广东省高州市大井中学2025届高三第四次模拟考试数学试卷含解析

广东省高州市大井中学2025届高三第四次模拟考试数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为A．48 B．72 C．90 D．962．已知抛物线上一点到焦点的距离为，分别为抛物线与圆上的动点，则的最小值为（）A． B． C． D．3．在中，内角所对的边分别为，若依次成等差数列，则（）A．依次成等差数列 B．依次成等差数列C．依次成等差数列 D．依次成等差数列4．设、，数列满足，，，则（）A．对于任意，都存在实数，使得恒成立B．对于任意，都存在实数，使得恒成立C．对于任意，都存在实数，使得恒成立D．对于任意，都存在实数，使得恒成立5．对于函数，若满足，则称为函数的一对“线性对称点”．若实数与和与为函数的两对“线性对称点”，则的最大值为（）A． B． C． D．6．函数的最大值为，最小正周期为，则有序数对为（）A． B． C． D．7．已知集合M＝{y｜y＝2x，x＞0}，N＝{x｜y＝lg（2x－xA．（1，＋∞） B．（1，2） C．[2，＋∞） D．[1，＋∞）8．若两个非零向量、满足，且，则与夹角的余弦值为（）A． B． C． D．9．已知为圆的一条直径，点的坐标满足不等式组则的取值范围为（）A． B．C． D．10．关于函数，有下述三个结论：①函数的一个周期为；②函数在上单调递增；③函数的值域为.其中所有正确结论的编号是（）A．①② B．② C．②③ D．③11．定义在R上的函数，，若在区间上为增函数，且存在，使得.则下列不等式不一定成立的是（）A． B．C． D．12．如图，在平面四边形ABCD中，若点E为边CD上的动点，则的最小值为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．点到直线的距离为________14．已知复数,其中是虚数单位．若的实部与虚部相等,则实数的值为__________．15．二项式的展开式中项的系数为_____．16．函数的最小正周期是_______________，单调递增区间是__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）若恒成立，求的取值范围；（2）设函数的极值点为，当变化时，点构成曲线，证明：过原点的任意直线与曲线有且仅有一个公共点.18．（12分）在数列和等比数列中，，，.（1）求数列及的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.19．（12分）随着时代的发展，A城市的竞争力、影响力日益卓著，这座创新引领型城市有望踏上向“全球城市”发起“冲击”的新征程.A城市的活力与包容无不吸引着无数怀揣梦想的年轻人前来发展，目前A城市的常住人口大约为1300万.近日，某报社记者作了有关“你来A城市发展的理由”的调查问卷，参与调查的对象年龄层次在25~44岁之间.收集到的相关数据如下：来A城市发展的理由人数合计自然环境1.森林城市，空气清新2003002.降水充足，气候怡人100人文环境3.城市服务到位1507004.创业氛围好3005.开放且包容250合计10001000（1）根据以上数据，预测400万25~44岁年龄的人中，选择“创业氛围好”来A城市发展的有多少人；（2）从所抽取选择“自然环境”作为来A城市发展的理由的300人中，利用分层抽样的方法抽取6人，从这6人中再选取3人发放纪念品.求选出的3人中至少有2人选择“森林城市，空气清新”的概率；（3）在选择“自然环境”作为来A城市发展的理由的300人中有100名男性；在选择“人文环境”作为来A城市发展的理由的700人中有400名男性；请填写下面列联表，并判断是否有的把握认为性别与“自然环境”或“人文环境”的选择有关？自然环境人文环境合计男女合计附：，.P（）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82820．（12分）已知函数（1）若恒成立，求实数的取值范围；（2）若方程有两个不同实根，，证明：．21．（12分）如图，两座建筑物AB，CD的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是10m和20m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的视角∠CAD＝60°．（1）求BC的长度；（2）在线段BC上取一点P（点P与点B，C不重合），从点P看这两座建筑物的视角分别为∠APB＝α，∠DPC＝β，问点P在何处时，α+β最小？22．（10分）已知，函数.（1）若函数在上为减函数，求实数的取值范围；（2）求证：对上的任意两个实数，，总有成立.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛①当甲参加另外3场比赛时，共有•=72种选择方案；②当甲学生不参加任何比赛时，共有=24种选择方案．综上所述，所有参赛方案有72+24=96种故答案为：96点睛：本题以选择学生参加比赛为载体，考查了分类计数原理、排列数与组合数公式等知识，属于基础题．2、D【解析】

