人教 八下 数学 第17章《勾股定理的逆定理》课件

17.2勾股定理的逆定理第十七章勾股定理逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2互逆命题和互逆定理勾股定理的逆定理勾股数知识点互逆命题和互逆定理知1－讲1定义关系互逆命题如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题(1)命题有真有假，而定理都是正确的，即都是真命题.(2)每个命题都有逆命题，但不是所有定理都有逆定理互逆定理如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称其为原定理的逆定理，这两个定理称为互逆定理知1－讲特别解读1.原命题的真假和逆命题的真假没有必然联系，原命题是真命题，其逆命题不一定是真命题；原命题是假命题，其逆命题也不一定是假命题.2.判断一个命题是真命题需要证明，而判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可.知1－练例1判断下列命题的真假，写出逆命题并判断真假：(1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；(2)如果a>b，那么a2>b2；(3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；(4)如果ab<0，那么a>0，b<0.解题秘方：紧扣互逆命题“题设、结论正好相反”这一特征改写命题.知1－练解：(1)原命题是真命题.逆命题：如果两条直线只有一个交点，那么它们相交.逆命题是真命题.(2)原命题是假命题.逆命题：如果a2>b2，那么a>b.逆命题是假命题.(3)原命题是真命题.逆命题：如果两个数的和为零，那么它们互为相反数.逆命题是真命题.(4)原命题是假命题.逆命题：如果a>0，b<0，那么ab<0.逆命题是真命题.知1－练1－1.写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题的真假：(1)如果a＝0，那么ab＝0；(2)如果x＝4，那么x2＝16；解：逆命题：如果ab＝0，那么a＝0.假命题．逆命题：如果x2＝16，那么x＝4.假命题．知1－练(3)面积相等的三角形是全等三角形；(4)在一个三角形中，等角对等边.解：逆命题：全等三角形的面积相等．真命题．逆命题：在一个三角形中，等边对等角．真命题．知1－练定理“角平分线上的点到角的两边的距离相等”是否有逆定理？请说明理由.解题秘方：通过写逆命题并判断其真假说明是否存在逆定理.例2知1－练解：原定理有逆定理.理由如下：定理的逆命题：在角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上.可以证明其为真命题：已知：如图17.2－1，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E，F，且PE＝PF.求证：OP

是∠AOB

的平分线.知1－练

知1－练

B知2－讲知识点勾股定理的证明21.勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a，b，c

满足

a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形.2.利用边的关系判定直角三角形的步骤知2－讲3.勾股定理与其逆定理的关系勾股定理勾股定理的逆定理条件在Rt△ABC

中，∠A，∠B，∠C

的对边长分别为a，b，c，∠C＝90°在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，且a2＋b2＝c2结论a2＋b2＝c2△ABC

为直角三角形，且∠C＝90°知2－讲续表勾股定理勾股定理的逆定理关系知2－讲特别提醒1.勾股定理的逆定理是判定直角三角形的一个依据，在判定时不能说“在直角三角形中”“直角边”“斜边”，因为还没有确定是直角三角形.2.a2＋b2＝c2只是一种表现形式，满足a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2的也是直角三角形，只是这时a或b为斜边长.知2－练判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形：(1)在△ABC中，∠A＝25°，∠C＝65°；(2)在△ABC中，AC＝12，AB＝20，BC＝16；(3)一个三角形的三边长a，b，c

满足a∶b∶c＝1∶1∶2.例3解题秘方：紧扣“直角三角形的定义”和“勾股定理的逆定理”进行判断.知2－练

已知比例式，设参数，表示边长知2－练方法总结：直角三角形的判定方法(1)用角判定：①(定义法)有一个角为90°的三角形是直角三角形；②(判定定理)有两个角互余的三角形是直角三角形；(2)用边判定：勾股定理的逆定理.知2－练知识拓展设三角形的三边长分别为a，b，c(c为最长边的长).(1)如果a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形；(2)如果a2＋b2＜c2，那么这个三角形是钝角三角形；(3)如果a2＋b2＞c2，那么这个三角形是锐角三角形.知2－练3－1.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，那么下面不能判定△ABC是直角三角形的是()A.∠B＝∠C－

∠AB.a2＝(b＋c)(b－c)C.∠A∶∠B∶∠C

＝5∶4∶3D.a∶b∶c＝5∶4∶3C知3－讲知识点勾股数31.勾股数定义能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数意义某些三角形能根据勾股数快速判断是否为直角三角形常见勾股数常见的勾股数有3，4，5(这是最著名的一组，俗称“勾三股四弦五”)；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41等勾股数有无数组知3－讲特别提醒以勾股数为三边长的三角形是直角三角形，但是能构成直角三角形的三条边的数不一定是勾股数.知3－讲

