂直D．直线在平面16．（多选）（2021·湖北）已知，是平面外的两条不同的直线，则下列命题中正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则17．（2023·北京）如图，在正方体中，是正方形ABCD及其内部的点构成的集合．给出下列三个结论：①，；②，；③，与不垂直．其中所有正确结论的序号是．18．（2022春·广西）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，，则这个三棱锥的四个面中，是直角三角形的个数有个.19．（2021·北京）如图，在正方体中，E是的中点.给出下列三个结论：①；②；③线段的长度大于线段的长度.其中所有正确结论的序号是.考点三：异面直线所成角1．（2023春·湖南）如图，在正方体中，异面直线AC与所成的角为（

）

A． B． C． D．2．（2023·云南）在正方体中，异面直线与所成角的大小为（

）A． B． C． D．3．（2021春·河北）如图，在正方体中，分别是，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．4．（2021秋·浙江）如图，正方体中，分别为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．5．（2021春·福建）如图的正方体中，异面直线与所成的角是（

）A．30° B．45° C．60° D．90°考点四：直线与平面所成角1．（2023·江苏）如图，正方体中，直线与平面所成角的正切值为（

）A．1 B． C． D．2．（2022秋·浙江）如图，正方体中，N是棱的中点，则直线CN与平面所成角的正弦值等于（

）A． B． C． D．3．（2021秋·浙江）如图，在三棱锥中，，分别为棱的中点，记直线与平面所成角为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（2021秋·贵州）如图，在三棱锥中，⊥底面，，则直线与平面所成角的大小为A． B．C． D．考点五：二面角1．（2023·河北）如图，在四棱锥中，底面为矩形，是等边三角形，平面底面，，四棱锥的体积为，E为PC的中点．平面与平面所成二面角的正切值是（

）A．2 B． C． D．1考点六：立体几何解答题1．（2023·北京）阅读下面题目及其解答过程．如图，在直三棱柱中，，D，E分别为BC，的中点．（1）求证：平面；（2）求证：．解：（1）取的中点F，连接EF，FC，如图所示．在中，E，F分别为，的中点，所以，．由题意知，四边形为①．因为D为BC的中点，所以，．所以，．所以四边形DCFE为平行四边形，所以．又②，平面，所以，平面．（2）因为为直三棱柱，所以平面ABC．又平面ABC，所以③．因为，且，所以④．又平面，所以．因为⑤，所以．以上题目的解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合逻辑推理．请选出符合逻辑推理的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A”或“B”）．空格序号选项①A．矩形

B．梯形②A．平面

B．平面③A．

B．④A．平面

B．平面⑤A．

B．2．（2023·山西）如图所示，三棱柱，底面是边长为2的正三角形，侧棱底面，点分别是棱，上的点，点是线段的中点，．

(1)求证平面；(2)求与所成角的余弦值．3．（2023·江苏）如图，三棱锥的底面和侧面都是边长为2的等边三角形，分别是的中点，.(1)证明：平面；(2)求三棱锥的体积.4．（2023春·福建）如图，长方体，，.(1)求三棱锥的体积；(2)证明：平面.5．（2023春·湖南）如图，P为圆锥的顶点，O为底面圆的圆心，AC为底面圆的直径，B是底面圆周上不同于A，C的任意一点，点D，E分别为母线PB，PC的中点.

(1)求证：平面ABC；(2)若，，求圆锥PO的体积.6．（2023·广东）如图，圆的直径为4，直线PA垂直圆所在的平面，C是圆上的任意一点.(1)证明BC⊥面PAC；(2)若求PB与面PAC的夹角.7．（2023·云南）如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，平面.(1)求四棱锥的体积；(2)求证：平面.8．（2023春·新疆）在三棱锥中，底面，，E，F分别是BC，PC的中点．(1)证明：平面；(2)证明．9．（2022·北京）阅读下面题目及其解答过程．如图，已知正方体．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：直线与平面不平行．解：（Ⅰ）如图，连接．因为为正方体，所以平面．所以①___________．因为四边形为正方形，所以②__________．因为，所以③____________．所以．（Ⅱ）如图，设，连接．假设平面．因为平面，且平面平面④____________，所以⑤__________．又，这样过点有两条直线都与平行，显然不可能．所以直线与平面不平行．以上题目的解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合推理，请选出符合推理的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A”或“B”）．空格序号选项①A．

B．②A．

B．③A．平面

B．平面④A．

B．⑤A．

B．与为相交直线10．（2022秋·广东）如图，PA是圆柱的母线，AB是底面圆的直径，C是底面圆周上异于A．B的一点，且．(1)求证：平面PAC(2)若M是PC的中点，求三棱锥的体积．11．（2022秋·福建）如图，在三棱锥中，平面平面(1)求证：PA；(2)若，求三棱锥的体积.12．（2022春·天津）如图，四棱锥的底面是正方形，平面ABCD，M，N分别是BC，PC的中点.

