四川省遂宁市射洪中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题含答案及解析

射洪中学高2023级高二上期入学考试数学试题（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上。写在本试卷上无效。4.考试结束后，将答题卡交回。第I卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.在平行四边形ABCD中，（）A. B. C. D.2.在复平面内，复数对应的点位于（

）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.小强希望自己的高考数学成绩能超过120分，为了激励自己，他记录了近8次数学考试成绩，并绘制成折线统计图，如图，这8次成绩的第80百分位数是（

）A.100 B.105 C.110 D.1204.若一个圆台如图所示，则其侧面积等于（

）A.6B.6πC.3π D.6π5.在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，则与平面所成角的正弦值为（

）A. B. C. D.6.若，，则的值为（

）A. B. C. D.7.已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围是（

）A. B. C. D.8.在三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（

）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.若向量，，则（

）A. B.C.在上的投影向量为 D.与的夹角为10.已知△ABC的内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（

）A.若，则.B.若，，则三角形有一解.C.若，则△ABC一定为等腰直角三角形.D.若△ABC面积为，，则.11.如图，在矩形ABCD中，，，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成，使平面平面BCDE，若点M为线段PC的中点，则下列结论正确的是（

）A.直线平面PDE B.C.点C到平面PDE的距离为 D.PC与平面BCDE所成角的正切值为第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若复数为纯虚数，则实数.13.电影《孤注一掷》的上映引发了电信诈骗问题热议，也加大了各个社区反电信诈骗的宣传力度.已知某社区共有居民480人，其中老年人200人，中年人200人，青少年80人，若按年龄进行等比例的分层随机抽样，共抽取36人作为代表，则中年人比青少年多______人14.在梯形ABCD中，AB//四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知向量.(1)已知且，求；(2)已知，且，求向量与向量的夹角▲16.（15分）已知，，且.(1)求的值；(2)求.▲17.（15分）函数的部分图象如图所示.(1)求函数的解析式；(2)将函数fx的图象先向右平移π4个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到函数gx的图象，求▲18.（17分）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市"知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：40,50，50,60，…，90,100，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中a的值；(2)求样本成绩的第75百分位数；(3)已知落在50,60的平均成绩是54，方差是7，落在60,70的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差.▲19.（17分）如图，四棱锥的底面ABCD是正方形，是正三角形，平面平面ABCD，M是PD的中点.(1)求证：平面MAC；(2)求二面角的余弦值；(3)在棱PC上是否存在点Q使平面平面MAC成立？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由.▲

射洪中学高2023级高二上期入学考试数学参考答案单选题1D2D3C4C5C6B7D8C多选题9BC10ABD11ACD三．填空题.12__5__13__9__14____四．解答题.15.【详解】（1）已知向量，又，设，又，则，解得，所以或；（2）由题知，，，，所以，，所以，所以，所以，所以，因为，所以向量与向量的夹角为．16.【详解】（1）由，，得，，于是.（2）由，得，又，，由得：．17.【详解】（1）由函数的部分图象可知，，，，又，，解得，由可得，；（2）将向右平移个单位，得到，再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到，令，由，可得，因为函数在上单调递减，在上单调递增，又，，，可得，；18.【详解】（1）每组小矩形的面积之和为1，，．（2）成绩落在，内的频率为，落在，内的频率为，设第75百分位数为，由，得，故第75百分位数为84；（3）由图可知，成绩在，的市民人数为，成绩在，的市民人数为，故．所以两组市民成绩的总平均数是62，，所以两组市民成绩的总平均数是62，总方差是37．19.【详解】（1）设，交于点，连接，则为中点.在中，，分别为，中点，所以.因为平面，平面，所以平面.（2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接.因为平面平面，平面平面，所以平面.因为平面，所以.又，，，平面.所以平面.因为平面，所以，则即为平面与底面所成二面角的平面角.设，则，，故，所以，即二面角的余弦值为.