利用抛物线的定义，求得p的值，由利用两点间距离公式求得，根据二次函数的性质，求得，由取得最小值为，求得结果.【详解】由抛物线焦点在轴上，准线方程，则点到焦点的距离为，则，所以抛物线方程：，设，圆，圆心为，半径为1，则，当时，取得最小值，最小值为，故选D.【点睛】该题考查的是有关距离的最小值问题，涉及到的知识点有抛物线的定义，点到圆上的点的距离的最小值为其到圆心的距离减半径，二次函数的最小值，属于中档题目.3、C【解析】

由等差数列的性质、同角三角函数的关系以及两角和的正弦公式可得，由正弦定理可得，再由余弦定理可得，从而可得结果.【详解】依次成等差数列，，正弦定理得，由余弦定理得，，即依次成等差数列，故选C.【点睛】本题主要考查等差数列的定义、正弦定理、余弦定理，属于难题.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．4、D【解析】

取，可排除AB；由蛛网图可得数列的单调情况，进而得到要使，只需，由此可得到答案.【详解】取，，数列恒单调递增，且不存在最大值，故排除AB选项；由蛛网图可知，存在两个不动点，且，，因为当时，数列单调递增，则；当时，数列单调递减，则；所以要使，只需要，故，化简得且.故选：D．【点睛】本题考查递推数列的综合运用，考查逻辑推理能力，属于难题．5、D【解析】

根据已知有，可得，只需求出的最小值，根据，利用基本不等式，得到的最小值，即可得出结论.【详解】依题意知，与为函数的“线性对称点”，所以，故（当且仅当时取等号）.又与为函数的“线性对称点，所以，所以，从而的最大值为.故选:D.【点睛】本题以新定义为背景，考查指数函数的运算和图像性质、基本不等式，理解新定义含义，正确求出的表达式是解题的关键，属于中档题.6、B【解析】函数（为辅助角）∴函数的最大值为，最小正周期为故选B7、B【解析】M=y|y=N==x|∴M∩N=(1,2)．故选B．8、A【解析】

设平面向量与的夹角为，由已知条件得出，在等式两边平方，利用平面向量数量积的运算律可求得的值，即为所求.【详解】设平面向量与的夹角为，，可得，在等式两边平方得，化简得.故选：A.【点睛】本题考查利用平面向量的模求夹角的余弦值，考查平面向量数量积的运算性质的应用，考查计算能力，属于中等题.9、D【解析】

首先将转化为，只需求出的取值范围即可，而表示可行域内的点与圆心距离，数形结合即可得到答案.【详解】作出可行域如图所示设圆心为，则,过作直线的垂线，垂足为B，显然，又易得，所以，，故.故选：D.【点睛】本题考查与线性规划相关的取值范围问题，涉及到向量的线性运算、数量积、点到直线的距离等知识，考查学生转化与划归的思想，是一道中档题.10、C【解析】

①用周期函数的定义验证.②当时，，，再利用单调性判断.③根据平移变换，函数的值域等价于函数的值域，而，当时，再求值域.【详解】因为，故①错误；当时，，所以，所以在上单调递增，故②正确；函数的值域等价于函数的值域，易知，故当时，，故③正确.故选：C.【点睛】本题考查三角函数的性质，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于中档题.11、D【解析】

根据题意判断出函数的单调性，从而根据单调性对选项逐个判断即可．【详解】由条件可得函数关于直线对称；在，上单调递增，且在时使得；又，，所以选项成立；，比离对称轴远，可得，选项成立；，，可知比离对称轴远，选项成立；，符号不定，，无法比较大小，不一定成立．故选：．【点睛】本题考查了函数的基本性质及其应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12、A【解析】

分析：由题意可得为等腰三角形，为等边三角形，把数量积分拆，设，数量积转化为关于t的函数，用函数可求得最小值。详解：连接BD,取AD中点为O,可知为等腰三角形，而，所以为等边三角形，。设=所以当时，上式取最小值，选A.点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示。同时利用向量共线转化为函数求最值。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解析】

直接根据点到直线的距离公式即可求出。【详解】依据点到直线的距离公式，点到直线的距离为。【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的应用。14、【解析】