(1)求证：平面PDB；(2)求证：平面PDB.13．（2022·山西）如图，在直四棱柱中，底面为菱形，为中点.（1）求证：平面；（2）求证：.14．（2022春·浙江）如图，在四棱锥中，底面是梯形，，平面，点是棱上的一点．(1)若，求证：平面；(2)若是的中点，求二面角的余弦值．15．（2022·湖南）在直三棱柱中，，为中点.(1)求证：平面；(2)若，求四棱锥的体积.16．（2022春·广西）如图，AB是底面的直径，C为上异于A、B的点，PC垂直于所在平面，D、E分别为PA、PC的中点.(1)求证：DE∥平面ABC.(2)求证：平面BDE⊥平面PBC.17．（2022春·贵州）如图，直三棱柱中，，M为棱上一点．(1)求三棱锥的体积；(2)求证：．18．（2021·北京）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面.(1)求证：平面；(2)求证：平面.19．（2021春·天津）如图，长方体中，底面是正方形．

(1)求证：平面；(2)求证：平面．20．（2021秋·吉林）如图，三棱柱中，平面ABC，AB=3，AC=4，BC=5.(1)求证：平面；(2)若异面直线与所成的角为30°，求三棱柱的体积.21．（2021·吉林）如图，在正方体中，、分别为､的中点.（1）求证：；（2）求证：平面.22．（2021春·福建）如图，在三棱锥中，E，F分别是AB，AP的中点.(1)求证：平面；(2)若三棱锥的各棱长均为2，求它的表面积.23．（2021秋·福建）如图，在三棱锥中，已知△ABC和△PBC均为正三角形，D为BC的中点．(1)求证：平面；(2)若，，求三棱锥的体积．24．（2021秋·河南）如图，在三棱柱中，点D是AB的中点.（1）求证：平面；（2）若平面ABC，，，，，求三棱柱的体积.25．（2021·湖北）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点．求证：（1）平面；（2）求三棱锥的体积．26．（2021秋·广东）如图，在四棱锥P-ABCD中，底边ABCD是边长为2的菱形，PA=AC=2，PA⊥平面ABC，E，F分别为PD，BC的中点.（1）求三棱锥P-ABD的体积；（2）证明：EF∥平面PAB（参考公式：锥体的体积公式为V=，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高）27．（2021秋·广西）《九章算术》是我国古代数学专著，书中将底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图，在阳马中，平面，为的中点.(1)求证：平面；(2)若，求证：.28．（2021春·贵州）如图，三棱柱中，底面ABC，，且．(1)求直线与平面ABC所成角的大小；(2)求证：平面．29．（2021·贵州）如图，在正方体中，为的中点.（1）求证：平面；（2）判断与平面的位置关系，并说明理由.30．（2021秋·青海）如图，在三棱锥中，侧棱底面，，、分别是棱、的中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）证明：．

专题07立体几何初步考点一：简单几何体的表面积和体积1．（2023·北京）已知三棱柱的体积为12，则三棱锥的体积为（

）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】B【详解】三棱锥与三棱柱等底等高，则三棱锥的体积是三棱柱体积的，即三棱锥的体积为4.故选：B2．（2023·河北）将一块棱长为60cm的正方体石块，磨制成一个球形石块，则最大球形石块的体积是（取）（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意可得，该问题相当于求正方体内切球体积，易知当石块直径等于正方体棱长时其体积最大，即最大球形石块的半径为30cm，根据球的体积公式可得.故选：B3．（2023春·福建）已知球体O的半径为2，则球体O的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】设球体O的半径为，所以由球体O的表面积公式可得.故选：C.4．（2022·北京）如图，在直三棱柱中，是等腰直角三角形．若，则该直三棱柱的体积为（