不是正整数知3－讲拓宽视野1.毕达哥拉斯发现的勾股数组：2n＋1，2n2＋2n，2n2＋2n＋1(n为正整数).当n＝2时，可以得到一组勾股数5，12，13.2.柏拉图发现的勾股数组：2m，m2－1，m2＋1(m>1且m是正整数).当m＝4时，可以得到一组勾股数8，15，17.知3－练下面四组数中是勾股数的一组是()A.6，7，8 B.5，8，13C.1.5，2，2.5 D.21，28，35解题秘方：根据“勾股数必须满足的两个条件(1)三个数都是正整数；(2)两个较小数的平方和等于最大数的平方”进行判断.例4知3－练答案：D解：根据勾股数的定义：满足a2＋b2＝c2的三个正整数a，b，c

称为勾股数.A.62＋72≠82，不能构成勾股数，故错误；B.52＋82≠132，不能构成勾股数，故错误；C.1.5和2.5不是正整数，所以不能构成勾股数，故错误；D.212＋282＝352，能构成勾股数，故正确.知3－练方法技巧：判断一组数是否为勾股数的步骤知3－练

B知3－练

C勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理互逆命题原命题作用勾股数判定直角勾股定理原定理由数到形由形到数逆命题逆命题互逆命题题型利用勾股定理及其逆定理解决边角问题1如图17.2－2，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6.求BC

的长.例5类型1求线段的长思路引导：

方法总结倍长中线法：当出现三角形的中线时，一般要延长中线，使延长的部分与中线等长(倍长中线法)，构造全等三角形，把已知条件转化到同一个三角形中进行计算或证明.如图17.2－3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点，且PB＝1，PC＝2，PA＝3.求∠BPC

的度数.例6类型2求角的度数思路引导：解：如图17.2－3，过点C作CE⊥CP，并截取CE＝CP，连接BE，PE，则△PCE为等腰直角三角形.∴∠CPE＝45°，PE2＝PC2＋CE2＝8.∵∠ACP＋∠PCB＝∠BCE＋∠PCB＝90°，∴∠ACP＝∠BCE.又∵AC＝BC，CP＝CE，∴△APC

≌△BEC(SAS).∴

BE＝PA＝3.

∵

PB＝1，∴

PE2＋PB2＝BE2

.

∴△BPE

是直角三角形，且∠BPE＝90°.∴∠BPC＝∠CPE＋∠BPE＝45°＋90°＝135°.思路集中已知条件解决问题：当已知长度的三条线段共点时，可通过构造全等三角形，将已知线段(或根据已知条件能求出长度的线段)集中在一个三角形中，进而寻找解决问题的方法.模型解读构造“手拉手”模型的方法图示解读已知AB

＝AC，∠BAC＝α，作∠DAE＝α，且AD＝AE，则可证△ABD≌△ACE(SAS).题型利用勾股定理及其逆定理解决面积问题2如图17.2－4，已知AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，CD＝24，DA＝26.求四边形ABCD的面积.例7思路引导：

技巧求不规则图形的面积时，就目前所学的知识来说作辅助线应遵循的几个原则：1.作垂线或垂线段构造直角三角形；2.分割或补充图形使之由不规则图形变为规则图形；3.尽可能把具有勾股数特征的线段汇聚到一个三角形中，从而运用勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形.题型利用勾股定理及其逆定理解决实际问题3如图17.2－5，南北方向的领海线PQ以东为我国领海区域，以西为公海．例8某日22点30分，我边防反偷渡巡逻号艇A发现其正西方向有一可疑船只C正向我国的领海靠近，便立即通知正处于PQ上的巡逻艇B注意其动向．经观测，发现A艇与可疑船只C之间的距离为10海里，A，B两艇之间的距离为6海里，B艇与可疑船只C之间的距离为8海里．若该可疑船只的航行速度为12.8海里/时，则它最早在何时进入我国的领海

区域？思路引导：

另解由题意得∠ADB＝∠BDC＝90°，∴在Rt△ADB和Rt△BDC中，BD2＝AB2－AD2＝BC2－CD2，即62－(10－CD)2＝82－CD2，解得CD＝6.4.

方法转化思想在勾股定理的逆定理中的应用：解此类实际应用题时，我们应从实际问题入手，将其转化为数学问题，然后选择相应的数学知识解决问题.例如，要求该可疑船只最早何时进入我国领海，必须首先确定该可疑船只进入我国领海的航行路线,由“垂线段最短”可知线段CD的长即为该可疑船只进入我国领海的最短距离，因此，计算CD的长即为解题的关键.题型利用勾股定理及其逆定理判断两线的位置关系3如图17.2－6，在正方形ABCD中，E为AD的三等分点，G为DC上一点，且DG∶GC＝2∶7，那么BE与EG

垂直吗？请说明你的理由.例9解题秘方：判断两条线段的垂直关系，转化为判断两条线段所在的三角形为直角三角形.解：BE

与EG

垂直.理由如下：如图17.2－6，连接BG.设正方形ABCD的边长为9x.∵

E为AD的三等分点，∴

AE＝3x.∴

ED＝6x.∵

DG∶GC＝2∶7，∴

DG＝2x，CG＝7x.在Rt△AEB中，∵

AB＝9x，AE＝3x，∴

BE2＝AB2＋AE2＝(9x)2＋(3x)2＝90x2.同理可得EG2＝ED2＋DG2＝(6x)2＋(2x)2＝40x2，BG2＝BC2＋CG2＝(9x)2＋(7x)2＝130x2.∵90x2＋40x2＝130x2，即BE2＋EG2＝BG2，∴△BEG