直接由复数代数形式的乘法运算化简,结合已知条件即可求出实数的值.【详解】解：的实部与虚部相等,所以,计算得出.故答案为:【点睛】本题考查复数的乘法运算和复数的概念,属于基础题.15、15【解析】

由题得，，令，解得，代入可得展开式中含x6项的系数.【详解】由题得，，令，解得，所以二项式的展开式中项的系数为.故答案为：15【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，考查了利用通项公式去求展开式中某项的系数问题.16、，，【解析】

化简函数的解析式，利用余弦函数的图象和性质求解即可．【详解】函数，最小正周期，令，，可得，，所以单调递增区间是，，．故答案为：，，，．【点睛】本题主要考查了二倍角的公式的应用，余弦函数的图象与性质，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）证明见解析【解析】

（1）由恒成立，可得恒成立，进而构造函数，求导可判断出的单调性，进而可求出的最小值，令即可；（2）由，可知存在唯一的，使得，则，，进而可得，即曲线的方程为，进而只需证明对任意，方程有唯一解，然后构造函数，分、和三种情况，分别证明函数在上有唯一的零点，即可证明结论成立.【详解】（1）由题意，可知，由恒成立，可得恒成立.令，则.令，则，，，在上单调递增，又，时，；时，，即时，；时，，时，单调递减；时，单调递增，时，取最小值，.（2）证明：由，令，由，结合二次函数性质可知，存在唯一的，使得，故存在唯一的极值点，则，，，曲线的方程为.故只需证明对任意，方程有唯一解.令，则，①当时，恒成立，在上单调递增.，，，存在满足时，使得.又单调递增，所以为唯一解.②当时，二次函数，满足，则恒成立，在上单调递增.，，存在使得，又在上单调递增，为唯一解.③当时，二次函数，满足，此时有两个不同的解，不妨设，，，列表如下：00↗极大值↘极小值↗由表可知，当时，的极大值为.，，，，，..下面来证明，构造函数，则，当时，，此时单调递增，，时，，，故成立.，存在，使得.又在单调递增，为唯一解.所以，对任意，方程有唯一解，即过原点任意的直线与曲线有且仅有一个公共点.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性的应用，考查不等式恒成立问题，考查利用单调性研究图象交点问题，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于难题.18、（1），（2）【解析】

(1)根据与可求得,再根据等比数列的基本量求解即可.(2)由(1)可得,再利用错位相减求和即可.【详解】解：（1）依题意,,设数列的公比为q,由,可知,由,得,又,则,故,又由,得.（2）依题意.,①则,②①-②得,即,故.【点睛】本题主要考查了等比数列的基本量求解以及错位相减求和等.属于中档题.19、（1）（万）（2）（3）填表见解析；有的把握认为性别与“自然环境”或“人文环境”的选择有关【解析】

(1)在1000个样本中选择“创业氛围好”来A城市发展的有300个,根据频率公式即可求得结果.(2)由分层抽样的知识可得，抽取6人中,4人选择“森林城市，空气清新”,2人选择“降水充足，气候怡人”求出对应的基本事件数,即可求得结果.(3)计算的值,对照临界值表可得答案.【详解】（1）（万）（2）从所抽取选择“自然环境”作为来A城市发展理由的300人中，利用分层抽样的方法抽取6人，其中4人是选择“森林城市，空气清新”，2人是选择“降水充足，气候怡人”.记事件A为选出的3人中至少有2人选择“森林城市，空气清新”，则,.（3）列联表如下自然环境人文环境合计男100400500女200300500合计3007001000，所以有的把握认为性别与“自然环境”或“人文环境”的选择有关.【点睛】本题主要考查独立性检测的相关知识、分层抽样与古典概念计算概率、考查学生的综合分析与计算能力,难度较易.20、（1）（2）详见解析【解析】

（1）将原不等式转化为，构造函数，求得的最大值即可；

（2）首先通过求导判断的单调区间，考查两根的取值范围，再构造函数，将问题转化为证明，探究在区间内的最大值即可得证．【详解】解：（1）由，即，即，令，则只需，，令，得，在上单调递增，在上单调递减，，的取值范围是；（2）证明：不妨设，当时，单调递增，当时，单调递减，，当时，，，要证，即证，由在上单调递增，只需证明，由，只需证明，令，，只需证明，易知，由，故，，从而在上单调递增，由，故当时，，故，证毕．【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，最值等，关键是要对问题进行转化，比如把