）A．6 B．12 C．18 D．24【答案】D【详解】因为在直三棱柱中，是等腰直角三角形，，则为直角，故可得：,故选：D5．（2022春·天津）已知圆锥的底面半径是1，高是2，则这个圆锥的体积为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意知，圆锥底面积为，圆锥的高，则圆锥的体积为.故选：A6．（2021·北京）如图，在三棱锥中，，则三棱锥的体积为（

）A．1 B．2 C．6 D．12【答案】B【详解】解：因为，所以即为三棱锥高，所以.故选：B.7．（2021春·天津）如图，圆柱的底面半径是2，高是3，则这个圆柱的体积是（

）

A． B． C． D．【答案】D【详解】由圆柱的体积公式可得，该圆柱的体积为：.故选：D8．（2023·山西）在三棱锥中，平面BCD，，则三棱锥的外接球的表面积的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设底面的外接圆的半径为r，，则在中，，可得，所以，设底面三角形的外心为，过作底面的垂线，由于平面BCD，故所作垂线与的中垂线的交点即为三棱锥外接球的球心，设外接球的半径为R，而，则外接球的半径为，即当即时，三棱锥的外接球的半径取得最小值，此时三棱锥的外接球表面积取得最小值：,故选：B9．（2022春·浙江）某广场设置了一些石凳供大家休息，每个石凳都是由正方体截去八个一样的四面体得到的（如图，从棱的中点截）.如果被截正方体的棱长是4（单位：），那么一个石凳的体积是（单位：）.【答案】【详解】正方体的体积为，正方体截去的八个四面体是全等的正三棱锥，截去的一个正三棱锥的体积为，则石凳的体积为.故答案为：.10．（2022春·贵州）已知长方体的三条棱长分别为1，，，则该长方体外接球的表面积为．（结果用含的式子表示）【答案】【详解】由题意得，长方体的体对角线即为外接球直径，设外接球半径为，则，则外接球的表面积为.故答案为：.11．（2021春·福建）半径为的球的体积为．【答案】【详解】根据球的体积公式．【点睛】球的体积公式12．（2021秋·青海）如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上下底面及母线均相切，已知圆柱的底面半径为3，则圆柱的体积为．【答案】【详解】设圆柱的底面半径为，球的半径为．由条件有：，圆柱的高为，所以圆柱的体积为．故答案为：考点二：空间点、直线、平面的位置关系1．（2023·北京）四棱锥如图所示，则直线PC（

）A．与直线AD平行 B．与直线AD相交C．与直线BD平行 D．与直线BD是异面直线【答案】D【详解】根据异面直线的定义，不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线，可以判断直线PC与直线AD、直线BD是异面直线.故选：D.2．（2023·河北）已知m，n是两条不同的直线，是平面，则下列四个结论中正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若m，n与所成的角相等，则【答案】A【详解】由线面垂直的性质定理可得垂直于同一平面的两直线平行，即A正确；若，，可知m，n的位置关系可以是平行、相交或异面，即B错误；若，，则直线可以在平面内，所以C错误；由线面角的定义可知，若m，n与所成的角相等，则m，n的位置关系可以是平行、相交或异面，即D错误.故选：A3．（2023·山西）已知三条不重合的直线，，，三个不重合的平面，，，则（

）A．若，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，，则【答案】C【详解】对于A中，若，，则或，所以A项不正确；对于B中，若，，，则或与相交，所以B项不正确；对于C中，设，在平面内任取一点，作，垂足分别为，由面面垂直的性质定理，可得，又因为，可得，所以C项正确；对于D中，若，，，，只有相交时，才有，所以D项不正确.故选：C.4．（2023·江苏）已知直线平面，直线平面，则与不可能（

）A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直【答案】B【详解】直线平面，直线平面，则与可能平行，异面和垂直，若与相交，，则，，直线平面，故，即与有交点，这与题设矛盾.故选：B5．（2023春·浙江）下列说法正确的是（

）A．一个平面里有三个不同的点到另一个平面的距离都相等，则这两个面平行B．和同一条直线都相交的两条直线一定相交C．经过空间中三个点有且只有一个平面D．经过两条相交直线有且只有一个平面【答案】D【详解】对于A,一个平面里有三个不同的点到另一个平面的距离都相等，则这两个面可能相交也可能平行，例如在正方体中,平面中的点到平面的距离均相等，但是平面与平面相交，不平行，故A错误，对于B,和同一条直线都相交的两条直线不一定相交，例如正方体中均与相交，但是不相交，故B错误，对于C，经过空间中三个不共线的点有且只有一个平面，故C错误，对于D,两条相交直线可以确定一个平面,因此经过两条相交直线有且只有一个平面，故D正确，故选：D