是直角三角形，且∠BEG＝90°.∴

BE⊥EG.思路BE与EG不在同一个三角形中，如果要用勾股定理的逆定理证明BE与EG垂直，就需要连接BG，构造△BEG

.方法本题利用数形结合思想，通过对边长的计算，利用勾股定理的逆定理判定直角三角形来判定两条线段垂直.易错点运用勾股定理的逆定理判断三角形的形状时易受思维定式的影响而出错

例10

诊误区：利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状时，我们不能简单地看两边a，b的平方和是否等于边c的平方，而应先比较a，b，c的大小，找出最大边长，再分别计算出三边长的平方，最后看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.[中考·无锡]请写出命题“如果a>b，那么b－a<0”的逆命题：_________________________.考法逆命题与逆定理1例11如果b－a<0，那么a>b试题评析：本题考查了逆命题，解题的关键是了解交换一个命题的题设和结论即可得到这个命题的逆命题．解：命题“如果a>b，那么b－a<0”的逆命题是“如果b－a<0，那么a>b”.[中考·济宁]如图17.2－7，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE

等于(

)A.180°－α

B.180°－2αC.90°＋α

D.90°＋2α考法利用勾股定理的逆定理确定角的度数2例12试题评析：本题考查了勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是先应用勾股定理的逆定理判定某个三角形为直角三角形，再进行角度的计算.

答案：C

考法勾股数的应用3例13m试题评析：本题考查了勾股数，解题的关键是根据题意得出a2，b2，c2之间的关系.

1.下列命题的逆命题是真命题的为()A.如果a>0，b>0，则a＋b>0B.直角都相等C.两直线平行，同位角相等D.若a＝6，则|a|＝|6|C2.[期中·三明永安市]下列定理中没有逆定理的是(

)A．内错角相等，两直线平行B．对顶角相等C．等腰三角形两底角相等D．直角三角形中，两锐角互余B3.[中考·益阳]已知M，N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B

为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC

一定是(

)A．锐角三角形

B．直角三角形C．钝角三角形

D．等腰三角形B4.如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船沿__________方向航行.北偏东50°

5.如图所示的一块地，已知AD＝4m，CD＝3m，AD⊥

DC，AB＝13m，BC＝12m，则这块地的面积为_________.24m26.勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．

柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m(m≥3，m

为正整数)，则其弦是________(结果用含m

的式子表示).m2＋17.[月考·福州福清市]如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，点A，B在格点上(每个小正方形的顶点称为格点)．按要求回答问题：(1)直接写出AB的长；

8.如图，等边三角形ABC内有一点O，已知OA＝4，OB＝3，OC＝5，求∠AOB的度数．解：∵△ABC为等边三角形，∴BA＝BC.可将△BOC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连接EO，如图，则BE＝BO＝3，AE＝CO＝5，∠OBE＝60°，∴△BOE为等边三角形，∴OE＝OB＝3，∠BOE＝60°.∵在△AEO中，AE＝5，AO＝4，OE＝3，∴AE2＝OE2＋OA2，∴△AOE为直角三角形，且∠AOE＝90°，∴∠AOB＝90°＋60°＝150°.9.[模拟·荆门]如图，汉江是长江最大的支流，它流经美丽的荆门，汉江一侧有一村庄C，江边原有两个观景台

A，B，其中AB＝AC，现建设美丽乡村，决定在汉江边新建一个观景台H(点A，H，B

在同一条直线上)，并新修一条路CH，测得BC＝6km，CH＝4.8km，BH＝3.6km．(1)CH是不是从村庄C到江边的最短路线？请通过计算加以说明；解：CH是从村庄C到江边的最短路线．理由：在△CHB中，BC＝6km，CH＝4.8km，BH＝

3.6km，∴CH2＋BH2＝4.82＋3.62＝36，BC2＝36.∴CH2＋BH2＝BC2.∴CH⊥AB，即CH是从村庄C到河边的最短路线．(2)求原来的路线AC的长．解：设AC＝AB＝xkm，则AH＝(x－3.6)km.在Rt△ACH中，由勾股定理得AC2＝AH2＋CH2，∴x2＝(x－3.6)2＋4.82，解得x＝5.∴原来的路线AC的长为5km.10.如图，四边形ABCD的三条边AB，BC，CD和对角线BD的长度都为5cm，动点P从点A出发沿AB－BD运动到点D，速度为2cm/s，动点Q从点D出发沿DC－CB－BA运动到点A，速度为2.8cm/s.若点P，Q同时出发，5s时点P，Q相距3cm，试确定5s时△APQ的形状.解：∵动点P从点A出发沿AB—BD运动到点D，速度为2cm/s，∴5s时点P的运动路程为2×5＝10(cm)．∵AB＝BD＝5cm，∴AB＋BD＝10cm，∴5s时点