6．（2023春·福建）已知四棱锥底面为正方形，平面，则（

）

A． B．C．平面 D．平面【答案】B【详解】对于A选项，因为平面，平面，则，因为四边形为正方形，则，因为，、平面，所以，平面，因为平面，则，故为锐角，A错；对于B选项，因为平面，平面，则，B对；对于C选项，若平面，且平面，则、平行或重合，矛盾，假设不成立，C错；对于D选项，若平面，则与平面无公共点，这与平面矛盾，假设不成立，D错.故选：B.7．（2023·广东）已知α和β是两个不同平面，A:，B:α和β没有公共点，则A是B的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】两个平面平行的定义是：两个平面没有公共点，则这两个平面平行，因此是的充要条件．故选：C．8．（2023春·新疆）已知直线和两个不重合的平面，则下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【详解】若，则不一定平行，还可以相交，故A错误；若，则，故B错误；若，则不一定平行，还可以相交，故C错误；若，则必存在直线，且，而，所以，所以，故D正确.故选：D9．（2022·北京）在空间中，设是不同的直线，是不同的平面，则下形命题中真命题是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】B【详解】若，则或与相交或与是异面直线，故A错误；若，则，故B正确；若，则或与相交，故C错误；若，则或与相交，故D错误.故选：B.10．（2022秋·广东）已知直线与平面，则下列结论成立的是（

）A．若直线垂直于平面内的一条直线，则B．若直线垂直于平面内的两条直线，则C．若直线平行于平面内的一条直线，则D．若直线与平面没有公共点，则【答案】D【详解】对于A选项，若直线垂直于平面内的一条直线，则或与相交（不一定垂直）或，A错；对于B选项，若直线垂直于平面内的两条直线，则与的位置关系不确定，B错；对于C选项，若直线平行于平面内的一条直线，则或，C错；对于D选项，若直线与平面没有公共点，则，D对.故选：D.11．（2022春·广西）如图，正方体中，分别是的中点，则下列结论正解的是（

）A． B． C．与相交 D．与相交【答案】B【详解】由分别是的中点可得，又易得，则.故选：B.12．（2022春·贵州）如图，在正方体中，直线与的位置关系是（

）A．相交 B．平行 C．异面不垂直 D．异面垂直【答案】B【详解】在正方体中，且，所以四边形为平行四边形，所以.故选：B13．（2021秋·浙江）已知平面和直线，则下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【详解】解：对于A选项，若，则或相交，故A选项不正确；对于B选项，若，则或相交，故B选项不正确；对于C选项，若，则，为面面垂直的判定定理，故C选项正确；对于D选项，若，则，故D选项不正确.故选：C.14．（2021春·贵州）如图，正方体中，E为的中点，则下列直线中与平面AEC平行的是（

）A． B． C． D．EO【答案】C【详解】解：对于A，因为直线与平面AEC交于点，故不平行；对于B，因为直线与平面AEC交于点，故不平行；对于C，在正方体中，因为E为的中点，为的中点，所以，又平面AEC，平面AEC，所以平面AEC；对于D，因为平面AEC，故不平行.故选：C.15．（2021秋·贵州）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线与平面DAA1D1的位置关系是（

）A．直线与平面平行B．直线与平面垂直C．直线与平面相交但不垂直D．直线在平面【答案】A【详解】连接，由正方体的性质可得且，所以为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面，故选：A16．（多选）（2021·湖北）已知，是平面外的两条不同的直线，则下列命题中正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则【答案】BC【详解】解：对于A，直线和可以相交或者异面，故A错，对于B,，假设，，又，故，则，故B对,对于C,因为，，又，则，故C对,对于D,直线可以与平面平行，故D错.故选：BC.17．（2023·北京）如图，在正方体中，是正方形ABCD及其内部的点构成的集合．给出下列三个结论：①，；②，；③，与不垂直．其中所有正确结论的序号是．【答案】①②③【详解】对于①，平面，，，故①正确；对于②，当到达点时，，,是平行四边形，,,，，故②正确；对于③，平面过作平面的平行面与平面的交线在正方形ABCD外，，与不垂直,故③正确.故答案为：①②③.18．（2022春·广西）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，，则这个三棱锥的四个面中，是直角三角形的个数有个.【答案】【详解】由于平面，所以，所以三角形和三角形是直角三角形.由于，所以，三角形是直角三角形.由于，所以平面，所以，所以三角形是直角三角形.所以三棱锥四个面中，是直角三角形的个数有个.故答案为：19．（2021·北京）如图，在正方体中，E是的中点.给出下列三个结论：①；②；③线段的长度大于线段的长度.其中所有正确结论的序号是.【答案】①②③【详解】连接、、，并设正方体的棱长为.对于①，由于，可知平面，①正确；对于②，由于，又是的中点，易知，②正确；对于③，、、是正方体的面对角线，可知，因此是等边三角形，而是等边三角形边上的高线，因此，③正确.故答案为：①②③考点三：异面直线所成角1．（2023春·湖南）如图，在正方体中，异面直线AC与所成的角为（

）

A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意，正方体中得，故异面直线AC与所成的角，即正方形对角线与的夹角，故选：D2．（2023·云南）在正方体中，异面直线与所成角的大小为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】连结、，如下图：在正方体中，且；四边形为平行四边形，则；又在正方体中，为等边三角形，就是异面直线与所成角,，异面直线与所成角的大小为.故选：C.3．（2021春·河北）如图，在正方体中，分别是，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】取的中点，连接，．为正方体，．又，分别是，的中点，，异面直线与所成的角为．设正方体的棱长为，平面，，,，在中，．故选：B4．（2021秋·浙江）如图，正方体中，分别为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】取的中点，连接由分别为的中点，则且在正方体中且,所以且所以四边形为平行四边形，所以则（或其补角）为异面直线与所成角.设正方体的棱长为2，则在中，,所以故选：A5．（2021春·福建）如图的正方体中，异面直线与所成的角是（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】D【详解】在正方体中，平面，平面，异面直线与所成的角是.故选：D.考点四：直线与平面所成角1．（2023·江苏）如图，正方体中，直线与平面所成角的正切值为（

）A．1 B． C． D．【答案】C【详解】如图所示：连接，因为平面，故线与平面所成角，设正方体棱长为1，则，.故选：C2．（2022秋·浙江）如图，正方体中，N是棱的中点，则直线CN与平面所成角的正弦值等于（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】连接、交于,由正方形的性质可得，又平面，平面，，又与在平面内相交，所以平面是与平面所成的角，设正方体的棱长为2，则，，，故选：B.3．（2021秋·浙江）如图，在三棱锥中，，分别为棱的中点，记直线与平面所成角为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由，，将底面补全为正方形ABCG，如下图示，O为ABCG对角线交点且，又有，，∴面，而面，故面面，若H为DG的中点，连接FH，又为棱的中点，则且，而，，有平行且相等，即为平行四边形.∴可将平移至，直线与平面所成角为，且中，令，，即，∴△中，，即，∵，即，∴，解得（舍去），综上有，故选：C4．（2021秋·贵州）如图，在三棱锥中，⊥底面，，则直线与平面所成角的大小为A． B．C． D．【答案】B【详解】由题意可知，⊥底面，所以为直线与平面所成角，，所以三角形为等腰直角三角形，所以，故选B考点五：二面角1．（2023·河北）如图，在四棱锥中，底面为矩形，是等边三角形，平面底面，，四棱锥的体积为，E为PC的中点．平面与平面所成二面角的正切值是（

）A．2 B． C． D．1【答案】B【详解】分别取的中点为，连接，设，则.因为是等边三角形，所以，又因为平面平面，平面平面，平面，底面，因为四棱锥的体积为，所以，解得.则，，所以，，又因为底面为矩形，所以，所以为平面与平面所成二面角的平面角，.故选：B考点六：立体几何解答题1．（2023·北京）阅读下面题目及其解答过程．如图，在直三棱柱中，，D，E分别为BC，的中点．（1）求证：平面；（2）求证：．解：（1）取的中点F，连接EF，FC，如图所示．在中，E，F分别为，的中点，所以，．由题意知，四边形为①．因为D为BC的中点，所以，．所以，．所以四边形DCFE为平行四边形，所以．又②，平面，所以，平面．（2）因为为直三棱柱，所以平面ABC．又平面ABC，所以③．因为，且，所以④．又平面，所以．因为⑤，所以．以上题目的解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合逻辑推理．请选出符合逻辑推理的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A”或“B”）．空格序号选项①A．矩形

B．梯形②A．平面

B．平面③A．

B．④A．平面

B．平面⑤A．

B．【答案】（1）①A；②A；（2）③B；④A；⑤B【详解】①根据直棱柱的结构特征及给定的条件知：结论为四边形为矩形，填A；②由线面平行的判定条件，条件中缺平面，填A；③由线面垂直的性质知：结论为，填B；④由线面垂直的判定知：结论为平面，填A；⑤根据及所得结论为，条件应为，填B.故答案为：A，A，B，A，B2．（2023·山西）如图所示，三棱柱，底面是边长为2的正三角形，侧棱底面，点分别是棱，上的点，点是线段的中点，．

(1)求证平面；(2)求与所成角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)与所成角的余弦值为.【详解】（1）取的中点，连接，

∵分别为的中点，∴，，由，且，∴，且，∴四边形为平行四边形，故，又平面，平面，∴平面；（2）因为，所以为直线与所成角，中，，直角梯形中，，过作，为垂足，如图所示，

则，，，，，所以为等腰三角形，则，中，，所以，中，，所以所以与所成角的余弦值为.3．（2023·江苏）如图，三棱锥的底面和侧面都是边长为2的等边三角形，分别是的中点，.(1)证明：平面；(2)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）因为分别是的中点，所以，因为平面，平面，所以平面；（2）因为是等边三角形，是的中点，所以，因为，平面，所以平面，因为底面和侧面都是边长为2的等边三角形，所以4．（2023春·福建）如图，长方体，，.(1)求三棱锥的体积；(2)证明：平面.【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）解：在长方体中，平面，且，因为，，则，，因此，三棱锥的体积为.（2）证明：在长方体中，且，所以，四边形为平行四边形，则，因为平面，平面，因此，平面.5．（2023春·湖南）如图，P为圆锥的顶点，O为底面圆的圆心，AC为底面圆的直径，B是底面圆周上不同于A，C的任意一点，点D，E分别为母线PB，PC的中点.

(1)求证：平面ABC；(2)若，，求圆锥PO的体积.【答案】(1)见解析(2)【详解】（1）由于D，E分别为母线PB，PC的中点,所以,由于平面ABC,平面ABC,所以平面ABC（2）AC为底面圆的直径，B是底面圆周上不同于A，C的任意一点，所以,又，所以,因此底面圆的半径为,故圆锥PO的体积为，6．（2023·广东）如图，圆的直径为4，直线PA垂直圆所在的平面，C是圆上的任意一点.(1)证明BC⊥面PAC；(2)若求PB与面PAC的夹角.【答案】(1)证明见解析；(2)．【详解】（1）证明：平面，平面，∴，同理，是圆直径，在圆周上，因此，又，平面，∴平面；（2）由（1）平面，∴是与平面所成的角，又平面，∴，由已知，，所以，∴与平面所成的角是．7．（2023·云南）如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，平面.(1)求四棱锥的体积；(2)求证：平面.【答案】(1)(2)证明见详解【详解】（1）已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，由平面得四棱锥的高为，所以四棱锥的体积；（2）因为四棱锥的底面是正方形，所以,因为平面，平面，所以，又，平面，平面，所以平面.8．（2023春·新疆）在三棱锥中，底面，，E，F分别是BC，PC的中点．(1)证明：平面；(2)证明．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【详解】（1）在中，因为E，F分别是BC，PC的中点，则，因为平面，平面，所以平面．（2）因为底面，平面，则，又平面，因此平面，而平面，于是，由（1）知，所以.9．（2022·北京）阅读下面题目及其解答过程．如图，已知正方体．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：直线与平面不平行．解：（Ⅰ）如图，连接．因为为正方体，所以平面．所以①___________．因为四边形为正方形，所以②__________．因为，所以③____________．所以．（Ⅱ）如图，设，连接．假设平面．因为平面，且平面平面④____________，所以⑤__________．又，这样过点有两条直线都与平行，显然不可能．所以直线与平面不平行．以上题目的解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合推理，请选出符合推理的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A”或“B”）．空格序号选项①A．

B．②A．

B．③A．平面

B．平面④A．

B．⑤A．

B．与为相交直线【答案】（Ⅰ）①A

②B

③B；（Ⅱ）④A

⑤A【详解】要证明，可通过证明平面来证得，要证明平面，可通过证明来证得，所以①填A，②填B，③填B.平面与平面的交线为，所以④填A，由于平面，因为平面，且平面平面，根据线面平行的性质定理可知，，所以⑤填A.10．（2022秋·广东）如图，PA是圆柱的母线，AB是底面圆的直径，C是底面圆周上异于A．B的一点，且．(1)求证：平面PAC(2)若M是PC的中点，求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）∵PA为圆柱母线，∴平面ACB，∵平面，∴，∵AB为底面圆直径，∴，∵平面APC，平面APC，，∴平面PAC.（2）∵平面APC，平面平面APC，∴平面ACM，BC为三棱锥的高，，∵，M为PC中点，∴，，，∴.11．（2022秋·福建）如图，在三棱锥中，平面平面(1)求证：PA；(2)若，求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以PA；（2）解：由（1）知平面，所以，又，所以，因为，所以，所以，所以，所以三棱锥的体积.12．（2022春·天津）如图，四棱锥的底面是正方形，平面ABCD，M，N分别是BC，PC的中点.

(1)求证：平面PDB；(2)求证：平面PDB.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【详解】（1）因为M，N分别是BC，PC的中点，故.又平面，平面，故平面PDB.（2）因为平面ABCD，且平面，故.又因为四棱锥的底面是正方形，则.又，平面，故平面PDB.

13．（2022·山西）如图，在直四棱柱中，底面为菱形，为中点.（1）求证：平面；（2）求证：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【详解】证明：（1）设与交于点，接，底面是菱形，为中点，又因为是的中点，，面，平面平面．（2）底面是菱形，，底面，底面，，且，平面．平面．平面，．14．（2022春·浙江）如图，在四棱锥中，底面是梯形，，平面，点是棱上的一点．(1)若，求证：平面；(2)若是的中点，求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：连接交于，连接，因为∥所以∽，所以，因为，所以,所以∥,因为平面平面所以∥平面（2）过作于，因为平面，平面，所以平面平面，因为平面平面，所以平面，因为平面，所以过作于，连接，因为，所以平面，因为平面，所以所以是二面角的平面角，不妨设，则，因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以15．（2022·湖南）在直三棱柱中，，为中点.(1)求证：平面；(2)若，求四棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析；(2).【详解】（1），为中点，,在直三棱锥中，平面,平面.，又,平面（2），为中点，，由（1）知，四棱锥的高即为，又，所以，.16．（2022春·广西）如图，AB是底面的直径，C为上异于A、B的点，PC垂直于所在平面，D、E分别为PA、PC的中点.(1)求证：DE∥平面ABC.(2)求证：平面BDE⊥平面PBC.【答案】(1)证明详见解析(2)证明详见解析【详解】（1）由于分别是的中点，所以，由于平面平面，所以平面.（2）依题意平面，所以.由于是圆的直径，所以,由于，所以平面，由于，所以平面，由于平面，所以平面平面.17．（2022春·贵州）如图，直三棱柱中，，M为棱上一点．(1)求三棱锥的体积；(2)求证：．【答案】(1)；(2)证明见解析（1）由直三棱柱可得平面，又，可得，则；（2）由题意得，平面，平面，则，又，，平面，则平面，又平面，则.18．（2021·北京）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面.(1)求证：平面；(2)求证：平面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【详解】（1）由底面是正方形，又平面，平面，平面（2）平面，平面，又底面是正方形，又，平面，平面19．（2021春·天津）如图，长方体中，底面是正方形．

(1)求证：平面；(2)求证：平面．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【详解】（1）在长方体中，且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）因为底面是正方形，所以，又，所以，又平面，平面，所以，又，平面，所以平面.20．（2021秋·吉林）如图，三棱柱中，平面ABC，AB=3，AC=4，BC=5.(1)求证：平面；(2)若异面直线与所成的角为30°，求三棱柱的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）平面ABC，平面ABC，有.AB=3，AC=4，BC=5，有，由勾股定理得.，平面，∴平面（2）由，异面直线与所成的角即为，，又平面ABC，平面ABC，∴，则，得，，所以三棱柱的体积.21．（202